一、大考試題舉例
下面有關三角函數解題能力試題是選自81 年至 97 年的推薦甄試、聯考、學 科能力測驗、指考等大型考試。試題列舉按大考類型分類且依年度排列如下:
(一)推薦甄試、學科能力測驗三角函數試題 1. 若3
2π θ π< <2 且 1 sin cos
θ+ θ = ，則5 cosθ = 。 【83.年】
2. 已知圓內接四邊形的各邊長為AB= ，1 BC=2，CD=3，DA= ，則對角線 4 BD 的長度為 。 【86.年】
3. 當x介於0 與2π 之間，直線y= − 與函數1 x y=tanx的圖形，共有幾個交點？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。 【87.年】
4. 下列敘述何者為真？ (A) sin 50 <cos50 (B) tan 50 <cot 50
(C) tan 50 <sec50 (D) sin 230 <cos 230 (E) tan 230 cot 230< 。 【87.年】
5. 設 0
4 θ π
< < ，且2+ 3為x2−(tanθ +cot )θ x+ =1 0的一根，則 tanθ = 。 【88.年】
6. 在ΔABC中，已知∠ =C 60 ，AC=3000公尺，BC=2000公尺，則∠ 為 A 度。(度以下四捨五入) (參考資料： 3 1.732≈ ， 7 2.646≈ ，
21 4.583≈ ) 【88.年】
7. 有一輪子，半徑 50 公分，讓它在地上滾動 200 公分的長度，問輪子繞軸 轉動 度。(度以下四捨五入) 【88.年】
8. 若 3 sinx= ，5
2 x
π < < ，則下列選項何者為真？ (1)π 4
cosx= (2)5 3 tanx= 4 (3) 4
cotx= − (4)3 secx= 5
− (5) 4 5
cscx= 。 【90.年】 3
9. 下列哪些函數的最小正周期為π ？ (1)sinx+cosx (2)sinx−cosx (3)sinx+cosx (4)sinx−cosx (5)sinx + cosx 。 【92.年】
10. 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 8
OD= 。問：直角三角形OAB的高AB 為何？
(1)1 (2) 6− 2 (3) 7 1− (4) 3 (5) 2 。
【95.年】
11. 如圖所示，ABCD為圓內接四邊形：若 30
∠DBC= ，∠ABD=45 ，CD= 6，
則線段 AD= 。 【95.年】
8
O A
B C D
15°
30° 15°
A
B
D
C
12. 三角形ABC中，若D 點在BC邊上，且AB=7， 13
AC= ，BD=7，CD=8，則AD= 。 【95.年】
13. 下列哪一個數值最接近 2？ (1) 3 cos 44° +sin 44° (2) 3 cos54° +sin 54° (3) 3 cos 64° +sin 64° (4) 3 cos 74° + sin 74° (5) 3 cos84° +sin 84°。【95.年】
14. 關於坐標平面上函數y=sinx的圖形和 10 y x
= π 的圖形之交點個數，下列哪一 個選項是正確的？ (1)交點的個數是無窮多 (2)交點的個數是奇數且大於 20 (3)交點的個數是奇數且小於 20 (4)交點的個數是偶數且大於或等於 20 (5)交 點的個數是偶數且小於20。 【96.年】
(二)聯考自然組、指考數甲三角函數試題
1. 設ΔABC中，AB= 、2 AC= +1 3，∠ =A 30 ，則BC長度為 ，∠C 的大小為 度。 【84.年】
2. 假設cosθ +3sinθ =2，且0< <θ 90 ，求cosθ +sinθ之值。 【88.年】
3. sin 3 cos3 sec 2 csc 2
θ θ
θ − θ 可化簡為 (1)sinθ (2)cosθ (3)tanθ (4) cotθ 。 【94.年】
4. 設 cos2 sin2
7 7
z= π +i π
，試問複數1 z− 的絕對值為以下哪一選項？ (1)2sin 7 π
(2)sin2 7
π (3) 2 sin2 7
π (4) 2(1−cos2 ) 7
π (5) 1 cos2 7
− π 。 【96.年】
(二)聯考社會組、指考數乙三角函數試題
8. 設ΔABC為一直角三角形，□BCDE是以BC為一邊向外作出的正方形，若 BC=5、CA=4、AB=3，試求 (1)cos(∠ACD) (2)ΔACD的面積。【87.年】
9. 已知四邊形ABCD中，AB=8、CD=8、AD=3且∠ABC = ∠ADC=60 ， 試求BC之長。 【89.年】
