根據大考中心關於三角函數的測驗目標以及考試命題手冊，希望程序試題能 測出學生是否具有如下的程序性知識的能力︰
B1：能操作數與符號的運算及估算
B2：能正確選擇適當的程序
B3：能讀圖、查表、製作圖表
B4：能檢驗所用的程序無誤
本研究目的希望發展適合高中學生評量的程序試題，對於程序試題的開發，
以九八課程綱要為編排主軸，參酌九五暫綱及八八課綱編製而成程序題的開發。
研究方式採紙筆測驗，共分為兩個階段，一為預試階段，二為正式施測階段。第 一階段先進行預試後的修題，第二階段再進行對各小題的說明與答對率的統計結 果分析。
一、預試(pilot test)階段
甲、測驗目的：
1.了解本研究試題之可行性 2.增加或修改試題
乙、測驗對象：安康高中一年級學生，男生18 人，女生 20 人 丙、測驗時間：30~50 分鐘不等，視評量內容多寡而增減。
丁、修訂測驗內容：
(一)修改答對率小於 15%的試題
如：
1. 設 ( ) cosf x = x，π π
≤
2 ≤ x ，且x1 <x2，下列選項何者正確?
(1) f(x1)<0 (2) f(x2)>0 (3) f(x1)< f(x2) (4) 1 2 ( )1 ( )2 ( )
2 2
x x f x f x
f + +
>
(5) f x( 2 −x1)< f x( )2 − f x( )1 [註：此題答對率為 8%]
將此題修改為：
設 ( ) cosf x = x，π ≤ x ≤π
2 ，且x1 < x2，選出正確的選項。
(1) f(x1)<0 (2) f(x2)>0 (3) f(x1)< f(x2) (4) f(x1+ x2)>0 (5) f x( 1−x2) 0> 。
2. 在ΔABC中，BC =a,CA=b,AB=c，若a b c 符合, , ( )( ) 8 8
a b c a b c ab
+ + + − =
⎧⎨ =
⎩
則ΔABC的面積為 。 [註：此題答對率為 13%]
將此題修改為：
在ΔABC中，BC =a,CA=b,AB=c，已知∠C=120°且a2 +b2 −c2 =−8，求 ΔABC的面積為 。
(二)將題意不清的試題給予修題 如：
1. 在坐標平面上，點 ( , )P x y 為y=4x3 −3x的圖形上的一點。若x=cos170°，則 P 點的位置在哪一個象限?
(1)一 (2)二 (3)三 (4)四 (5)坐標軸上
將此題修改為：
在坐標平面上， P 為y =4x3 −3x之圖形上的一點。若P 點的x坐標為
° 170
cos ，則P 點的位置在
(1)第一象限 (2)第二象限 (3)第三象限 (4)第四象限 (5)坐標軸上。
2. 若θ 終邊上有一點 ( , 4)x − ，且 4
cosθ = − ，則(1)5 x= (2)tanθ =
將此題修改為：
若(x,−4)為角θ終邊上的一點，且
5
cosθ =−4，則x= 。
(三)正式施測的試題，儘量以創新為主
和小組成員開會討論後，認為一般坊間參考書、課本例題會影響施測結果，
希望正式施測的試題將儘量以創新為主，因此將部份概念題刪除。
如：
1. 下圖是右手食指與拇指伸直,虎口張開 θ 時的手指形狀.
已知此人的手指相關部分長度, BC =15,AC =8, 求下列的值：
(1) 已知AB=17, 求此時虎口張開的角度θ為多少.
