答對題數相同但反應組型不同 之 ISM 圖比較

本節針對當受試者答對題數相同但反應組型不同時，分析其 ISM 圖的特徵。

為了解答對題數相同但反應組型不同學生的個人化差異，研究者依高、中、低能 力值組別各自隨機抽取一位受試者，其答對題數分別和 A、B、C 三生相同但反 應組型不同，為 A’、B’、C’三位受試者並進行分析比較，其作答情形如表 4-7 所 示。此六位學生為同能力值組別但反應組型不同的受試代表，分析其 ISM 圖以探 討答對題數相同但反應組型不同時，其知識概念特徵之差異。

表 4-7 答對題數相同但反應組型不同的受試者代表之答題情形 受試者

代號

能力值 組別

能力值 ()

答對

題數 反應組型(試題 1~試題 30) A 高 1.65 26 111100111111111110101111111111

A’ 高 1.46 26 111110111111111110101110111111

B 中 .01 19 111100101111010110000110111011

B’ 中 .41 19 110100101100011110000111111111

C 低 -2.08 7 000100000101010000000010110000

C’ 低 -1.81 7 100100100100000000000000011010

同樣地，依照第四章第一節的 SAS/IML 矩陣的運算方式，得到 A’、B’、C’

三位受試者的模糊關係矩陣，再以 .80進行截矩陣後，即可得其概念屬性截矩 陣如附錄二所示，再依此繪製其 ISM 圖，如圖 4-4 至圖 4-6 所示，最後再和圖 4-1 至圖 4-3 比較進行分析。A’、B’、C’三位受試者的有理數概念精熟度和 A、B、C

三位受試者的有理數概念精熟度 差異不大，且其有理數概念之階層位置及連結關 係分別和 A、B、C 三位受試者相同，故以下將依整數、量與實測及估算等三子 題進行比較，並分別依不同能力值組別敘述之。

圖 4-4 A’生之 ISM 圖 ( 1.46, .8)

圖 4-5 B’生之 ISM 圖 ( .41, =.8)

概念精熟度

─── .55~.82

─── .85~.91

─── .97~.99

概念精熟度

─── .32~.66

─── .68~.88

─── .95~.96

概念精熟度

─── .05~.12

─── .18~.42

─── .68~.71

圖 4-6 C’生之 ISM 圖 ( =-1.81,  =.8)

壹、高能力值組別

根據 A、A’二位答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖 (圖 4-1 及圖 4-4) 可 知，二位學童數與量概念階層結構皆分三層，茲將針對二位受試者 ISM 圖相異處 加以分析，如表 4-8 所示。整理說明如下：

一、由 A、A’二生之 ISM 圖 (圖 4-1 及圖 4-4) 可知：三階層中的各概念位置皆相 同，概念 9、概念 13、概念 18 位於第一層，對於二生而言是屬於較容易精熟 的概念；概念 4、概念 5、概念 6、概念 7、概念 8、概念 10、概念 12、概念 14、概念 15、概念 16 位於第三層，對於 A、A’二生而言是屬於較不易精熟的 概念。

二、在概念精熟度方面，A’生在概念 9 (概念精熟度為.99) 和 A 生相同，其餘概 念的精熟度皆較 A 生低，顯示雖然二位受試者的答 對題數相等，但概念的精 熟程度並不一樣，A、A’二生的數與量的知識概念特徵並不相同。

三、在概念連結關係方面，由表 4-8 可知：A’生較 A 生的整數概念連結關係少了 概念 3 (三位數乘以一位數直式計算) 指向概念 4 (除法橫式解題) 、量與實測 概念連結關係少了概念 13 (間接比較容量大小) 指向概念 17 (比較角的大

小) 、估算概念的連結關係少了概念 1 (位值單位換算) 指向概念 8 (三位數以 內的加減估算) 等三條連結線，顯示教師可加強其連結關係，使 A’生的上位 概念能和下位概念相連結，提高數與量概念的精熟度。

表 4-8 答對題數相同但反應組型不同 ISM 圖－高能力值組

階層數 精熟度 A 生 精熟度 A’生

第三層 .77~.86 .71~.82

整

數 第二層 .91~ .96 .85~ .90

第三層 .74~.88 .63~.81

第二層 .94~.95 .91

量 與 實

測 第一層 .99 .97~.98

第三層 .67~.78 .55~.67

估

算 第二層 .94 .89

貳、中能力值組別

根據 B、B’二位答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖 (圖 4-2 及圖 4-5) 可 知，二位學童數與量概念階層結構皆分三層，茲將針對二位受試者 ISM 圖相異處 加以分析，如表 4-9 所示。整理說明如下：

