數學素養導向的幾何論證歷程

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：左台益博士. 數學素養導向的幾何論證歷程. 研究生：丘薇毓. 撰. 中華民國一 ○ 八年ㄧ月.

(2) 摘要近年來各國教育政策多朝向數學素養導向的改革，關注學生如何在快速變遷的社會中，將所學得的數學知識、技能、思維等靈活地應用在生活當中解決問題。因此對於「數學素養」一詞的見解，各國專家學者們出現各自表述的狀況。為避免「數學素養」定義的採用有所偏頗，本研究使用國際學生能力評估計畫(Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA)中對於數學素養的定義，以 Toulmin 論證模式作為主架構，以 PISA 建模過程、Duval 幾何活動認知過程兩個面向分別探討在紙本環境下、提供動態幾何環境下，不同程度的九年級學生在數學論證歷程發展及特色。本研究立意取樣台北市公立國中 18 位九年級學生，其中只有紙本環境下有 9 人、提供紙本與動態幾何環境下有 9 人，各分成高、中、低程度三組不同學習成就的學生進行質性資料分析，並詮釋其論證歷程。研究工具包括論證測驗題目單、動態幾何環境、半結構性晤談記錄、錄影檔、錄音檔。本研究發現 Toulmin 論證模式在 PISA 建模過程中─形成過程探討由證據資料(D)到主張(C)的歷程；應用過程探討以論據(W)或支持理論(B)來說明主張成立的歷程；解釋與評估過程探討以限定修飾詞(Q)或反駁(R)來潤飾主張成立或不成立的歷程。論證歷程的特色： 1.. 論證歷程會因為題目設計而有所不同，其中論證元素─「支持理論」、「反駁」、「限定修飾詞」不一定會在論證歷程中出現。. 2.. 「限定修飾詞」是論證歷程中出現次數最少的論證元素。. 3.. 論證歷程是動態的，每個「主張」皆有可能是下一個「主張」的中介主張，並非如原始 Toulmin 論證架構是靜態的。. 4.. 驗證的動作發生在學生臆測答案或是無法確定自己的主張時，其中又以高程度學生發生驗證的比例較高。. 關鍵字：PISA、數學素養、Toulmin 論證、幾何論證、Duval 幾何認知過程. I.

(3) 目錄摘要........................................................................................................................ I 目錄....................................................................................................................... II 表目錄..................................................................................................................IV 圖目錄................................................................................................................... V 第壹章. 緒論.................................................................................................... 1 研究動機........................................................................................ 1 研究目的與研究問題.................................................................... 2 名詞解釋........................................................................................ 2. 第貳章. 文獻探討............................................................................................ 3 PISA 中的數學素養 ..................................................................... 3 論證與數學論證............................................................................ 8 幾何與動態幾何相關文獻.......................................................... 15. 第參章. 研究方法.......................................................................................... 20 研究設計...................................................................................... 20 研究對象...................................................................................... 20 研究工具...................................................................................... 21 資料蒐集與分析.......................................................................... 23. 第肆章. 研究結果.......................................................................................... 27 PISA 數學素養建模過程 ........................................................... 27 Duval 的幾何認知過程 .............................................................. 57 論證歷程中的介入點.................................................................. 64. 第伍章. 結論與建議...................................................................................... 73 結論.............................................................................................. 73 建議.............................................................................................. 78. 參考文獻.............................................................................................................. 79. II.

(4) 附錄附錄一. 論證元素編碼…………………………………………………..82. 附錄二. 個人工作流程圖……………………………….….……………86. 附錄三. 小組論證圖……………………………………………………172. III.

(5) 表目錄表 2-1. 數學過程與推理論證能力的關係 (OECD, 2017)........................................ 7. 表 2-2. 論證元素定義 ............................................................................................... 11. 表 2-3 Toulmin 模式在 PISA 建模過程中的運作 .................................................. 13 表 3-1. 研究對象 ....................................................................................................... 20. 表 3-2. 題目測驗單 ................................................................................................... 21. 表 3-3. 半結構訪談大綱 ........................................................................................... 22. 表 3-4. 逐字稿編碼 ................................................................................................... 24. 表 3-5. 論證元素編碼 ............................................................................................... 25. 表 3-6. 學生工作編碼 ............................................................................................... 25. 表 3-7. 論證歷程圖小組編碼代號 ........................................................................... 26. 表 4-1. 學生論證歷程背景(A1 題) ........................................................................... 28. 表 4-2. 形成過程中的論證歷程(A1 題) ................................................................... 28. 表 4-3. GL 組在紙本上作輔助線(A1 題) ................................................................ 29. 表 4-4. 學生論證歷程背景(A2 題) ........................................................................... 44. 表 4-5. 形成過程中的論證歷程(A2 題) ................................................................... 44. 表 4-6. S02 作輔助線(A2 題) ................................................................................... 45. 表 4-7 A1 題 G 組學生論證歷程 ............................................................................ 57 表 4-8. A1 題 P 組學生論證歷程 ............................................................................. 58. 表 4-9. A2 題 G 組學生論證歷程 ............................................................................ 60. 表 4-10. A2 題 P 組學生論證歷程 ........................................................................... 60. 表 4-11. 論證歷程中研究者介入次數 ..................................................................... 64. 表 4-12. S06 個人工作流程表之介入點 .................................................................. 66. 表 5-1 A1 題學生論證歷程 ..................................................................................... 76 表 5-2. A2 題學生論證歷程 ..................................................................................... 77. IV.

(6) 圖目錄圖 2-1 PISA 數學素養的建模過程 (OECD, 2017) .................................................. 4 圖 2-2. 論證架構及元素 Toulmin (2003) P.97 ........................................................ 10. 圖 2-3. 幾何解題活動下個體認知互動 (Duval , 1998) .......................................... 16. 圖 2-4. 幾何解題認知歷程模式 ............................................................................... 19. 圖 4-1. A1 題 PH 組的論證歷程圖 .......................................................................... 27. 圖 4-2. S10 作答紙節錄 ............................................................................................ 30. 圖 4-3. S01 作答紙節錄 ............................................................................................ 31. 圖 4-4. S11 作答紙節錄 ............................................................................................ 31. 圖 4-5. S09 操作 GGB 節錄...................................................................................... 32. 圖 4-6. S14 作答紙節錄 ............................................................................................ 33. 圖 4-7. S05 作答紙節錄 ............................................................................................ 34. 圖 4-8. S16 作答紙節錄 ............................................................................................ 36. 圖 4-9. S09 作答紙節錄 ............................................................................................ 37. 圖 4-10. S01 作答紙節錄 .......................................................................................... 38. 圖 4-11. S04 作答紙節錄 .......................................................................................... 39. 圖 4-12. S08 操作 GGB 與作答紙節錄.................................................................... 39. 圖 4-13. S03 作答紙節錄 .......................................................................................... 42. 圖 4-14. S10 作答紙節錄 .......................................................................................... 47. 圖 4-15. S08 操作 GGB 節錄.................................................................................... 48. 圖 4-16. S03 作答紙節錄 .......................................................................................... 49. 圖 4-17. S18 作答紙節錄 .......................................................................................... 50. 圖 4-18. S04 操作 GGB 節錄.................................................................................... 52. 圖 4-19. S14 作答紙節錄 .......................................................................................... 52. 圖 4-20. S12 作答紙節錄 .......................................................................................... 53. 圖 4-21 S15 作答紙節錄 .......................................................................................... 62. V.

(7) 圖 4-22 S16 作答紙節錄 .......................................................................................... 62 圖 4-23. S06 作答紙節錄 .......................................................................................... 63. 圖 4-24 S02 作答紙節錄 .......................................................................................... 65 圖 4-25 S01 試探作圖時的示意圖 .......................................................................... 68 圖 4-26 S05 作答紙節錄，研究者介入給定一點 .................................................. 69 圖 4-27. S17 作答紙節錄 .......................................................................................... 71. 圖 4-28. S13 作答紙節錄，研究者介入給定三點 .................................................. 72. VI.

(8) 第壹章緒論. 第壹章. 緒論研究動機. 為因應現今世界的各種挑戰，個體所需具備的能力成為各國積極關注的重點，究竟擁有哪些技能才能使個體成為一個能實踐自我的人生勝利組？然而教育是一切的根本，也是社會進步與發展的原動力，更是提振國家競爭力的重要基石(教育部，2012)。因此，近年來各國教育改革都強調以素養導向的學習，作為改革的基礎，就不得不提到針對素養的評估─國際學生能力評估計畫(Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA)，是由經濟合作與發展組織（The Organisation for Economic Co-operation and Development，簡稱 OECD）對於能力的關注與調查所發起的，自 2000 年起每三年進行一次，旨在評量全世界 15 歲學生的學力水準，項目包括閱讀素養、數學素養、科學素養。2015 年，在 72 個國家和經濟體中，超過五十萬名學生參與評估，並增加合作式問題解決能力（Collaborative Problem Solving Skills）評量，2018 年要再增加國際素養(Global Competence)的評量。PISA 儼然成為國際間最具影響力的評量之一，其結果深刻影響著各國對於教育政策的評估與發展。在國內現行相對應的學力評估測驗，針對全體九年級學生進行施測，是始於 2014 年正式實施的國中教育會考。教育會考在數學科試題上有個別與以往的重大改革─增加非選擇題型。其目的是在評量國中生運用數學知識解題，並表達其解題思維過程與說明理由的能力，以更全面地的方式了解學生數學能力表現，同時日益重視數學演算、推論及溝通能力，也影響著學校教師的教學重點。因此，培養學生數學論證的能力是有其發展的必要性，鼓勵學生參與數學論證可以幫助他們對數學的理解(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000)。綜合上述，在現今強調素養導向的學習中，學生在數學論證的歷程究竟怎麼運作，成為研究者想要解惑的目標，並期待在未來可以依循此研究結果，設計出以素養為導向的數學論證課程。. 1.

