S01，S02，S04 0 ， 2 ， 0 2 ， 4 ， 1
S10，S11，S12 0 ， 0 ， 0
S15，S16，S17 1 ， 1 ， 1
S13，S14，S18 1 ， 2 ， 3
究者以提問的方式，介入主張C10 不合理的長度。第二個是 S02 以「感覺」的方 式得到D 點最遠後，研究者介入提問 S02 是否有使用數學方式驗證 D 點最遠，
促進S02 後續以數學方式解題與說明。
圖4-24 S02 作答紙節錄
A1GR02049：那不然你原本到 D 點的長度是多少？ 43𝜋 是不是？
A1GS02050：恩(點頭)
A1GR02051：所以你原本覺得 43𝜋 還比 2 小嗎？
A1GS02052：默認 (笑)
A1GR02053：好，了解，你為什麼會覺得 43𝜋 還比 2 小啊？
A1GS02054：我好像忘了𝜋的存在 A1GR02055：你就只有比分數嗎？
A1GS02056：恩
逐字稿，S02 在第一個介入點所作的說明
GA 組 S09 論證歷程中有一個介入點，S09 透過 GGB 測量得到AB̅̅̅̅ = 5後，
再計算出B 點到 D 點的距離長可能為5√2或為10，研究者介入理解 S09 的計算，
發現長度為5√2是 S09 誤用畢氏定理，將等腰直角三角形特殊邊長比類推到等腰 三角形；而長度為10是 S09 對題目的理解有誤，以為路徑是沿著周長移動，故取 AB̅̅̅̅ + AD̅̅̅̅ = 10。
A1GR09047：你剛剛說 BD 連線是 5 根號 2 是不是？
A1GS09048：對
A1GR09049：這段怎麼算？
A1GS09050：就是這邊是 5，然後 AB 也等於 AD，這邊也會是 5，然後就用什麼 定理，1:1:根號 2，所以這邊連起來的話就是 5 根號 2
A1GR09051：5 根號 2 喔？那個是什麼啊？那是直角三角形畢氏定理對不對？
A1GS09052：那是直角嗎？那不是等腰喔？
A1GR09053：等腰直角三角形啊！
A1GS09054：那要直角喔？
A1GR09055：對，等腰直角三角形邊長比是 1:1:根號 2 A1GS09056：我數學學壞了
逐字稿，S09 為研究者介入提問所作的說明
GL 組 S06 論證歷程中有一個介入點，在 S06 以目測方式作答後，研究者 提示可以使用GGB 測量工具進行驗證。
表4-12 S06 個人工作流程表之介入點 工作
流水碼 工作情形 事證 註解
S06A104
GGB1：
操作GGB 測量 BC̅̅̅̅、AB̅̅̅̅、BD̅̅̅̅長 度。
A1GR06009：你這邊有一個那 個測量長度啊！你這樣就可以 知道它多長了！
A1GS06010：(操作)
[介入]
提示可以使 用GGB 測量 工具驗證。
PH 組在 A1 題的論證歷程中，都未有研究者進行介入。PA 組 S16 論證歷程
中有一個介入點，S16 同樣以「感覺」的方式認為 D 點為最遠點，經過研究者詢 問能以什麼方式確定自己的答案，S16 所提出支持理論 B9：「△ABD，兩邊之和 會大於第三邊」的數學概念，但無法合理解釋其主張，因此研究者直接以正確的 數學概念作教學與說明。
A1PR16071：你有用什麼方式確定你自己答案是對的？
A1PS16072：兩邊之和會大於第三邊
A1PR16073：恩…然後呢？是在△ABD 當中嗎？
A1PS16074：對，△ABD
…
A1PR16077：那你怎麼突然想到兩邊之和會大於第三邊這個概念
A1PS16078：如果這是最近的話，單一段 𝐴𝐵̅̅̅̅一定會小於 𝐵𝐷̅̅̅̅，因為這兩個加起 來才能大於 𝐵𝐷̅̅̅̅ 的話
A1PR16079：然後呢
A1PS16080：想不到..怎麼解釋
A1PR16081：你有想到這個概念，那這個概念可以解釋這個東西嗎？
A1PS16082：好像不行
…
A1PR16091：好 我跟你解釋一下 其實你要解釋 𝐵𝐷̅̅̅̅ > 𝐵𝐴̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅有很多種方式，