(2) 當虎口張開的角度θ =60 時, 求AB 的長度. (龍騰課本)
將此題修改為：
如圖，ABCD是邊長為2 的正方形，ΔBCE為一正三角形，
求AE 的長為 。 A D E
2. 儀器測得汽艇在北50°西距離350 公尺A 處沿著直線前進。一分鐘後，在原地 O再測得汽艇在北70°東，距離400 公尺的B 位置。問汽艇在這一分鐘內行駛 了幾公尺。
因三角測量的題目情境敘述居多，屬於解題能力試題，若能在題目中附有圖 形，則應可屬於程序試題。
將此題修改為：
如圖，在O點儀器測得一輛汽車在北40°西距離350 公尺 A 處沿著直線前進。
一分鐘後，原地O 再測得此汽車在北80°東，距離400 公尺的 B 位置。問汽車 在這一分鐘內行駛了__________ 公尺。
(四)將概念試題、程序試題、解題能力試題合為一張試卷
考量到正式施測試卷，要將概念試題、程序試題、解題試題整合為一張試卷 及測試時間為50 分鐘兩個因素，需要將某些試題予以刪除
如：
1. 若θ 為銳角，且3cos2θ 8sinθ，則
θ θ 1 sin
1 sin
1 1
− +
−
[註：此題答對率 23%]
2. 如右圖, 在△ABC 中, ∠ABC =90°,AB=4,BC = 3, 若以AC為軸將△ABC 翻轉得共平面的
△A ′BC, 則 B′ 點到 AB 的距離為 80°
A
O
400 B 350 40°
[註：此題答對率 17%]
(五)經小組成員討論後，將部份程序試題改歸類為概念試題或解題能
力試題
如：
1. 如圖，有大小兩個正方形的邊長分別為 cosθ 與sinθ，下列選項中何者可表示 斜線部份的面積？
(1)cos2θ −sin2θ (2)sin2θ
(3)cos2θ (4)2sin2− 1 (5)2cos2− 1
將此題歸類為概念試題
2. 如右圖，四邊形ABCD為一正方形，EF ⊥FG，∠CEF =θ，已知EF =a、 FG b= ，下列選項何者可以表示此正方形的邊長？(單選)
(1)asinθ +bcosθ (2)asinθ −bcosθ (3)acosθ −bsinθ (4)acosθ +bsinθ (5)asinθ +btanθ 。
將此題歸類為解題能力試題
θ sin
θ cos
b a
B D
G
A F
C θ
二、正式施測階段
針對學生的評量施測時，無法只對程序試題作施測，故與嘉徽老師之概念試 題及璞政老師之解題能力試題整卷而為一份試題，經過和小組成員與指導教授的 審題及修題，及預試階段後的修題，並把「銳角的三角函數」和「三角函數的基 本概念」合併成一份試卷稱作「銳角的三角函數」；把「三角函數的圖形」與「正 餘弦函數的疊合」合併成一份試卷稱作「三角函數的圖形與疊合」，共計八份試 卷。選取基隆、北縣、彰化、雲林、高縣等五縣市共五所高中，以每節課５０分 鐘的施測時間實施。因篇幅的關係，本論文只節錄出概念性試題。每題皆附有命 題的「答案」、「答對率」與「說明」三部份，以供參考。
三、正式施測試題與結果
A. 銳角三角函數
1. 設θ為一個銳角，已知4sinθ =3cscθ ，求θ=__________。
[答 案] 60°
[答對率] 65%
[說 明] 三角函數的基本關係中的倒數關係，求出sinθ的值後，能判斷角度θ的 大小。目的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。大部分的學生都 清楚sinθ與cscθ的倒數關係，有些錯誤的同學是因將此式化成
sin 3 3
csc 4 tan 4
θ θ
θ = ⇒ = ，答案寫成37°；有些是特殊角的函數值弄錯，
誤植為30°。就答對率而言，此題可視為優良的程序題。
2. 如圖，在ΔABC中，已知∠ABC=90°, AB=4, BD=2，且∠1=∠2，求CD= 。
[答 案] 6
[答對率] 67%
