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高中數學三角函數程序試題的研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授:許志農 博士. 高中數學三角函數程序試題的研究. 研 究 生:廖森游. 中 華 民 國 九 十 八 年 六 月.

(2)

(3) 致. 謝. 教學碩士班的日子裡,讓我體會不同的人生,短短三年,心境有截然不同的變化,兒子 上小學,女兒接著出生,在他們的陪伴下,我也完成了學業。 首先,感謝我的指導教授. 許志農老師,讓我在開發新的數學試題上,抱持著更嚴謹的. 態度,對題意的敘述更為完善,教材教法更為充實多變。同時謝謝黃森山老師及李華介老師 在百忙之中,細心研讀我的論文,給於我相當多寶貴的意見,並給於肯定,讓我的論文內容 更臻完整。也感謝系上的老師,在這些日子的教導。 再來,就是我們小組成員的嘉徽及璞政,要忍受我的急性子,常常催促你們要限時完成 老師的作業,也感謝你們陪我一起討論及完成這份論文。還有振能、瑞良及慧雯,當我們小 組與老師討論時,你們常主動加入,提供相當多的寶貴意見,特別懷念和大家一起在研究室 裡吃便當的日子。 同時要感謝林國泰校長,在我進修的這段期間,能容忍我將行政業務暫時擱置處理,對 於曾代理我職務及課務的同仁,我也至上萬分感謝。學校數學團隊的倩慧、淑合、敬一及秋 萍老師,感謝你們提供許多的建議及幫忙施測。 最後,感謝我的家人,不論何時,總是給我鼓勵,讓我打起精神完成我的夢想,你們是 我最大的支柱。僅將此論文現給我摯愛的家人。. 廖森游. 謹致於. 師大數學系. 中華民國九十八年六月.

(4) 摘要 培養學生的數學能力一直是數學教師們共同努力的目標,根據大學入學考試 中心有關於數學的測驗目標,希望能測出學生是否具有概念性知識、程序性知識 及解題能力這三個層面。而教師要明瞭學生的學習經驗,必須採用合適的評量測 驗試題,如此教師才能從有效的及有意義的測驗中,了解學生的學習狀況,因此 良好的數學評量試題與學生數學能力的檢定是息息相關的。 本研究論文以高中三角函數單元為例,探討程序性知識進而開發出程序試 題。在文獻方面是以三角學的發展歷史為肇始,整理出高中課程在三角函數方面 有關的歷史及三角公式的發展,結合大學入學考試中心的理論基礎,並整理出各 國對於程序性知識的文獻及見解,蒐集國內大考試題中的程序試題,搭配目前國 內高中所使用的七家出版社所編寫之教科書的程序試題而成。 因為熟練數學的運算或計算程序,係指在能夠理解數學概念或演算規則的情 況下,所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力,才是數 學的演算能力。藉由程序試題的開發,經過評量測驗後的分析,教師才能明瞭學 生是否已具備某方面的程序性知識。 而在試題開發方面,以九八課程綱要為主軸,經過小組成員不斷與指導教授 的審題及修題,在預試中先剔除答對率過低、題意不清、與教科書例題類似而無 創新之題目,再結合概念試題及解題能力試題整合成八份試卷後,進入正式施測 之階段。將整卷測驗後的答對率作整理分析,並給予總結建議與示範教材的舉 例,提供教師於日後開發評量測驗試題時的參考,其目的在明瞭學生的學習狀 況,改進教學品質,進而幫助更多學生,提高學生學習數學的興趣及產生自信。.

(5) 目. 次. 第壹章緒論 ...................................................................................................................1 第一節研究動機....................................................................................................1 第二節名詞解釋....................................................................................................5 第三節研究限制....................................................................................................7 第貳章文獻探討 ...........................................................................................................8 第一節三角函數的簡介........................................................................................8 一、歷史簡介................................................................................................8 二、高中課程在三角函數方面有關的歷史..............................................10 第二節理論基礎..................................................................................................28 一、大學入學考試中心的理論基礎..........................................................28 二、普通高級中學 98 數學課程綱要........................................................31 三、程序試題的探討..................................................................................36 第三節三角函數程序試題的優良試題舉例......................................................46 一、大考試題舉例......................................................................................46 二、教科書..................................................................................................50 第參章三角函數試題的開發研究與測試結果 .........................................................55 第一節程序試題的開發......................................................................................55 一、預試(pilot test)階段 .............................................................................55 二、正式施測階段......................................................................................60 三、正式施測試題與結果..........................................................................60 第二節整卷測驗的結果......................................................................................77 第肆章總結與建議 .....................................................................................................80 第一節總結與建議..............................................................................................80. -I-.

(6) 第二節示範教材的舉例......................................................................................86 一、正弦與餘弦定理..................................................................................86 二、複數的極式..........................................................................................99 參考資料 ................................................................................................................... 111 一、中文部分............................................................................................ 111 二、英文部分............................................................................................ 115 附錄 ........................................................................................................................... 116 附錄一、銳角的三角函數................................................................................ 116 附錄二、廣義角的三角函數............................................................................ 119 附錄三、正弦定理與餘弦定理........................................................................122 附錄四、三角測量............................................................................................125 附錄五、三角函數的圖形與疊合....................................................................128 附錄六、和角公式............................................................................................131 附錄七、倍角與半角公式................................................................................134 附錄八、複數的極式........................................................................................137 附錄九、 銳角的三角函數預試試題..............................................................140 附錄十、 廣義角的三角函數預試試題..........................................................142 附錄十一、 正弦定理與餘弦定理預試試題..................................................144 附錄十二、 三角測量預試試題......................................................................146 附錄十三、 三角函數的圖形與疊合預試試題..............................................148 附錄十四、 和角公式預試試題......................................................................150 附錄十五、 倍角與半角公式預試試題..........................................................152 附錄十六、 複數的極式預試試題..................................................................154. -II-.

(7) 第壹章緒論 第一節研究動機 培養學生有良好的思考而擁有解決問題的能力,一直是在教育中非常重要的 目標之一,而在數學科目的學習之中,我們當然希望學生能利用所學基本的數學 知識、觀念,加以靈活的運用而解決所面臨的數學問題,爲了培養並研究學生的 數學能力,大學入學考試中心(簡稱大考中心)從考生的認知過程,區分為概念 性、程序性及解題能力這三個層面,其測驗目標即為評量這三方面的知能。因此 現今的「學科能力測驗數學考科」(簡稱學測)和「指定科目考試數學考科」(簡稱 指考)命題的方式都是根據此目標,而每年學測、指考後,大考中心會由考生的 答對率(得分率)對試題做分析,並且辦理研習告知在第一線教學的老師,除了供 老師做教學的參考外,也由老師的回饋分享中,獲得試題研發改進的良好建議, 而這一切都是希望學生有更佳的學習資料,以便有更好的學習成效。 高中數學教材歷經幾次修訂,最近一次是教育部於 95 年 4 月啟動修訂原定 於 98 年實施的高中數學課程綱要,本次高中數學課程綱要修訂,揭櫫數學為基 礎學科的重要性,釐清高中數學核心內容的定位,以及提出導正數學學習文化的 理想。最主要的原因基於再次強調數學的重要性、界定核心的數學內容及導正數 學學習文化(97,教育部)。此次課程綱要的設計乃是學校教師在實施教學時的 重要方向,而從新的課程綱要中,可以瞭解此次課程綱要設計的精神為: (一)掌握主要脈絡,建構清晰的數學概念; (二)展現化繁為簡,以簡馭繁的數學思考方法; (三)在演繹之外,加強歸納思維的訓練,並認識數學模型的意義; (四)以圖形與實例,循序漸進,建構抽象思維的內涵;. -1-.

(8) (五)強調數學的應用,凸顯數學的普遍性與本質。 而課程綱要設計特色強調一貫性、銜接性、連結性、妥適性及國際性,在這 樣的課程綱要下,教師在教學實施上更宜以學生為中心,強化學生自主學習,培 養學生批判性與創造思考的能力,引導學生懂得如何學習、如何思考,進而培養 學生終身學習的能力。 波利亞(Polya)認為學生的解題思維就像是進行旅遊路線。如果學校的數 學教學像旅行社規劃旅遊路線一樣,幫學生規劃了一條教師認為最理想的路線, 規定學生只能走既定路線,且不斷地透過機械化的練習,訓練學生快速又精確的 到達終點站。但這樣學生所能做的就是努力沿著既定路線前進,沒有自我探索的 機會,如果規劃的行程突然發生了障礙物,而無法按照老師所給的路徑前進,學 生往往停在原地而不知所措,甚至慌了手腳,從此失去了前進的信心。學校這樣 的數學教學,對學生來說,數學就像是一套死板的解題方法,在考試之前,學生 會死記硬背,不久後就會全部忘光。可是如果教師能在教學的過程中,引出幾道 好的數學問題,讓數學旅遊活動像自助旅行般的自我探索旅途,則當行程發生了 一些小麻煩時,相信這些小麻煩反而更能培養且締造學生在數學旅遊中的能力與 樂趣。 因此波利亞認為一位教師的注意力,應該放在如何選擇一道好的數學題目, 應該如何以適當的方式擺在學生的面前。美國數學家 P.R.Halmos 認為「問題是 數學的心臟」,而解決問題則是數學上最重要的工作。其實許多數學解題的過程 並不是直接翻看解答而得到答案,也不是單從老師的講解中簡易複製而得。因為 問題解決是一種人類複雜的心智活動,不但需要一段時間思考探索,更需要具備 一定的數學能力與方法,才能解決。特別數學是科學之母,數學的思考訓練可以 培養學生一般化、特殊化、類比和歸納的能力,以奠定未來學習研究的基礎能力。. -2-.

