不同能力值受試者 ISM 圖之分析

能力值與 ISM 圖相似性係數關係之分析；第四節：模糊集群分群方法與能力值為 依據的分組方式之比較。

第一節不同能力值受試者 ISM 圖之分析

本節針對不同能力值組別受試者之 ISM 圖加以分析，為了解不同能力值學生 的個人化差異，研究者依高、中、低能力值組別各自隨機抽取一位受試者進行分 析比較，分別為 A、B、C 三位學生，其作答情形如表 4-1 所示。以此三位學生 為不同能力值組別的受試代表，並分別就數與量整體概念及各子題分年細目概念 分析比較不同能力值受試者之 ISM 圖。

表 4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形

受試者代號 能力值組別 能力值 () 答對題數

A 高 1.65 26

B 中 .01 19

C 低 -2.08 7

根據 SAS/IML 矩陣運算結果，可得到 A、B、C 三位受試者的模糊關係矩陣，

再以 .80進行截矩陣後，即可得其概念屬性截矩陣如附錄二所示，最後再依此 繪製其 ISM 圖，如圖 4-1 至圖 4-3 所示。

概念精熟度

─── .03~.09

─── .15~.37

─── .63~.66

圖 4-1 A 生之 ISM 圖 ( =1.65,  =.8)

圖 4-2 B 生之 ISM 圖 ( .01,=.8)

圖 4-3 C 生之 ISM 圖 ( =-2.08,  =.8)

概念精熟度

─── .66 ~.88

─── .91~.96

─── .99

概念精熟度

─── .24 ~ .56

─── .59~.79

─── .93

壹、數與量整體概念

根據 A、B、C 三位不同能力值受試者的 ISM 圖可知，三位學童數與量概念 階層結構共分三層，整理說明如下：

一、概念 9 (同分母分數加減計算) 、概念 13 (間接比較容量大小) 和概念 18 (間 接比較面積大小) 位於 A 生的 ISM 圖中的第一層，顯示此三項概念是 A 生最 易達精熟的概念；而概念 9 和概念 18 位於 B、C 二生 ISM 圖中的第一層，顯 示此二項概念是這二位學童最易達精熟的概念 。

二、分別計算其個別受試者的概念 精熟度後，發現 A、B、C 三位受試者的概念 階層數雖然都一樣，但其概念精熟度差異頗大。高能力值組的代表 A 生和中 能力值組的代表 B 生其第一層的概念精熟度明顯高於低能力值組的代表 C 生，表示能力值愈高的受試者，其愈下層的概念精熟度愈高，其概念發展也 較為精熟。另一方面，高能力值組的代表 A 生其最上層的概念精熟度達.66 以 上，且最上層與第一層的概念精熟度差異為 .33 (.99-.66) ；中能力值組的代表 B 生其最上層與第一層的概念精熟度差異為 .69 (.93-.24) ；低能力值組的代表 C 生其最上層的概念精熟度不到.10，且其最上層與第一層的概念精熟度差異 為.63 (.66-.03)，表示能力值愈低的受試者，其愈上層的概念精熟度愈低或其 變化愈大，其概念發展較難達到精熟。

三、概念 15 (間接比較不同物體重量) 和概念 17 (比較角的大小) 位於 C 生 ISM 圖中的第二層，皆與第一層的概念沒有連結關係 ，顯示此二項概念對 C 生而 言，是分年細目指標中獨立性的部分 。

四、由上述分析結果可知：在個人化的 ISM 圖內，位於較下階層的概念比位於較 上階層的概念容易達到精熟 。然而，不同受試者對同一個概念的精熟程度 ， 不能只依據個人化 ISM 圖中所在的階層位置直接比較 ，需考慮其精熟度進行 分析，才能了解、比較、分析不同受試者的概念發展情形 。茲以概念 15 為例 說明之：分別計算各能力組別的精熟度如表 4-2 所示，綜合表 4-1 及表 4-2 發

