主張 C2

A2PR18081：那你有試圖推翻你的答案嗎？

A2PS18082：有，就是一開始做這個題目，抱持的觀點就是要把這整個大扇形把 它分成3 等份。可是之後覺得怎麼分都是差一點點，就覺得自己的方法應該是錯 的，答案不可能這樣子解，然後就開始自爆自棄了，這東西怎麼這麼難喔，好煩 喔。

逐字稿，S18 為主張 C1、C2 所提出的說明

2. 主張C2

主張C2：「D 點防守以AD̅̅̅̅、β 角平分線所圍的扇形區域；C 點防守以 α、β 角 平分線所圍的扇形區域；B 點防守以 α 角平分線、AB̅̅̅̅所圍的扇形區域。」是個粗 略的答案主張，在此題中共有四位學生自行寫出主張C2，高程度 H 組有 2 位、

中程度 A 組有 2 位，不論是學生自行寫出的答案主張，或是經由研究者介入題 意後所更正的主張，皆會導向C2。只有 S18 因為徒手作不出三等分線，使得答 案主張恰巧為C2，其餘的學生皆有提出論據作為說明，可分成有 14 位學生提出 的W2.1：「作∠DAC、∠CAB角平分線。」、1 位學生提出的 W2.2：「作BC̅̅̅̅、CD̅̅̅̅中 垂線。」、2 位學生提出的 W2.3：「作中線」三種，這三種論據在此題中都是指同 一條線，在 W2.1 中有 8 位 GGB 環境的學生，其中 6 位有邊使用 GGB 作

∠DAC、∠CAB角平分線。

主張 C2+C3、主張 C2+C4 是由 C2 再延伸說明的主張，更細緻的考量當球 落在角平分線上時，是如何分界的，因此在應用過程中，學生並沒有為這兩個主 張提供相關論據。

圖4-18 S04 操作 GGB 節錄

A2GR04001：第二小題，你解的過程你第一個想法是什麼？

A2GS04002：就是畫角平分線

A2GR04003：你是根據哪一個線索？

A2GS04004：因為他說到距離最近的，所以這個點到這個中間的距離，要等於這 個點到這個，要大於這個到這邊的距離，所以畫角平分線的話，這點到這邊的距 離都會大於這點到這邊的距離

A2GR04005：小於吧！

逐字稿，S04 為主張 C2 所提出 W2.1

圖4-19 S14 作答紙節錄

A2PR14047：那我畫這個給你，你覺得它會是誰該防守的？

A2PS14048：C 點

A2PR14051：你用目測的嗎？那有沒有比較數學的方式可以肯定一點，不只是用

眼睛來看，它真的是離C 點比較近？

A2PS14052：…不知道

A2PR14053：好，那如果你今天把它連起來(指 CD)，這一個正三角形，你怎麼確 定這個會離這邊比較近(指某點離 C 比較近)，你現在就只確定這一段跟這一段的 關係嘛！(指某點與 D、C 兩點的距離)你要怎麼肯定這一段比較短？(指某點與 C 點的距離)

A2PS14054：把正三角形分中垂線

逐字稿，S14 為主張 C2 所提出 W2.2

圖4-20 S12 作答紙節錄

A2PR12017：那我這樣想問你一下，如果今天這個球落在這裡，你覺得它是 D 還 是C？

A2PS12018：如果以我畫的是 D

A2PR12019：但是我們這一題是要考量距離最近嗎？還是考量等分？

A2PS12020：距離最近

A2PR12021：那你覺得離距離最近的是 D 點的柴犬嗎？還是？它感覺很中間耶！

A2PS12022：對啊，因為我那時候的想法我應該就覺得是 D 吧，但是現在畫下來，

感覺就中間

A2PR12023：那中間應該也是有一個人要負責吧？雖然它很模糊，但是應該有一 個明確的人要負責，那你覺得應該是哪一個位置？

A2PS12024：所以應該是要作一條中線嗎？

A2PR12025：中垂線嗎？還是角平分線？

A2PS12026：應該是一樣的吧！

A2PR12027：對，應該是一樣的。

逐字稿，S12 為主張 C2 所提出 W2.3

總結：

在應用過程中，學生為自己的主張只提出論據作說明，無法看出不同環境與 程度對於學生所提出的論據有什麼影響與差異。

(三) 解釋與評估(Interpret & Evaluate)：

探討解釋與評估的過程，論證簡圖可直接參考應用過程，在此題中沒有學生 使用限制修飾詞(Qualifiers)潤飾主張，有少數學生針對題目原文與圖像、自行發 展的主張等提出反駁(Rebuttal)的想法。關於驗證方面，經由研究者介入在 GGB 上給定一點，使得GH 組 S02、S04 測量其距離並拖曳移動，觀察距離的變化以 驗證主張C2。同樣地以 GGB 作驗證的還有 GL 組 S07 與 S08，驗證作用在 S07 主張C1 時，經由研究者協助在 GGB 上作出三等分線，並給定一個動點 E，詢問 S07 會如何分界，讓 S07 自行透過拖曳 E 點，觀察DE̅̅̅̅與CE̅̅̅̅觀察距離變化，發現 應該將主張C1 更正為 C2 並作∠DAC角平分線；S08 則是在最後形成主張 C2 後，