(9) 第壹章緒論. 研究目的與研究問題本研究目的在於探討與分析學生在數學素養中幾何論證的歷程，並加入學生程度與環境因素等探討學生論證歷程為何。. 因此，根據研究目的發展出以下研究問題：一、不同程度的學生在數學素養導向的推理論證歷程有什麼異同？二、不同環境的學生在數學素養導向的推理論證歷程有什麼異同？. 名詞解釋一、數學素養本研究採以 OECD (2017)所定義的數學素養：「在不同情境脈絡中，個體能夠形成、應用及解釋數學的能力，這包括了數學化推理與使用數學概念、程序、事實與工具來描述、解釋與預測現象。數學素養能協助個體認知到數學在世界上扮演的角色，並善用數學工具做出有根據的判斷與決策，成爲具有建設性、參與性及反思能力的公民。」. 二、動態幾何環境由動態幾何軟體所建構的學習環境，其工具本身內含數學概念，而且要有效地操作此工具也需依數學概念與思維策略來執行動作(左台益，2012)。常見的動態幾何軟體如 Geometer Sketchpad、Cabri 或 GeoGebra 等，本研究以 GeoGebra 作為研究工具。. 2.

(10) 第貳章文獻探討. 第貳章. 文獻探討. PISA 中的數學素養素養（literacy）在傳統的解釋上係指一個人的讀寫能力，而現今隨著社會環境變遷，一個人的讀寫能力無法完全代表其受教程度與具備的技能，因此現代廣義的素養係指個人為適應社會生活所需具備的基本能力。素養不僅協助個體開展潛能，獲得成功的個人生活，進而建構功能健全的社會(蔡清田，2011)。因此培養國民的終身學習、社會公民責任等各種社會核心價值，使素養成為各國教育研究的重點，可作為教育目標之重要來源。. 一、建模過程. 學生在數學上該如何準備他們在未來生活可能面臨的挑戰？針對這個問題， PISA 給回覆是─數學素養（mathematical literacy）。在 PISA 2015 對數學素養的定義是：在不同情境脈絡中，個體能夠形成、應用及解釋數學的能力，這包括了數學化推理與使用數學概念、程序、事實與工具來描述、解釋與預測現象。數學素養能協助個體認知到數學在世界上扮演的角色，並善用數學工具做出有根據的判斷與決策，成爲具有建設性、參與性及反思能力的公民。(OECD, 2017). 在這個理念之下，PISA 的試題分為三個向度去設計，分別是情境、數學內容類別、建模過程及其背後涵蓋的數學能力。第一，數學素養的展現在於能否解決現實世界中的問題，因此強調情境的重要性，而情境可分為個人生活(Personal)、職業性(Occupational)、社會性(Societal)、科學性(Scientific)；第二是數學內容類別，包括數量(Quantity)、不確定性與數據(Uncertainty and data)、變化與關係 (Change and relationships)、空間與圖形(Space and shape)；第三則是建模過程及其 3.

(11) 第貳章文獻探討. 背後涵蓋的數學能力，而根據上述定義中，重點在於能積極參與數學，OECD 認為學生作為一個積極問題解決者的核心要素是建模過程(modelling processes)。建模過程是由三個子過程所組成的一個循環圈，其中子過程為形成(formulate)、應用(employ)及解釋與評估(interpret/evaluate)，依序將四個元素串聯起來，元素分別為情境中的問題(Problem in context)、數學問題(Mathematical problem)、數學結果(Mathematical results)、情境中的結果(Problem in results)。建模過程通常首重的是使用有相關性的數學，毋須參與完整的循環圈，特別是在評估的背景下(Niss et al., 2007)。問題解決者會執行循環圈裡的一些過程，或透過多次的循環來修改先前的決策與假設(OECD, 2017)。圖 2-1 為 PISA 數學素養的建模過程，最內層的循環圈為下列主要探討的內容。. 圖 2-1. PISA 數學素養的建模過程 (OECD, 2017). 在建模過程中，「形成」是指個體能夠識別使用數學的機會，然後為特定情境中的問題提供數學式。在形成中，個體能決定從情境中提取必要的數學來分析，建立和解決問題，為現實問題提供數學結構、表徵，並理解問題中的限制和假設，將現實世界轉化為數學世界。具體而言，數學上的形成過程包括以下活動： 4.

(12) 第貳章文獻探討. . 在真實情境中識別問題的數學面向，並確定重要的變量。. . 在問題中識別數學結構（包括規律性、關係和模式）。. . 簡化問題，使其適合數學分析。. . 識別情境中的數學建模和簡化背後的限制和假設。. . 使用適當的變量、符號、圖表和標準模型呈現數學化。. . 以不同的方式呈現問題，包括組織數學概念並作出適當假設。. . 理解和解釋問題中特定的情境語言與以符號和形式語言呈現數學化之間的關係。. . 將問題轉化為數學語言或表徵。. . 識別與已知問題或數學概念、事實或程序相對應的問題。. . 使用科技（例如電子表格或圖形計算器上的列表工具）來描繪情境問題中固有的數學關係。. 在建模過程中，「應用」是指個人能夠應用數學概念、事實、程序和推理來解決數學問題以獲得數學結果。在應用中，個體將展現所需的數學程序進行推導並得到數學結果（例如執行算術計算、解方程式、從數學假設進行邏輯推導、執行符號操弄、從表和圖提取數學訊息、呈現和操弄空間中的圖形，以及分析數據）。他們處理問題情境，建立規律性，確定數學元素之間的連結，並創建數學論證。具體來說，採用數學概念、事實、程序和推理的過程包括： . 制定和實施尋求數學解決方案的策略。. . 使用數學工具（包括科技）來幫助找到準確或近似的解決方案。. . 在找到解決方案時應用數學事實、規則、算法和結構。. . 操弄數字、圖形和統計數據、代數式和方程式，以及幾何表徵。. . 製作數學圖解(diagrams)、圖形(graphs)和結構，並從中提取數學訊息。. . 在尋找解決方案的過程中使用和切換不同的表徵。. . 根據應用數學程序找到的結果進行一般化。. . 反思數學論證，並解釋和驗證數學結果。. 在建模過程中，「解釋與評估」是指個人反思數學解決方案、結果或結論的 5.

(13) 第貳章文獻探討. 能力，並回到現實生活問題的情境下進行解釋。這涉及將數學解決方案或推理回歸到問題的情境中，確定結果在情境中是合理且有意義的。在解釋與評估中，個體可能會被要求在問題情境下建構和傳達解釋和論據，反映建模過程及其結果。具體而言，這個解釋、應用和評估數學結果的過程包括以下活動： . 將數學結果拉回真實世界情境中解釋。. . 在真實問題的情境下評估數學解的合理性。. . 瞭解真實世界如何影響數學程序、建模的結果與計算，以便在情境中作判斷。. . 解釋數學結果或結論在問題情境下是否有意義。. . 瞭解數學概念和數學解的範圍和限制。. . 評斷和辨別解決問題建模的限制。. 二、數學能力. 根據 PISA 定義的數學素養，不是人們擁有或沒有的能力，而是每個人都擁有，差別在於體現出來或大或小的程度，並具有連續性可應用於日常情境中的簡單任務，甚至是需要高級技術的任務(Stacey & Turner, 2015)。因此 PISA 數學素養初期採用丹麥數學家 Mogens Niss (2003)對數學能力的分類，分為兩大類共八種，第一類使用數學提問和回答問題的能力(ability to ask and answer questions in and with mathematics)有四項能力分別為數學思維、擬題與解題、分析與發展數學模式、數學推理；第二類處理和管理數學語言和工具的能力(ability to deal with and manage mathematical language and tools)有四項能力分別為數學表徵、符號化與形式化、數學溝通、工具的使用。到了 PISA 2015，將八項數學能力(mathematical competencies)精簡為七項基本數學能力(fundamental mathematical capabilities)，分別為溝通(Communication)、數學化(Mathematising)、表徵(Representation)、推理論證(Reasoning and argument)、解題策略(Devising strategies for solving problems)、使用符號化、形式化和專業性用語及運算(Using symbolic, formal and technical language and operations)、使用數學工具(Using mathematical tools)。在 PISA 的情境下，永遠不可能真正地將數學思維能力與數學推理能力區分開來，因此將它們 6.