(9) 當然,培養學生的數學能力一直是數學教師們共同努力的目標,雖然對於數 學能力的定義並無明確的界定,但仍有跡可循。美國全國教育成果評量(National Assessment of Education Progress,NAEP,2002)認為數學能力可以看成學生在 特定的數學知識內展現他的數學能力。數學能力指的是概念性了解(Conceptual Understanding)、程序性知識(Procedural Knowledge)和解題(Problem Solving) 三個因子。而第三次國際數學與科學教育成就研究(Third International Mathematics and Science Study,TIMSS,2003)則將數學能力分為:知識記憶、 表現一般程序性、使用複雜程序及解決問題。而在美國數學教師協會(National Council of Teacher of Mathematics,NCTM,1989)的標準中,認為數學能力包含 解題、溝通、推理及連結。無論哪一種的數學能力定義,概念性知識、程序性知 識與解題能力都是被注意的焦點。 泰勒(Tyler,1950)曾說:「為了探究我們所發現的學習經驗,究竟會產 生多少效果,評量遂成為一種不可缺的活動,因為評量可以協助教師瞭解在教學 活動中哪一方面產生了效果、哪一方面值得改進」(郭生玉,1985)因此教師要 明瞭學生的學習經驗,採用合適的評量是重要的,教師才能從有效的及有意義的 測驗中,瞭解學生的學習狀況,因此學生數學能力的檢定與評量是息息相關的。 因為一道好的數學題目如此重要,所以大考中心在經過多年的研究後,針對 學科能力測驗數學考科,提出下列測驗目標:概念性、程序性與解題能力,希望 藉由這三大層面的測驗方式來瞭解學生數學學科能力。為能配合新課程綱要的制 定,並能協助教師瞭解學生學習情形,以概念性、程序性與解題能力三個層面的 數學試題的建立絕對有其必要性。 笛卡兒說過:「沒有什麼東西比幾何圖形更容易進入人們的思維」,波利亞 認為:「有許多重要的事實和思想最恰當的表達方式可以透過幾何形體及其關 係,以各種方式表現出來,解析幾何提供了一個系統,把數的關係轉換為幾何關 -3-.

(10) 係,或反過來把幾何關係轉換數的關係,在某種意義下可以這樣講,解析幾何是 一部兩種語言的對照字典-公式語言及幾何圖形語言」,赫伯特也說過:「或許 沒有什麼能像三角學一樣,在數學世界中佔有居中的地位」。 既然,三角學在數學的發展上如此重要,但今日學生在學習三角函數這個單 元,學習的不是遠古時代的原始資料,而是經過幾世紀特殊智慧的人,發展出來 的數學語言與符號系統。學生認為三角函數的符號表徵是無邏輯可尋的一堆英文 字母組合,為了應付考試,學生對三角函數就可能流於對定義,定理作機械性的 記憶操作及計算,而缺乏對三角函數的理解,如此學生可能難以建構出完整性的 程序知識,更無法發展出三角函數概念性的知識(施盈蘭,1995)。 數學題目是數學教學及評量的核心,但因市面上的講義、參考書充斥著偏離 課綱精神的難題,導致學生無法培養正確的解題思路,為了培養學生正確而有效 能的解題思路,以及多元的思考,筆者希望能透過以下方式,研發出好的程序試 題,並檢視評量結果以供教師參考。 1.了解三角學的發展歷史。 2.了解三角函數重要定理的無字證明。 3.了解大考中心的程序試題的施測目標。 4.搜集市面上高中課本、講義、參考書好的程序試題。. -4-.

(11) 第二節名詞解釋 一、小組成員 本研究論文之評量試卷,主要針對三角函數部份,開發出概念試題、程序試 題及解題能力試題,並經審題、修題及組卷而成完整評量試卷(簡稱整卷測驗), 故需這三個面向研究者互相配合,故小組成員包括概念試題研究的高嘉徽老師、 程序試題研究的廖森游老師及解題能力試題研究的方璞政老師。. 二、三角函數 本論文所提的三角函數涵蓋三角部分,而三角的內涵是以教育部 97 年 1 月 所頒訂的 98 課程綱要為主,高二必修數學Ⅲ子題包含直角三角形的邊角關係、 廣義角與極坐標、正弦定理、餘弦定理、差角公式、三角測量。選修數甲Ⅰ的三 角函數,子題包含一般三角函數的性質與圖形、三角函數的應用、複數的幾何性 質。選修數乙Ⅰ的三角函數,子題包含弧度、弧長、一般三角函數的性質與圖形。. 三、答對率與得分率 答對率與得分率分析之主要目的在確認每道試題困難或簡單,整卷測驗中的 單選題、選填題與計算題採答對率。答對率是以某一題的答對人數除以全體受測 學生的人數;而多選題採得分率,得分率是以某一題的全體總得分除以全體受測 學生的人數再除以該題的題分數,上述的答對率、得分率所得的數值越高表示題 目越簡單;反之,數值越低表示題目越難。本研究是依據大學入學考試中心之學 科能力測驗命題手冊之界定,一份試卷的難易區分如下表所示。. -5-.

(12) 難度類別. 答對率(得分率). 難. 35% 以下. 中偏難. 30%~45%. 中偏易. 35%~60%. 易. 55% 以上. 四、程序試題 本研究所指稱之程序試題,主要是依據程序性知識所發展出的試題。程序性 知識為有關如何完成某事的流程、探討方法以及使用技巧、演算、記述和方法的 規準,因此本研究所發展的試題內容主要是評量學生是否具有下列所指出的程序 性能力:(一)能操作數與符號的運算及估算;(二)是否能正確選擇適當的程 序;(三)是否能讀圖、查表、製作圖表;(四)是否能檢驗所用的程序無誤。. -6-.

(13) 第三節研究限制 本研究的限制有: 1. 研究樣本的限制:本研究試題測試樣本為基隆、北縣、彰化、雲林、高縣等 五縣市共五所高中,受測學生總數為 463 人,整體受測學生入學基測成績分 布在 210~275 分之間,故其施測結果僅呈現個案班級在其特定教學情境下進 行的施測情形,在做推論時,宜參考此狀況,不宜過度引申。 2. 研究內容的限制:本研究之三角函數單元之程序試題設計部分,係以 95 課程 暫行綱要之教材為主,斟酌 98 課程綱要所列之教學目標設計,研究目前坊間 龍騰、翰林、南一、三民、全華、泰宇、康熹等七家出版社之教科書,因施 測需要,而將「銳角的三角函數」和「三角函數的基本概念」合併成一份試」; 把「三角函數的圖形」與「正餘弦函數的疊合」合併成一份試卷,成員小組 合計整卷出八份試卷,因此,施測的內容有限制。 3. 本研究係聚焦於開發出來三角函數的「程序試題」,適合或不適合學生的學 習,因此本論文學生施測結果之分析,無法推論教師所開發的試題與學生學 習成就之間的關聯性。. -7-.

(14) 第貳章文獻探討 第一節三角函數的簡介 一、歷史簡介 (一)西方的三角學 埃及文獻「萊因德紙草書」中記錄著埃及人懂得利用粗略的三角學概念來測 量每個金字塔的高度是否一致及是否能保有工程中的傾斜度,但在埃及的文獻 中,並無一處談到角的概念,所以埃及人不足以用具體的公式,描述三角學中角 與邊的關係。三角學一詞最初見於希臘文,由古希臘時代傑出的天文學家西帕霍 斯(Hipparchus,古希臘,約 180BC~125BC)、梅尼勞斯(Menelaus,古希臘, 約一世紀)和托勒密(Claudius Ptolemy,古希臘,約 100~170)等人研創的。最 先使用 trigonometry 這個詞的是德國人皮蒂斯楚斯(Bartholomeo Pitiscus, 1516~1613),他在 1595 年出版的一本著作《三角學:解三角形的簡明處理》中 創造了這個新詞。三角學由 triangulum(三角形)和 metricus(測量)兩字湊合 而成,因此解三角形問題便構成了古代三角學的實用基礎,而促使三角學產生的 主要動力來自於人們想測量和推算天體的位置和運行的軌道,藉以用來幫助報 時、計算日曆、發展航海、研究地理等,因此在相當長的一段時間裡,三角學隸 屬於天文學。 雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整埋和研究,但並沒 有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘 述 的 , 是 筆 名 為 約 翰 . 謬 勒 的 德 國 數 學 家 雷 基 奧 蒙 坦 納 斯 ( Johannes Regiomontanus,1436~1476)。他在 1464 年發表了《論各種三角形》的書中, 把以往散見在各種書上的三角學知識,系統地綜合了起來,給出了作為數學的一 個分支的三角學的基本面貌。 -8-.