看你要怎麼想，因為你把它連起來嘛！△ABD 這是一個三角形內，我們以前都有 學過，在同一個三角形內，你的大角會對大邊，所以很明顯△ABD 是一個鈍角三 角形，那這個角度是最大，所以它對邊會最長，那這個長度一定會大於𝐵𝐴̅̅̅̅，那你 剛剛就知道𝐵𝐴̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅是相等的，所以這個(𝐵𝐷̅̅̅̅)是最遠的，因為它大於這段(𝐵𝐴̅̅̅̅)，
這段(𝐵𝐴̅̅̅̅)又等於這段(𝐵𝐶̅̅̅̅)， 所以這兩段是最短的，這是其中一個方式可以解釋 OK 嗎？
逐字稿，S16 提出錯誤數學概念，研究者直接介入說明
PL 組 S18 論證歷程中有三個介入點，S18 未考量題目敘述並以圖形推理作 答，因此前兩個介入點都在釐清題意，而第三個介入點則是在S18 以目測的方式
得到正確的答案主張後，研究者直接以數學概念作教學與說明，可詳見S18 個人 工作流程表S18A107 至 S18A109。
綜合上述，在A1 題中研究者介入點可分為成四種類別，第一種是學生未掌 握題目的意涵，研究者針對題目進行釋義。第二種是針對學生錯誤概念，以提問 的方式讓學生自行反思錯誤點，透過重新解題得到正確解法，若是學生持續陷入 困難點，無法自行得出正確答案則屬於第三種，研究者將會直接對學生進行教學 式的介入說明。而第四種則是研究者針對驗證答案，對學生提問或提示操作GGB 進行驗證。
二、 A2 題
A2 題的題意是將扇形場地，依題意劃分防守區域，屬於開放型題型(題目可 詳見第参章第三節)。以下依各組代表作說明：
GH 組 S01 論證歷程中有兩個介入點，第一個是 S01 閱讀完題目後，雖然有 掌握題意但不知道該如何作答，因此研究者介入引導先以小扇形ACD 作答。第 二個則是在後續訪談中，S01 說道原先想法是在 GGB 上，試圖以 B、D 點為圓 心作圓，得到主張C10：「B、D 點防守以 B、D 點為圓心，DC̅̅̅̅為半徑所畫的圓與 扇形重疊的區域。」，研究者介入釐清C10 的分配，使 S01 自行發現可以以AC̅̅̅̅劃 分區域取代C10 的想法。
圖4-25 S01 試探作圖時的示意圖
A2GR01029：那你畫完圓，B、D 會怎麼分？
A2GS01030：就這一塊 B 就不會拿到，畫這樣就這一塊 D 就不會分到(指 D 那邊 的月牙區塊、B 那邊的月牙區塊)
A2GR01031：那中間這個怎麼辦？
A2GS01032：就一人一半，就用中間這條線分一半，ㄟ…那這樣原本就可以分一 半(指AC̅̅̅̅)
A2GR01033：對啊，那不就是這塊區域就是 D 了，這塊區域就是 B 了(指 ACD、
ABC 扇形)
逐字稿，S01 在第二個介入點所作的說明
GA 組 S05 論證歷程中有一個介入點，S05 根據題目原文：「請問 B 點、C 點、D 點的柴犬們會如何分工防守區域？」，判定「分工」是平均分配的意思，
因此得到主張 C1 的結論，將扇形 ABD 三等分。研究者介入在圖上給定一點，
讓 S05 自行思考按照主張 C1 的分配，給定一點與題目原文：「神奇柴犬們會依 照球的落點來防守，由離球距離最近的神奇柴犬進行防守。」意涵是否有衝突？
S05 重新審題後，便可以得到正確答案主張 C2，可詳見 S05 個人工作流程表 S05A202 至 S05A203。
圖4-26 S05 作答紙節錄，研究者介入給定一點
GL 組 S08 論證歷程中有兩個介入點，第一個是 S08 針對 GGB 環境中的圖 作提問，是否可以實際操作這個圖作為答案的依據？研究者回應：「可以」。而第 二個介入點則是在S08 操作 GGB 時，以論據 W4：「以AD̅̅̅̅、AC̅̅̅̅、AB̅̅̅̅中點為圓心，
AD̅̅̅̅為直徑畫圓。」與論據 W2.1：「作∠DAC、∠CAB角平分線」得到主張 C9：「D、
C、B 分別防守以AD̅̅̅̅、AC̅̅̅̅、AB̅̅̅̅中點為圓心，AD̅̅̅̅為直徑所圍出的範圍，且在扇形 區域內。重疊和未劃分的區域，用角平分線畫分。」，研究者介入提問，使S08 釐 清整個作圖動作，即是作角平分線的流程，修正W4+W2.1 簡化成 W2.1 即可。
A2GR08050：喔，好，那這樣子的話，為什麼要畫這兩個半圓？