(14) 第貳章文獻探討. 合併為推理論證能力(Niss, 2015)。. 雖然個體在解決問題的歷程中，是不可能單獨使用某項能力就能解決問題，這些能力是相輔相成的，但本研究考量國內學生論證能力不足(洪萬生，2008)，以及美國數學教師協會 National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (1989) 定義「數學素養願景」為個體探索、臆測和邏輯推理的能力，以及有效地使用各種數學方法來解決問題，透過素養這些數學能力應該被發展。. 綜合上述，本研究根據 PISA 試題編製架構考量情境、數學內容知識、數學能力設計測驗題目，以及以建模過程作為學生答案的分析架構，並著重於數學素養中的推理論證能力，PISA 2015 對推理論證能力的定義如下：推理論證能力涉及邏輯上原生的思想過程，包含探索和連接問題元素以提出推論，檢查給定的驗證條件、提供對驗證的陳述或解決問題的方案。(OECD, 2017). 數學素養的建模過程中，推理論證能力在各項子過程所呈現的面向，見下表：. 表 2-1 PISA. 數學過程與推理論證能力的關係 (OECD, 2017) Formulate. Employ. Interpret / Evaluate. 形成. 應用. 解釋與評估. 推. 解釋、辯護或提供驗證解釋、辯護或提供驗證反思數學解決方案，並. 理. 於現實世界中已知的用於決定數學結果或創建支持、反駁的解釋. 與. 或設計的表徵。. 解決方案的過程和程和論證，以適用於此情. 論. 序。. 證. 連接各個資訊以獲得案。. 境問題的數學解決方. 數學解決方案、建立一般化或多個步驟的論證。. 7.

(15) 第貳章文獻探討. 論證與數學論證一、何謂論證. 論證(argumentation)一詞近年來廣泛運用在心理教育相關文獻中(Schwarz & Asterhan, 2010)，甚至於是在一些思維模式中發現論點(argument)是人類思維中的核心，其中發現高層次思考與推理是大多數人生活最重要的方式，它構成了人們持有的信念以及對重要社會問題所持的觀點(Kuhn, 1992)。雖然 argument 及 argumentation 這兩個詞彙的關係是密不可分，但是在緊密中又各自保有自己的意涵及意義。Kuhn & Udell (2003)認為 argument 是指個體用於支持一個主張所構建的產品，兩個或兩個以上的人參與反對主張的辯論對話過程則被稱為 argumentation。同樣地，Duschl & Osborne (2002)也將 argumentation 定義為構建論點(argument)的過程，而 argument 則指論點(argument)的內容。而最廣為人知的是 van Eemeren 等人(1996)對論證的定義，如下：論證(argumentation)是一個口語化且理性的社會活動，對爭議性觀點在通過驗證或反駁等「合理性判斷」(rational judge)之前的主張，其目的在增加或減少閱聽者對爭議性觀點的可接受性。. 綜合上述的定義可以發現 argumentation 是指兩人以上針對某個議題所進行的辯論過程，並能以合理性的語言表達主張，其目的是在於降低彼此對議題的歧異，最後採群體認同的主張以解決問題；argument 則是指在辯論過程中，連結資料與主張間，所提出的合理性論點與支持理論。因此本研究所採取的論證結合 argumentation 的口語對話歷程與 argument 的文字論述，使個體能將思維與觀點等內容系統性地透過口語對話及文字作產出。. 8.

(16) 第貳章文獻探討. 二、論證進行的形式. 從教育的角度來看，教室中的論證又是如何進行的呢？教師的角色在其中是扮演什麼角色？Boulter & Gilbert (1995)提出在英國小學課堂中常見的論證形式，分別是以告知(Informing)、提問(Questioning)、協作解決問題(Collaborative problem solving)三種不同導向的模式。. 第一種以告知為導向的論證過程，會以進行一系列旨在建立立場的連貫陳述，無論是以口語或文字表述，其重點在於陳述者，並不考慮觀眾或聽者的想法。這種以教師為導向的講述式教學，常常依賴教師的權威性，學生是被動的灌輸教師對知識的詮釋，這種形式稱為教導式論證(didactic argument)。. 第二種以提問為導向的論證過程，常以問答式評估 (question-answerevaluation)進行，教師會先對學生們提問，再指定一位學生回答，剩餘學生作為觀眾聆聽與學習，最後教師評估學生的答案，其目的在於透過提問繪製出教師心中的內容架構，但意義上並非直接來自於教師，而是透過不斷提問，讓學生思考以達到概念的釐清，這種形式稱為問答式論證(Socratic argument)。. 上述兩種論證過程，教師對教學知識內容有一定的掌握度，在過程中主要任務是傳遞與鼓勵學生回答問題。而在第三種論證過程則是以協作解決問題為導向，期待學生發現問題並討論自己針對問題的調查與想法，討論的對象可以是教師或同學們，甚至可以擴及更多方的人參與。最終能夠透過彼此的對話精煉出解決方案，或是拓展出更多議題。教師扮演的角色是在整個過程中，掌握學生們的理解，適時地協助學生調節概念之間的過渡。這種形式稱為對話式論證 (dialogic argument)。. 本研究採研究者與學生一對一論證，因此綜合上述第二及第三種論證方式，期待學生能先以自身的能力解決問題，若遇到困難能具體說出無法解決的事件，再透過研究者的提問引導學生思考將後續解題完成。 9.

(17) 第貳章文獻探討. 三、Toulmin 模式. Toulmin (1958)在「The Uses of Argument」著作中提出一個論證模型，與以往形式邏輯方法大相逕庭，不太強調論證是否具有邏輯的有效性，反而關注論證的語義內容與結構，在論證理論上有著開創性的貢獻，並影響後繼無數個論證相關的研究，包括哲學、心理學、法律、政治、科學教育等。Toulmin 論證模型由六種基本元素所組成，每個元素在論證中都有著不同的作用，主張(Claim)是論述者希望說服別人的陳述。證據資料(Data)是論證所依據的基礎，與主張有相關的資料。論據(Warrant)是驗證證據資料與主張之間的關係，像是一個規則、定義。支持理論(Backings)則是比論據再更進一步地提供有力的說明。限制修飾詞 (Qualifiers)是透過修飾詞，提高主張可信度。反駁(Rebuttal)是陳述不會成立的條件還駁斥主張。. 圖 2-2. 論證架構及元素 Toulmin (2003) P.97. 近年來，Toulmin 模型也已經被數學教育研究人員所採用，主要是為了分析學生的論點。像是 krummheuer (1995)將 Toulmin 論證模型運用在數學課堂中，觀察學生們的互動以人種誌(ethnography)呈現論證，並建議在集體的對話式論證中，可以將論證元素簡化為證據資料(Data)─論據(Warrant)─主張(Claim)，以聚焦在思考數學論證的重要內容。Inglis, Mejia-Ramos, & Simpson (2007)則使用 Toulmin 完整的論證模型，強調限制修飾詞(Qualifiers)在數學論證中的重要性，並建議在教學上應培養學生以限制修飾詞(Qualifiers)潤飾論據(Warrant)的能力。Pedemonte. 10.

(18) 第貳章文獻探討. (2007)則以 Toulmin 模型來比較論證、演繹證明或數學歸納證明之間結構性，發現支持臆測的論證與證明之間存在明顯的連續性，但兩者之間通常存在結構性距離。Langsdorf (2011)提出支持理論(Backing)不僅是用以支持論據(Warrant)的作用，也可以為證據資料(Data)添加某種形式的支持。Simpson (2015)是以完整的數學論證進行分析，綜合其他與 Toulmin 論證方案相關的文獻，對證明的分析可以提升教師的洞察力，對於學生達到一定標準的論證水準以及主題中重點的重要性。. 綜合上述，可以發現 Toulmin 論證模式雖然屬於論證元素間的靜態關係，以英文字詞呈現屬於 argument，但在教育研究的操作上，時常以動態論證歷程作為資料蒐集，而這六項論證元素在整個論證歷程各司其職，卻不見得在每一次的歷程循環中皆被強調與經歷，因此本研究採取 Toulmin 完整的六項論證元素，予以分析學生的論證歷程，為了更符應此研究的說明，將論證元素的定義稍作修改與詮釋，如下表 2-2：. 表 2-2. 論證元素定義. 論證元素主張. 定義根據題目的資料，形成你的認為可能的結果與猜測。. (Claim) 證據資料. 與你認為可能的結果與猜測有直接關係的資料，並可支持你主. (Data). 張的事實。. 論據. 以證據資料為基礎，形成主張(結果或猜測)的想法、觀點、事證. (Warrant). 等等的理由。. 支持理論. 用以證明你所提出的理由，包括公式、性質、定理、原理等等的. (Backings). 數學事實。. 限制修飾詞. 考慮你形成的主張，對你的主張添加細微的、精確的描述。在什. (Qualifiers). 麼特定條件限制下，主張才成立。限定詞包括大多數(most)、通常(usually)、總是(always)、從不(never)，絕對(absolutely)、有時. 11.