(15) 直到十八世紀,三角學是以幾何的面貌表現出來的,這也可以說是三角學的 古典面貌。即所有的三角量:正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割,都始終被 認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段。三角學的現代特徵,起源於尤拉 (Euler)在 1748 年所發表著名的《無窮小分析引論》一書中,把三角量看作為 函數,即看作為是一種與角相對應的函數值,書中指出:“三角函數是一種函數 與圓半徑的比值”,若令半徑為單位長,那麼所有的六個三角函數又可大為簡化。 正如尤拉所說,引進三角函數以後,原來意義下的正弦等三角量,都可以脫離幾 何圖形去進行自由的運算。一切三角關係式也將很容易地從三角函數的定義出發 直接得出。這樣,就使得從希帕克起許多數學家為之奮鬥而得出的三角關係式, 有了堅實的理論依據,而且大大地豐富了。嚴格地說,這時才是三角學的真正確 立。. (二)中國的三角學 我國古代沒有有關角的函數概念出現,只用勾股解決了一些有關三角的問 題,據《周髀算經》記載,約與泰勒斯(Tales)同時代的陳子已利用勾股定理 測量太陽的高度,其方法後來稱為「重差術」。而三角學輸入中國,開始於明崇 禎 4 年(1631),由傳教士鄧玉函、湯若望及中國的徐光啟合編《大測》作為歷 書的一部分呈獻給朝廷,但大測的名稱並不通行,根據徐光啟所編的三角函數表 叫做《測圓八線表六卷》、《測圓八線表立成表四卷》。後來三角學就叫做八線, 不過早在徐光啟時代,薛鳳祚(1600~1680)和波蘭傳教士穆尼閣(1611~1656) 在 1653 年合著的《三角算法》就已用三角的名稱。以後許多書都沿用這一術語, 但一直到 1935 年,中國數學會名詞審查委員會將 trigonometry 定為三角學(或 三角法、三角術)。. -9-.

(16) 二、高中課程在三角函數方面有關的歷史 (一)量角制度 1. 角:根據歐幾里得幾何原本的定義 8,一個平面角就是平面上兩條相 交但不重疊的直線,彼此間的傾斜度;角的概念其實是模祾兩可的,一方面代表 兩相交的直線「分隔」的性質,另一方面也以數值代表其分隔的程度,即角的度 量。 2. 60 進制:我們用來量度角的單位為「度」據傳始於巴比倫是 1854 年 欣克斯(Edward Hincks,1792~1866)研究泥板上的楔形文字發現的,巴比倫的 60 進制後來為希臘天文學家托勒密所接受,他將圓周 360 等份,每一份又分成 60 小份,每一小份再分為更小的份,照此類推。。托勒密之後的 1400 百年,德 國天文學家萊因霍爾得(Erasmus Reinhold,1511~1553)在 1551 年開始用「 ° 」、 「 ' 」、「 " 」表示「度」、「分」、「秒」。 3. 弧度制:在 1748 年,尤拉在他的名著《無窮小分析引論》 (lntroduction in analysin infinitorum)中主張用半徑為單位(設半徑為 1)來量弧長,這就是現 在的弧度制。自此便將弧長和線段長的單位統一起來,這就是弧度制的關鍵所 在。而“弧度”(radian)一詞,是愛爾蘭工程師湯姆森(James Thomson,1822~1892) 在 1875 年首先創用的,由 radius(半徑)與 angle(角)兩字合成。在 1935 年 的《數學名詞》中,radian 曾譯為弳(弧與徑兩字合成,讀 jing)。 沒有人知道為什麼角的度量要採逆時針。這或許因為在我們所熟悉的座標系 統中,從正 x 軸逆時針轉 90° ,可以轉到正的 y 軸;但如果順時針旋轉,則將正 x 軸轉到負的 y 軸。當然,這個選擇完全是任意的:如果當初我們最初以向左為正 的 x 軸方向,或以向下為正 y 軸的方向,那麼情況自然就恰恰相反。(Eli Maor, 2000). -10-.

(17) (二)三角函數的名稱、符號 盡管三角知識起源很早,但用線段的比來定義三角函數,是尤拉在《無窮小 分析引論》一書中首次給出。三角函數常用的有 4 個或 6 個,而歷史上曾出現 10 個以上。下面用三角圓(第一象限)內的線段來表示。 (1)正弦(sine):. sin α = MP. (2)餘弦(cosin):. cos α = PN. (3)正切(tangent):. tan α = AT. (4)餘切(cotangent):. cot α = BS. (5)正割(secant):. sec α = OT. (6)餘割(cosecant):. c sec α = OS. 除了這六個函數外,還有「正矢」、「餘矢」、「外割」、「半正矢」、「古 德曼函數」、「反古德曼函數」等等十二個稱呼。這些函數的歷史長短不一,有 的可以追溯到公元前,有的近幾十年才出現。在 1631 年的《大測》中前八種函 數已經齊備,分別叫做正弦(或弦)、餘弦、切線、餘切線、割線、餘割線、矢 (或倒矢)、餘矢。後來“八線”一度成為三角學的別名。特將現今常用的六個函 數介紹如下: 1. 正弦函數:正弦是最重要也是最古老的一種三角函數,古希臘天文學 家西帕霍斯(Hipparchus,約公元前 180~前 125)為了天文觀測的需要,做了一 個“弦表”,相當於現在 d = 2r sin. α 2. ( r 表示圓半徑, α 表示圓心角, d 表示 α 所對的弦長). r O. -11-. d.

(18) 這就是正弦表的前身,托勒密在《天文學大成》(Almagest)中給 0 − 90 每隔 半度的弦表,其作用相當於從 0 − 90 每隔. 1 的正弦函數表。這是世界最早的三 4. 角函數表。他還利用“托勒密定理”(實出自希帕霍斯之手)推出若干三角恆等式, 包括相當於正、餘弦的和差公式。到了公元約 400 年的印度天文書籍《蘇利耶曆 數書》(Surya Siddhanta)中,出現了一個根據托勒密弦長表而來的半弦表。 但是最早清楚寫出正弦函數的著作,則是,阿耶波多(Aryabhata,476~550)。 他計算半弦(相當於現在的正弦線,而不是希臘人的全弦),他用 jya-ardha 稱 半弦,簡寫為 jiva,獵人弓弦的意思。後來印度的書籍經轉譯成,在轉譯成拉丁 文,展轉譯成 sinus,英文為 sine,意思是胸部、海灣或曲線(月球地圖上看似 海灣的地區現在仍稱為 sinus)。而在 1631 年,鄧玉函、徐光啟的《大測》將 sinus 譯為“正半弦”或“前半弦”,簡稱“正弦”,這是我國“正弦”術語的由來。 至於簡寫成 sin 的符號,最早是由英國的天文教授岡特(Edmund Gunter,. 1581~1626)所採用。他製作刻有對數尺度的尺「岡特尺」。1624 年,sin 及 tan 兩個符號,就是在「岡特尺」的圖示說明中首次出現。幾年以後,英國的奧特雷 德(William Oughtred)在《比例圓與水平儀器》(The Circles of Proportion and the. Horizontal Instument,1632)中使用了 sin 這一縮寫,同時又簡寫成 S。同時,法 國的埃里岡(Pierre Herigoae)在《數學教程》(Cursus Mathematicus,1634)中 引入了一整套數學符號,其中包括 sin。雖然後來又種符號來表示正弦,到了 18 世紀中葉以後,漸漸趨於統一用 sin。 2. 餘弦函數:餘弦函數的重要性不亞於正弦函數,阿利耶巴陀稱餘弦為. kotijya,這是為了要計算餘角的正弦值而來的。這函數發展得較慢,名稱也很不 統一。普拉托(Plate,約 1120)稱之為“剩餘的弦”(chorda residui),雷基奧蒙 坦納斯(Johannes Regiomontanus,1436~1476,歐洲 15 世紀最重要的三角學者 之一)稱為“餘角的正弦”(sinus rectus Complementi,約 1463)。而 cosinus(餘 弦)這個名稱是岡特首先使用的,當初他寫為 co. sinus,後來由約翰.牛頓(John. -12-.