10. 如圖所示ΔABC中，D 為邊BC上一點，
且AB= AC=5，AD= ， BD 24 = ， DC a= ，則a=_______。 【92.年】
11. 若三角形ABC得AB=8，AC=4 5及 1
cos∠BAC= 5，則 sin ACB∠ = 。(化為最簡分數) 【97.年】
二、教科書
目前國內所使用之教科書，有龍騰、翰林、南一、三民、全華、泰宇、康熙 等七家出版社，本論文因篇幅關係，以九五課程暫時綱要所列之章節安排次序，
每一單元列出二題較為適切的程序試題，以供研究參考，並做為教師教學及評量 命題時之依據。但因九八課程綱要課程章節有所更動，本論文將不列入「和、差 與積的互化」。
A.銳角三角函數
1.設θ為銳角， 3
cosθ = ，求5 sin tan 2sin tan
θ θ
θ θ
+
− 之值。 (南一版)
2. 已知ΔABC中，∠ = °C 90 且BC=10，
(１)若 4
sinA= ，求 AB 與5 AC之長。
(２)若 5
cosB=13，求AB 與AC之長。 (全華版) B.三角函數的基本性質
1. 化簡下列各式：
(１)(sinθ +cos )θ 2+(sinθ −cos )θ 2。 (２) 1 1
1 sin+ θ +1 cos+ θ 。 (龍騰版)
2. 已知θ為銳角，
25 sinθ = 7 ，求
θ θ
θ θ
sin 9 cos 4
cos 2 sin 3
−
− 之值。 (泰宇版)
C.簡易測量與三角函數值表
1. 一觀測者在離一旗桿底部B 點 25 公尺遠的 A 點處，測出A B 連線與 A 到旗桿 , 頂端C連線的夾角是30°，求旗桿的高度。 (翰林版)
2. 已知sinα =0.3557，tanβ =2.699，試利用附表中的三角函數值表查出α β, 的 值。 (三民版)
D.廣義角的三角函數
1. 已知 5
cosθ =13且θ 是第四象限角，求θ 的其他三角函數值。 (龍騰版)
2. 化簡 sin(180° −θ) cos(180° +θ) tan(270° +θ) cos(90+ ° +θ)sin(360° +θ)。
(全華版) E.正弦定理與餘弦定理
1. 在ΔABC中，若BC= 2，CA= +1 3，∠ =C 45°， 6 2 cos 75
4
° = − ，試求
AB 與 B∠ 。 (三民版)
2. 在ΔABC中，已知AB=3，BC= 7，∠ = °A 60 ，求AC。 (康熹版)
F.基本三角測量
1. 在甲大樓的樓頂陽臺仰望乙大樓的樓頂，測得仰角26 10'° ；再俯視乙大樓的 基座底部測得俯角50 30'° 。假設此兩大樓的棟距為60 公尺，試求甲、乙的樓 高，並求從以大樓樓頂俯視甲大樓基座底部的俯角。 (泰宇版)
2. 儀器測得汽艇在北50°西距離350 公尺 A 處沿著直線前進。一分鐘後，在原地 O再測得汽艇在北70°東，距離400 公尺的 B 位置。問汽艇在這一分鐘內行 駛了幾公尺。 (龍騰版)
G.三角函數的圖形
1. 設圓O的半徑為3 公分，A ,,B C三點皆在圓周上。
(１)若∠AOB=30°，求AB的弧長。
(２)若 AC 的弧長為 10 公分，求∠AOC並以度表示出來。 (泰宇版)
2. 求出 2 11 5 sin cos tan( )
3 6 3
π + π + − π
的值。 (翰林版)
H.和角公式
1. 求 sin(28° +θ) cos(32° −θ) cos(28+ ° +θ)sin(32° − 之值。 (南一版) θ)
2. 設 0
2 α π
< < ，
π β π2 < < ，且 3
cosα = ，5 12
sinβ =13，求sin(α β+ )與cos(α β+ ) 的值。 (龍騰版)
I.倍角與半角公式
1. 下列選項哪些是方程式8x3−6x+ = 的根？ 1 0
(A)cos10° (B)cos 20° (C)cos 40° (D)cos80° (E)cos160° (龍騰版)
2. 已知π θ< <2π ，且 3
cosθ = ，試求sin5 2 θ ，cos
2 θ 與tan
2
θ 的值。 (全華版)
J.正弦與餘弦函數的疊合
1. 求下列各函數的最大值與最小值：
(１)y= 3 sinx+cosx (２)y=sinx−2cosx (龍騰版)
2. 把函數 ( )f x = 3 cosx−sinx表為rcos(x+ 的形式，其中θ) r>0且0≤ <θ 2π。 (翰林版)
K.複數的極式
1. 設 2(cos sin )
7 7
z π i π
= − + ，試求z 的極式，並求Arg z 。 (康熹版) ( )
2. 求( 3−i)10之值。 (南一版)