理論基礎

一、大學入學考試中心的理論基礎

教師除了注重程序性知識的教學外，對於學生的程序性知識的評量也是重要 的一環。我國九年一貫數學領域的編輯委員認為，數學的運算或計算並不只是機 械式計算操作而已（教育部，2003）。所謂能熟練數學的運算或計算，係指學生 對於給定的已知條件，能夠理解相關的數學概念或選擇正確的演算規則，進行的 純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力。因為對 於某類型數學問題，連結舊有的基模加以純熟的演算，經常能同時促使新舊數學 觀念的連結與落實。所以演算亦是學生獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會再 形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗（李源順，2005）。

現代的數學教育以數學解題為主要課題，明定學生必須擁有概念性、程序性 與解題三大能力。對於評量學生的數學能力，在大學入學考試中心所舉辦與數學 相關的考試中，就命題理念的觀點而言，從學生的認知過程，可將數學考科的基 本能力區分為概念性、程序性及解題能力，從這個角度來談測驗目標，可分為評 量概念性知識、程序性知識及解題能力三類。所謂程序性知識，即評量學生是否 能操作數與符號的運算及估計、正確選擇適當的程序等，其測驗目標即為程序性 知識。以學測數學而言，可能該題是以評量程序性知識為主，但指考則是將程序 性知識列為該題解題步驟中的一個。

因此程序試題的測驗目標是以大學入學考試中心所訂定為參考依據。大考中 心把學生的認知過程分為概念性、程序性與解題能力等三層面，其測驗目標即為 評量這三方面的知能。

(一)概念題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望概念題能測出學生是否有︰

A1︰辨識某概念的正、反例

A2︰利用模型、圖形、符號或公式來表達某概念

A3︰確認概念中基本的數學原理(如︰對稱原理、等量公理) A4︰知道定義的條件或性質

A5︰聯結某概念不同的表現形式 A6︰整合各種概念間的關係

A7︰從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 A8︰解釋問題中的條件及所涉及的概念

A9︰能診斷概念的錯誤 (二)程序題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望程序題能測出學生是否有︰

B1：能操作數與符號的運算及估算 B2：能正確選擇適當的程序

B3：能讀圖、查表、製作圖表 B4：能檢驗所用的程序無誤 (三)解題能力題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望解題能力題能測出學生是否有︰

C1：能從情境中辨識數學元素並形成問題 C2：能瞭解條件的充分性與一致性

C3：能應用適當的定義、定理或性質

C4：能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C5：能使用、修改或推廣程序

C6：能運用推理能力

C7：能檢驗結果的合理性與正確性 C8：能使用數學語言表達解題過程 (四)試題難易分配原則

要如何界定一份試卷的難易，大學入學考試中心對學科能力測驗與指定科目 考試之區分如下的表格，本論文之整卷測驗的計分方式與學科能力測驗相同，故 答對率、得分率與題目難度類別的關係，採表一的分析方式來說明。

表一：(學科能力測驗)

難度類別 答對率(得分率)

難 35% 以下

中偏難 30%~45%

中偏易 35%~60%

易 55% 以上

表二：(指定科目考試)

