不同程度與環境因素下學生的論證歷程

S18 逐字稿節錄

3. GGB 環境提供學生自行探究、構圖幾何圖形的機會，能促進學生發展 論證歷程，但也有可能是阻礙。如：S09(A1 題)在附圖上想以 GGB 測 量工具測得BĈ 弧長，但透過滑鼠點擊 B、C 兩點所測得的是BC̅̅̅̅距離。

二、 不同程度與環境因素下學生的論證歷程

下列敘述依序以學生程度因素、環境因素論述在PISA 建模過程與 Duval 的幾何認知過程中的論證歷程。

(一)PISA 建模過程─形成

形成過程探討由證據資料(D)到主張(C)的歷程，即 D→C。在這個過程中，

重要的是個體視覺化的形成，可能透過文字轉譯成圖像呈現或初步的主張，亦或 是從附圖中抽取出有意義的數學圖像，因此在形成過程中對附圖作輔助線的動作，

是屬於輔助視覺化的範疇，不涉及構圖等改變圖形結構的輔助線。

以程度因素來看，在 A1 題中，各組(高、中、低)程度的學生在附圖上作輔 助線人數皆為4 位，未作輔助線人數皆為 2 位。然而特別的是高程度組學生 S10 與S12，即便未實際作出輔助線，也不影響其視覺化與解題歷程。在 A2 題中，

題型屬於開放題型，學生的解題會根據題目原文朝向兩個面向，第一：考量距離 最近，以角平分線作圖；第二：考量「分工」一詞，將扇形作三等分線。中、低 程度的學生，有較高的比例將題目理解錯誤，採以第二面向將扇形作三等分線。

以環境因素來看，在A1 題中，G 組與 P 組學生在附圖上作輔助線人數分別

為8 位與 4 位，未作輔助線人數分別為 1 位與 5 位，其中 G 組 S06 與 S09 有操 作GGB 作輔助線，雖然 G 組學生作輔助線的人數較多，但大多學生皆選擇紙本 附圖，使用自己慣用的環境操作。在A2 題中，G 組與 P 組學生在初步的主張大 多都為C2，環境因素在形成過程中並無顯著的影響。然而 P 組學生最終的答案 主張卻為C2+C3 或 C2+C4，原因在於研究者訪談 P 組學生的過程中，都有更進 一步地介入詢問「球若是落在角平分線上，你認為會是誰來防守？」，使得P 組 學生能多考量球落在角平分線上的可能性。

(二)PISA 建模過程─應用

應用過程探討以論據(W)或支持理論(B)來說明主張成立的歷程。

以程度因素來看，在A1 題中，高程度組學生較能直接提供完整且正確的論 據與支持理論來輔助說明主張，較仰賴自身的數學能力；中程度學生多以目測結 果作為初步推論的依據，後續會試圖以論據與支持理論來解釋說明，或是經由研 究者的詢問後才提出相關的說明，但是較容易出現使用錯誤的數學名詞與概念；

低程度的學生會直接使用目測結果作為答案主張。在A2 題中，由於題型屬於開 放型，學生多以論據來說明主張，因此在學生程度因素較無顯著的差異。

以環境因素來看，在A1 題中，P 組學生如同程度因素，程度越低的學生，

越是仰賴目測結果作答。GA 與 GL 組學生則會使用 GGB 作為形成論據與支持 理論的輔助工具，像是GA 組學生無法第一時間以數學事實等論據或支持理論說 明主張時，會先使用GGB 作為驗證主張的工具，後續再去思考相關的數學概念；

GL 組學生則會直接仰賴操作 GGB 的測量工具，後續不會以數學事實來輔助說 明。在A2 題中，因為題目涉及製圖動作，G 組學生選擇操作 GGB 的人數增加，

GGB 不僅提供 G 組學生在製圖上的試探，並且促進學生自行完成解題。P 組學 生則多仰賴直觀推論。

(三)PISA 建模過程─解釋與評估

解釋與評估過程探討以限定修飾詞(Q)或反駁(R)來潤飾主張成立或不成立 的歷程。

以程度因素來看，在A1 題中，高程度的學生在論證歷程中，會隨時監控自

己想法是否符合題目意義，視情況出現驗證與反駁的想法，在此反駁可視為對想 法的質疑與提問。中、低程度學生出現驗證動作的人數會逐漸減少。在A2 題中，

學生程度因素較無顯著的差異。

以環境因素來看，在 A1 題中，P 組學生大多只能以目測作為驗證依據；G 組學生能使用GGB 測量工具測得動點間的距離，並透過拖曳動點進行驗證。在 A2 題中，P 組學生同樣只能以直觀目測的方式作為驗證依據；G 組學生則操作 GGB 測量工具，並拖曳動點觀察。

