國小三年級數與量階層結構分析－模糊邏輯之詮釋結構模式探討

全文

(1)國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文. 指導教授：林原宏. 博士. 國小三年級數與量階層結構分析－模糊邏輯之詮釋結構模式探討. 研究生：施杏芬. 撰. 中華民國九十七年六月.

(2) 摘要本研究旨在應用模糊邏輯的詮釋結構模式，分析國小三年級學童個人化的數與量概念結構。研究者應用模糊邏輯之詮釋結構模式，以 1086 名國小三年級學童為研究對象，探討其個人化的數與量概念階層結構，經由分析學童的作答反應後，圖繪出高、中、低不同能力值受試者之 ISM 圖以進行分析，並以專家之 ISM 圖為參照標準比較其特徵及差異性，最後再以模糊集群方法分群進行交叉比較，研究結果臚列於下數點：一、對於探討學童個人化的數與量概念認知結構，模糊邏輯的詮釋結構模式分析方法是可行的分析方法。二、不同能力值的受試者其數與量概念結構有明顯的差異存在。三、答對題數相同但反應組型不同的受試者其數與量概念結構不盡相同。四、根據受試者之個人化 ISM 圖，其概念間的連結關係分析結果，可具體提供教學者進行分組教學及補救教學時之參考。五、以專家的 ISM 圖為參照標準，高、中、低不同能力值組別間受試者 ISM 圖之相似性係數達統計上的顯著差異。六、受試者的能力值對其 ISM 圖之相似性係數的影響為正向的，能力值愈高，和專家的 ISM 圖之相似性係數也愈相近。七、以模糊集群分析方式可將受試者分為能力值較高與能力值較低的二個集群，且同一個集群的概念精熟度較為相似。本研究之結果與發現，有助於教學者了解學童數與量之整體性的概念階層結構，以及實施補救或分組教學之參考。最後，研究者根據研究結果提出對未來研究之相關建議。. 關鍵字：能力指標、詮釋結構模式、試題反應理論、模糊理論、模糊集群分析. I.

(3) Abstract The purpose of this study is to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM) to analy ze the individualized hierarchical structures of numbers and quantities concepts for third graders. In order to explore the individualized structure of numbers and quantities concepts, the sample includes 1086 third graders of elementary schools and the testing is self-designed numbers and quantities concepts test first. Secondly, the researcher analyzes students’ response patterns through FAISM software to get the ind ividualized hierarchical structures of concepts. Thirdly, the researcher compare s qualitively and quantitatively the difference s of the individualized hierarchical structures among examinees of high, middle, low ability with the experts. Finally, the researcher explores the differences among groups by fuzzy cluster analysis and IRT latent trait. Through the procedures of the analysis, the following conclusions are found. 1. The FAISM is a feasible way for analyzing the individualized concepts structures of numbers and quantities. 2. The ISM graphs of examinees are varied with different ability. 3. The ISM graphs are different from those who have the same total scores but different response patterns . 4. According to individualized ISM graphs, the links among concepts c ould be as references for group teaching and remedial instruction. 5. Based on the referenced standard of experts’ concept structures, the similarity indices of the ISM graphs of examinees of different ability are significantly different. 6. The higher IRT theta values of examinees have, the higher similarity indices of the ISM graphs will be. 7. All examinees are divided into two groups, higher ability and lower ability. The examinees in the same group have similar mastery concepts. The findings of this study should be helpful for understanding the learning process of numbers and quantities and could be as references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided. Keyword: competence indicators, fuzzy cluster analysis, fuzzy theory, interpretive structural modeling, item response theory.. II.