(19) 第貳章文獻探討. 論證元素. 定義 (sometimes)、超出合理懷疑(beyond reasonable doubt)、很有可能 (probably)、肯定地(definitely)、也許(maybe)、可能(possibly)、當然(certainly)等。. 反駁. 可能推翻主張的事實與證明。在某些情況下，主張並不成立。. (Rebuttal). 四、數學論證的功能與重要性. 現今國內外數學教學，都十分重視推理證明的課程主題，像是 NCTM (2000, p.342)提到推理和證明不是為課程中特殊的時間或主題所保留的活動，而是課堂討論的一部分是自然且持續發生的，無論是在任何數學主題的學習。Niss (2003) 也將數學推理列為中學生應具備八項數學能力之一。Mariotti (2006)認為關於數學教育的重要目標，證明感的發展是普遍的共識，而且現今趨勢是在課程中納入證明主題。. 不難從上述發現，數學推理證明對學生學習數學是具重要性，但在數學推理等形式證明中，牽涉複雜的數學概念以及證明的有效性與邏輯性，甚至是數學語言的嚴密性，對於學生並不是一件容易學習的事情。就連數學家也能意識到他們的一些論點是不能構成形式證明，然而這些數學論證對於他們問題解決卻是至關重要的 (Inglis et al., 2007) 。論證不僅可以充分體現探查過程 (the process of ascertaining)和說服過程(the process of persuading)之間的聯繫。透過論證使個人消除自己對陳述的真實性或虛假性的懷疑過程即是探查過程；而說服過程則是指個體或群體為消除他人對陳述的真實性或虛假性的懷疑過程(Harel & Sowder, 2007)。 Driver, Newton, & Osborne (2000)則認為學習者以論證學習新知識時，不應該只是瞭解知識有著什麼現象(what)，而應該是去瞭解這些知識如何(how)與其他事件的關係，瞭解知識為何(why)重要，與瞭解這知識如何(how)產生，孤立地瞭解當中 12.

(20) 第貳章文獻探討. 任何一個方面都是錯誤的。. 因此數學透過論證教學，不僅能夠使學生面對不同理論與證據時，釐清自己思想的脈絡，亦能訓練學生反思、批判性和高層次思考，使學生提高對知識的理解，或是面對不同觀點時，能與他人進行以合理性論點為基礎的討論、挑戰、質疑和辯論過程，藉此培養具邏輯性的表達能力。正如 Kuhn (1999)指出：「個體和群體控制自己生活最重要方式就是控制自己的思想。」，因此在數學教學上，論證有其發展的必要性。. 五、建模過程中的論證歷程. 研究者針對 PISA 數學素養─「推理與論證」能力在建模過程中的展現與 Toulmin 的論證模式相結合。探討 Toulmin 論證模式在建模過程中，透過論證元素(證據資料、主張、論據、支持理論、限制修飾詞、反駁)來分析學生的論證歷程，以掌握學生對數學的理解。其中建模過程可分為形成(Formulate)、應用 (Employ)、解釋與評估(Interpret & Evaluate)，以下將分項說明，見表 2-3：. 表 2-3 PISA. Toulmin 模式在 PISA 建模過程中的運作 Formulate 形成. Employ 應用. Interpret / Evaluate 解釋與評估. Toulmin. 論證模式. 形成(Formulate)是指將情境中的問題精煉成數學問題的過程，根據 PISA 推理論證能力在形成過程中的任務為：「解釋、辯護、提供驗證於現實世界中已知 13.

(21) 第貳章文獻探討. 的或設計的表徵。」個體從現實世界中現存已知的或設計的問題中，抓取出問題解決所需的證據資料(Data)，提供解釋或辯護自己的理解，更進一步地從證據資料中，得到解決方案等相關初步的數學臆測與猜想，這些臆測與猜想即為論證中的主張(Claim)。在形成的過程中，主要探討從證據資料推論至最後的答案主張，中間也許會經歷某些中介主張，也許透過某些動作可以幫助主張的形成，這些中介主張並非互斥的關係，而是會透過合併推論至答案主張，可能會因為解題的思考順序、訪談時的再次審題、研究者的介入或是 GGB 的使用導致主張之間的轉換與合併。簡而言之，PISA 推理論證能力在形成過程中著重「D→C」的論證歷程。應用(Employ)是指以數學方式解決數學問題的過程。根據 PISA 推理論證能力在應用過程中的任務為：「解釋(Explain)、辯護(Defend)或提供驗證(Provide justification)用於決定數學結果或解決方案的過程和程序。連接各個資訊以獲得數學解決方案、建立一般化或多個步驟的論證。」其中解釋(Explain)是個體對題目的理解；辯護(Defend)是個體對題目的理解提出說明支持自己的理解，在此解釋與辯護可視為論證中的論據(Warrant)。提供驗證(Provide justification)是個體對自己所提出的理由，提供具合理與邏輯性的支持理論(Backings)。簡而言之，PISA 推理論證能力在應用過程中著重於個體為形成的主張提供相關的「W 與 B」的論證歷程。. 解釋與評估(Interpret & Evaluate)是指檢視數學解決方案是否合理地適用於問題情境的過程。根據 PISA 推理論證能力在解釋與評估過程中的任務為：「反思數學解決方案，並創建支持或反駁的解釋和論證，以適用於此情境問題的數學解決方案。」在解釋與評估的過程中，所進行的是反思數學解決方案，會檢視其論據、支持理論、主張等，可能會添加限制修飾詞(Qualifiers)潤飾主張或創建支持或反駁(Rebuttal)的解釋與論證，以確保答案主張適用於問題情境。簡而言之， PISA 推理論證能力在解釋與評估過程中著重於個體為反思數學解決方案所提出相關的「Q 與 R」的論證歷程。. 14.

(22) 第貳章文獻探討. 幾何與動態幾何相關文獻一、 Duval 幾何認知觀點. Duval (1995)指出幾何圖形對於幾何問題情境中的物件關係，可以提供許多直觀的想法，但是卻無法幫助學生深入了解問題的解決方案，使得學生經常盲目地面對幾何圖形。為了分析具啟發性(heuristic)的圖形，Duval 認為學生應從認知理解(cognitive apprehensions)方式著手，將幾何圖形分為四種認知理解：知覺性、構圖性、論述性、操弄性。以下分項說明：. (一) 知覺性理解(perceptual apprehension) 知覺性理解是個體在平面或立體中識別某物(圖形或其表徵)的一種認知理解。可被知覺的圖形與視網膜上的圖形不同，差別在於圖形組織的法則與繪圖的線索。可被知覺的圖形會自動化的整合知覺過程，產生心像保留那些被整合的法則與線索，然而個體亦可能因為這些法則與線索，產生錯誤的知覺性理解(黃哲男，2002)；視網膜上的圖形則會因為實物變化而變化，通常暫留在感官上的覺察。知覺性理解除了完形(gestalts)的辨識，亦可以辨識出圖形中的子圖形及名稱。. (二) 構圖性理解(Sequential apprehension) 構圖性理解是個體在構造圖形或描述其結構的一種認知理解。個體在構造圖形的痕跡（或圖形的基本單元）並非依賴視覺的法則和線索，而是個體對構圖工具的限制(如直尺、圓規、動態幾何軟體)與數學性質的理解。若是個體不理解相關的數學性質與工具的限制，便無法完成預期的圖形，無法表達出圖形性質間的關係，使得圖形無法被瞭解。. (三) 論述性理解(Discursive apprehension) 論述性理解是個體透過言語或文字描述圖形具有的性質或進行推理活動的一種認知理解。圖形所呈現的數學性質無法單由知覺性理解來判定，不是所有人. 15.

(23) 第貳章文獻探討. 對圖形的幾何性質有相同的理解，因此沒有任何說明的圖形是一種模糊的表徵。. (四) 操作性理解(Operative apprehension) 操作性理解是個體觀察圖形時可以在心智或實體上，透過操弄圖形得到解題想法的一種認知理解。操弄圖形的方式大致分為下列幾種： 1.. 分解組合圖形(The mereologic way)：將整個給定的圖形分割幾個不同形狀的區塊，再將這些區塊組合成另一個圖形或子圖形。. 2.. 放大縮小圖形(The optic way)：將圖形放大、縮小、鏡射或傾斜。. 3.. 平移旋轉圖形(The place way)：改變圖形位置或方向。. 以上四種關於圖形的認知理解，Duval 認為圖形要能發揮其功能，必須建立在觸發(evoke)知覺性理解之上，並輔以其他三種認知理解中至少一種的認知理解。個體在使用幾何圖形進行解題活動時，這些認知理解是交互作用的，個體是難以察覺的個別的存在。以個體進行解題活動來說，Duval (1998)則認為應有三種認知過程分別是視覺化過程、構圖過程、推理過程。如圖 2-3 所示，圖中的箭頭表示某個認知過程可以輔助另一個認知過程，其中箭頭 2 為虛線，表示視覺化可以輔助推理，但不見得總是能夠有效。其認知過程的類型及說明如下；. 圖 2-3 幾何解題活動下個體認知互動 (Duval , 1998). 16.

