主張 C6

在論證流程圖中，主張C6：「B 點到 D 點最遠」會獨立出來成為一個主張的 原因是學生在解題步驟上先處理最遠的點，共有五位學生有此主張，分別是 PH 組S11 和 S12、GA 組 S05、PA 組 S17、PL 組 S14。在 GA 組 S05 對於主張 C6 的論證是最完整的，作答時便以W4 與 B8 來說明，見圖 4-1-7。而在 P 組中的四 位學生都以目測的方式提出 C6，其中有兩位 S12、S17 在後續訪談中有提出說 明，S12 是自行想到以論據 W4：「BD̅̅̅̅ > AD̅̅̅̅ = AB̅̅̅̅」及支持理論 B8：「同一個三 角形內，大角對大邊」來說明。而S17 則是經過研究者的追問後才提出 B8 作說 明，不過在過程中有誤用「斜邊」、「股邊」等語詞來形容鈍角三角形。

圖4-7 S05 作答紙節錄

A1PS12032：然後最後 ABD 的三角形，因為這個是大角對大邊，因為 AB 會等於 AD，這兩個 30 度，所以 30 度小於 120 度，所以 BD 會大於 AD 跟 AB

A1PR12033：所以你是用...？

A1PS12034：大角對大邊

逐字稿，S12 為主張 C6 提出的說明

A1PR17035：那最遠的你怎麼肯定他是最遠的？

A1PS17036：因為它 BD 畫過去的話，它這個角是比較大的，所以這邊是一個鈍 角三角形，所以它走的路會比較長，所以就D 是最遠。

A1PR17037：連接 BD，所以你可以知道三角形 ABD 是鈍角三角形，所以你可以

知道 BD 是最長的，最長的那也只有在這三角形裡面是最長的，三角形 ABD 裡 面最長的，所以他比BA、BC 還要長，是嗎？

A1PS17038：恩

A1PR17039：所以你有比較 BD 跟 BA 這段嗎，是不是？

A1PS17040：因為不是之前數學有教到，三角形，就是斜邊會比股還要來的長。

A1PR17041：恩，那是直角三角形啊！

A1PS17042：啊，對！...想不到

逐字稿，S17 為主張 C6 提出的說明

3. 主張C6+C7

主張C6+C7：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點最近。」是一個錯誤的答案主 張，因此會出現主張 C6+C7 的學生可以分為三種情況，第一種是憑目測作為主 要主張的有PL 組 S13 與 GL 組 S08。在後續訪談中 S13 經由研究者的介入引導，

有提出主張C1，而 S08 則是在作答當下有主張 C6+C7 的臆測，在自行操作 GGB 測量後，便順利提出正確的答案主張C6+C8；第二種是以圖形推理作為推論主張 的依據─PA 組 S16 與 PL 組 S18，在作答時只注意到要以 B 點去考量，找距離最 近與最遠的點，因此從附圖中考量弧長比線段距離還長，得到主張C6+C7，其中 S16 使用論據 W5：「BD̂ > AB̅̅̅̅」、支持理論 B5：「以BA̅̅̅̅線段長，計算出BCD̂或BĈ 弧長。」來說明，S18 在最遠點以目測去確定主張 C6 的成立，而在最近點的考 量是根據自己的先備知識─「兩點之間最近的距離是直線」，認為直線比曲線更 近，以論據W6：「BĈ > AB̅̅̅̅」來說明主張 C7；第三種屬於對題目語意不清楚─GA 組 S09，S09 作答時先使用 GGB，意圖測量AB̅̅̅̅、BĈ 長度，但是礙於對使用工具 的不熟悉，誤將實際所測量的BC̅̅̅̅視為BĈ，並考量題目敘述「柴犬會依據球的投擲 方向直線奔跑」，認為題目是指沿著圖形上的線段移動，因此作答時不考慮弧長 BĈ 與BD̂ 方向，將 C 點排除得到主張 C7，而在最遠點方面 S09 肯定是 D 點，解 釋說明時考量了沿著圖形上的線段移動取BA̅̅̅̅ + AD̅̅̅̅ = 10，以及BD̅̅̅̅ = 5√2，由於 10 > 5√2，故採以沿著圖形上的線段移動來解釋說明主張 C6，然而在BD̅̅̅̅ = 5√2 這個數據上，是 S09 誤用等腰直角三角形特殊邊長比。

圖4-8 S16 作答紙節錄

A1PR16001：當你讀完題目後，對於未知的答案，你的第一個想法是什麼呢？

A1PS16002：最近是 A 點，是因為它這邊是最遠的半徑，所以說這直線距離會最 短，D 點是最遠是因為如果要算 B 到 D 的弧長，用半徑乘以 2(再乘𝜋)而且要乘 以360 分之 120 度，所以它的弧長是最長，會比這個直線距離還長