(4) 目錄第一章. 緒論................................ ................................ ................................ .... 1. 第一節第二節第三節. 第二章. 文獻探討 ................................ ................................ ................................ ...7. 第一節第二節第三節第四節. 第三章. 研究架構 ................................ ................................ ............................ 33 研究對象 ................................ ................................ ............................ 35 研究工具 ................................ ................................ ............................ 35 資料分析 ................................ ................................ ............................ 42. 研究結果與討論 ................................ ................................ .............. 45. 第一節第二節第三節第四節. 第五章. 數與量概念相關研究 ................................................................................ 7 試題反應理論 ........................................................................................... 12 模糊邏輯的詮釋結構模式 ...................................................................... 16 模糊集群分析 ........................................................................................... 23. 研究方法................................ ................................ .......................... 33. 第一節第二節第三節第四節. 第四章. 研究動機 ................................ ................................ .............................. 1 研究目的 ................................ ................................ .............................. 3 名詞解釋 ................................ ................................ .............................. 3. 不同能力值受試者 ISM 圖之分析 ................................ .................... 45 答對題數相同但反應組型不同之 ISM 圖比較 ................................ .52 能力值與 ISM 圖相似性係數關係之分析 ................................ ......... 59 模糊集群分群方法與能力值為依據的分組方式之比較................... 61. 結論與建議 ................................ ................................ ...................... 67. 第一節第二節第三節. 結論 ................................ ................................ ................................ ....67 研究限制 ................................ ................................ ............................ 69 後續研究建議 ................................ ................................ .................... 70. 參考文獻 ................................ ................................ ................................ ......... 71 壹、. 中文部分 ................................ ................................ ................................ 71. III.

(5) 貳、參、. 日文部分 ................................ ................................ ................................ 75 英文部分………………………………… ………………..…..………… 76. 附錄一. 國小三年級學生數與量概念測驗 ................................ ................. 81. 附錄二. 受試者之模糊關係矩陣暨概念屬性截矩陣 ................................ . 83. 附錄三. 計算概念 ISM 圖之相關 SAS/IML 原始碼 ................................ .. 91. IV.

(6) 表目錄表 2-1. 三種常用的對數型試題反應模式................................ ..................... 15. 表 3-1. 各縣市不同受試學校一覽表 ................................ ............................ 35. 表 3-2. 不同學校受試班級暨受試人數一覽表 ................................ ............. 35. 表 3-3. 三年級數與量分年細目及所隸屬子題 ................................ ............. 36. 表 3-4. 數與量試題概念組成表 ................................ ................................ .... 37. 表 3-5. 數與量試題評量參與編製人員 ................................ ........................ 38. 表 3-6. 預試工具之分析................................ ................................ ................ 38. 表 3-7. 試題與概念屬性之關係矩陣 ................................ ............................ 39. 表 3-8. 正試工具之分析 ................................ ................................ ................ 41. 表 4-1. 不同能力值的受試者代表之答題情形 ................................ ............. 45. 表 4-2. 不同能力值組別的概念精熟度 ................................ ........................ 48. 表 4-3. 不同能力值組別代表之 ISM 圖－整數部份 ................................ .... 49. 表 4-4. 不同能力值組別代表之 ISM 圖－量與實測部份 ............................ 50. 表 4-5. 不同能力值組別代表之 ISM 圖－有理數部份 ................................ 51. 表 4-6. 不同能力值組別代表之 ISM 圖－估算部份 ................................ .... 52. 表 4-7. 答對題數相同但反應組型不同的受試者代表之答題情形.............. 52. 表 4-8. 答對題數相同但反應組型不同之 ISM 圖－高能力值組 ................ 55. V.

(7) 表 4-9. 答對題數相同但反應組型不同之 ISM 圖－中能力值組 ................ 56. 表 4-10 答對題數相同但反應組型不同之 ISM 圖－低能力值組 ................. 58 表 4-11 不同能力值組別的相似性係數之單因子變異數分析摘要表 .......... 59 表 4-12 不同能力值組別相似性係數單因子變異數分析事後比較摘要表 ...60 表 4-13 能力值對 ISM 圖相似性係數之迴歸分析摘要表 .. ........................ ..61 表 4-14 模糊集群－目標函數法之各類別中心 ................................ ............. 62 表 4-15 不同模糊集群分群的概念精熟度................................ ..................... 62 表 4-16 能力值分組和模糊集群分群之人數交叉表 ................................ ..... 64. VI.

(8) 圖目錄圖 2-1 ISM 圖的繪製................................ ................................ ................... 18 圖 3-1. 研究架構圖................................ ................................ ........................ 33. 圖 3-2. 研究流程圖................................ ................................ ........................ 34. 圖 4-1. A 生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 46. 圖 4-2 B 生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 46 圖 4-3 C 生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 46 圖 4-4. A’生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 53. 圖 4-5. B’生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 53. 圖 4-6. C’生之 ISM 圖................................ ................................ ................... 54. 圖 4-7. 專家之 ISM 圖................................ ................................ ................... 59. 圖 4-8. 全體受試者之不同能力值組別分佈 ................................ ................. 64. 圖 4-9. 全體受試者之模糊集群分佈 ................................ ............................ 64. 圖 4-10 模糊集群分群之概念精熟度分佈................................ ..................... 65. VII.