(19) Newton,1622-1678) 在 1658 年改為 cosinus,這名稱才確定下來。1674 年由英 國數學家兼測量師摩爾爵士(Jonas Moore,1617~1679)率先使用,他創用 Cos﹒ 表示餘弦,到 18 世紀變成現在的 cos。 3. 正切與餘切函數:這兩個函數由日圭及投影的想法,也就是日影的測 量而引起,但是把這兩種比率視為角的函數,則是由阿拉伯人開始的。古人立竿 測日影以定時間,後來發展成為日晷(如下圖)。在中國有周公測景的記載(約 公元前 1100 年),古希臘泰勒斯(Thales)利用日影確定金字塔的高度(約公 元前 600 年)。第一個呈現正切和餘切表是由梅法茲(al-Mervazi)在公元 860 年左右製作出的,而天文學家巴坦尼(al-Battani),為了研究日晷,製作了每隔. 1° 的「投影表」,也就是餘切函數表(920 年左右),假設 h 為桿長,投影長度為 s , 得出 s = h×. sin(90° − θ ) 的關係式(其實就是 s = h × cot θ ), sin θ. 式中只用了正弦函數,這是因為其他的三角函數還 α. 沒有名稱。. h s. 現代的名稱 tangent (正切),在 1983 年由丹麥數學家芬因克( Thomas. Fincke,1561~1646)提出,至於 cotangent(餘切)這個字最早是在 1620 年由岡 特使用。正切(tangent)這個字來自拉丁文 tangege,是「碰觸」的意思,而這 個字之所以和正切函數產生關聯或許是因為以下的觀察:. Q(1, tan θ. O. T(1,0). 現今在單位圓上定義三角函數的方法,就是利用此作圖法。. -13-.

(20) 4. 正割和餘割函數:正割、餘割函數出現的更晚,雖然正割、餘割約在. 860 年由海拜什哈西卜首先提出,到艾布瓦法(約 980)正式使用,不過未給特 別名稱。這兩種函數沒有引起當時人們的注意,直到 1551 年雷蒂克斯(Georg J.. Rhaticus,1514~1576)才在《三角學說準則》(Canon doctrinae triangulorum)中 完全收入正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割這 6 種函數並附正割表。sec 符 號 則 是 出 生 於 法 國 而 在 荷 蘭 度 過 大 半 生 的 數 學 家 吉 拉 德 ( Albert Girard ,. 1595~1632)所使用,而餘割至今未有統一的符號,有 csc,cosec 等寫法。. (三)三角學的公式的發展 由早期的三角公式的發展歷史得知,托勒密、希帕霍斯等人士基於天文學計 算的需要,而造出有關三角學上的公式,是將幾何定理當作公式的泉源,用幾何 方法推導出三角公式。而法國數學家維埃塔(F.Viete)首次將代數方法引入三角 學從而最早獲得了一般的 n 倍角公式,這對於一個僅僅依靠幾何方法的古代數學 家而言是難以想像的(汪曉勤,2007)。特別的是,在尤拉的《無窮分析引論》 中,三角公式層出不窮,但已見不到任何幾何的影子。此外,還有帕普斯的幾何 命題;阿布.韋發的和角與差角公式;維納、比爾吉和克拉維斯的積化和差公式 以及維埃塔的和差化積公式,直至現今,我們仍會讚嘆這些人的構思對後人三角 學的影響是如何的深遠。 1.托勒密是史上第一位應用數學家,根據他所著的 The Almagest 第一冊 中記載,他對正弦的定義(圓心角所對的弦長)及餘弦的定義(圓心角之補角所 對的弦長,他稱之為半圓的剩餘,remainder of the semicircle),以托勒密定理(後 人以其名字命名的定理:圓內接四邊形對角線的乘積等於對邊的乘積和)可以證 明現今所謂的和角、差角、半角公式。. -14-.

(21) 2.阿拉.韋發(Abu’l-Wefa,940~998)提出同角三角函數關係如下: tan α :1 = sin α : cos α cot α :1 = cos α : sin α. sec2 α = 1 + tan 2 α csc 2 α = 1 + cot 2 α 下列二個式子,更等價於現在熟悉的正弦的和角公式及差角公式:. sin(α + β ) = sin 2 α − sin 2 α sin 2 β + sin 2 β − sin 2 α sin 2 β sin(α − β ) = sin 2 α − sin 2 α sin 2 β − sin 2 β − sin 2 α sin 2 β. 3.德國天文學家維納(J.Werner,1468~1522) 為了簡化天文計算,率先 使用被稱為“加減術”的方法,即現今的積化和差公式. 1 sin α sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 例如,要計算 6472 × 8847 ,可假設 sin α = 0.6472,sin β = 0.8847 ,從三角函 數表中查得相對應的 α 與 β 值,然後又從三角函數表中查得 cos(α − β ) 與. cos(α + β ) ,根據積化和差的公式就可以得到 sin α sin β 了。這種計算公式成了納 皮爾(J.Napire,1550~1617)與比吉爾(J.Burgi,1552~1632)的對數思想的先 驅。到了 1593 年德國著名的數學及天文學家克拉維斯在其所著《星盤》 (Astrolabium)中,對此公式分三種情形做全面而清晰的證明(Smith,1959)。 4.法國數學家維埃塔(F.Viete)對三角學的貢獻:1571 年在他所著的《三 角形解法之數學準則》是西方世界第一次有人有系統地處理平面及球面三角形解 法,書中六個三角函數全都用到了。他除了發展出三個由函數和化為函數積的公 式,也是第一個寫出現代形式正切定律的人(1580 年左右): -15-.

(22) 在任意三角形中, a, b 分別表示其二個邊長,所對應的角分別為 α , β ,則. tan(. α +β. ) a+b 2 = a − b tan( α − β ) 2 這個定理可用正弦定理及和差化積去證明。 以現代的三角學而言,當三角形兩邊及其夾角已知時(即 SAS ),我們通常 會用餘弦定理來求第三邊,再用正弦定理求出未知的角。如果改用正弦定理,就 沒有這層困擾了,因為假如角 γ 已知,則 可求得. α −β 2. α +β 2. 已知,再由正切定律及正切表就. ,由此就可求出 α 和 β 。在無計算機的輔助下,此種計算方法確實. 較簡單,可惜今日的教科書中已不復出現。. (四)歷史中三角函數定理的證明 在高中數學課程裡,正弦與餘弦定理是兩個非常重要的定理,歷代的數學家 都對這兩個定理作了許多證明,而這當中有些就是現在所謂的「無字證明」,現 在就讓我們來看看:. 1.正弦定理的引理與定理: 歐幾里得在《幾何原本》第三卷命題 20 中提到:「在一圓內,同弧上的圓 心角等於圓周角的兩倍」,由此我們可以馬上得到兩個引申定理:1.在同一個圓, 對同一條弦的所有圓周角都相等(幾何原本第三卷命題 21)。 2.所有對應於直 徑的的圓周角都是直角,這一個定理及兩個引申定理,可以用來證明正弦定理。 正弦定理:若 a , b 和 c 分別表 ΔABC 三內角 ∠A , ∠B 和 ∠C 的對邊長而 ΔABC 的外接圓半徑為 R ,則. a b c = = = 2R sin A sin B sin C -16-.

(23) 證明 1:利用《幾何原本》一個定理及兩個引申定理來證明正弦定理 依∠A 為直角、銳角或鈍角三種情形, 分別驗證等式. a = 2 R 成立. sin A. (1) ∠A 為直角: 因為直徑 BC =2 R = a , 所以. a 2R 2R = = = 2 R. sin A sin 90° 1 (2)∠A 為銳角: A. a a 過 O 作 BC 的中垂線,則 sin α = 2 = R 2R. α. O. a 所以 = 2R 。 sin α. C. B. a b c 同理 = = sin A sin B sin C (3)∠A 為鈍角:. A α. 自 O 作 BC 的中垂線,. B 360° − 2α. a 則 sin(180° − α ) = 2 = sin α R 所以. a = 2R 。 sin α. 同理. a b c = = sin A sin B sin C. 綜合(1),(2)及(3)得知:等式. R. 2α. O. R. C. a = 2 R 成立,故得證 sin A. 證明 2:依 ∠A 為直角、銳角或鈍角三種情形, 分別驗證等式 成立。. -17-. a = 2R sin A.