現，就各組之概念精熟度而言，高能力值組高於中能力值組，中能力值組又 高於低能力值組，表示高能力值組在概念 15 的發展情形是較為精熟的。就各 能力值組別受試代表的 ISM 圖來看，概念 15 位於 A 生 ISM 圖中的第三層，

屬於較不易精熟的概念；而概念 15 卻位於 B、C 二生 ISM 圖中的第二層，若 進行直接比較，將有所謬誤，應參考其精熟度，A 生之概念 15 的精熟度為.86，

而 B、C 二生之概念 15 的精熟度分別為.64 和.34，顯示就概念 15 而言，A 生 在此概念的發展是較其他二人精熟的 。

表 4-2 不同能力值組別的概念精熟度 概念精熟度

概念編號 高能力值組 中能力值組 低能力值組

1 .94 .76 .37

2 .91 .70 .18

3 .96 .72 .24

4 .77 .63 .30

5 .86 .75 .42

6 .82 .67 .35

7 .77 .53 .09

8 .78 .50 .14

9 .99 .97 .76

10 .67 .37 .06

11 .95 .82 .37

12 .74 .46 .10

13 .99 .91 .36

14 .88 .65 .17

15 .86 .71 .46

16 .66 .43 .27

17 .94 .84 .50

18 .99 .96 .78

貳、數與量各子題分年細目概念分析

本研究所欲分析的三年級數與量分年細目共 18 項，範圍十分廣泛，以下將 依據九年一貫課程綱要數與量四個子題 ：「整數」、「量與實測」、「有理數」、「估

算」，依序分析 A、B、C 三位受試者之個人化 ISM 圖。

一、整數

概念 1 (位值單位換算) 、概念 2 (直式加減) 、概念 3 (三位數乘以一位數直式 計算) 、概念 4 (除法解題) 、概念 5 (三位數除以一位數直式計算) 、概念 6 (兩 步驟解題) 等六項分年細目是屬於整數的範 圍。表 4-3 是 A、B、C 三生 ISM 圖 中整數概念的部分，由表 4-3 可知：A 生在整數概念間的連結關係較密切 ，且直 式加減及乘法直式計算概念較為精熟 ，再發展除法及解題的概念；B 生整數概念 的精熟度低於 A 生，概念間連結關係較少且上、下位概念和數學概念發展順序不 大相同，教師在進行補教學時，可加強其連結關係；C 生整數概念間的連結關係 也很少，且其概念精熟度除了概念 5 為.30 以外，其餘概念精熟度皆不到.30，教 師在進行補救教學時，除了加強其連結關係外，可多訓練其計算方面概念的精熟 性，如概念 2、概念 3 及概念 4。此外，根據 B、C 二位受試者之 ISM 圖可發現 其應連結未連結或不當連結的關係 ，例如：概念 5 位於第二層，而概念 2 位於第 三層，和數學概念發展順序不大相同，顯示 B、C 二生對於四位數 (數值較大) 的 概念可能有迷思概念、容易粗心或運算上的問題。

表 4-3 不同能力值組別代表之 ISM 圖-整數部份 能力值組別代表

階層數 精熟度 A 生(高) 精熟度 B 生(中) 精熟度 C 生(低)

第三層 .77~.86 .53~.56 .09

第二層 .91~.96 .59~.68 .15~.30

二、量與實測

概念 7 (數線上的加減操作) 、概念 11 (時間單位加減計算) 、概念 12 (長度單 位換算) 、概念 13 (間接比較容量大小) 、概念 14 (容量單位換算) 、概念 15 (間 接比較不同物體重量) 、概念 16 (重量單位換算) 、概念 17 (比較角的大小) 、概

