數與量概念相關研究

第一節 數與量概念相關研究

壹、數與量

數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置 ，其主要的形成以及演算 能力的培養均奠基於國小階段 。國小數與量的範圍較大，因此分為整數、量與實 測、有理數、估算等子題 (教育部，2003) 。

一、整數

由心理的觀點來看，數概念是由「1」概念的聯合再加以聚合而成的集聚單 位；而「1」概念則由測量活動的行為 ，或是數數動作內蘊化所得的 。由於記數 系統的使用，對數的本質探討需加入其結構方面的探索 (甯自強，1997) 。印－

阿記數系統是十進的，在原本的數概念是以「1」為單位的結構下，兒童若欲學 習正整數的結構，至少得多考慮另一個單位「十」，並且需能同時使用這兩個 (或 更多的) 單位來組織數概念。與低年級數與計算教材設計有關的運思有三 ，依其 發展順序為 (甯自強，1995) ：

(一)整合運思 (integration operation) ：將數個 1 合而為一，視為一個集聚單位。「數 的保留概念」為此運思產品，此時兩個數間僅有能被並置 (juxtaposed) 關係，兒童建構此運思時間在入學前 。

(二)累進性整合運思 (progressive integration operation) ：可以以一個集聚單位為

基礎，繼續合成新的 1 而成新的集聚單位，兒童約自一年級下學期開 始獲得此一運思。

(三)部份－全體運思：明顯區分 1 單位與一集聚單位，「在數的運作上同時使用兩

個以上的單位，不致導致混淆」的現象為此運思的產品，此時一個數 可以使用兩種以上的數單位重新結構 ，兒童約自三年級下學期開始擁 有此一運思。

原則上，教材設計是以兒童已擁有的運思及其可能的建構區 (下一運思的具 體解題活動或活動類型) 為基準。

二、量與實測

量的學習是學生學習連續量的入口 ，可以與有理數的學習相互加強。教學中 的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等七種量，其中，時間在 學習上完全仰賴計時的約定，與其他六種量不同，故通常另外處理。時間以外六 種量的學習，大致上要經歷初步概念與直接比較 、間接比較與個別單位、常用單 位的約定、常用單位的換算等四個階段 (教育部，2003) 。兒童對時間概念、時 間的量感及實測能力，不能從實物上開始培養，因為時間的量感不是建基在「實 物的感覺存有性質」的量。在教學時間單元時，時間教材的架構理念是從工具的 使用入門，在概念的發展上，對文化的適應成份遠勝於對物理現象 的掌握成份。

「時間」這類量感建基在「刻度上的變化的相對性質」之工具量，因為它們都是 藉由工具上比對刻度的觀點 ，從刻度的變化掌握工具量的相對量感 ；而稱「重 量」、「容量」、「長度」、「面積」、「體積」和「角度」這類絕對量感，可以從實物 存在性質上入手的量為感官量 (鍾靜，1994) 。

兒童對六種感官量概念的發展進度是有前後的 ，這些感官量在進入間接比較 之前，學童對該量的保留概念發展應大致形成才能進行活動 ，所以，在教材的安 排上，每種量的認識及直接比較的出現就有前後 。至於同類量中不同普遍單位 ， 例如：公分、公尺，要等學童都能掌握後，再進行化聚活動才有意義 (鍾靜，

2001) 。 三、有理數

小學數學教育中，有理數教學有分數、小數等兩種不同的表現形式 (教育部，

2003) 。「起始單位數」 (initial unit fraction) 並非「單位分數」 (甯自強，1993) ， 前者無法被重複，無法用來組成真分數；後者是指可以用來作為組成同分母真分 數的單位。當「起始單位數」質變成「單位分數」之後，兒童才能開始瞭解所謂 的「真分數」概念，以及其他相關的加法性分數。造成「起始單位數」與「單位 分數」概念間的差異，主要來自於兒童是否已能利用部份 －全體運思 (part-whole operations) 來同化數的情境。在無法利用部分－全體運思同化數的情境時，其部 份－全體關係的掌握，是全體由部份合成的，且組成全體的部分一旦被抽離，則 全體隨之煙消雲散，因此，部份是內嵌在全體之中的，而不是和全體同時各自獨 立運作的。具備加法性觀念的兒童可以瞭解單位分數內容為單一個物離散量或連 續量的同分母分數合、分解及比較問題，但對於單位分數內容為複數個物離散量 的同分母分數問題，則仍有困難 (甯自強，1997) 。

小數不但可被視為從整數位值概念擴展出來的 ，而且還與分數有密切關連 (劉曼麗，1998a) 。在教材的安排上是先由分數的連結來認識一位小數 ，並透過 印－阿記數系統來探討小數記法與其位名 。一位小數是小數的啓蒙教材，只涉及 一個單位小數 (0.1) ，故直接利用分數的分數詞序列，先建立 0.1～0.9 的數字與 數詞序列，再透過帶分數的連絡，以整數與 0.1 到 0.9 的合成方式，認識一位帶 小數 (劉曼麗，1996) 。

四、估算

估算在國民教育中可粗分為離散量的估算 (自然數四則運算的估算 ) 與連續 量的估算。離散量的估算教學應在學生已經能掌握確算後再進行 ；而連續量的估 算教學應透過測量時量不盡的正常情境 ，與小數的教學共同開展，認識小數之細 分與精確度的要求乃是一體的兩面 (教育部，2003) 。