(24) (1) ∠A 為直角: 因為直徑 BC =2R= a , 所以. a 2R 2R = = = 2 R. sin A sin 90° 1 (2) ∠A 為銳角: 過 B 點作直徑 BD 並連接 CD 因為 ∠A = ∠D (同弧所對的圓周角相等)所以. a a a = = = 2R a sin A sin D 2R (3) ∠A 為鈍角: 過 B 點作直徑 BD 並連接 CD . 因為 ∠A 與 ∠D 互為補角(圓內接四邊形對角互補) 所以 sin A = sin(180 − D ) = sin D. 因此. a a a = = = 2R . a sin A sin D 2R 綜合 (1),(2)及(3)得知:等式. a = 2 R 成立,故得證。 sin A. 2.餘弦定理: 歐幾里得在幾何原本第二卷命題 12 中提到:「在鈍角三角形中,鈍角所對 的邊上的正方形比夾鈍角的二邊上的正方形的和大一個矩形的兩倍。即由一銳角 向對邊的延長線做垂線,垂足到鈍角之間一段與另一邊所構成的矩形」;命題. 13:「在銳角三角形中,銳角所對的邊上的正方形比夾銳角的二邊上的正方形的 和大一個矩形的兩倍。即由另一銳角向對邊的延長線做垂線,垂足到原銳角之間 一段與另一邊所構成的矩形。」. -18-.

(25) 餘弦定理:若 a , b 和 c 分別表 ΔABC 三內角, ∠A , ∠B 和 ∠C 的對邊長,則. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C 證明 1:歐幾里得《幾何原本》中的証明. (1)∠A 為鈍角:(命題 12). C. 作 CD ⊥ 直線 BD 於 D 點 2. 2. BD = ( AD + AB) 2 = AD + 2 AD ⋅ AB + AB. 2. D. 2. 同時加上 CD ,則 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. A. B. 2. CD + BD = AB + AD + CD + 2 AD ⋅ AB BC = AB + AC + 2 AD ⋅ AB 又 AD = AC ⋅ cos(180° − A) = − AC ⋅ cos A BC = AB + AC − 2 AB ⋅ AC cos A 故 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A (2) ∠A 為銳角:(命題 13) 作 CD ⊥ 直線 AB 於 D 點 2. 2. BD = ( AB − AD) = AB − 2 AB ⋅ AD + AD 2. 2. 2. BD + 2 AB ⋅ AD = AB + AD 同時加上 CD 2. C. 2. 2. 2. A. 2. 2. 2. BD + CD + 2 AB ⋅ AD = AB + AD + CD 2. 2. BC + 2 AB ⋅ AD = AB + AC 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. BC = AB + AC − 2 AB ⋅ AD 又 AD = AC ⋅ cos A BC = AB + AC − 2 AB ⋅ AC cos A. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A -19-. D. B.

(26) 證明 2:先證明 a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A : 如圖所示,將 ΔABC 放在坐標平面上,使 A 為原點, B 點在 x 軸上,因為 AB = c ,所以 B 點坐標為 (c,0) 。 C ( x, y ) 為 A 終邊上一點, AC = b ,依廣義. x y , sin A = 得 x = b cos A , y = b sin A b b 即 C 點的坐標為 (b cos A, b sin A) 角三角函數的定義 cos A =. 1. ∠A 為銳角. 2. ∠A 為直角. 3. ∠A 為鈍角. ▲圖 根據兩點距離公式, 得 BC. 2. = ( b cos A − c ) 2 + ( b sin A − 0) 2. = (b 2 cos 2 A − 2bc cos A + c 2 ) + b 2 sin 2 A = b 2 (cos 2 A + sin 2 A) + c 2 − 2bc cos A = b 2 + c 2 − 2bc cos A, 又 BC = a , 所以 a 2 = b 2 + c 2 − 2ab cos A . 用同樣的方法可以證得. b2 = c2 + a2 − 2ca cos B 及 c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C .. -20-.

(27) 證明 3:. c 2 = (b sin θ ) 2 + (a − b cos) 2 ∴ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ. c. b. c2 b sin θ. (b sin θ ) 2. θ b cos θ. (a − b cos θ ) 2. 證明 4:. a. (2a cos θ − b)b = (a − c)(a + c) ∴ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ. 2a cos θ − b. c a. a−c b. a. O. θ. a. 證明 5: 如圖,一等腰梯形 ACBD, ∠ACD = ∠CBD = θ 利用拖勒密定理, D c ⋅ c = b ⋅ b + (a + 2b cos(π − θ )) ⋅ a ∴ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos θ. a + 2b cos(π − θ ). θ. B. c. c. b. A. O a. b. θ. C. 註:托勒密定理:圓任意內接四邊形中,對角線的乘積=兩雙對邊的乘積和 -21-.

(28) 如圖:有一圓及圓內接四邊形 ABCD ,試證: AC × BD = AB × CD + BC × AD 證:作 ∠ABE = ∠CBD ∵ ∠ABE + ∠EBD = ∠CBD + ∠EAD ∴ ∠ABD = ∠CBE (1) ΔABD 與 ΔEBC 中 ∠ABD = ∠CBE 又 ∠ADB = ∠BCA ∴ ΔABD ∼ ΔEBC ∴. BD BC = AD CE. C A. E. D. ∴ BC × AD = BD × CE (2)同理 ΔABE ∼ ΔDBC ∴. B. AB BD = AE CD. ∴ BC × AD = BD × CE ∴ AB × CD = BD × AE 由(1)(2) BC × AD + AB × CD = BD × (CE + AE ) 故 BC × AD + AB × CD = BD × AC. -22-.

(29) 3.和角公式: sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan(α ± β ) =. tan α ± tan β 1 ∓ tan α ⋅ tan β. 證明 1: 角 α 和 β 的頂點都置於坐標平面的原點,並以 x 軸的正向為始邊, 則其終邊與單位圓 O 的交點分別為 A(cos α ,sin α ) 與 B (cos β ,sin β ) , 如下圖所示: 利用兩點間的距離公式,得 2. AB = (cos α − cos β ) 2 + (sin α − sin β ) 2 = cos 2 α − 2 cos α cos β + cos 2 β + sin 2 α − 2 sin α sin β + sin 2 β = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β ) 又利用餘弦定理 2. AB = 12 + 12 − 2 × 1 × 1 × cos(α − β ). = 2 − 2 cos(α − β ) 因此,對於任意角 α 和 β cos(α − β ) = cos β cos β + sin α sin β 都成立. D. 證明 2: 如下圖所示, ABCD 為任意四邊形,. A α. β. 其中一條對角線 AC 恰為直徑, 則 ∠ABC = ∠ACD = 90° 令 ∠BAC = α , ∠CAD = β ,. O C B. 則 BC = sin α , AB = cos α , AD = cos β , CD = sin β , BD = sin(α + β ) 根據托勒密定理 1× sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β. -23-.

(30) 證明 3:如下圖所示. a sin α. a. a α −β. =. -. b. b β. b sin β. b. α b cos β. a cos β. sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β 證明 4:如下圖所示. sin(α + β ) = =. OE OC. AB BD + OC OC. D. B. AB OB BD BC + = OB OC BC OC = sin α cos β + cos α sin β O. CE cos(α + β ) = OC =. C. E. OA CD − OC OC. OA OB CD BC − OB OC BC OC = cos α cos β − sin α sin β =. -24-. β α. A.

(31) [用於教學學習單之和角公式的補充證明]. 補充 1.如圖,設 ABCD 為矩形, AF = 1 , ∠BAE = α , ∠EAF = β , ∠AEF = 90° ,. (1) AE =___ cos β _____ (2) EF =_____ sin β _____. F. D. C. α. (3) BE =__ sin α cos β __ (4) CE =__ cos α sin β __. E. 1. (5) FG =__ sin(α + β ) __。. β α.  FG = BC = BE + CE ,由(3)(4)(5)可得. sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β. A. B. G. (6) AB =__ cos α cos β __ (7) CF =__ sin α sin β __ (8) AG =__ cos(α + β ) __。  AG = AB − BG = AB − CF ,由(6)(7)(8)可得. cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β. 補充 2.如圖,設 ABCD 為矩形, AB = 1 , ∠BAE = α , ∠EAF = β , ∠AEF = 90° ,. (1) AE =___ sec α ___ (2) EF =__ sec α tan β __. F. D. C. α. (3) BE =___ tan α ___ (4) CE =___ tan β ___. E. (5) FG = BE + CE =__ tan α + tan β __. β α. (6) CF =__ tan α tan β __ (7) AG = AB − BG = AB − CF =__ 1 + tan α ⋅ tan β __。  tan(α + β ) =. A. tan α + tan β FG ,由(5)(7)可得 tan(α + β ) = 1 − tan α ⋅ tan β AG. -25-. G 1. B.