才在GGB 上拖曳動點 H，觀察DH̅̅̅̅與CH̅̅̅̅與BH̅̅̅̅距離，進行評估與驗證主張 C2。

A2GR07083：好，那你後來這個答案你有驗證它是不是對的嘛？

A2GS07084：應該吧！應該是對的吧！

A2GR07085：應該是對的，你怎麼知道，還是你用什麼方式 A2GS07086：就移動那個 E 點

A2GR07087：喔，用電腦移動 E 點。移動完就覺得應該是對的？

A2GS07088：恩

逐字稿，S07 為解釋與評估過程所提出的說明

A2GR08136：你怎麼知道真的是 D 比較近

A2GS08137：D 比較近唷，是不是有一個尺啊？(找 GGB 測量工具) A2GR08138：對，這裡

A2GS08139：D 到 H 跟 C 到 H 還有 B 到 H，這樣比的話就他會比較近阿

逐字稿，S08 為解釋與評估過程所提出的說明

在反駁方面，高、中程度組有出現反駁元素，其中高程度H 組 S04 與 S10 在 作答時，有出現反駁R6：「質疑為何以角平分線分界，就能找到距離最近的防守 範圍。」，但接續都以目測的結果，自行消弭R6 這個想法，不過在 GGB 環境下 的S04 透過研究者的介入，讓 S04 有機會以 GGB 進行測量並驗證，使得 R6 不 證自明。

A2PR10021：喔好，那你還有其他想法嗎？

A2PS10022：沒有，ㄟ當時會目測說，想說如果在上面找一點(指 DAK 扇形中)，

會不會有可能C 點比較近，就是自己目測說有沒有可能我自己的想法是錯的 A2PR10023：喔，那後來呢？

A2PS10024：後來覺得沒有，所以沒有繼續這個想法

逐字稿，S10 為解釋與評估過程所提出的說明

A2GR04025：那後來呢，有想出為什麼嘛？

A2GS04026：可是它是角平分線，我畫了幾個點去試試看，都是一樣的狀況都不 會比較大，都不會大於那個

A2GR04027：可是你又沒有長度，就是你又沒有量它，你怎麼知道...，你用目測 的方式，還是...？

A2GS04028：目測

A2GR04029：電腦可以用阿！你知道嗎？其實這兩條畫出來(角平分線)，你應該 就想要試著點一個點嘛！剛剛有一個工具是測量長度嘛，你可以在這測量一下位 置。你可以稍微移動一下那個E 點(操作 GGB )

逐字稿，S04 為解釋與評估過程所提出的說明

中程度A 組 S03 與 S16 則在解題過程中，針對證據資料給定的文字與圖像 提出反駁R5：「質疑球靠近 A 點，該由誰防守？」，S03 在作答當下就提出 R5，

並順勢提出 R12：「質疑分工區域可以重疊嗎？」一同考慮，再經過研究者釋義 後便接續作答；而S16 則在想到反駁 R5 後，就放棄繼續思考未持續探究 R5。

A2GS03018：我有想到的是那如果球在近一點的地方，那要怎麼分？(指球靠近 A 點)

A2GR03019：什麼意思？你說比較近，近一點也是可以這樣分啊！

A2GS03020：他們分工防守區域可以重疊嗎？

A2GR03021：可以重疊嘛！好像也不排斥，那如果是你會怎麼分工？

逐字稿，S03 為解釋與評估過程所提出的說明

A2PS16033：我有想過如果假設它是落在比較靠近投出去的地方(靠近 A 點)，是 要由D 來還是 C？

A2PR16034：那後來呢？

A2PS16035：後來…就沒有在想

逐字稿，S16 為解釋與評估過程所提出的說明

總結：

在解釋與評估過程中，並未出現修飾限定詞。反駁則在高、中程度組論證歷 程中有出現，高程度組S04 與 S10 針對自己所提出的主張，監控是否符合題意而 提出的反駁，GGB 環境提供 S04 後續可以拖曳動點進行驗證；而中程度組是針 對附圖的圖形推理提出反駁，後續學生便放棄思考由研究者釋義進行論證。