A2GS08051：我剛剛也有想到，就直接畫一條線就好了啊！
逐字稿，S08 在第二個介入點所作的說明
PH 組 S11 論證歷程中有兩個介入點，第一個介入是幫助 S11 釐清題意，之 後S11 得到作角平分線的結論與主張 C8：「D 點防守以AD̅̅̅̅、β 角平分線之間的弧 長；C 點防守以 α、β 角平分線之間的弧長；B 點防守以 α 角平分線、AB̅̅̅̅之間的 弧長。」，認為球只會落在圓周上，因此第二個介入點是研究者以題目中的例題 提示球不止落在圓周上。
A2PR11003：好，那你可以跟我解釋一下，你對題目的理解是什麼？
A2PS11004：就是一個人站在這邊，然後它隨便投一球，然後這邊有三個人在防 守，可是那個區域分配，如果是這樣子分的話，它就只有佔到這一部分，然後它 就佔了兩個部分，然後這邊佔一個部分，就感覺不公平啊！可是如果今天設置再 旁邊一點的話，雖然每個人佔的部分是差不多，可是明明是 C 點會比較近，會離 這邊比較近，所以我就不知道怎麼寫。
A2PR11005：所以你根據題目的提示，你覺得它是考量距離比較近的，還是它是 考量公平？
A2PS11006：距離
A2PR11007：那你的答案會是怎麼寫？
A2PS11008：那可能會是中間這樣子
A2PR11009：那中間怎麼分？這一條線你怎麼畫出來的？看起來一半就一半了嗎？
A2PS11010：這叫角平分線吧！
逐字稿，S11 在第一個介入點所作的說明
PA 組 S17 論證歷程中有三個介入點，第一個是請 S17 重新閱讀題目，S17 掌握題意後得到主張C2。第二個是研究者進一步提問：「角平分線上的點該由誰 防守？」，S17 直覺認為答案只能有一個，因此得到主張 C2+C4，認為角平分線 上的點由B、D 點防守。第三個介入點則是研究者直接說明角平分線的性質。
圖4-27 S17 作答紙節錄
A2PR17069：那你剛是想要表達到點等距、還是到邊等距？
A2PS17070：到點等距
A2PR17071：到點等距喔！但角平分線的性質是到邊等距，是垂直的那段會等距，
知道為什麼嗎？因為角平分線，這兩個角度一樣、共用邊、又垂直直角，所以這 是 AAS 全等性質，還有印象嗎？全等性質。
A2PS17072：恩恩
逐字稿，S17 在第三個介入點所作的說明
PL 組 S13 論證歷程中有三個介入點，第一個介入是幫助 S13 釐清題意，研 究者提示：「能不能以某一條線作分界？」，提示後S13 仍未掌握題意，因此研究 者提出第二個介入，在扇形ABC 中給予三個位置點，請 S13 判斷如何分界，S13 得到主張C2 後，研究者再提出第三個介入，提問「角平分線上的點該由誰防守？」。 因此S13 提出主張 C2+C3，角平分線上的點由兩邊的點共同防守。。
圖4-28 S13 作答紙節錄，研究者介入給定三點
A2PS13020：如果在這邊的話就它比較近(在 B 點畫圈)，如果在這邊的話就它比 較近(在 C 點畫圈)，那如果在中間的話….
A2PR13021：你怎麼知道我這個位置剛好在中間？
A2PS13022：應該要證明吧！我不知道怎麼用ㄟ
A2PR13023：如果不證明的話你會用什麼方式解釋它嗎？你怎麼確定它在中間？
如果是你的話，或是你怎麼確定它不是在中間？
A2PS13024：如果在中間的話，不就這兩個角度會相等嗎？
A2PR13025：所以你會作平分線是不是？
A2PS13026：恩
A2PR13027：所以你會作角平分線？
A2PS13028：恩
逐字稿，S13 在第二個介入點所作的說明
綜合上述，在A2 題中研究者介入點可分為成五種類別，第一種是學生未掌 握題目的意涵，研究者針對題目進行釋義或給予提示引導。第二種是學生對題目 理解有誤，研究者在圖上給予定點或透過實例，使學生直觀觀察圖形，反思錯誤 點並重新解題得到正確解法。第三種是學生對於數學概念理解有誤，研究者會對
綜合上述，在A2 題中研究者介入點可分為成五種類別，第一種是學生未掌 握題目的意涵，研究者針對題目進行釋義或給予提示引導。第二種是學生對題目 理解有誤，研究者在圖上給予定點或透過實例，使學生直觀觀察圖形，反思錯誤 點並重新解題得到正確解法。第三種是學生對於數學概念理解有誤，研究者會對