0-6(G)-7-5B
0-6(G)-7-5B(誤)--2-5B-3(G)
0-2-5A 0-2-5B 0-6(G)-7-5B(誤)--0 GL S06
S07 S08
0-2-5A--4(G) 0-6(G) 0-6(G)
0--4(G) 0-6(G) 0-6(G)
表4-8 A1 題 P 組學生論證歷程 0-2-5B(誤)--2-5B
0 0--2-5B(誤)--5B
0-2-5A--2-5B
0
推理後比較少察覺與驗證答案；第三類「0-6(G)-7-5B-…」則可以看出 GGB 環境 對學生論證的輔助功能，學生若是無法使用適當的論據或支持理論進行推理時，
可以先透過操弄GGB 獲得相關解題的線索，或是對學生的臆測提供精確的想法，
最後促進學生思考相關的論據與支持理論來作說明。因此在中程度組可以明顯看 出在研究者未介入前，GA 組相較於 PA 組的學生可以透過 GGB 的輔助，使得論
證歷程走得更遠、更趨近正確答案。
低程度學生的論證歷程亦能分為三類，第一類「0」與第二類「0--2-5A/5B」
皆與中程度學生的歷程相似，差異在於低程度組在第一類「0」仰賴直觀感知歷 程的人數比例增加；在第二類「0--2-5A/5B」歷程中，雖然歷程編號與高、中程 度組一樣依序都是0、2、5A/5B，但是在視覺化後就需要研究者介入的人數比例 增加，因此在論證歷程中0 與 2 之間是採以「--」串起；第三類「0-6(G)」是 GGB 環境帶給學生輔助的一種實證，GL 組學生在視覺化之後，直接操作 GGB 測量 工具得出答案，與 PL 組學生相比，更能以強而有力的方式佐證視覺化的結果。
整體而言，在A1 題中不同環境對於高程度學生並沒有影響，高程度組的論 證歷程多為「0-2-5B-1」；而在中、低程度學生的論證歷程則有些差異，紙本環境 中PA 與 PL 組學生論證歷程可以分為兩類分別是「0」與「0-2-5A/5B」，程度越 低的學生答案越傾向視覺化的結果，研究者介入提示與引導的程度也越多；GGB 環境中GA 與 GL 組學生論證歷程可以分為三類，分別是未使用 GGB 的歷程為
「0-2-5A/5B」，以及有使用 GGB 的歷程為 GA 組的「0-6(G)-7-5B-…」與 GL 組 的「0-6(G)」，差異在於 GA 組使用 GGB 作為輔助推理的工具，而 GL 組使用 GGB 作為答案的依據。
二、 A2 題
在A2 題中，可以明顯看出學生論證歷程相較於 A1 題步驟較為多，見下表 4-9 與表 4-10。表中的符號若與 A1 題相同則意義也相同，不多贅述。下表新增 符號「---」表示學生的延伸想法；符號「(矛)」表示學生原先主張的答案有誤，
因此研究者在圖上給定一點，使學生透過視覺化發現自己的主張與題目敘述出現 矛盾，通常接續在「--4」後面，代表這是經過研究者介入的，並且是由構圖影響 視覺化的歷程；符號「(驗)」表示驗證想法、主張和推理等；符號「(提示)」表示 研究者直接在圖上標示數個點用以提示與引導學生，與「(矛)」差別在於「(提示)」
是用以引導對於題目沒有明確主張的學生。
0-6(G)-4-6(G)-7-5A
0-6(G)-7-5A--4(G)(矛)--6(G)-4-2-5A---3(G)-4 0-6-7-5A--3(G)(驗)
GA S03 S05 S09
0-6-4-6-7-5A--4(G)(矛)-6(G)--6(G)-7-5A 0-6-7-5A--4(矛)-2-5A
0-6-7-5A GL S06
S07 S08
0--6-7-5A---3(G)-4 0-6-7-5A--4(G)(矛)-6(G)-7-5A
0-6(G)-7-5A-3(G)(驗)
表4-10 A2 題 P 組學生論證歷程 0--6-7-5A--5A 0-6-7-5A--4(矛)-2-5A PA S15
S16 S17
0-2-5A--4(矛)-2-5A--5A 0-2-5A--5A 0--6-7-5A--5A PL S13
S14 S18
0--2-5A--4(提示)-6-7-5A 0-6-7-5A--4(矛)-2-5A
0-2-5A-3-5A--5A
在A2 題中，學生的論證歷程都未出現 5B 以數學語言與理論進行推理，可 能的原因在於題目的敘述較生活化，並沒有以數學化的方式提問。在此題學生的 論證歷程也較沒有一致性，根據上表可以粗略的看出高程度學生的論證歷程為