[說 明] 利用等角的三角函數值也會相等的性質，設計一個直角三角形，當知 道∠ = ∠ 時，1 2 tan 1 tan 2∠ = ∠ ，便可求出BC，進而求得CD。目的在
測驗學生是否能正確選擇適當的程序。受測學生只要能看出AB 及 BD 的值，便會利用正切函數求解正確的答案，此題答對率偏高，表示學 生對於正切函數的程序性操作較為熟悉。
3. 如下圖，設四邊形 ABCD 為梯形，且AD//BC, ∠A=90°, AB=2, AD=1， 試求sinθ之值為 。
[答 案] 2 5 [答對率] 85%
[說 明] 利用兩平行線之內錯角相等之性質，學生只要能看出∠ADB=θ，便能 輕易的將問題聚焦於ΔABD中。目的在測驗學生是否能正確選擇適當 的程序。大多數學生皆能利用國中所學平行線截線的性質，此題答對 率也偏高。
A
B C
D
θ
A B
C
D 2
1
4. 如下圖，ΔABC中，AD ⊥BC；已知AB ＝25，sinB＝
5
3，sinC＝
17 15，
則BC＝__________。
[答 案] 28
[答對率] 93%
[說 明] 配合圖形，測驗學生對於銳角三角函數的定義的了解。目的在測驗學 生是否能讀圖、查表、製作圖表。此題為簡易的程序題，學生了解三 角函數的定義及畢式定理，即可求出,除了對數學毫無興趣的的學生 外，皆能順利求出答案。雖然答對率太高，但可看出學生對三角函數 基本定義的程序性計算是明瞭的。
B. 廣義角的三角函數 1. 已知 4
tanθ = ，且3 sinθ <0，選出正確的選項？（多選）
(1) 4
sinθ = − (2)5 3
cosθ = − (3)5 4 sin(180 )
θ 5
° − =
(4) 4
tan( 630 ) θ 3
− ° − = − (5) 4 cos(360 )
θ 5
° − = − 。
[答 案] (1)、(2)
[答對率] 43%
[說 明] 由 4
tanθ = ，且3 sinθ <0，判斷θ 的象限角，在求出正確的選項。目的 在測驗學生是否能操作數與符號的運算及估算。由學生作答可知，對 於第二及第三象限角的三角函數，部分學生還是會混淆，但對第四象 限角較為熟悉，建議老師可針對個人再給予導正。
2. 如右圖，已知ABCD為矩形，AB=6,AD=4，E 為 AB 之中點，且∠BED=θ， 求cosθ = 。
[答 案] 3
− 5 [答對率] 41%
[說 明] 利用θ的補角為180° −θ，cos(180° −θ)= −cosθ ，由廣義角的程序性操 作即可得到正確答案。目的在測驗學生是否能操作數與符號的運算及 估算。答錯的同學答案多數為3
5，表示同學會將此聚焦於ΔADE中，
但忽略了cos(180° −θ)= −cosθ 的轉換。
3. 如附圖所示，P ( – 4 , 3 ) 為廣義角θ的終邊上一點，選出正確的選項？
(1) 3
sinθ = (2)5 4 cosθ = 5 (3) 3
cotθ = (4)4 3 tanθ = − 4 (5) 5
secθ = − 。 4
[答 案] (1)、(4)、(5)
[答對率] 82%
[說 明] 藉由讀圖，對於三角函數廣義角的認知，即可得到答案。目的在測驗 學生是否能讀圖、查表、製作圖表。同學對於廣義角的定義大多熟悉 並且熟練，故此題答對率偏高。
D
A B
C
E θ
4. 若(x,−4)為角θ 終邊上的一點，且
5
cosθ =−4，則x=__________。
[答 案] 16
− 3 [答對率] 35%
[說 明] 藉由θ 所再的象限角中邊上的一點，及cosθ 的值，計算出x的值。目 的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。有些同學沒注意到θ 的位 置，有些直觀認為斜邊長為5，所以x= −3，有些已將(x,−4)畫在坐 標平面上，但無法用帶數的方式表示cosθ 的值，故無法正確的求出答 案。
C. 正弦定理與餘弦定理