A1PR16003：你說弧長唷 你 BD 是算弧長，BA？

A1PS16004：是直接看它直線距離

A1PR16005：你對題目的理解是覺得那個神奇柴犬是沿著弧長走嗎？

A1PS16006：如果它走直線的話，應該距離也是最長 A1PR16007：那你覺得它是走直線還是走弧長

A1PS16008：直線吧

A1PR16009：你一開始寫的時候是用弧長去算 是不是 A1PS16010：對啊

A1PR16011：你看完題目第一個想法是 A 最近就對了 A1PS16012：恩 A 最近

A1PR16013：再來去想的是 D 最遠 A1PS16014：恩

A1PR16015：然後 D 最遠是用弧長的方式去算 訪談的此刻才看到要走直線 A1PS16016：恩 走直線

逐字稿，S16 為主張 C6+C7 提出的說明

圖4-9 S09 作答紙節錄

A1GR09005：讀完題目第一個想法，或是你怎麼動筆的？

A1GS09006：是先量出 AB 的距離，然後之後又發現 CB 也一樣長，可是它有說 直線奔跑，所以因為CB 是弧線，所以 CB 不能跑，所以我就直接用直線來判斷 它可以傳到哪裡

…

A1GR09041：那你為什麼會覺得它那個啊？有什麼原因影響到你覺得它應該要沿 著邊跑？你有考量什麼，還是你有做什麼假設你覺得它要沿著邊跑？

A1GS09042：因為第一個就是也是題目給我的資訊，然後第二個是假如是 BD 連 的話就變成BD 比 BA 到 AD 還要短，所以他是問最遠的，我就取比較長一點的 距離，因為這樣子BD 這樣子是 5 根號 2，然後這樣子是 10，因為它問最遠，所 以我就取10 這個路徑來

…

A1GR09047：你剛剛說 BD 連線是 5 根號 2 是不是？

A1GS09048：對

A1GR09049：這段怎麼算？

A1GS09050：就是這邊是 5，然後 AB 也等於 AD，這邊也會是 5，然後就用什麼 定理，1:1:根號 2，所以這邊連起來的話就是 5 根號 2。

逐字稿，S09 為主張 C6+C7 提出的說明

4. 主張C6+C8

答案主張C6+C8：「B 點到 D 點最遠，B 點到 A 點和 C 點最近。」在「D→C1

與C6→C6+C8」、「D→C1 與 C6+C7→C6+C8」兩個歷程中，前半部「D→C1 與 C6」、「D→C1 與 C6+C7」為主張 C1、C6、C6+C7 提供相關論據與支持理論，上 述都已分項說明，在此就不多作解釋；後半部「C1 與 C6→C6+C8」、「C1 與 C6+C7→C6+C8」則經由目測與主張的合併得出答案主張，並未使用其他的論據 與支持理論，因此在應用過程中就不必多作討論。

在「D→C1→C6+C8」歷程中，前半部 D→C1 已在上述主張 C1 敘述。接著 下來，討論為後半部C1→C6+C8 提供的論據與支持理論。能提出相關論據與支 持理論的大多是高程度組的學生，可能的原因有兩點，一是高程度的學生大多都 先主張 C1 得到最近點的答案，再去說明最遠點，使得主張 C1 成為中介主張；

二是高程度的學生較能以數學事實來解釋說明最遠點，而非像中低程度的學生多 以目測推論。在GH 組中，三位學生皆使用支持理論 B4：「利用直角三角形特殊 邊長比運算。」來說明論據W2：「BD̅̅̅̅ > AB̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅」，然而在使用 B4 代數說明前 要先確定BD̅̅̅̅垂直於AC̅̅̅̅。因此 S01 輔以支持理論 B2：「四邊形 ABCD 是菱形，對 角線會互相垂直平分。」說明後，把AB̅̅̅̅設定為𝑥並計算出𝐷𝐵̅̅̅̅ = √3𝑥；S02 則直接 假定BD̅̅̅̅ ⊥ AC̅̅̅̅，把AB̅̅̅̅設定為2，計算出BCD̂ = 4𝜋 3⁄ ，BĈ = 2𝜋 3⁄ ，BD̅̅̅̅ = 2√3；S04 透過三角形全等來輔助說明支持理論B3：「AC 是 BD 的中垂線。」，將AB̅̅̅̅設定為 2，計算出BD̅̅̅̅：AB̅̅̅̅ = 2√3：2。而在 PH 組中，S10 是以支持理論 B6：「樞紐定 理。兩對應邊相等，角度越大，對邊越長。」來說明；S12 則是在作答時以目測 主張C6，在後續訪談中，重新審題後提出 B8 作說明。

