一、 Duval 幾何認知觀點
Duval (1995)指出幾何圖形對於幾何問題情境中的物件關係，可以提供許多 直觀的想法，但是卻無法幫助學生深入了解問題的解決方案，使得學生經常盲目 地面對幾何圖形。為了分析具啟發性(heuristic)的圖形，Duval 認為學生應從認知 理解(cognitive apprehensions)方式著手，將幾何圖形分為四種認知理解：知覺性、
構圖性、論述性、操弄性。以下分項說明：
(一) 知覺性理解(perceptual apprehension)
知覺性理解是個體在平面或立體中識別某物(圖形或其表徵)的一種認知理 解。可被知覺的圖形與視網膜上的圖形不同，差別在於圖形組織的法則與繪圖的 線索。可被知覺的圖形會自動化的整合知覺過程，產生心像保留那些被整合的法 則與線索，然而個體亦可能因為這些法則與線索，產生錯誤的知覺性理解(黃哲 男，2002)；視網膜上的圖形則會因為實物變化而變化，通常暫留在感官上的覺 察。知覺性理解除了完形(gestalts)的辨識，亦可以辨識出圖形中的子圖形及名稱。
(二) 構圖性理解(Sequential apprehension)
構圖性理解是個體在構造圖形或描述其結構的一種認知理解。個體在構造圖 形的痕跡（或圖形的基本單元）並非依賴視覺的法則和線索，而是個體對構圖工 具的限制(如直尺、圓規、動態幾何軟體)與數學性質的理解。若是個體不理解相 關的數學性質與工具的限制，便無法完成預期的圖形，無法表達出圖形性質間的 關係，使得圖形無法被瞭解。
(三) 論述性理解(Discursive apprehension)
論述性理解是個體透過言語或文字描述圖形具有的性質或進行推理活動的 一種認知理解。圖形所呈現的數學性質無法單由知覺性理解來判定，不是所有人
對圖形的幾何性質有相同的理解，因此沒有任何說明的圖形是一種模糊的表徵。
(四) 操作性理解(Operative apprehension)
操作性理解是個體觀察圖形時可以在心智或實體上，透過操弄圖形得到解題 想法的一種認知理解。操弄圖形的方式大致分為下列幾種：
1. 分解組合圖形(The mereologic way)：將整個給定的圖形分割幾個不同形 狀的區塊，再將這些區塊組合成另一個圖形或子圖形。
2. 放大縮小圖形(The optic way)：將圖形放大、縮小、鏡射或傾斜。
3. 平移旋轉圖形(The place way)：改變圖形位置或方向。
以上四種關於圖形的認知理解，Duval 認為圖形要能發揮其功能，必須建立 在觸發(evoke)知覺性理解之上，並輔以其他三種認知理解中至少一種的認知理解。
個體在使用幾何圖形進行解題活動時，這些認知理解是交互作用的，個體是難以 察覺的個別的存在。以個體進行解題活動來說，Duval (1998)則認為應有三種認 知過程分別是視覺化過程、構圖過程、推理過程。如圖2-3 所示，圖中的箭頭表 示某個認知過程可以輔助另一個認知過程，其中箭頭2 為虛線，表示視覺化可以 輔助推理，但不見得總是能夠有效。其認知過程的類型及說明如下；
圖2-3 幾何解題活動下個體認知互動 (Duval , 1998)
(一) 視覺化(visualization)
對於平面或立體圖形表徵的認知過程，可能是單純表象圖形（線條與形狀的 組織體），也可能是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可 能是根據文字敘述所進行的圖形再現。(吳德邦、馬秀蘭，2003)
(二) 構圖(construction)
使用作圖工具(直尺、圓規、幾何軟體的組件)對圖形進行再製的過程。透過 構圖有助於學生去發現圖形中的幾何意義。
(三) 推理(reasoning)
使用5(A)及 5(B)進行論說的過程。見圖 2-3 中，5(A)是指自然地用命名、敘 述、論證等一般語言來呈現；5(B)是以具有理論地位的定義、定理等性質來作演 繹推論。