(24) 第貳章文獻探討. (一) 視覺化(visualization) 對於平面或立體圖形表徵的認知過程，可能是單純表象圖形（線條與形狀的組織體），也可能是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可能是根據文字敘述所進行的圖形再現。(吳德邦、馬秀蘭，2003). (二) 構圖(construction) 使用作圖工具(直尺、圓規、幾何軟體的組件)對圖形進行再製的過程。透過構圖有助於學生去發現圖形中的幾何意義。. (三) 推理(reasoning) 使用 5(A)及 5(B)進行論說的過程。見圖 2-3 中，5(A)是指自然地用命名、敘述、論證等一般語言來呈現；5(B)是以具有理論地位的定義、定理等性質來作演繹推論。. 上述三個認知過程，Duval (1998)主張他們應該獨立發展；在教學上應該區分不同的視覺化過程及推理過程；三種認知過程的整合只有在各自獨立的活動趨於成熟後才有可能。本研究以 Duval 對於幾何圖形的四項認知理解、幾何認知過程分析學生在幾何論證上對於圖形是基於哪些認知理解？以及幾何認知過程在論證歷程中是如何運作？. 二、動態幾何環境扮演的角色. 隨著科技的進步，資訊科技融入教學逐漸影響著教育工作者在課程設計上的安排，而資訊科技融入教學的技術可以分為硬體設備與軟體程式等。在硬體設備上不外乎電腦、平板電腦、互動式電子白板等，而在軟體程式上就不勝枚舉了。在數學教學上最先考量以資訊融入教學的課程不外乎幾何相關的單元，其中動態幾何環境已成為近年來國內外數學教育的潮流與重視，尤其是強調動態視覺化的作用(左台益，2007)。 17.

(25) 第貳章文獻探討. 在幾何活動學習上，學習者常需要在腦海中作空間推理的思考，黃哲男(2002) 認為動態幾何可以提供傳統課堂中無法呈現的外部動態表徵，將抽象的概念具象化，提供學習者表徵鏈結的機會。動態幾何環境不僅提供學習者數學概念的視覺圖像，以便於組織和分析數據，並且能保有高準確率與效率進行計算，當學習者操弄科技工具時，他們也較能專注於決策、反思、推理和解決問題的能力(NCTM, 2000)。. NCTM (2000)提到學生在動態幾何環境中拖曳動點，在螢幕上觀察物件形狀的改變，透過與科技工具的互動性有助於學生數學學習。這與 Laborde (1994)認為電腦科技增加與擴大視覺化的可能性，特別是在移動拖曳方面不謀而合。鄭勝鴻(2005)認為動態幾何環境可以引導學生發展論證能力，以及將外在監控系統內化為內在監控系統，意思是透過拖曳功能來檢視作圖正確性內化為在作圖時掌握圖形結構，與能幫助學生整理所學過的作圖步驟、性質、概念，進而解決問題等。動態幾何不僅可以彌補人類短期工作記憶區的不足，而且動態軌跡（animationtrace）功能，可產生以往無法透過紙筆產生的幾何圖形，進而形成新的幾何認知型態(左台益，2007) 。. 三、幾何認知過程中的論證歷程. Duval (1998)以「視覺化」、「構圖」與「推理」組成幾何活動個體認知過程中三個重要的過程，本研究期待發現以 Duval 幾何認知過程的角度剖析學生幾何論證歷程困難點以及未來在幾何教學上可以著墨的地方。. 結合 Duval (1995)所提出幾何圖形的四種認知理解與(1998)所提出的幾何認知過程，不難發現幾何認知過程是建立於個體對幾何圖形的理解與操弄的認知過程。知覺性理解、構圖性理解、論述性理解可分別視為在視覺化過程、構圖過程、推理過程中對於圖形理解的基石。但在幾何活動的認知過程卻不見操作性理解有完美的套入。黃哲男(2002)將 Duval 兩套理論結合並融入「心像操作」於幾何認 18.

(26) 第貳章文獻探討. 知過程，使操作性理解作為心像操作過程中的基礎。. 本研究無意探討心像操作在論證歷程中的角色，但認為操作性理解在實體圖形上的操作可視為幾何認知過程中「構圖」過程，無論實體圖形是在動態幾何環境中，亦或是在紙本環境中。而心智上對圖形的操作則存在各個幾何認知過程中，因此提出新的幾何解題認知歷程模式來分析學生的論證歷程，如圖 2-4。. 圖 2-4. 幾何解題認知歷程模式. 本模式圖改編 Duval 模式圖，並新增數字編號「0」、「6」、「7」，「0」是指視覺化的單元標號，在任何幾何活動的啟動都是以視覺化作為開端，對圖形產生知覺性理解。「6」是指「視覺化→構圖」的歷程，視覺化可提供個體對圖形的直觀感知，也能引發個體直觀操弄構圖工具，對於構圖具有輔助的功能。「7」是指「構圖→推理」的歷程，透過構圖工具的操弄後，能輔助學生進行論述與推理。然而不論是哪個認知歷程，都有可能是輔助或抑制的功能。. 19.

(27) 第參章研究方法. 第參章. 研究方法研究設計. 本研究分為前導性實驗與主要實驗兩個部分，前導性研究施行兩次探討紙本環境下學生的論證歷程，實驗對象第一次為兩位高二學生，第二次為兩位九年級學生，其目的都在測試測驗單語意是否順暢以及是否具有可行性，並觀察學生作答的情況，估算作答與訪談時間約 60 分鐘至 100 分鐘。研究者根據前導性研究結果可以作適當的修正，以確立正式施測的題目敘述，以及為主要實驗提供應注意的事項，使得主要實驗能更加順利。主要實驗探討在動態幾何環境與紙本環境下，學生程度對學生論證歷程的差異與影響，因此研究者以測驗單及半結構訪談大綱與學生進行論證活動，並在過程中全程錄影及錄音，最後將蒐集到的錄影檔及錄音檔轉換成逐字稿，再進行內容分析，找出不同環境與程度學生的論證歷程。. 研究對象本研究的對象是已學習完「樞紐定理」的九年級學生，樣本來自於台北市公立國中 18 位學生，其中在紙本環境下有 9 人；紙本與動態幾何環境下有 9 人，各分成高、中、低程度三組不同學習成就的學生進行實驗訪談與觀察，再以質性分析解釋個案以數學素養導向的推理論證歷程。. 表 3-1. 研究對象學生程度高程度. 中程度. 低程度. 紙本. S10，S11，S12. S15，S16，S17. S13，S14，S18. GeoGebra+紙本. S01，S02，S04. S03，S05，S09. S06，S07，S08. 環境. 20.

(28) 第參章研究方法. 研究工具本研究採研究者自行設計以樞紐定理為核心概念的測驗單，再透過與 18 位學生半結構式訪談紀錄、動態幾何環境紀錄，取得質的資料進行分析。一、測驗單. 本研究根據 PISA 試題編制架構設計測驗單，考量情境、數學內容知識、數學能力等，並考量研究對象為九年級學生，以及施測時程為學生九年級上學期期末，故將測驗主題定位在樞紐定理、三角形邊角關係等，為現行教材中八年級下學期的內容，18 位學生皆已學習完畢。測驗題目符合在個人的自我、家庭或同伴群體的活動上，故屬於 PISA 個人生活情境；在數學內容知識屬空間與形狀。測驗題目有兩小題，A1 題的題意是在 B 點往其他壘包傳球，最近點與最遠點分別為何？答案即為 B 點以外的其他三個壘包，屬於有限、可選擇的封閉型題型；而 A2 題的題意是將扇形場地，依題意劃分防守區域，屬於開放型題型，測驗單如下：. 表 3-2. 題目測驗單測驗題目. 芳芳是一個神奇柴犬訓練師，他與同事們在一個扇形的場地上訓練柴犬的體能，他們分別站在 A 點、B 點、C 點、D 點的壘包上互相投球，柴犬會依據球的投擲方向直線奔跑。訓練場規格如右圖，試回答下列問題。. (A1)若芳芳站在 B 點，要使得站在他腳邊的柴犬跑向最近、最遠的壘包，他應該分別傳向哪個位置的同事？試解釋你的原因。. 21.

(29) 第參章研究方法. 測驗題目 (A2)有一個特別任務是要訓練柴犬的防守界線，神奇柴犬們會依照球的落點來防守，由離球距離最近的神奇柴犬進行防守。例：如右圖，若球落在 P 點，D 點的神奇柴犬會發現自己離球落點最近，故由 D 點神奇柴犬防守。今天同事曉平站在 A 點，其他三人各自領著體能相似的柴犬，分別站在 B 點、C 點、D 點的壘包上，曉平隨機投擲一球，請問 B 點、C 點、D 點的柴犬們會如何分工防守區域？試解釋你的原因。. 二、半結構訪談大綱. 依據 PISA 建模過程，分為形成(Formulate)、應用(Employ)、解讀與評估 (Interpret & Evaluate)三個向度發展訪談大綱，訪談流程都先請學生先說明自己的解題流程，再視學生回答情況，適時依訪談大綱所列出的問題掌握學生的論證工作歷程。若是學生在解題中遇到困難，則先以引導學生釐清問題，將解題動作完成，後續再回頭瞭解學生解題歷程中的想法，以及遇到什麼困難點。. 表 3-3. 半結構訪談大綱工作目標. 形成：. 訪談問題 1.. 以數學方式釐清問題. 當你讀完題目後，對於未知的答案，你的第一個想法是什麼呢？. 2.. 你的第一個想法是你的猜測(答案)？. 3.. 你是根據題目中什麼線索得到的想法？. 4.. 這些線索有什麼順序或歷程嗎？. 5.. 除了第一個想法還有其他的想法嗎？. 22.