圖4-10 S01 作答紙節錄

圖4-11 S04 作答紙節錄

A1PR10029：在哪邊有用到樞紐定理？

A1PS10030：就是當 AC=AD，然後 AB=AB 共用邊，當 DAB 這個角大於 CAB 這 個角，那DB 會比 CB 還要長。

逐字稿，S10 為主張 C6+C8 提出的說明

在「D→C6+C8」歷程中，只有在 GL 組學生論證過程中出現，S07、S08 在 閱讀完題目後就直接使用GGB 測量BD̅̅̅̅、AB̅̅̅̅、BC̅̅̅̅長度，以論據 W2：「BD̅̅̅̅ > AB̅̅̅̅ = BC̅̅̅̅」作為對主張 C6+C8 的說明，其中 S08 在後續訪談中提到在操作 GGB 前，

有先以目測得到主張C6+C7。S06 並未直接使用 GGB 得出 C6+C8，而是以 GGB 作為驗證主張C1 及目測結果的工具。

圖4-12 S08 操作 GGB 與作答紙節錄

A1GR08029：好，那你一開始讀完題目有猜測嗎？猜測有沒有可能最近的是誰、

最遠的是誰，還是你就直接做了？

A1GS08030：我一開始有猜，我一開始就覺得 D 最遠，然後再來是 C、再來是 A A1GR08031：然後是你畫完直線、量完距離，就反駁你一開始的猜測？

A1GS08032：對

逐字稿，S08 為主張 C6+C8 提出的說明

總結：

在應用過程中，高程度組學生較能直接提供完整且正確的論據與支持理論來 輔助說明主張，GH 組學生皆未使用 GGB，偏好以代數運算來解釋說明。中程度 學生多以目測結果作為初步推論的依據，後續會試圖以論據與支持理論來解釋說 明，或是經由研究者的詢問後才提出相關的說明，但是較容易出現使用錯誤的數 學名詞與概念，而GA 組學生會使用 GGB 作為驗證主張的輔助工具。低程度的 學生會直接使用目測結果作為答案主張，GL 組學生會直接仰賴 GGB 的測量結 果，且不會再以數學事實來輔助說明。

(三) 解釋與評估(Interpret & Evaluate)：

在解釋與評估過程中所探討的限制修飾詞與反駁，會因涉及主張的不同而有 所不同，因此不另外節取出來，可詳見完整論證歷程圖(附錄三)。

在 A1 題，大多數高程度的學生都能以正確的臆測與數學事實來說明主張，

因此在解釋與評估這個過程中，並沒有明顯的事證來顯示高程度組學生論證歷程。

不過問到學生如何檢驗自己的答案是正確的，S10、S12 在作答時會邊與目測結 果一同評估，若是答案與目測結果相符合便不會驗算。S04 會邊寫邊驗證自己每 一步的主張是否合邏輯。S02 會以代數字的方式，除了得到答案之外，也認為可 以以真實的數字作為檢驗答案的方式。S01、S11 則是沒有想到檢驗與推翻答案 主張的方法。

A1PR10047：那你怎麼確定你寫出來就是對的？

A1PS10048：因為覺得他的條件給的都算是合適，就是在那公式裡面都可以很好 的套用。

A1PR10049：喔，所以你就是根據它的條件，然後你有相對應的一些方法去解決 它。

A1PS10050：然後還有就是目測吧！

A1PR10051：目測？

A1PS10052：目測看會覺得有什麼比較大的偏差

A1PR10053：所以其實你目測就知道 D 比較遠，只是你還需要找到一些理論支持 你？

A1PS10054：對

A1PR10055：所以你有找到你的理論？

A1PS10056：有

逐字稿，S10 為解釋與評估過程所提出的說明

A1GR04035：喔好你有沒有驗證過你這個答案是對的還是不對的？

A1GS04036：答案的話….應該是對的吧！

A1GR04037：應該是對的，你有驗證它嘛？還是寫出來就覺得是對的？

A1GS04038：可是這應該是相等的(AB=BC)，這個會大於這個(AC 與 BD 的垂直 90° > ∠𝐴𝐵𝐷)，所以就應該不用驗證吧！就是在算的時候就驗證過了

A1GS04038：可是這應該是相等的(AB=BC)，這個會大於這個(AC 與 BD 的垂直 90° > ∠𝐴𝐵𝐷)，所以就應該不用驗證吧！就是在算的時候就驗證過了