(32) 補充 3.如圖,設 ABCD 為矩形, AF = 1 , ∠BAE = α , ∠EAF = β , ∠AEF = 90° ,. (1) AE =___ cos β _____ (2) EF =_____ sin β _____. F. D. C. α. (3) BE =__ cos α cos β __ (4) CE =__ sin α sin β __ 1. α. (5) AD =__ cos(α − β ) __。. α β.  AD = BC = BE + CE ,由(3)(4)(5)可得. cos(α − β ) = cos cos β + sin α sin β. E. A. B. G. (6) AB =__ sin α cos β __ (7) CF =__ cos α sin β __ (8) DF =__ sin(α − β ) __。  DF = CD − CF = AB − CF ,由(6)(7)(8)可得. sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β. 補充 4.如圖,設 ABCD 為矩形, BE = 1 , ∠BAE = α , ∠EAF = β , ∠AEF = 90° ,. (1) AE =___ sec α ___ (2) EF =___ sec α tan β ___. F. D. (3) AB =___ tan α ___ (4) CF =___ tan β ___. α. (5) DF = AG = AB − BG = AB − CF =___ tan α − tan β ___ (6) AD = BC = BE + CE =__ 1 + tan α ⋅ tan β _  tan(α − β ) =. A. E 1. α β. tan α − tan β DF ,由(5)(6)可得 tan(α − β ) = 1 + tan α ⋅ tan β AD. -26-. C. α. G. B.

(33) 4.倍角與半角公式 證明 1: 由和角公式 sin 2θ = sin(θ + θ ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2sin θ cos θ. 證明 2:如圖所示 y. 設 OP = 1. P S. RS = SP = cos θ. 對 ΔRPQ 而言, PQ = 2 cos θ sin θ. 2θ. θ R. O. Q. x. 對 ΔOPQ 而言, PQ = sin 2θ 故 PQ = sin 2θ = 2 cos θ sin θ. 5.棣美弗定理: (cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ 著名的棣美弗定理是棣美弗(Abraham De Moivre)在 1722 年提出,但他卻從 未在他的著作明白敘述過;不過他在 1707 年所發現的相關公式 1 1 1 1 cos θ = (cos nθ + i sin nθ ) n + (cos nθ − i sin nθ ) n 2 2. 可以知道他早已發現了上述定理(棣美弗得到的是對 n 為正整數時,而 1749 年尤拉證明了對任何實數都成立),在許多發表的文章中,他都常引用此定理。 例如他在 1739 年,發表的一篇論文中,他所舉的其中一個例子,是求 81 + 30 3i 的三次方根,利用棣美弗定理可找到三個三次方根分別為. −3 − 5 3i 。 2. -27-. 9 + 3i , −3 + 2 3i , 2.

(34) 第二節理論基礎 一、大學入學考試中心的理論基礎 教師除了注重程序性知識的教學外,對於學生的程序性知識的評量也是重要 的一環。我國九年一貫數學領域的編輯委員認為,數學的運算或計算並不只是機 械式計算操作而已(教育部,2003)。所謂能熟練數學的運算或計算,係指學生 對於給定的已知條件,能夠理解相關的數學概念或選擇正確的演算規則,進行的 純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力,才是演算能力。因為對 於某類型數學問題,連結舊有的基模加以純熟的演算,經常能同時促使新舊數學 觀念的連結與落實。所以演算亦是學生獲得新數學經驗的方法,新的經驗將會再 形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗(李源順,2005)。 現代的數學教育以數學解題為主要課題,明定學生必須擁有概念性、程序性 與解題三大能力。對於評量學生的數學能力,在大學入學考試中心所舉辦與數學 相關的考試中,就命題理念的觀點而言,從學生的認知過程,可將數學考科的基 本能力區分為概念性、程序性及解題能力,從這個角度來談測驗目標,可分為評 量概念性知識、程序性知識及解題能力三類。所謂程序性知識,即評量學生是否 能操作數與符號的運算及估計、正確選擇適當的程序等,其測驗目標即為程序性 知識。以學測數學而言,可能該題是以評量程序性知識為主,但指考則是將程序 性知識列為該題解題步驟中的一個。 因此程序試題的測驗目標是以大學入學考試中心所訂定為參考依據。大考中 心把學生的認知過程分為概念性、程序性與解題能力等三層面,其測驗目標即為 評量這三方面的知能。. -28-.

(35) (一)概念題測驗目標 根據大學入學考試中心考試命題手冊,希望概念題能測出學生是否有︰. A1︰辨識某概念的正、反例 A2︰利用模型、圖形、符號或公式來表達某概念 A3︰確認概念中基本的數學原理(如︰對稱原理、等量公理) A4︰知道定義的條件或性質 A5︰聯結某概念不同的表現形式 A6︰整合各種概念間的關係 A7︰從不同情境中,辨識與解釋符號所表達的概念 A8︰解釋問題中的條件及所涉及的概念 A9︰能診斷概念的錯誤. (二)程序題測驗目標 根據大學入學考試中心考試命題手冊,希望程序題能測出學生是否有︰. B1:能操作數與符號的運算及估算 B2:能正確選擇適當的程序 B3:能讀圖、查表、製作圖表 B4:能檢驗所用的程序無誤. (三)解題能力題測驗目標 根據大學入學考試中心考試命題手冊,希望解題能力題能測出學生是否有︰. C1:能從情境中辨識數學元素並形成問題 C2:能瞭解條件的充分性與一致性 C3:能應用適當的定義、定理或性質 C4:能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C5:能使用、修改或推廣程序 C6:能運用推理能力 -29-.

(36) C7:能檢驗結果的合理性與正確性 C8:能使用數學語言表達解題過程. (四)試題難易分配原則 要如何界定一份試卷的難易,大學入學考試中心對學科能力測驗與指定科目 考試之區分如下的表格,本論文之整卷測驗的計分方式與學科能力測驗相同,故 答對率、得分率與題目難度類別的關係,採表一的分析方式來說明。 表一:(學科能力測驗) 難度類別. 答對率(得分率). 難. 35% 以下. 中偏難. 30%~45%. 中偏易. 35%~60%. 易. 55% 以上. 表二:(指定科目考試) 難度類別. 答對率. 難. 15%~25%. 中偏難. 25%~40%. 中偏易. 40%~55%. 易. 55%~75%. -30-.

(37) 二、普通高級中學 98 數學課程綱要 (一)三角函數的施測範圍 根據普通高級中學數學課程綱要中規範三角函數的施測範圍如下:. 1.數學「必修」教材第三冊 表:第二學年︰數學 III(平面坐標與向量)、4 學分 主題. 子題. 1. 直 角 三 角 形 的邊角關係. 2. 廣 義 角 與 極 坐標 一、三角. 3.正弦定理、餘 弦定理. 4.差角公式. 5.三角測量. 內容. 備注. 1.1 直角三角形的邊角關係(正 弦、餘弦)、平方關係、餘 角關係. 2.1 廣義角的正弦、餘弦、正切 及平方關係與補角關係. 2.2 直角坐標與極坐標的變換. 2.1 cot, sec, csc 置 於選修數學. 3.1 正弦定理、餘弦定理. 4.1 差角、和角、倍角、半角公 式. 4.1 不 含 和 差 化 積、積化和差 公式. 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量. -31-. 5.1 可使用電算機 求出三角函 數值.

(38) 2.數學「選修」數學甲冊 表:數學甲 I、4 學分. 1.1 弧度、弧長及扇形面積公式 1. 一 般 三 角 函 1.2 倒數關係、商數關係、平方 數的性質與 圖形. 關係. 1.3 三角函數的定義域、值域、. 二、三角函數. 週期性質與圖形. 2. 三 角 函 數 的 2.1 波動: 正餘弦的疊合 應用. 2.2 圓、橢圓的參數式 3.1 複數平面、絕對值、複數的. 3. 複 數 的 幾 何 意涵. 極式、複數乘法的幾何意 義. 3.2 棣美弗定理,複數的 n 次方 根. 3.數學選修數學乙冊 表:數學乙 I、3 學分. 二、三角函數. 1.弧度、弧長. 2. 一 般 三 角 函 數的性質與 圖形. 1.1 弧度、弧長及扇形面積公式. 2.1 倒數關係、商數關係、平方 關係. 2.2 三角函數的定義域、值域、 週期性質與圖形. -32-. 2.1 不含不同 週期之三角函 數之疊合.

(39) (二)三角函數的測驗目標 1.數學「必修」教材第三冊 根據普通高級中學數學「必修」課程綱要,希望三角函數考題能測驗學生是 否. 1.. 能了解本章探討一般三角形的邊角關係及其應用。. 2.. 能了解什麼是極座標。. 3.. 能了解什麼是廣義角(廣義角度只需談±360°的範圍,向徑在 r ≥ 0 的範圍即 可,三角函數在超過 360∘的週期意涵留待三角函數章節時再處理)。. 4.. 能透過參考角與補角關係來處理廣義角三角函數的求值。. 5.. 能透過特殊角的三角函數的求值。. 6.. 能熟悉直角坐標與極坐標的變換。. 7.. 三角形的邊角關係就是正弦與餘弦定理。. 8.. 能在向量幾何時,正弦定理發展成外積公式,餘弦定理發展成內積公式。. 9.. 能知道正、餘弦定理有兩種推導方法。. 補充說明: 一種是將三角形切割成兩個直角三角形,再透過直角三角形的面積公式及畢 氏定理可分別推得正弦、餘弦定理。另一是用坐標幾何方式來處理,將三角形一 個頂點置於原點,一邊置於 x 軸,然後再透過面積公式或距離公式來處理。事實 上這兩種方法是等價的。但前者較為根本,後者則較易連結到差角公式與向量幾 何。 課綱的設計是用前者處理銳角三角形的邊角關係,以後者處理鈍角三角形的 邊角關係。以使學生能夠學到兩種處理方法。最後一般三角形的邊角關係談海龍 公式,它是正弦與餘弦定理結合的應用。. 10. 能了解什麼是海隆公式。 11. 能了解什麼是差角公式。 -33-.