(30) 第參章研究方法. 工作目標. 訪談問題. 應用：. 1.. 你形成的猜測(答案)的理由是什麼？. 採用數學概念，事. 2.. 有用到什麼數學概念嗎？. 實，程序和推理. 3.. 這些理由或概念有什麼順序或歷程嗎？. 解讀與評估：. 1.. 你用什麼方式去檢驗你所提出的答案對或不對呢？. 解讀，應用和評估. 2.. 你怎樣確定你的想法是對的呢？. 數學成果. 3.. 當你在解題的過程中，有沒有想推翻猜測(答案)的念頭呢？. 三、動態幾何環境. 本研究在動態幾何環境下，提供學生一台已安裝好 GeoGebra 軟體的電腦進行測驗，在施測前有先進行 GeoGebra 基本工具的操作介紹，學生在測驗當中可以自由選用是否要使用電腦操作 GGB，在測驗過程中研究者會依據學生的需求及想法，輔助學生操作 GGB 作圖。. 資料蒐集與分析本研究在資料蒐集與分析共有三個階段：準備階段、施測階段、資料分析階段。. 一、準備階段. (一)閱讀相關文獻。 (二)設計測驗單。 (三)兩次前導性研究，以學生進行測驗單的結果與半結構訪談內容，加以錄音以便分析。 23.

(31) 第參章研究方法. 二、施測階段. 在紙本環境下，正式施測的九位學生先統一進行測驗單，完成後再逐一進行半結構訪談，訪談過程會錄影、錄音。在 GeoGebra+紙本環境下，會先向學生展示 GeoGebra 的操作方式，以及承諾學生在需要操作 GeoGebra 時會予以協助，待學生完成測驗單後，在進行半結構訪談，訪談過程亦會錄影、錄音。. 三、資料分析階段. 將訪談過程的錄音及錄影對話謄寫成逐字稿，研究者與學生說的每一句話皆是一個分析單位，而逐字稿編碼順序由左至右依序為題目題號、提供學生測驗的環境、說話對象、學生編號、流水碼，逐字稿編碼見下表 3-4：. 表 3-4. 逐字稿編碼. 題目. 環境. 對象. 學生編號. 流水碼. A1 / A2. G/P. R/S. 01~18. 001~. 說明： (一) 題目：A1─第一題；A2─第二題。 (二) 環境：G─GeoGebra+紙本環境；P─紙本環境。 (三) 對象：R─研究者；S─學生。 (四) 學生編號：01~09 是 GeoGebra+紙本環境；10~18 是紙本環境。 (五) 流水碼：共三碼，按照說話順序依序編碼。. 逐字稿完成後，將全體學生解題過程中出現過的主張、論據、限定修飾詞、支持理論、反駁、GGB 操作等依各項論證元素分類整理進行編碼，以方便組織學生論證的工作過程，論證元素編碼見下表 3-5。最後再依循此編碼方式，將學. 24.

(32) 第參章研究方法. 生解題過程按論證元素進行個人工作編碼，以及繪出個人的工作流程圖。學生工作編碼見下表 3-6，個人工作流程圖可詳見附錄二。. 表 3-5. 論證元素編碼. 論證元素. 論證元素代碼. A1 題編碼. A2 題編碼. 證據資料. D. 題目原文. 題目原文. 主張. C. 1~11. 1~12. 論據. W. 0~9. 0~6. 限定修飾詞. Q. 1. 無. 支持理論. B. 1~10. 無. 反駁. R. 1~6. 1~13. GGB 操作. GGB. 1~4. 1~6. 說明： (一) 論證元素：D─證據資料；C─主張；W─論據；Q─限定修飾詞；B─支持理論；R─反駁；GGB─操作 GeoGebra。 (二) W0：目測/感覺/直覺。 (三) A2 題編碼中，論據 W2.1、W2.2、W2.3 皆指向同一個數學物件，但是用語不同，因此以十分位數加以區別。. 表 3-6. 學生工作編碼學生編號. 題目. 流水碼. S01~ S18. A1 / A2. 00~. 說明： (一) 學生編號：S01~S09 是 GeoGebra+紙本環境；S10~S18 是紙本環境。 (二) 題目： A1─第一題；A2─第二題。 (三) 流水碼：共兩碼，按照學生工作順序依序編碼。 25.

(33) 第參章研究方法. 將每位學生論證工作編碼與流程圖完成後，依環境與學生程度分組繪出小組論證歷程圖，其中小組編碼代號如下表 3-7，而小組的論證歷程圖可詳見附錄三。. 表 3-7. 論證歷程圖小組編碼代號學生程度高程度. 中程度. 低程度. 紙本. PH. PA. PL. GeoGebra+紙本. GH. GA. GL. 環境. 26.

(34) 第肆章研究結果. 第肆章. 研究結果. 本研究目的將探究學生推理論證的歷程，以 Toulmin 論證模式作為主架構，以 PISA 數學素養建模過程、Duval 幾何活動認知過程兩個面向進行分析。下列所呈現的論證歷程，採各組最多數的路徑，有些論證歷程因學生可能因看錯題目、延伸想法等較細微的路徑就不在此討論。. PISA 數學素養建模過程依據第貳章第五節的分析架構，在 PISA 建模過程探討 Toulmin 論證模式的運作，在形成(Formulate)過程中著重「D→C」的論證歷程；應用(Employ)過程著重於個體為自己所提出的主張提供相關的「W 與 B」的論證歷程，呈現的方式為論證歷程圖中虛線矩形內；解釋與評估(Interpret & Evaluate)過程則著重於個體為反思數學解決方案所提出相關的「Q 與 R」的論證歷程。. 將以下圖 4-1 作說明，圖中的箭頭未有任何標示為 PH 組全員共同的論證歷程，若箭頭旁邊有標示「S」，表示此箭頭為「S」解題的論證歷程，如「D→C6」的箭頭旁有標示 S11 和 S12，即 S11 和 S12 在論證歷程中有出現主張 C6，而 S10 沒有出現主張 C6。. 圖 4-1. A1 題 PH 組的論證歷程圖. 27.

(35) 第肆章研究結果. 以下依題號分項敘述數學素養建模過程中學生的推理論證歷程：. 一、A1 題. 學生論證歷程背景敘述，下列以符號：「」表示在解題歷程中並未使用 GGB；符號：「」表示在解題歷程中有使用 GGB 輔助說明。表 4-1. 學生論證歷程背景(A1 題) 背景敘述. G (GGB+紙本環境). P (純紙本環境). H (高程度). S01 ，S02 ，S04 . S10，S11，S12. A (中程度). S03 ，S05 ，S09 . S15，S16，S17. L (低程度). S06 ，S07 ，S08 . S13，S14，S18. (一) 形成(Formulate)：在 A1 題中的證據資料是指題目原文，以符號 D 表示；答案主張為 C6+C8：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點和 C 點最近。」大致可分成由「D→C1 與 C6→C6+C8」、「D→C1 與 C6+C7→C6+C8」、「D→C1→C6+C8」、「D→C6+C8」四種論證歷程推至而來。. 表 4-2 形成過程中的論證歷程(A1 題) PISA─形成 G (GGB+紙本環境) (Formulate) H (高程度). A (中程度). L (低程度). 28. P (純紙本環境).

(36) 第肆章研究結果. GH、GA、PA 組學生的主張論證歷程為「D→C1→C6+C8」，從證據資料 D 推論至答案主張 C6+C8，中間有個中介主張 C1：「△ABC 為正三角形」，過程中 ̅̅̅̅、BD ̅̅̅̅的連線，只有兩位學有七位學生在紙本附圖中作輔助線，共同點都有作BC 生未在紙本上作輔助線，分別是 GA 組的 S09、PA 組的 S16，可能的原因是 S09 在作答時對題目的語意理解有誤，直接採用 GGB 測量長度後運算作答；S16 則著重於圖形推理，未注意題目敘述，因此兩位學生省略作輔助線的動作。雖然 GH、 GA、PA 三組的主張論證歷程是相同的，但 GH 組內路徑較一致，S01、S04 先透過主張 C1 得到最近點，再說明最遠點完成答案主張 C6+C8。而 GA、PA 組的學生得出主張 C1 前，論證歷程可能有經歷操作 GGB、研究者介入、重新解題等，才得出主張 C1，關於如何創建主張 C1 的形成，在後續的應用(Employ)過程中再分項敘述說明。. GL 組的學生則是從證據資料 D 直接推論至答案主張 C6+C8，雖然 GL 組三位學生都有在紙本上作輔助線，但是輔助線在三位學生的作答上，扮演不同的角 ̅̅̅̅連線，得到中介主張 C1：色，S06 在紙本上作BC 「△ABC 為正三角形」；S07、S08 ̅̅̅̅及BD ̅̅̅̅、BC ̅̅̅̅，並標示測量後的則是直接操作 GGB 測量長度後，在紙本上連接BD 數值。. 表 4-3. GL 組在紙本上作輔助線(A1 題). S06. S07. S08. PH 組的學生在形成的過程中，主張論證歷程為「D→C1 與 C6→C6+C8」，從證據資料 D 推論至答案主張 C6+C8，中間有中介主張 C6：「B 點到 D 點最遠」及 C1：「△ABC 為正三角形」，與 GH、GA、PA 組的歷程不同在於 PH 組的學生是先以目測的方式得到 C6，再回頭觀察、作輔助線得到 C1。在 PH 組中有兩位 29.