念 18 (間接比較面積大小) 等九項分年細目是屬於量與實測的範圍。表 4-4 是 A、

B、C 三生 ISM 圖中量與實測概念的部分，由表 4-4 可知：A 生在量與實測的概 念發展上，其概念精熟度的差異為.25 (.99-.74) ，且第一層及第二層的精熟度皆 達.94 以上，表示較下位的概念即間接比較的概念 (概念 13、概念 18) 已達精熟，

而單位換算的概念 (概念 12、概念 14、概念 15、概念 16) 是屬於較上位概念，

符合數學概念發展。B 生在量與實測概念精熟度的差異為.60 (.93-.33) ，學生可 針對答題表現較不好的概念多加練習 (概念 12、概念 14、概念 16) ，此外，概 念 15 及概念 16 間的連結關係，也是需加強的地方；C 生在量與實測概念精熟度 的差異為.62 (.66-.04) ，且 C 生在第三層各概念的精熟度不到.10，顯示其各概念 的精熟程度較低，需從初步概念建立基礎，可使用輔助工具，以實物工具操作，

並再多加練習以提升概念精熟度。

表 4-4 不同能力值組別代表之 ISM 圖-量與實測部份 能力值組別代表

階層數 精熟度 A 生(高) 精熟度 B 生(中) 精熟度 C 生(低)

第三層 .74~.88 .33~.48 .04~.09

第二層 .94~.95 .64~.79 .20~.37

第一層 .99 .93 .66

三、有理數

概念 9 (同分母分數加減計算) 、概念 10 (一位小數加減計算) 等二項分年細 目是屬於有理數的範圍。表 4-5 是 A、B、C 三生 ISM 圖中有理數概念的部分，

由表 4-5 可知：A 生和 B 生在有理數概念連結的關係上，是概念 9 指向概念 10，

同分母分數加減計算的概念較易達到精熟，再發展一位小數加減計算的概念，符 合數學概念發展；再由概念精熟度來看，B 生可多練習小數加減計算，以達精熟；

而 C 生在有理數概念的連結關係上 並沒相關的連結關係，教師可加強同分母分數

和一位小數的基礎概念及其連結關係 ，並多做練習。

表 4-5 不同能力值組別代表之 ISM 圖-有理數部份 能力值組別代表

階層數 精熟度 A 生(高) 精熟度 B 生(中) 精熟度 C 生(低)

第三層 .67 .24 .03

第一層 .99 .93 .63

四、估算

概念 8 (三位數以內的加減估算) 是分年細目中屬於估算的範圍 ，估算中離散 量估算應在學生已能掌握確算後再進行，而連續量估算可與小數的教學共同展開 (教育部，2003) ，概念 8 在教學時需與分年細目中的概念 1 (位值單位換算) 及概 念 10 (一位小數加減計算) 相連結，故將納入此二項概念於此子題之 ISM 圖中一 併討論。表 4-6 是 A、B、C 三生 ISM 圖中和估算概念相關的部分，由表 4-6 可 知：A 生在離續量估算概念的發展上，是概念 1 指向概念 8 和概念 10，A 生的位 值單位換算概念已達精熟，在連續量估概算概念的發展上，可和小數的教學共同 展開，符合估算概念的發展；B 生在估算概念的展上，其位值單位換算概念精熟 度為.62，教師在教學上除了可加強概念 1 和概念 8 的連結關係，也可加強小數概 念並多加練習，透過小數概念精熟度的提昇 ，以提高估算概念的精熟度；C 生在 估算概念的連結關係和的 A 生相同，但在概念精熟度方面，概念 1 的精熟度 為.27，概念 8 和概念 10 的精熟度分別為.08 和.03，教師可加強概念 1 的基礎概 念以提高其精熟度，對概念 8 及概念 10 等二項概念也需建立基礎並多加練習。

表 4-6 不同能力值組別代表之 ISM 圖-估算部份 能力值組別代表

階層數 精熟度 A 生(高) 精熟度 B 生(中) 精熟度 C 生(低)

第三層 .67~.78 .24~.36 .03~.08

第二層 .94 .62 .27