(40) 12. 能了解差角公式是計算兩線或兩向量交角的核心公式。 13. 能了解和角、倍角、半角公式。 14. 能應用於三角函數的求值與三角測量。 補充說明: 和差化積與積化和差的題材因涉及不同週期的三角函數的疊合,不需在高中 時處理,此題材應予刪除。. 15. 能透過平面與立體的三角測量,讓學生學會三角的應用。 補充說明:三角測量應注意測量的策略與實用性,不宜出太困難的問題。. 2.數學「選修」數學甲、乙冊 16. 能了解一般三角函數的性質與圖形。 17. 能了解 弧度、弧長及扇形面積公式。 18. 能了解三角函數的倒數關係、商數關係、平方關係。 19. 能了解三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形,包括六種三角函數。 20. 能由 cos2 θ + sin 2 θ = 1 以及倒數關係及商數關係推導出 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 21. 認識 A sin (ω ⋅ t + θ 0 ) ,A 為振幅、 ω ⋅ t + θ 0 為相角的物理意涵。 22. 正餘弦的疊合:透過和角公式,同週期正餘弦函數之合成。 23. 如 a cos (ω ⋅ t ) + b sin (ω ⋅ t ) = A sin (ω ⋅ t + θ 0 ) 。 補充說明:不談不同週期的正餘弦函數的疊合。因此也不談和差化積與積化和差 的公式。. 24. 能了解圓、橢圓的參數式。 25. 能了解複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。 26. 能了解棣美弗定理,複數的 n 次方根。 補充說明:複數的 n 次方根的僅談根的求法,以及複數的等比級數, -34-.

(41) 如1 + ω + ω 2 + 如. + ω n −1 ,不宜做根的變形之級數問題,. 1 1 + + 1− ω 1− ω2. +. 1 。 1−ωn. -35-.

(42) 三、程序試題的探討 本研究所指稱之程序試題,主要是依據程序性知識所發展出的試題。程序性 知識為有關如何完成某事的流程、探討方法以及使用技巧、演算、記述和方法的 規準,根據大學入學考試中心考試命題手冊,希望程序題能測出學生是否具有下 列所指出的程序性能力:(一)能操作數與符號的運算及估算;(二)是否能正 確選擇適當的程序;(三)是否能讀圖、查表、製作圖表;(四)是否能檢驗所 用的程序無誤。因此程序性知識的文獻探討對於良好的程序試題的開發有其必要 性,分述如下:. (一)程序性知識的了解是數學能力之一. 有關數學能力中的程序性知識,簡言之,程序性知識是知道如何完成事情的 知識(Gagne,Yekovich,C.W.& Yekovich,F.R.,1993),國內外許多數學教育研 究者與數學家針對數學教育目標,提出不同的數學能力,都包含了程序性知識的 能力。早在 1976 年 Krutetskii 從數學思考的基本特質中,就提出了以數字與文字 符號運算等九項要素。而 NCTM 在“Principles and Standards for School. Mathematics”的“Curriculum & Evaluation”中指出數學的學習應強調相關的知識 有:能將解答與策略一般化到新的情境;能使用口語、書寫、具體、圖像圖表及 代數模式化情境;能指出日常語言與數學語言、符號的相關;瞭解表徵、討論、 和讀寫數學是學習和使用數學不可缺少的一部分;能使用模式、已知事實、性質 及關係解釋自己的思考;能連結概念與程序性知識,能使用圖表、數值、代數和 口語的數學模式或表徵,探究問題及描述結果;能指出不同概念或程序的表徵之 間的關係。 近年來美國國家研究院(National Research Council,NRC,2001)的研究報 告中指出,學生的五種數學能力就如同五股相互交織的繩索,緊密、整合地發展,. -36-.

(43) 才能發揮其功能,其中二種為(一)流暢運算能力:彈性地、準確地、有效地及 適當地執行程序技巧;(二)選擇策略的能力:能形成、表徵集解決數學問題。 這二種都是程序性知識。 美國 NAEP(2002)認為數學能力可以看成學生在特定的數學知識內展現他的 數學能力。數學能力指的是概念性了解(Conceptual Understanding)、程序性知識. (Procedural Knowledge)和解題(Problem Solving)三個因子。此與國內大學入學考 試中心所訂定的測驗目標極為類似,我國大學入學考試中心(林福來,1994)在進 行學生試題分析時也採用此一數學能力做為分析的向度。其中程序性知識指的 是: 1.正確的選擇和應用程序; 2.使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性; 3.擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。 而 TIMSS 將數學能力分類中的事實及程序的理解:記憶、辨識、計算、工 具的使用;以及解決日常問題:選擇策略、形成策略、闡明運用知識、檢驗結果, 這二種能力也是程序性知識。 過去十年來的數學教育改革者,排斥傳統計算程序的練習,因為他們認為傳 統的數學教學,過於重視形式程序計算,而忽略數學在日常生活中的應用,對數 學概念又不求甚解,因此無法有效率、有策略的解題。所以教學過程中便淡化了 「計算」,認為計算就等同於被公式、做練習。但程序性為何列入數學解題的三 種能力之一呢?其實所謂能熟練數學的運算或計算,係指在能夠理解概念或計算 規則下,所進行的有效率、純熟無誤的演算。要具有此種能力,必須培養數字感,. -37-.

(44) 且能在運算中觀察與學習較有效率的計算方式,因正確有效率的計算,不但能讓 學生集中心思,提高信心,內化成為一種基模,並過渡到其他知識的學習。 教師除了注重程序性知識的教學外,對於學生的程序性知識的評量也是重要 的一環。我國九年一貫數學領域的編輯委員認為數學運算或計算並不只是機械式 計算操作而已(教育部,2003)。所謂能熟練數學的運算或計算,係指在能夠理 解數學概念或演算規則的情況下,所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念 與計算結合的能力,才是演算能力。某類型數學問題演算的純熟,常能同時促使 新舊數學觀念的連結與落實。演算亦是學生獲得新數學經驗的方法,新的經驗將 會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗(李源順,2005)。. (二)程序性知識. 根據詹姆士(James Hiebert)在 1986 年所提出對程序性知識的看法,認為 程序性知識是由兩個不同的部分所組成。第一個部分是數學的形式化語言或是符 號表徵系統;另一個部分是數學作業所需要的運算邏輯或是規則。第一個部分有 時也被稱做數學的“形式”,這包括了用來表徵數學概念的符號,以及在可以接受 的形式中用符號來表示句法的規則。例如:我們都能了解這樣的表示式. sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ,在語句的結構上是可以被接受的,而 sin(α + β ) = sin α + sin β 就無法接受了。 表徵是指心智過程模式化所使用的符號系統,如圖形、符號、語言文字、具 體操作物,也就是學生內心的概念轉為看得見的、顯著的具體化之外的表現。學 生了解符號表徵所代表的意義之後,就會利用符號來掌握概念,對符號進行運 思、操作、運算,以進行學習。如在坐標平面上透過以原點為圓心的圓,可以進 行對廣義角三角函數的運思。. -38-.