(37) 第肆章研究結果. 學生 S10、S12 並沒有在紙本上實質地作輔助線，但是分別有以文字、口述表示連線。. 圖 4-2. S10 作答紙節錄. A1PR12001：那一樣第一題，在這一題你看完題目你第一個想法是什麼呢？ A1PS12002：因為它把圖畫出來了，我沒有畫出來，就一開始會把這個線連起來，. 就是 BC、BD，因為他站在 B 點。(當時還沒有畫線) 逐字稿，S12 以口述表示作輔助線. PL 組的主張論證歷程為「D→C1 與 C6+C7→C6+C8」，中介主張分別為 C6+C7：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點最近。」及 C1：「△ABC 為正三角形」， PL 組學生先主張 C6+C7，之後再經由研究者介入得到 C1。PL 組 S13、S18 皆未在紙本上作輔助線，可能的原因是 S13、S18 都憑著目測及圖形推理作答，因此省略作輔助線。. 總結：在形成的過程中，G 組中有八位、P 組中有四位學生作輔助線，其輔助線在此題的功用有兩點，第一：為幫助視覺化，促進中介主張 C1 的成立；第二：用以標示與記錄測量後的長度。在剩餘六位未實際在紙本上作輔助線的學生中，對於兩位高程度的學生並不影響其視覺化的過程，而中、低程度的四位學生可能因為以目測或圖形推理來解題，以至於省略作輔助線，造成錯誤的判斷。. 30.

(38) 第肆章研究結果. (二) 應用(Employ)： A1 題中，整合各組的論證歷程可分成為 C1、C6、C6+C7、C6+C8 提供論據與支持理論，然而在論證過程中，每一個主張皆有可能成為下一個所提出主張的論據或支持理論。由於應用過程中所探討的論據與支持理論皆涉及主張而有所不同，因此不另外節取出來，可詳見完整論證歷程圖(附錄三)，以下將依主張分項敘述其論據與支持理論。. 1.. 主張 C1. 在 A1 題中，主張 C1：「△ABC為正三角形」幾乎在各組中皆有出現，在高程 ̅̅̅̅ = BC ̅̅̅̅ = CA ̅̅̅̅」及其支持理論 B1：「∵ 度 GH、PH 組全員皆有提出論據 W1：「AB ̅̅̅̅ = AC ̅̅̅̅，∠α = 60°，∴∠ABC = ∠ACB = 60°，故△ABC為正三角形」扇形 AB ，對主張 C1 提供完善的論證說明。. 圖 4-3. S01 作答紙節錄. 圖 4-4. S11 作答紙節錄. 在中程度 GA、PA 組也是全部的學生都有主張 C1，但在學生自行提供論據與支持理論的完整性就稍嫌不足，GA 組 S03、S05、S09 與 PA 組 S15、S17 都是 ̅̅̅̅、BC ̅̅̅̅ 以目測的方式得出主張 C1，其中 S05、S09 在目測之後，使用 GGB 測量AB 長度，用以確定 C1：「△ABC為正三角形」，接著之後才想到以論據 W1 與支持理 31.

(39) 第肆章研究結果. 論 B1 來說明。PA 組 S16 則是在後續的訪談中，發現自己只憑著圖形推理誤解題目的意思，再重新解題後才得出主張 C1，並以論據 W1 與支持理論 B1 來說明。 A1GR05007：好，你在這一題的時候，你有用到那個電腦嗎？ A1GS05008：有，因為我剛剛還沒有想好，就是為什麼它是正三角形，所以我就. 參考。逐字稿，S05 先使用 GGB 確定 C1. 圖 4-5. S09 操作 GGB 節錄. A1GR09129：你在作測量跟你覺得他是正三角形，是哪一個先哪一個後？ A1GS09130：我覺得是正三角形的時候是一開始想的，然後後來用這個才確定是，. 這個真的是正三角形。逐字稿，S09 先使用 GGB 確定 C1. 在低程度組只有兩位學生 S06、S14 自行提出主張 C1，由於 GL 組只有 S06 一人提出主張 C1，故在 GL 組的論證流程圖中，並未將 S06 主張 C1 的論證歷程畫出來，雖然 S06 提出的說明較不明確，但在圖中有作些記號，也將此納入有含 ̅̅̅̅//𝐴𝐵 ̅̅̅̅並為主張 C1 提出支持理論 B10：「∵ 支持理論 B1 的成分；S14 則假定𝐶𝐷 ̅̅̅̅//𝐴𝐵 ̅̅̅̅，∴∠DAC = ∠ACB = 60°，∴△ABC為正三角形」 𝐶𝐷 ，S14 試圖使用平行線截線性質─內錯角相等來說明△ABC為正三角形，但將截角的位置記錯造成誤用。而 PL 組 S13 在論證圖中，出現兩個中介主張 C6+C7、C1，原因是 S13 先以目測提出不正確的答案主張 C6+C7 後，經過研究者的介入引導，才提出主張 C1。. 32.

(40) 第肆章研究結果. A1GS06002：因為這邊 60°角(α 角)，這邊有弧線，這樣畫過去就變正三角形，所. 以 A 和 C 的距離就會一樣。逐字稿，S06 為主張 C1 提出的說明. S14 筆誤，∠BAC應更正為∠DAC。圖 4-6. S14 作答紙節錄. A1PR14019：喔，你連完就知道 CD 平行 AB？你怎麼知道他們會平行？ A1PS14020：就…我也不知道ㄟ(笑) … A1PR14025：你覺得他們平行，所以你感覺他們平行，那感覺他們平行之後…？ A1PS14026：然後就內錯角 A1PR14027：相等？ A1PS14028：對 A1PR14029：哪一個跟哪一個相等？ A1PS14030：就 DAC 跟 ACB 逐字稿，S14 為主張 C1 提出的說明. A1PR13045：好，那我可以跟你解釋一下這題，就是你在這個當中，題目有告. 訴你，這是一個什麼形狀？ A1PS13046：扇形 A1PR13047：扇形，所以你可以知道的是 A 點會是圓心，這個扇形的圓心，那 AB、AC、AD 會是…？ A1PS13048：半徑 A1PR13049：那你可以知道這三個都是…？. 33.

(41) 第肆章研究結果. A1PS13050：相等的 A1PR13051：那你今天如果把它連線起來的話，會有感覺嗎？ A1PS13052：會變成正三角形逐字稿，S13 為主張 C1 提出的說明. 2.. 主張 C6. 在論證流程圖中，主張 C6：「B 點到 D 點最遠」會獨立出來成為一個主張的原因是學生在解題步驟上先處理最遠的點，共有五位學生有此主張，分別是 PH 組 S11 和 S12、GA 組 S05、PA 組 S17、PL 組 S14。在 GA 組 S05 對於主張 C6 的論證是最完整的，作答時便以 W4 與 B8 來說明，見圖 4-1-7。而在 P 組中的四位學生都以目測的方式提出 C6，其中有兩位 S12、S17 在後續訪談中有提出說 ̅̅̅̅ > ̅̅̅̅ 明，S12 是自行想到以論據 W4：「BD AD = ̅̅̅̅ AB」及支持理論 B8：「同一個三角形內，大角對大邊」來說明。而 S17 則是經過研究者的追問後才提出 B8 作說明，不過在過程中有誤用「斜邊」、「股邊」等語詞來形容鈍角三角形。. 圖 4-7. S05 作答紙節錄. A1PS12032：然後最後 ABD 的三角形，因為這個是大角對大邊，因為 AB 會等於 AD，這兩個 30 度，所以 30 度小於 120 度，所以 BD 會大於 AD 跟 AB A1PR12033：所以你是用...？ A1PS12034：大角對大邊逐字稿，S12 為主張 C6 提出的說明. A1PR17035：那最遠的你怎麼肯定他是最遠的？ A1PS17036：因為它 BD 畫過去的話，它這個角是比較大的，所以這邊是一個鈍. 角三角形，所以它走的路會比較長，所以就 D 是最遠。 A1PR17037：連接 BD，所以你可以知道三角形 ABD 是鈍角三角形，所以你可以 34.