(9) 第一章緒論當老師或學生能更了解評量歷程所能提供的訊息，學習的成效將可更顯著。每位學生的起點行為或先備知識的精熟程度不盡相同，當學習的領域有循序漸進的邏輯結構時，分析或了解其先備知識將更為重要。本研究將藉由分析學生數與量概念的個人化 ISM 圖，了解國小學童在數與量的概念及結構上的個人化特徵，以提供教學者進行教學或補救教學時之參考。. 第一節研究動機九年一貫課程將數學內容分成五大主題，其中「數與量」是數學學習的基礎，對數與量有充分的了解，較容易進一步學習其他主題內容。在數學能力指標下，依階段與年級條列分年細目，分年細目代表學生在該年級應具備的概念，而數學的學習因人而異，教師應透過教學評量分析學生的學習問題，並依據學生學習類型做適當的診斷，以了解學童概念階層結構及其特徵，提昇學習成效。數學學習領域第一階段 (一至三年級) 的教學目標是「能掌握數、量、形的概念」，「數與量」在國民教育數學課程中具有最重要的位置 (教育部，2003) 。綜觀國內對於「數與量」的研究，多半以單一個概念為主題，例如：加減法、乘法、分數、時間等方面 (古明峰，1999；李源順，2002；張日齊，2003；鍾靜， 1994) ，較少以「數與量」主題進行整體性分析，以探究概念間相互依隨的關係。此外，多項概念如：一位小數、同分母分數加減、估算等，是國小三年級分年細目中初次學習的概念，且三年級下學期才具有部份－全體運思，方能同時使用兩個以上的單位，不致導致混淆，此時一個數可以使用兩種以上的數單位重新結構 (甯自強，1995) ，所以學童數與量主題中的多項概念的發展是奠基於此階段。在數學學習上，運算技能與數感被視為數學的核心元素，運算技能是從小學. 1.

(10) 三年級的數學課程逐漸養成的，而深層理解數的意義之數感也包含對數概念與運算規則的理解 (黃幸美，2005) ，而運算技能與數感培養也奠基於數與量主題之教學目標下。在數學教材方面，數學教材的編排是配合學童認知結構的發展，採螺旋式課程設計的精神加深加廣。譚寧君 (1999) 指出，教師往往以教材出現的次序為難易標準，且以為只要在教材中呈現的概念即應達到完備的程度，而忽略課程概念間相互依隨的關係。數學的學習注重循序累進邏輯結構，以保證數學教育的穩定性 (教育部，2003) ，因此，學童數學概念及能力結構的關係是值得探究的課題。 Warfield (1976) 所提出的詮釋結構模式可分析元素或試題間的上、下從屬關係，然而受限於二元關係，且只能得到整體受試者的概念結構，無法了解個人化的概念結構關係，在應用上會有所限制。一般試題施測，每道試題可能包含多個概念或能力，因此林原宏 (2005a) 提出模糊邏輯的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling ) 分析法，以察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception) 計算概念間從屬關係，經由模糊截矩陣 (alpha cut) 之 ISM 演算，可呈現個別受試者的概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure) 。此外，在教學實務上，教師經常會針對學習成就較低者進行補救教學，在進行補救教學時，希望能將概念精熟度相似者或錯誤類型相同者集合一起，以利課程設計或教學活動的進行。Kaufman and Rousseeuw (1990) 結合模糊理論及集群分析的概念所提出的模糊集群分析，以事後觀點將相似程度高的元素或概念歸為同一集群，使同一集群受試者的概念精熟程度儘可能相似，亦即同一集群內元素或概念的同質性高，不同集群內元素或概念的異質性高，教學者可針對具有相似概念精熟程度或具有相同錯誤類型的學生進行補救教學，以達更有效之學習。基於以上所述，本研究旨在以第一階段的最高年級 (三年級) 為施測對象，依據九年一貫數與量分年細目指標，自編評量工具，並運用模糊邏輯的詮釋結構. 2.