上述三個認知過程，Duval (1998)主張他們應該獨立發展；在教學上應該區 分不同的視覺化過程及推理過程；三種認知過程的整合只有在各自獨立的活動趨 於成熟後才有可能。本研究以Duval 對於幾何圖形的四項認知理解、幾何認知過 程分析學生在幾何論證上對於圖形是基於哪些認知理解？以及幾何認知過程在 論證歷程中是如何運作？
二、 動態幾何環境扮演的角色
隨著科技的進步，資訊科技融入教學逐漸影響著教育工作者在課程設計上的 安排，而資訊科技融入教學的技術可以分為硬體設備與軟體程式等。在硬體設備 上不外乎電腦、平板電腦、互動式電子白板等，而在軟體程式上就不勝枚舉了。
在數學教學上最先考量以資訊融入教學的課程不外乎幾何相關的單元，其中動態 幾何環境已成為近年來國內外數學教育的潮流與重視，尤其是強調動態視覺化的 作用(左台益，2007)。
在幾何活動學習上，學習者常需要在腦海中作空間推理的思考，黃哲男(2002) 認為動態幾何可以提供傳統課堂中無法呈現的外部動態表徵，將抽象的概念具象 化，提供學習者表徵鏈結的機會。動態幾何環境不僅提供學習者數學概念的視覺 圖像，以便於組織和分析數據，並且能保有高準確率與效率進行計算，當學習者 操弄科技工具時，他們也較能專注於決策、反思、推理和解決問題的能力(NCTM, 2000)。
NCTM (2000)提到學生在動態幾何環境中拖曳動點，在螢幕上觀察物件形狀 的改變，透過與科技工具的互動性有助於學生數學學習。這與Laborde (1994)認 為電腦科技增加與擴大視覺化的可能性，特別是在移動拖曳方面不謀而合。鄭勝 鴻(2005)認為動態幾何環境可以引導學生發展論證能力，以及將外在監控系統內 化為內在監控系統，意思是透過拖曳功能來檢視作圖正確性內化為在作圖時掌握 圖形結構，與能幫助學生整理所學過的作圖步驟、性質、概念，進而解決問題等。
動態幾何不僅可以彌補人類短期工作記憶區的不足，而且動態軌跡（animation-trace）功能，可產生以往無法透過紙筆產生的幾何圖形，進而形成新的幾何認知 型態(左台益，2007) 。
三、 幾何認知過程中的論證歷程
Duval (1998)以「視覺化」、「構圖」與「推理」組成幾何活動個體認知過程中 三個重要的過程，本研究期待發現以Duval 幾何認知過程的角度剖析學生幾何論 證歷程困難點以及未來在幾何教學上可以著墨的地方。
結合 Duval (1995)所提出幾何圖形的四種認知理解與(1998)所提出的幾何認 知過程，不難發現幾何認知過程是建立於個體對幾何圖形的理解與操弄的認知過 程。知覺性理解、構圖性理解、論述性理解可分別視為在視覺化過程、構圖過程、
推理過程中對於圖形理解的基石。但在幾何活動的認知過程卻不見操作性理解有 完美的套入。黃哲男(2002)將 Duval 兩套理論結合並融入「心像操作」於幾何認
知過程，使操作性理解作為心像操作過程中的基礎。
本研究無意探討心像操作在論證歷程中的角色，但認為操作性理解在實體圖 形上的操作可視為幾何認知過程中「構圖」過程，無論實體圖形是在動態幾何環 境中，亦或是在紙本環境中。而心智上對圖形的操作則存在各個幾何認知過程中，
因此提出新的幾何解題認知歷程模式來分析學生的論證歷程，如圖2-4。
圖2-4 幾何解題認知歷程模式
本模式圖改編Duval 模式圖，並新增數字編號「0」、「6」、「7」，「0」是指視 覺化的單元標號，在任何幾何活動的啟動都是以視覺化作為開端，對圖形產生知 覺性理解。「6」是指「視覺化→構圖」的歷程，視覺化可提供個體對圖形的直觀 感知，也能引發個體直觀操弄構圖工具，對於構圖具有輔助的功能。「7」是指「構 圖→推理」的歷程，透過構圖工具的操弄後，能輔助學生進行論述與推理。然而 不論是哪個認知歷程，都有可能是輔助或抑制的功能。