(42) 第肆章研究結果. 知道 BD 是最長的，最長的那也只有在這三角形裡面是最長的，三角形 ABD 裡面最長的，所以他比 BA、BC 還要長，是嗎？ A1PS17038：恩 A1PR17039：所以你有比較 BD 跟 BA 這段嗎，是不是？ A1PS17040：因為不是之前數學有教到，三角形，就是斜邊會比股還要來的長。 A1PR17041：恩，那是直角三角形啊！ A1PS17042：啊，對！...想不到逐字稿，S17 為主張 C6 提出的說明. 3.. 主張 C6+C7. 主張 C6+C7：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點最近。」是一個錯誤的答案主張，因此會出現主張 C6+C7 的學生可以分為三種情況，第一種是憑目測作為主要主張的有 PL 組 S13 與 GL 組 S08。在後續訪談中 S13 經由研究者的介入引導，有提出主張 C1，而 S08 則是在作答當下有主張 C6+C7 的臆測，在自行操作 GGB 測量後，便順利提出正確的答案主張 C6+C8；第二種是以圖形推理作為推論主張的依據─PA 組 S16 與 PL 組 S18，在作答時只注意到要以 B 點去考量，找距離最近與最遠的點，因此從附圖中考量弧長比線段距離還長，得到主張 C6+C7，其中 ̅̅̅̅」、支持理論 B5：「以BA ̅̅̅̅線段長，計算出BCD ̂或BC ̂ ̂ > AB S16 使用論據 W5：「BD 弧長。」來說明，S18 在最遠點以目測去確定主張 C6 的成立，而在最近點的考量是根據自己的先備知識─「兩點之間最近的距離是直線」，認為直線比曲線更 ̂ > AB ̅̅̅̅」來說明主張 C7；第三種屬於對題目語意不清楚─GA 近，以論據 W6：「BC ̅̅̅̅、BC ̂ 長度，但是礙於對使用工具組 S09，S09 作答時先使用 GGB，意圖測量AB ̅̅̅̅視為BC ̂，並考量題目敘述「柴犬會依據球的投擲的不熟悉，誤將實際所測量的BC 方向直線奔跑」，認為題目是指沿著圖形上的線段移動，因此作答時不考慮弧長 ̂ 與BD ̂ 方向，將 C 點排除得到主張 C7，而在最遠點方面 S09 肯定是 D 點，解 BC ̅̅̅̅ + AD ̅̅̅̅ = 10，以及BD ̅̅̅̅ = 5√2，由於釋說明時考量了沿著圖形上的線段移動取BA ̅̅̅̅ = 5√2 10 > 5√2，故採以沿著圖形上的線段移動來解釋說明主張 C6，然而在BD 這個數據上，是 S09 誤用等腰直角三角形特殊邊長比。. 35.

(43) 第肆章研究結果. 圖 4-8. S16 作答紙節錄. A1PR16001：當你讀完題目後，對於未知的答案，你的第一個想法是什麼呢？ A1PS16002：最近是 A 點，是因為它這邊是最遠的半徑，所以說這直線距離會最. 短，D 點是最遠是因為如果要算 B 到 D 的弧長，用半徑乘以 2(再乘𝜋)而且要乘以 360 分之 120 度，所以它的弧長是最長，會比這個直線距離還長 A1PR16003：你說弧長唷你 BD 是算弧長，BA？ A1PS16004：是直接看它直線距離 A1PR16005：你對題目的理解是覺得那個神奇柴犬是沿著弧長走嗎？ A1PS16006：如果它走直線的話，應該距離也是最長 A1PR16007：那你覺得它是走直線還是走弧長 A1PS16008：直線吧 A1PR16009：你一開始寫的時候是用弧長去算是不是 A1PS16010：對啊 A1PR16011：你看完題目第一個想法是 A 最近就對了 A1PS16012：恩 A 最近 A1PR16013：再來去想的是 D 最遠 A1PS16014：恩 A1PR16015：然後 D 最遠是用弧長的方式去算訪談的此刻才看到要走直線 A1PS16016：恩走直線逐字稿，S16 為主張 C6+C7 提出的說明. 36.

(44) 第肆章研究結果. 圖 4-9. S09 作答紙節錄. A1GR09005：讀完題目第一個想法，或是你怎麼動筆的？ A1GS09006：是先量出 AB 的距離，然後之後又發現 CB 也一樣長，可是它有說. 直線奔跑，所以因為 CB 是弧線，所以 CB 不能跑，所以我就直接用直線來判斷它可以傳到哪裡 … A1GR09041：那你為什麼會覺得它那個啊？有什麼原因影響到你覺得它應該要沿. 著邊跑？你有考量什麼，還是你有做什麼假設你覺得它要沿著邊跑？ A1GS09042：因為第一個就是也是題目給我的資訊，然後第二個是假如是 BD 連. 的話就變成 BD 比 BA 到 AD 還要短，所以他是問最遠的，我就取比較長一點的距離，因為這樣子 BD 這樣子是 5 根號 2，然後這樣子是 10，因為它問最遠，所以我就取 10 這個路徑來 … A1GR09047：你剛剛說 BD 連線是 5 根號 2 是不是？ A1GS09048：對 A1GR09049：這段怎麼算？ A1GS09050：就是這邊是 5，然後 AB 也等於 AD，這邊也會是 5，然後就用什麼. 定理，1:1:根號 2，所以這邊連起來的話就是 5 根號 2。逐字稿，S09 為主張 C6+C7 提出的說明. 4.. 主張 C6+C8. 答案主張 C6+C8：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點和 C 點最近。」在「D→C1 37.

(45) 第肆章研究結果. 與 C6→C6+C8」、「D→C1 與 C6+C7→C6+C8」兩個歷程中，前半部「D→C1 與 C6」、「D→C1 與 C6+C7」為主張 C1、C6、C6+C7 提供相關論據與支持理論，上述都已分項說明，在此就不多作解釋；後半部「C1 與 C6→C6+C8」、「C1 與 C6+C7→C6+C8」則經由目測與主張的合併得出答案主張，並未使用其他的論據與支持理論，因此在應用過程中就不必多作討論。. 在「D→C1→C6+C8」歷程中，前半部 D→C1 已在上述主張 C1 敘述。接著下來，討論為後半部 C1→C6+C8 提供的論據與支持理論。能提出相關論據與支持理論的大多是高程度組的學生，可能的原因有兩點，一是高程度的學生大多都先主張 C1 得到最近點的答案，再去說明最遠點，使得主張 C1 成為中介主張；二是高程度的學生較能以數學事實來解釋說明最遠點，而非像中低程度的學生多以目測推論。在 GH 組中，三位學生皆使用支持理論 B4：「利用直角三角形特殊 ̅̅̅̅ = BC ̅̅̅̅」 ̅̅̅̅ > AB 邊長比運算。」來說明論據 W2：「BD ，然而在使用 B4 代數說明前 ̅̅̅̅。因此 S01 輔以支持理論 B2： ̅̅̅̅垂直於AC 要先確定BD 「四邊形 ABCD 是菱形，對 ̅̅̅̅設定為𝑥並計算出𝐷𝐵 ̅̅̅̅ = √3𝑥；S02 則直接角線會互相垂直平分。」說明後，把AB ̅̅̅̅，把AB ̅̅̅̅設定為2，計算出BCD ̂ = 4𝜋⁄3，BC ̂ = 2𝜋⁄3，BD ̅̅̅̅ ⊥ AC ̅̅̅̅ = 2√3；S04 假定BD ̅̅̅̅設定為透過三角形全等來輔助說明支持理論 B3：「AC 是 BD 的中垂線。」，將AB ̅̅̅̅ = 2√3：2。而在 PH 組中，S10 是以支持理論 B6：「樞紐定 ̅̅̅̅：AB 2，計算出BD 理。兩對應邊相等，角度越大，對邊越長。」來說明；S12 則是在作答時以目測主張 C6，在後續訪談中，重新審題後提出 B8 作說明。. 圖 4-10. S01 作答紙節錄. 38.

(46) 第肆章研究結果. 圖 4-11. S04 作答紙節錄. A1PR10029：在哪邊有用到樞紐定理？ A1PS10030：就是當 AC=AD，然後 AB=AB 共用邊，當 DAB 這個角大於 CAB 這. 個角，那 DB 會比 CB 還要長。逐字稿，S10 為主張 C6+C8 提出的說明在「D→C6+C8」歷程中，只有在 GL 組學生論證過程中出現，S07、S08 在 ̅̅̅̅、BC ̅̅̅̅長度，以論據 W2： ̅̅̅̅、AB ̅̅̅̅ > ̅̅̅̅ 閱讀完題目後就直接使用 GGB 測量BD 「BD AB = ̅̅̅̅ BC」作為對主張 C6+C8 的說明，其中 S08 在後續訪談中提到在操作 GGB 前，有先以目測得到主張 C6+C7。S06 並未直接使用 GGB 得出 C6+C8，而是以 GGB 作為驗證主張 C1 及目測結果的工具。. 圖 4-12. S08 操作 GGB 與作答紙節錄 39.