(11) 模式及模糊集群分析方法，探討國小三年級學童在九年一貫數學領域數與量能力指標分年細目的階層結構。. 第二節研究目的基於上述研究動機，本研究主要目的在於探討數與量分年細目的概念階層結構，具體的目的敘述如下：一、探討不同能力值的國小三年級學童其 ISM 圖之特徵。二、探討國小三年級學童其答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖之異同。三、探討國小三年級學童其能力值與 ISM 圖相似性係數之關係。四、探討國小三年級學童以模糊集群的分群方法及以能力值為依據的分組方式之關係。. 第三節名詞解釋本研究中所涉及的名詞，分別說明與界定如下：. 壹、數與量概念本研究中所稱之數與量概念是以國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，五大主題中數與量主題下的階段能力指標所演繹出之三年級分年細目。. 貳、試題反應理論試題反應理論 (item response theory, IRT) 係以受試者之潛在特質 (latent traits) 解釋或預測其在某一測驗試題上的表現情形，二者的關係可透過試題特徵曲線 (item characteristic curve) 加以詮釋；換言之，是一種描述潛在特質和題目反應機率間的數學函數關係之心理計量理論。. 參、模糊理論. 3.

(12) 由 L. A. Zadeh (1965) 提出的模糊理論 (fuzzy theory) ，具事後觀點研究不確定性的問題，以可能性 (possibility) 表示發生後的不確定性，可經由模糊測度函數表示之，將輸入值依照預定的歸屬函數給予一個 0 到 1 的歸屬度，以決定其歸屬於各個集合程度的強度，打破了二元的現象描述方法，使得邏輯的輸出值不只是 0 與 1 的兩種選擇。. 肆、模糊邏輯的詮釋結構模式由林原宏 (2005a) 所提出的模糊邏輯的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling) ，針對模糊關係元素以察覺的模糊邏輯模式，計算概念間上、下從屬關係 (subordination relation) 程度，經由模糊截矩陣 (alpha cut) 之 ISM (interpretive structural model, ISM) 演算，可呈現個別受試者的概念階層結構 (individualized concept hierarchy structure) 。. 伍、ISM 圖本研究中所稱之 ISM 圖泛指經由模糊邏輯的詮釋結構模式分析後所呈現的圖形化之數與量概念階層結構。. 陸、專家的 ISM 圖本研究中所稱之專家的 ISM 圖係指答對所有試題的受試者其 ISM 圖。. 柒、相似性係數本研究所指之相似性係數是採 Goldsmith, Johnson, and Acton (1991) 將概念結構圖量化的方法，根據受試者的概念模糊關係截矩陣來進行 ISM 圖之比較 (林原宏、游森期，2006) 。其公式如下：  1  M # G A  m   G B  m  S AB     M  m 1 # G A  m   G B  m . 即集合交集與聯集之比值。其中，A 和 B 代表二位受試者， M 表示概念數，. 4.

(13) #表示集合的元素個數，其概念關係矩陣分別為 R A  rij M M 和 RB  rij M M ，且受試者 A、B 之概念 i 為其先備條件的所有概念之集合分別為 G A  i  和 G B  i  。 G A  m   G B  m  表示兩個集合之交集， G A  m   G B  m  表示兩個集合之聯集。相似. 性係數 0  S AB  1，S AB 愈大，表示受試者 A 和 B 的 ISM 圖結構愈相似，反之則否。. 捌、模糊集群分析 Kaufman and Rousseeuw (1990) 結合模糊理論及集群分析的概念提出模糊集群分析，將相似程度高的元素或概念歸為同一集群，使同一集群受試者的概念精熟程度儘可能相似，其中隸屬度是決定元素間距離的重要因素。本研究採用目標函數法 (objective function) 之集群分析。. 5.

(14) 6.