難度類別 答對率

難 15%~25%

中偏難 25%~40%

中偏易 40%~55%

易 55%~75%

二、普通高級中學 98 數學課程綱要

(一)三角函數的施測範圍

根據普通高級中學數學課程綱要中規範三角函數的施測範圍如下：

1.數學「必修」教材第三冊

表：第二學年︰數學III（平面坐標與向量）、4 學分

主題 子題 內容 備注

1. 直 角 三 角 形 的邊角關係

1.1 直角三角形的邊角關係(正 弦、餘弦)、平方關係、餘 角關係

2. 廣 義 角 與 極 坐標

2.1 廣義角的正弦、餘弦、正切 及平方關係與補角關係 2.2 直角坐標與極坐標的變換

2.1 cot, sec, csc 置 於選修數學 3.正弦定理、餘

弦定理 3.1 正弦定理、餘弦定理

4.差角公式 4.1 差角、和角、倍角、半角公 式

4.1 不 含 和 差 化 積、積化和差 公式

一、三角

5.三角測量 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量

5.1 可使用電算機 求 出 三 角 函 數值

2.數學「選修」數學甲冊 表：數學甲I、4 學分

1. 一 般 三 角 函 數的性質與 圖形

1.1 弧度、弧長及扇形面積公式 1.2 倒數關係、商數關係、平方

關係

1.3 三角函數的定義域、值域、

週期性質與圖形 2. 三 角 函 數 的

應用

2.1 波動: 正餘弦的疊合 2.2 圓、橢圓的參數式

2.1 不含不同 週期之三角函 數之疊合

二、三角函數

3. 複 數 的 幾 何 意涵

3.1 複數平面、絕對值、複數的 極式、複數乘法的幾何意 義

3.2 棣美弗定理，複數的 n 次方 根

3.數學選修數學乙冊 表：數學乙I、3 學分

1.弧度、弧長 1.1 弧度、弧長及扇形面積公式

二、三角函數

2. 一 般 三 角 函 數的性質與 圖形

2.1 倒數關係、商數關係、平方 關係

2.2 三角函數的定義域、值域、

週期性質與圖形

(二)三角函數的測驗目標

1.數學「必修」教材第三冊

根據普通高級中學數學「必修」課程綱要，希望三角函數考題能測驗學生是 否

1. 能了解本章探討一般三角形的邊角關係及其應用。

2. 能了解什麼是極座標。

3. 能了解什麼是廣義角(廣義角度只需談±360°的範圍，向徑在 r≥0的範圍即 可，三角函數在超過360∘的週期意涵留待三角函數章節時再處理)。

4. 能透過參考角與補角關係來處理廣義角三角函數的求值。

5. 能透過特殊角的三角函數的求值。

6. 能熟悉直角坐標與極坐標的變換。

7. 三角形的邊角關係就是正弦與餘弦定理。

8. 能在向量幾何時，正弦定理發展成外積公式，餘弦定理發展成內積公式。

9. 能知道正、餘弦定理有兩種推導方法。

補充說明：

一種是將三角形切割成兩個直角三角形，再透過直角三角形的面積公式及畢 氏定理可分別推得正弦、餘弦定理。另一是用坐標幾何方式來處理，將三角形一 個頂點置於原點，一邊置於x軸，然後再透過面積公式或距離公式來處理。事實 上這兩種方法是等價的。但前者較為根本，後者則較易連結到差角公式與向量幾 何。

課綱的設計是用前者處理銳角三角形的邊角關係，以後者處理鈍角三角形的 邊角關係。以使學生能夠學到兩種處理方法。最後一般三角形的邊角關係談海龍 公式，它是正弦與餘弦定理結合的應用。

10. 能了解什麼是海隆公式。

11. 能了解什麼是差角公式。

12. 能了解差角公式是計算兩線或兩向量交角的核心公式。

13. 能了解和角、倍角、半角公式。

14. 能應用於三角函數的求值與三角測量。

補充說明：

和差化積與積化和差的題材因涉及不同週期的三角函數的疊合，不需在高中 時處理，此題材應予刪除。

15. 能透過平面與立體的三角測量，讓學生學會三角的應用。

補充說明：三角測量應注意測量的策略與實用性，不宜出太困難的問題。

2.數學「選修」數學甲、乙冊

16. 能了解一般三角函數的性質與圖形。

17. 能了解 弧度、弧長及扇形面積公式。

18. 能了解三角函數的倒數關係、商數關係、平方關係。

19. 能了解三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形，包括六種三角函數。

20. 能由cos²θ +sin²θ = 以及倒數關係及商數關係推導出1 1 tan+ ²θ =sec²θ 21. 認識Asin

(

ω⋅ +t θ0

)

，A 為振幅、ω⋅ + 為相角的物理意涵。 t θ₀

22. 正餘弦的疊合：透過和角公式，同週期正餘弦函數之合成。

23. 如acos

(

ω⋅ +t

)

bsin

(

ω⋅ =t

)

Asin

(

ω⋅ +t θ0

)

。

補充說明：不談不同週期的正餘弦函數的疊合。因此也不談和差化積與積化和差 的公式。

24. 能了解圓、橢圓的參數式。

25. 能了解複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。

26. 能了解棣美弗定理，複數的 n 次方根。

補充說明：複數的n 次方根的僅談根的求法，以及複數的等比級數，

如1+ω+ω² + +ωⁿ⁻¹，不宜做根的變形之級數問題，

如 _n

ω ω

ω + + −

+ −

− 1

1 1

1 1

1

2 。

三、程序試題的探討

本研究所指稱之程序試題，主要是依據程序性知識所發展出的試題。程序性 知識為有關如何完成某事的流程、探討方法以及使用技巧、演算、記述和方法的 規準，根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望程序題能測出學生是否具有下 列所指出的程序性能力：（一）能操作數與符號的運算及估算；（二）是否能正 確選擇適當的程序；（三）是否能讀圖、查表、製作圖表；（四）是否能檢驗所 用的程序無誤。因此程序性知識的文獻探討對於良好的程序試題的開發有其必要 性，分述如下：

(一)程序性知識的了解是數學能力之一

有關數學能力中的程序性知識，簡言之，程序性知識是知道如何完成事情的 知識（Gagne,Yekovich,C.W.＆ Yekovich,F.R.，1993），國內外許多數學教育研 究者與數學家針對數學教育目標，提出不同的數學能力，都包含了程序性知識的 能力。早在1976 年 Krutetskii 從數學思考的基本特質中，就提出了以數字與文字 符號運算等九項要素。而NCTM 在“Principles and Standards for School

Mathematics”的“Curriculum ＆ Evaluation”中指出數學的學習應強調相關的知識 有：能將解答與策略一般化到新的情境；能使用口語、書寫、具體、圖像圖表及 代數模式化情境；能指出日常語言與數學語言、符號的相關；瞭解表徵、討論、

和讀寫數學是學習和使用數學不可缺少的一部分；能使用模式、已知事實、性質 及關係解釋自己的思考；能連結概念與程序性知識，能使用圖表、數值、代數和 口語的數學模式或表徵，探究問題及描述結果；能指出不同概念或程序的表徵之 間的關係。

近年來美國國家研究院（National Research Council，NRC，2001）的研究報 告中指出，學生的五種數學能力就如同五股相互交織的繩索，緊密、整合地發展，

才能發揮其功能，其中二種為（一）流暢運算能力：彈性地、準確地、有效地及 適當地執行程序技巧；（二）選擇策略的能力：能形成、表徵集解決數學問題。

才能發揮其功能，其中二種為（一）流暢運算能力：彈性地、準確地、有效地及 適當地執行程序技巧；（二）選擇策略的能力：能形成、表徵集解決數學問題。

在文檔中 高中數學三角函數程序試題的研究 (頁 34-52)