(45) 程序性知識的第二個部分是由一致的規則、運算邏輯或是解數學作業的程序 所組成,這是有規定的步驟,而且是要一步一步的完成作業。我們所描述的這個 程序可以被特徵為一個生產系統,程序的順序是從已知狀態(問題的敘述)指向 目標狀態(答案)。為了要完成作業,必須先輸入開始的程序操作,按程序序列 的步驟一步一步進行操作,然後得到程序上的結果。一個關鍵的特徵就是這些步 驟被執行在一個被規定的線性序列中,唯一需要執行的程序就是在規定步驟 n 之 前,必須要先完成規定步驟 n − 1。如同我們在用數學歸納法證明對所有的自然數 皆成立一般,「(1)當 n = 1 時,該敘述會成立;(2)假設當 n = k 時該敘述成 立,則也會導致 n = k + 1 時,該敘述亦成立。」如此循序漸進,對所有的自然數 皆成立。 學校數學作業常用到的就是符號操作程序,因為學生在學校經過幾年的數學 教育之後,通常使用的就是符號了,學生經常是以符號式的型態表示問題,如整 數的加法、小數與分數之間的轉換、度度量與弧度量的轉換、三角函數與邊長比 值的關係...等等。其重要性是不可被低估的,這表示學生的程序性知識的學 習與考試通常就是處理一個狹窄但是關鍵的程序。在生產系統中,已知的狀態就 是符號的型態(例如: sin 2 43° + sin 2 47° = □),每一個程序的步驟就是認知到要 去接收型態然後變成其他的型態,一步一步接著來,一直到數字產出也就是得到 了答案。整個程序的輸入與輸出都是視覺上的符號型態,所以也叫做“視覺管理 順序”(visually-moderated sequence),如此的程序就是學校數學的大部分。 另一種程序是解題策略、在具體物上的操作活動、視覺上的圖表、心像或是 其他非數學系統中的標準符號,這樣的程序被學齡前的孩童、較年長的孩童對“非 學校”(nonschool)作業、學生在學校偶而也會廣泛的使用著。例如年紀小的孩 童,使用多種計算策略以解決口語所呈現的加法或是減法的問題(Carpenter,本 卷) 。一個需要非符號程序的學校作業例子,是幾何學上的尺規作圖(Schoenfeld, 本卷),有一定的作圖次序。此處的重點是程序, 某些程序操作的是所寫的數 -39-.

(46) 學符號,而某些卻是作用於具體物、視覺圖像或是其他實體上(James Hiebert,. 1986)。 一個程序系統的重要特徵是它的結構,程序被分層級的安排,因此某些程序 以子程序(subprocedures)的形式被嵌入在其中。整個序列就是一步接著一步的 指示或子程序能被特徵成為超程序(superprocedure)。 建立超程序的優點是: 所有順序的子程序可以經由單一個超程序所提取。例如,海龍公式求已知三邊長 之三角形面積而言,我們通常使用 3 個子程序︰. 1 1. ΔABC 面積= bc sin A , 2 2.利用 sin A = 1 − cos 2 A = 1 − (. b2 + c2 − a 2 2 ) , 2bc. 3.計算根號內的數值或因式分解得 ΔABC = s ( s − a)( s − a )( s − c) ,其中. s=. a+b+c 。經過這樣的程序,以後我們求任意三角形的面積時,不需透過每 2. 一個程序去操作,而是單獨由一個超程序便可解決了。 總之,數學的程序性知識包含這兩種,一個是可接受的符號結構,並且熟悉 系統中的個別符號和語法慣例;另一個是解決數學問題所產生的規則或程序組 成。學生所掌握的許多程序是一連串符號操作的規定,然而程序性知識也包含了 去解決非直接操作符號問題的策略。或許程序性知識和概念性知識之間的最大的 不同是:程序性知識中的主要關係是在使用一系列線性子程序和超程序“之後”。 相反的,概念性知識則是充滿於許多類型的關聯。 依據修訂後布魯姆(Bloom)的認知領域教育目標的知識向度之架構所分類 的程序性知識(procedural knowledge),指的是如何去做某件事、探索的方法、 以及使用技能、算則、技巧及方法的標準。細分為下列三項: -40-.

(47) 1.特定學科的技能與算則的知識(knowledge of subject-specific skills and algorithms):程序性知識能被表示成一序列步驟,整個合起來稱為程序 (procedure)。這些步驟有時候是有固定順序,有時候則需要判斷何者先做。使 用程序知識的結果常得到事實知識或概念知識。. 2.特定學科的技巧與方法的知識(knowledge of subject-specific technique and :它指的是由觀察實驗或發現一致性看法(consensus) 、協議(agreement) methods) 或科學的基準(norm)。一般他反映出該學科專家如何思考與處理問題,而不 是結果。 3.決定何時使用是當程序的準則的知識(knowledge of criteria for. determining when to use appropriate procedures):知道何時使用哪一個程序,就 如同專家知道何時與何處要使用哪些合適的程序知識(Lorin W. Anderson,. 2001)。. (三)程序性知識與概念性知識的區別. 這兩種類的數學知識在二十世紀中使用了不同的名稱來區別不同的型態,例 如皮亞傑區分概念性理解與成功的行動;Tulving 區分語義記憶以及不連貫的記 憶;安德生區分敘述性知識與程序性知識;Scheffler 區分“知道什麼”的命題與“知 道如何”的程序。不論如何區分,大概可以區分成數學的理解知識與技巧知識兩 種。這兩種是同時來自心理學上兩個不同領域的學問:完形心理學強調概念學習 的發展及重要性,是屬於理解,即為概念性知識;行為心理學派則強調既能展現 的重要性,是屬於技巧,即為程序性知識。所以概念性知識重理解,而程序性知 識重技巧。. -41-.

(48) Hiebert 與 Lefevre 在 1986 年時將數學知識界定為概念性知識與程序性知 識,並認為概念性知識乃是「具有廣泛連結的知識,它可以被視為知識間互相連 結的網路」,而程序性知識主要的內涵則為解決數學問題所需要的律則(law)、 算則(algorithms)或程序(procedures)。 數學的概念並不是人類憑空捏造的,它是人類將自然的、社會的及心智的種 種現象抽取特徵並加以抽象化的產物。當數學概念產生時,許多的現象及結構便 產生,並且可以利用這些概念解決現實社會的許多問題。數學知識中需要對概念 進行連結的,我們就稱作「概念性知識」(conceptual knowledge):概念性知識 可以清楚地刻劃成為富有關係性的知識,這些關係散佈在個別的事實與命題之 中,所有的訊息得以連結在網路中。所以它可以被想成是知識的連接網路。不同 知識之間關係的建立能促使概念性知識的發展,而且數學理解是各種知識之間的 高度連結所獲致的結果(Baroody,2003;Hiebert & Carpenter,1992;Skemp,. 1987)。事實上,概念性知識的單元無法是獨立的訊息,根據定義只要認清它跟 其他訊息之間的關係,它就算是概念性知識的一部分了。 數學知識牽涉「算則」時,通常掌握一些”know-how”,「按部就班」操作, 就可以解決問題了。按照數學教育家的觀點,這是「程序性的知識」中的一種。 事實上,「程序性的知識」有兩個面向,在一方面:它是由數學的形式語言、或 符號表徵系統所組成,其教學成效之考察,則在要求學習者在一個可接受的「形 式」中,對於文字符號及其文法規約操作是否熟練與覺察。 另外一個面向:它包括了完成數學作業所使用的算則或法則,也就是說,程 序性知識是依據一種執行步驟的指示之組合,教導吾人作業如何完成。其特徵是 一種預先決定的線性序列之操作。正因為如此,程序性知識有別於其他形式的知 識。. -42-.

(49) 就有意義和機械式的學習而言,有意義是發生在知識單元間的關係被認知, 或者是被創造時。根據我們的定義,概念性知識必須被有意義學習。而機械式學 習是在記憶中以單獨的訊息儲存,並不與任何片段概念性網路相連結。程序能被 機械式學習,即使緊緊地連結到原本內容的表面特徵,程序還是可能被機械式學 習而獲得並且執行。. (四)程序性知識與概念性知識的相關. 至於數學知識中概念性與程序性這兩個面向究竟如何相關呢?前述所引. Hiebert 的理論,Haapasalo 與 Kadijevich 在 2000 年也特別針對目前數學教育研究 文獻中有關概念性與程序性的理論與經驗連結之研究,歸納了四種觀點中提到 「同時活化觀」(simultaneous activation view):概念性是程序性的必要且充分 條件。至於數學史家 Morris Kline,則被認為立足於數學史實,對概念性與程序 性連結抱持「發生觀」(genetic view):程序性是概念性的必要但非充分條件, 亦即在數學知識的發生過程中,程序性面向先行而且是必要的,但不保證引出概 念性(Kline,1980)。被認為持有此一觀點者,還有數學哲學家 Philip Kitcher (1983)與數學教育家 Anna Sfard(1994)以及 Gray & Tall(1994)或 Eddie Gray. & David Tall(1994)。 事實上,一些重要的數學概念會影響到數學解題策略中的程序性知識的使 用,而在程序性知識的操作運算過程中,也可以增進對概念性知識的理解,所以 概念性知識與程序性知識兩者連結一旦建立,概念性知識使數學符號表徵具有意 義,也使得數學程序容易方便於記憶,且有效地應用在數學學習上。因此想獲致 真正的數學理解,概念性知識與程序性知識的連結扮演非常重要的角色 (Baroody,2003)。如同我們所知道的,學生不能勝任於有缺陷的數學知識, 或者是它們兩者皆獲得但依舊是獨立的個體。當概念和程序不被連結時,學生可 -43-.

參考文獻

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第四章 直角座標與二元一次方程式.

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(即直角三角形斜邊中點為此三角形的外心。)

利用和角公式證明 sin2α=2sinαcosα

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其交線垂直於軸三角形的底邊。進而,如果截痕的直徑平行於軸三角形的一邊,那麼任一