(15) 第二章文獻探討本研究之目的主要係藉由分析學生個人化 ISM 圖，了解國小學童在數與量概念及結構上的個人化特徵。依據研究目的，研究者在本章中將探討有關數與量概念相關研究、試題反應理論、模糊邏輯的詮釋結構模式及模糊集群分析之相關文獻。. 第一節數與量概念相關研究壹、數與量數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主要的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。國小數與量的範圍較大，因此分為整數、量與實測、有理數、估算等子題 (教育部，2003) 。一、整數由心理的觀點來看，數概念是由「1」概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位；而「1」概念則由測量活動的行為，或是數數動作內蘊化所得的。由於記數系統的使用，對數的本質探討需加入其結構方面的探索 (甯自強，1997) 。印－阿記數系統是十進的，在原本的數概念是以「1」為單位的結構下，兒童若欲學習正整數的結構，至少得多考慮另一個單位「十」，並且需能同時使用這兩個 (或更多的) 單位來組織數概念。與低年級數與計算教材設計有關的運思有三，依其發展順序為 (甯自強，1995) ： (一)整合運思 (integration operation) ：將數個 1 合而為一，視為一個集聚單位。「數的保留概念」為此運思產品，此時兩個數間僅有能被並置 (juxtaposed) 關係，兒童建構此運思時間在入學前。 (二)累進性整合運思 (progressive integration operation) ：可以以一個集聚單位為. 7.

(16) 基礎，繼續合成新的 1 而成新的集聚單位，兒童約自一年級下學期開始獲得此一運思。 (三)部份－全體運思：明顯區分 1 單位與一集聚單位，「在數的運作上同時使用兩個以上的單位，不致導致混淆」的現象為此運思的產品，此時一個數可以使用兩種以上的數單位重新結構，兒童約自三年級下學期開始擁有此一運思。原則上，教材設計是以兒童已擁有的運思及其可能的建構區 (下一運思的具體解題活動或活動類型) 為基準。二、量與實測量的學習是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等七種量，其中，時間在學習上完全仰賴計時的約定，與其他六種量不同，故通常另外處理。時間以外六種量的學習，大致上要經歷初步概念與直接比較、間接比較與個別單位、常用單位的約定、常用單位的換算等四個階段 (教育部，2003) 。兒童對時間概念、時間的量感及實測能力，不能從實物上開始培養，因為時間的量感不是建基在「實物的感覺存有性質」的量。在教學時間單元時，時間教材的架構理念是從工具的使用入門，在概念的發展上，對文化的適應成份遠勝於對物理現象的掌握成份。「時間」這類量感建基在「刻度上的變化的相對性質」之工具量，因為它們都是藉由工具上比對刻度的觀點，從刻度的變化掌握工具量的相對量感；而稱「重量」、「容量」、「長度」、「面積」、「體積」和「角度」這類絕對量感，可以從實物存在性質上入手的量為感官量 (鍾靜，1994) 。兒童對六種感官量概念的發展進度是有前後的，這些感官量在進入間接比較之前，學童對該量的保留概念發展應大致形成才能進行活動，所以，在教材的安排上，每種量的認識及直接比較的出現就有前後。至於同類量中不同普遍單位，例如：公分、公尺，要等學童都能掌握後，再進行化聚活動才有意義 (鍾靜，. 8.

(17) 2001) 。三、有理數小學數學教育中，有理數教學有分數、小數等兩種不同的表現形式 (教育部， 2003) 。「起始單位數」 (initial unit fraction) 並非「單位分數」 (甯自強，1993) ，前者無法被重複，無法用來組成真分數；後者是指可以用來作為組成同分母真分數的單位。當「起始單位數」質變成「單位分數」之後，兒童才能開始瞭解所謂的「真分數」概念，以及其他相關的加法性分數。造成「起始單位數」與「單位分數」概念間的差異，主要來自於兒童是否已能利用部份－全體運思 (part-whole operations) 來同化數的情境。在無法利用部分－全體運思同化數的情境時，其部份－全體關係的掌握，是全體由部份合成的，且組成全體的部分一旦被抽離，則全體隨之煙消雲散，因此，部份是內嵌在全體之中的，而不是和全體同時各自獨立運作的。具備加法性觀念的兒童可以瞭解單位分數內容為單一個物離散量或連續量的同分母分數合、分解及比較問題，但對於單位分數內容為複數個物離散量的同分母分數問題，則仍有困難 (甯自強，1997) 。小數不但可被視為從整數位值概念擴展出來的，而且還與分數有密切關連 (劉曼麗，1998a) 。在教材的安排上是先由分數的連結來認識一位小數，並透過印－阿記數系統來探討小數記法與其位名。一位小數是小數的啓蒙教材，只涉及一個單位小數 (0.1) ，故直接利用分數的分數詞序列，先建立 0.1～0.9 的數字與數詞序列，再透過帶分數的連絡，以整數與 0.1 到 0.9 的合成方式，認識一位帶小數 (劉曼麗，1996) 。四、估算估算在國民教育中可粗分為離散量的估算 (自然數四則運算的估算 ) 與連續量的估算。離散量的估算教學應在學生已經能掌握確算後再進行；而連續量的估算教學應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面 (教育部，2003) 。. 9.