一、由 B、B’二生之 ISM 圖 (圖 4-2 及圖 4-5) 可知：三階層中的各概念位置大多 相同，概念 9 和概念 18 位於第一層，對於二生而言是屬於較易精熟的概念；

概念 2、概念 3、概念 4、概念 7、概念 8、概念 10、概念 12、概念 14、概念 16 位於第三層，對於二生而言屬於較不易精熟的概念。但概念 6 (兩步驟解題) 分別位於 B 生的第二層 (精熟度為.59) ，及 B’生的第三層 (精熟度為.64) ，

顯示概念 6 對於 B’生而言較 B 生精熟。

二、在概念精熟度方面，B’生的各個概念精熟度皆較 B 生高，顯示雖然二位受試 者的答對題數相等，但概念的精熟程度並不一樣，B、B’二生的數與量的知識 概念特徵並不相同。

三、在概念連結關係方面，由表 4-9 可知：在整數概念的連結關係上，B 生的概 念 6 指向概念 2，和數學概念的發展較不相符，可加強概念 2 的練習並修正其 連結關係。此外，B’生較 B 生的量與實測概念連結關係少了概念 11 (時間單 位加減計算) 指向概念 7 (數線上的加減操作) ，教師可建立 B’生時間概念的 基礎，並加強概念 11 和概念 7 的連結關係，以提高該生量與實測概念的精熟 度。

表 4-9 答對題數相同但反應組型不同 之 ISM 圖－中能力值組

階層數 精熟度 B 生 精熟度 B’生

第三層 .53~.56 .60~.66

整

數 第二層 .59~.68 .71~.73

第三層 .33~.48 .40~.59

第二層 .64~.79 .68~.88

量 與 實

測 第一層 .93 .95

第三層 .24~.36 .45~.32

估

算 第二層 .62 .71

參、低能力值組別

根據 C、C’二位答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖 (圖 4-3 及圖 4-6) 可

知，二位學童數與量概念階層結構皆分三層，茲將針對二位受試者 ISM 圖相異處 加以分析，如表 4-10 所示。整理說明如下：

一、由 C、C’二生之 ISM 圖 (圖 4-3 及圖 4-6) 可知：三階層中的各概念位置皆相 同，概念 9、概念 18 位於第一層，對於 C、C’二生而言是屬於較容易精熟的 概念；概念 2、概念 7、概念 8、概念 10、概念 12、概念 14 位於第三層，對 於二生而言是屬於較不易精熟的概念 。

二、在概念精熟度方面，C’生在各個概念的精熟度皆較 C 生高，顯示雖然二位受 試者的答對題數相等，但概念的精熟度並不一樣，C、C’二生的數與量的知識 概念特徵並不相同。

三、在概念連結關係方面，由表 4-10 可知：C’生較 C 生的整數概念連結關係少 了概念 5 (三位數除以一位數直式計算) 指向概念 2 (直式加減) ，顯示教師可 針對 C 生概念 5 指向概念 2 之不符合數學概念發展的不當連結關係進行補救 教學，並加強四位數 (數值較大) 的加減計算能力；在量與實測概念連結關係 少了概念 13 (間接比較容量大小) 指向概念 14 (容量單位換算) ，顯示教師可 加強 C’生概念 13 指向概念 14 的連結關係，使 C’生的上位概念能和下位概念 相連結，提高數與量概念的精熟度。

表 4-10 答對題數相同但反應組型不同 之 ISM 圖－低能力值組

階層數 精熟度 C 生 精熟度 C’生

第三層 .09 .12

整

數 第二層 .15~.27 .18~.34

第三層 .04~.09 .05~.12

第二層 .20~.37 .25~.42

量 與 實

測 第一層 .66 .71

第三層 .03~.08 .04~.10

估

算 第二層 .27 .31

傳統測驗或一般教學現場的老師常以 受試者答對題數的多寡，判斷受試者能 力的高低，答對題數相同的受試者，不管其作答反應組型為何，皆視為具有相同 的能力值；而試題反應理論根據受試者 的作答反應真實呈現個別受試者的能力 值，改進前者的缺失，以更符合真實情況。本研究運用試題反應理論 (IRT) 模式，

依受試者的作答反應呈現個別受試者的能力值 ，並結合模糊邏輯之詮釋結構模式 呈現個別受試者的概念結構，不但了解個別受試者的差異也驗證了即使答對題數 相同但反應組型不同的受試者，除了其能力值有所不同以外，其數與量概念階層 結構亦不盡相同。