(四) Duval 幾何認知過程

根據表4-7 與表 4-8 綜合整理出表 5-1，並可搭配圖 2-4 進行以下說明：

表5-1 A1 題學生論證歷程

A1 題 G P

H 0-2-5B-1 0-2-5B-1

A 0-2-5A/5B 0-6(G)-7-5B/5B(誤)-…

0

0--2-5A/5B(誤)

L 0-6(G) 0

0--2-5A/5B/5B(誤)

以程度因素來看，在A1 題中，高程度組學生不受環境影響，直接以自身的 數學能力作答，因此論證歷程為「0-2-5B-1」；中、低程度組的論證歷程就沒有一 致性，學生程度因素沒有明顯的差異，但是可以見得的是中程度組學生論證歷程 仍會經過「5A/5B/5B(誤)」等推理說明。

以環境因素來看，在 A1 題中，對於中、低程度學生有影響，GA 組歷程大 致為「直觀推論→GGB→以數學概念推理」，使用 GGB 作為輔助推理的工具；

GL 組的歷程則是「GGB→推論」，直接仰賴 GGB 作推論。P 組的學生論證歷程 多停留在「0」視覺化以直觀推論，或是經研究者介入後，以「5A/5B/5B(誤)」等 自然語言或數學語言作推理與說明。

根據表4-9 與表 4-10 綜合整理出表 5-2，並可搭配圖 2-4 進行以下說明：

表5-2 A2 題學生論證歷程

A2 題 G P

H 0-6/6(G)-7-5A-… 0-6-7-5A-…

A 0-6-7-5A-… 0-2-5A--…

L 0-6/6(G)-7-5A-… 0--2-5A-…

以程度因素來看，在A2 題中由於題目涉及製圖，經過作圖後比較容易理解，

因此高程度組學生在視覺化後，都以構圖作為第一步動作，之後再以自然語言作 說明，因此論證歷程為「0-6/6(G)-7-5A-…」，其中提高 GH 組使用 GGB 環境的 比例，而PH 組學生因為未提供實體的製圖工具，所以都以估計的方式作圖；中、

低程度組的論證歷程就沒有一致性，學生程度因素沒有明顯的差異。

以環境因素來看，在A2 題中，對於 G 組學生都以製圖為優先動作，而 P 組 的中、低程度學生論證歷程多以直觀推論，或是以「5A」等自然語言作推理與說 明。

三、 GGB 環境在論證歷程中的角色

本研究發現GGB 環境提供中、低程度的學生較多的支持，讓學生有自行試 探及驗證答案的機會。在論證歷程中，學生操作GGB 主要有三個功用，一是取 代手繪作圖；二是測量物件之間的距離；三是拖曳物件，觀察物件拖曳時距離的 變化。

建議

對未來相關研究的建議如下：

一、本研究著重於數學素養導向的幾何論證歷程，並未針對學生的論證進行評 鑑，未來的研究可以針對數學素養導向的論證建立評鑑分類標準，以及探 討其他數學主題，像是代數論證等。

二、本研究採研究者與學生一對一的論證模式，結合問答式與對話式的進行方 式，研究者的主導性較高，未來的研究可以採學生之間的互動，並以其他 模式進行論證活動。

三、在GGB 環境中的九位學生，未讓他們對於軟體能夠熟稔地操作，未來的 研究可以以熟悉Geogebra 軟體的學生進行施測，也許可以看出 Geogebra 在論證歷程中其他可應用的功能及扮演的角色。

四、在紙本環境中，未提供直尺與圓規等實體的製圖工具，未來的研究亦可以 納入實體製圖工具進行施測。

五、本研究未深入探討與發展學生論證歷程中的介入點，這些介入點多數為學 生學習數學的困難點，可以作為教師發展課程的重點。