概數及精確數 (exact number) 是測量活動的雙生兄弟 (twin) ，前者有誤差 而後者沒有誤差。在低年級的數與計算教材中，二位數的取概數活動，事實上則 是以 10 為單位對精確數的再測量，例如把 38 看成三十幾；而二位數的加減概算 活動，則是以概數描述兩位數的加減運算結果 。拿二十幾為例，二十幾並不是一 個 數 ， 它 是 群數 的總 稱 ， 它 代 表了 一個 類 ， 如 21 這 個數 是 這 個 類 的個 體 (individual) ，21 是二十幾的一個可能代表 ，而二十幾則是一個變數，取概數的 時候，二十幾不過是重新測量的結果 ，然而，在作概數的運算時，二十幾的變數 性質不能不考慮特性。概數的內容不僅僅是差不多 ，概數取出時的再測量活動 ， 以及其變數性質，往往是容易被忽略的 (甯自強，1995) 。

貳、認知診斷與數與量概念之相關研究

本研究依據分年細目進行學習效果的診斷 ，透過認知結構的分析方法，來探 討國小三年級學童在數學領域數與量之概念階層結構 。茲將近年來研究整理說明 如下：

一、認知診斷相關研究

兒童自出生以來，其主要的運思組織活動在具體運思時期奠定了保留數量數 目的基礎，建構他將以成人身分生活的智能發展的次一及最後時期之思考特徵 (王文科譯，1996) ，而 10-12 歲的學童雖然有些可學習抽象概念 ，但多半以學習 具體概念為主，12 歲以前是發展讀、寫、算的基礎。算的能力是包含加、減、乘、

除，小學階段是重要的關鍵 (Klausmeier, 1985) ，因此身為教師，有必要透過評 量學生對於概念的理解情形，以了解學生的認知能力，可同時關切學習者和學習 內容，由於學生會因個人不同的認知特性，對教導內容有不同的反應，學習者在 不同年齡、或過去不同方式的學習都會影響到目前的學習 ，如果能了解行為背後 的認知能力，顯然對我們會有所幫助，可將孩子認知能力發展作概念化的方法 ， 從認知觀點來了解孩子在不同時期的認知功能 以提供適當的教學 (黃慧真譯，

1994) ，或藉由概念分析了解該主題的知識結構 ，選擇所欲教導的主題層次 。 教學者在某一主題內進行概念分析，應該知道所教的這個概念是符合該主題 所屬的分類或層次以及此概念在解決該主題各種問題 時的用處，然而當主題的基 本結構沒有被適當地安置時，受試者很難去建構起主題的層次。因此認知結構分 析對於補救教學而言，能使我們澄清訊息成分的組織關係 ，來分解各種語文訊 息，以幫助教師和學生界定所要學習的訊息及如何學習或如何對此訊息作更好的 處理 ，以便日後在 使用 時能更有效率 (Tatsuoka, 1990; Tatsuoka & Tatsuoka, 1997) 。

當教師試圖對學生作認知訓練時，便會使學生更主動的參與，也會花更多時 間教導，而學生眼見成功的新希望時，也常會更盡力的學習，任何認知或行為的 介入都能對教學產生有益的效果。認知理論能幫助我們從某種觀點了解學生 ，不 只是看他們做了些什麼，還要了解他們。

因此認知診斷測驗的發展 ，對教育實務問題具有重大的涵義和啓示 (余民 寧，1995；余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001) 。概念性知識不僅要知道知識的概 念，更強調能將概念和原本的概念知識相連結 ；程序性知識也是如此，更著重於 學生做得如何 (Star, 2005) 。故本研究期能透過有目的、結構化的試題設計，再 經過認知診斷模式的分析，找出或診斷出具有認知失誤或錯誤概念的學生 ，以便 對症下藥進行補救教學。

二、數與量相關研究

國內對於數與量主題單一個概念的相關研究很多 ：李源順 (2002) 研究使用

「幾個百、幾個十、幾個一的幾倍」的多步驟計算方式，發現其需要兩種形式的 位值概念轉換以及一種等價關係的轉換，對學童的學習負荷量大。張日齊 (2003) 研究發現三年級的分數概念發展階段為起始單位分數 ，但有些概念如：「部分在 全體之中」的「整體」 (單位基準量) 掌握顯然不足。劉曼麗 (1998b) 指出學生 獲得的小數知識大多侷限於程序性知識 ，對形成的原因或過程往往不求甚解 。數

的概念性知識可為程序性知識的獲得及其持久性 ，提供一個堅固的基底 。鍾靜 (1998) 認為時間 (time) 和速率 (velocity) 有相同的特性，無法藉由實體表徵出 來，而且不易掌握量感。這一類教材的設計顯然不能同於長度 、重量、容量、面 積、體積、角度等教材，只能從工具的使用入門，在概念發展、文化適應上的處 理要遠勝於對物理現象的掌握 。

吳俊諭 (2005) 研究發現由知識管理的角度出發 ，以國小三年級數學領域數 與量主題為例，配合教學理論，用分年細目為學習元件索及學習進程控制的依 據，所建置之學習系統的確能提昇學生的數學領域學業成就 ，但系統提供的學習

吳俊諭 (2005) 研究發現由知識管理的角度出發 ，以國小三年級數學領域數 與量主題為例，配合教學理論，用分年細目為學習元件索及學習進程控制的依 據，所建置之學習系統的確能提昇學生的數學領域學業成就 ，但系統提供的學習