1. 如圖，ABCD是邊長為2 的正方形，ΔBCE為一正三角形，
求AE 的長為 。
[答 案] 6− 2
[答對率] 63%
[說 明] 由隨手可得的圖形、資料，可將情境問題作餘弦定理程序性的操作，
即可求得答案。目的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。此題在 國中參考書中為求角度的類似問題，由圖形及敘述很容易求得
30
∠ABE= °，再利用餘弦定理便可求得AE 的長度。答錯的同學大多 是無法處理根式的化簡，整體而言，此題答對率頗高。
A
B C
E D
2. 在ΔABC中，已知AB=8, ∠ =A 120°，且ΔABC之面積為12 3，求AC長為 _________。
[答 案] 6
[答對率] 76%
[說 明] 在眾多的求三角形面積公式中，設計一題可讓學生選擇與正弦有關的 面積公式。目的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。答錯的同學 多因不了解三角形面積等於1
2AB ACi sinA而無法作答，少數同學因誤 植120°的正弦值而錯誤。
3. 在ΔABC中，∠A=30°, BC=6公分，則ΔABC的外接圓半徑為__________。
[答 案] 6
[答對率] 80%
[說 明] 由正弦定理與外接圓半徑的關係所設計出的程序題。目的在測驗學生 是否能正確選擇適當的程序。答錯的同學多因不了解正弦定理與三角 形外接圓的關係而無法作答，少數同學因誤求外接圓的直徑而錯誤。
4. 在ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c，已知∠C =120°且a2 +b2 −c2 =−8，求 ΔABC的面積為 。
[答 案] 12
[答對率] 61%
[說 明] 利用餘弦定理可求出ab之值，再利用 1 2 sin ABC ab C
Δ = 即可求出面
積，希望同學能活用本單元所教授的公式的程序性操作。目的在測驗 學生是否能正確選擇適當的程序。錯誤的同學是無法由
2 8
2
2 +b −c =−
a 的條件聯想到使用餘弦定理的程序操作，或是以求出
ab之值，卻無法求得三角形的面積，但整體答對率頗高。
D. 三角測量
1. 根據右表，試問下列何者正確?
(1)sin 26° ≈0.4384 (2)cos 29° ≈0.4848 (3)cos 63° ≈0.4540 (4)tan 28° ≈0.5318 (5)sin 24 30 ' 0.4147° ≈
[答 案] (1)、(4)、(5)
[答對率] 26%
[說 明] 在三角測量中，學生學會查表是非常重要的，題目設計擷取三角函數 表得一部份。目的在測驗學生是否能讀圖、查表、製作圖表及是否能 操作數與符號的運算及估算。錯誤類型有：不會利用餘角關係；不會 利用商數關係及不會利用內插法。
2. 如圖，在O點儀器測得一輛汽車在北40°西距離350 公尺 A 處沿著直線前進。
一分鐘後，原地O 再測得此汽車在北80°東，距離400 公尺的 B 位置。問汽車 在這一分鐘內行駛了__________ 公尺。
[答 案] 650
[答對率] 69%
[說 明] 三角測量的題目大部分屬於解題，程序性試題較少，若在情境描述下 能附帶圖形，則屬於程序性試題，此題由所附圖形知利用餘弦定理便 可解題，目的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。學生因題目已 附有圖形，而且是特殊角，較易答對，惟數值較大，亦或是學生無法
[說 明] 三角測量的題目大部分屬於解題，程序性試題較少，若在情境描述下 能附帶圖形，則屬於程序性試題，此題由所附圖形知利用餘弦定理便 可解題，目的在測驗學生是否能正確選擇適當的程序。學生因題目已 附有圖形，而且是特殊角，較易答對，惟數值較大，亦或是學生無法