「0-6-7-5A-…」，在視覺化之後以徒手在紙本或GGB 上作圖，再以自然語言論述 推理結果。差別在於PH 組是直接在紙本上徒手作圖，因為施測時並未提供學生
直尺與圓規等製圖工具，因此P 組學生都「大概」畫出角平分線或三等分線，在 此的作圖與A1 題作連接線段不同，作角平分線或三等分線並不是輔助某個圖形 表徵的形成，而是對圖形進行再製，因此屬於構圖的範疇。可以看得出來 GGB 提供GH 組學生較多嘗試，在構圖與視覺化之間雙向輔助的機會，學生能自行操 作GGB 將腦中的想法與圖像視覺化。像是 S01 的論證歷程在箭頭 4 與 6 來回數 次；S02 亦是如此，甚至在歷程中對圖形有其他疑惑，便可直接操作 GGB 進行 理解。
A2GS02096：連 CB 跟 CD 的時候，然後作∠CBA、∠CDA 的角平分線，會在 C 的前面
A2GR02097：再說一次？
A2GS02098：作∠CBA、∠CDA 的角平分線
A2GR02099：作∠CBA、∠CDA 的角平分線，會在同一條嗎？
A2GS02100：不會
A2GR02101：不會？真的不會嗎？
A2GS02102：應該不會吧
A2GR02103：那不然你畫畫看好了(指 GGB) A2GS02104：ㄟ…會耶！
逐字稿，S02 操作 GGB 釐清自己對圖形的理解
然而在歷程「0-6-7-5A-…」後續可能會接的是「--4(矛)」、 「--4(G)(矛)」或「--3(G)(驗)」，差別在於學生主張的答案是否正確，若是答案有誤，研究者就會進 行介入，在紙本或GGB 環境中的圖形上作一點，使得學生針對題意產生矛盾反 思其主張；若是答案正確，但學生以目測驗證答案研究者則會介入引導使用GGB 進行驗證。
中程度組的論證歷程可分為「0-6-7-5A-…」與「0-2-5A-…」，歷程「0-6-7-5A-…」
與高程度組意義相同，但在人數上較高程度組少，GGB 環境對於中程度組學生 較沒什麼幫助，只有S03 經研究者介入使用 GGB 後，才嘗試操作 GGB 將心智
中的圖像視覺化出來以便觀察。歷程「0-2-5A-…」代表學生在視覺化之後，並未 操弄圖形而是直接以自然語言進行推理，其中S15 主張球離誰近就由誰去防守，
雖然語意上沒有問題但是答非所問，並未回答到此題的精髓─如何分工防守區域；
S16 除了回答 B、C、D 各點的防守區域，甚至分析 C 點較有利防守左右兩方，
並將B、C、D 各點防守區域的面積列式出來，但在作答紙上不小心漏寫了π。
圖4-21 S15 作答紙節錄
圖4-22 S16 作答紙節錄
低程度組的論證歷程分類如同中程度組，分為「0-6-7-5A-…」與「0-2-5A-…」， 歷程「0-6-7-5A-…」如同上述中程度組，故不多贅述。歷程「0-2-5A-…」的 S13 在閱讀完題目後，雖然理解題意但思路受困於「隨機」二字無法作答，因此研究 者的介入引導以「提示」的成分居多，採符號「(提示)」作為標示；而 S18 原先 試圖在紙本上作三等分線，但在標示CD̂ 、BĈ 弧的中點後，發覺無法作出三等分
線，因此放棄後續作答使得答案恰巧成為正確答案，不過標示中點的動作不屬於 構圖的範疇。值得一提的是 GL 組 S06 後續的延伸想法，考量 A 點是否會防守 撿球，若有則防守區域如圖4-2-4。可能的原因是 S06 並未注意題目條件限定 B、
C、D 三點進行防守。
圖4-23 S06 作答紙節錄
整體而言，在A2 題中 P 組學生論證歷程為「0-6-7-5A-…」、「0-2-5A-…」，
在歷程「0-6-7-5A-…」中，因為未提供製圖工具給學生，學生都以估計的方式作 圖；而歷程「0-2-5A-…」只出現在 PA 與 PL 組中，除了 S16 之外剩餘的學生可 能是因為未掌握題目意義，使得視覺化後便以自然語言作推理；而 G 組學生論 證歷程都為「0-6-7-5A-…」，不論是否選擇操作 GGB，G 組學生皆在視覺化後以 構圖作為第一個動作，GGB 在此題有兩個功用，一是提供學生較多嘗試在構圖 與視覺化之間雙向輔助的機會，學生能自行操作GGB 將腦中的想法與圖像視覺 化，此功用多出現在GH 組；二是研究者介入學生的主張，學生可以透過拖曳動 點觀察點與點之間的距離，驗證或反駁其主張。