(18) 概數及精確數 (exact number) 是測量活動的雙生兄弟 (twin) ，前者有誤差而後者沒有誤差。在低年級的數與計算教材中，二位數的取概數活動，事實上則是以 10 為單位對精確數的再測量，例如把 38 看成三十幾；而二位數的加減概算活動，則是以概數描述兩位數的加減運算結果。拿二十幾為例，二十幾並不是一個數，它是群數的總稱，它代表了一個類，如 21 這個數是這個類的個體 (individual) ，21 是二十幾的一個可能代表，而二十幾則是一個變數，取概數的時候，二十幾不過是重新測量的結果，然而，在作概數的運算時，二十幾的變數性質不能不考慮特性。概數的內容不僅僅是差不多，概數取出時的再測量活動，以及其變數性質，往往是容易被忽略的 (甯自強，1995) 。. 貳、認知診斷與數與量概念之相關研究本研究依據分年細目進行學習效果的診斷，透過認知結構的分析方法，來探討國小三年級學童在數學領域數與量之概念階層結構。茲將近年來研究整理說明如下：一、認知診斷相關研究兒童自出生以來，其主要的運思組織活動在具體運思時期奠定了保留數量數目的基礎，建構他將以成人身分生活的智能發展的次一及最後時期之思考特徵 (王文科譯，1996) ，而 10-12 歲的學童雖然有些可學習抽象概念，但多半以學習具體概念為主，12 歲以前是發展讀、寫、算的基礎。算的能力是包含加、減、乘、除，小學階段是重要的關鍵 (Klausmeier, 1985) ，因此身為教師，有必要透過評量學生對於概念的理解情形，以了解學生的認知能力，可同時關切學習者和學習內容，由於學生會因個人不同的認知特性，對教導內容有不同的反應，學習者在不同年齡、或過去不同方式的學習都會影響到目前的學習，如果能了解行為背後的認知能力，顯然對我們會有所幫助，可將孩子認知能力發展作概念化的方法，從認知觀點來了解孩子在不同時期的認知功能以提供適當的教學 (黃慧真譯，. 10.

(19) 1994) ，或藉由概念分析了解該主題的知識結構，選擇所欲教導的主題層次。教學者在某一主題內進行概念分析，應該知道所教的這個概念是符合該主題所屬的分類或層次以及此概念在解決該主題各種問題時的用處，然而當主題的基本結構沒有被適當地安置時，受試者很難去建構起主題的層次。因此認知結構分析對於補救教學而言，能使我們澄清訊息成分的組織關係，來分解各種語文訊息，以幫助教師和學生界定所要學習的訊息及如何學習或如何對此訊息作更好的處理，以便日後在使用時能更有效率 (Tatsuoka, 1990; Tatsuoka & Tatsuoka, 1997) 。當教師試圖對學生作認知訓練時，便會使學生更主動的參與，也會花更多時間教導，而學生眼見成功的新希望時，也常會更盡力的學習，任何認知或行為的介入都能對教學產生有益的效果。認知理論能幫助我們從某種觀點了解學生，不只是看他們做了些什麼，還要了解他們。因此認知診斷測驗的發展，對教育實務問題具有重大的涵義和啓示 (余民寧，1995；余民寧、林曉芳、蔡佳燕，2001) 。概念性知識不僅要知道知識的概念，更強調能將概念和原本的概念知識相連結；程序性知識也是如此，更著重於學生做得如何 (Star, 2005) 。故本研究期能透過有目的、結構化的試題設計，再經過認知診斷模式的分析，找出或診斷出具有認知失誤或錯誤概念的學生，以便對症下藥進行補救教學。二、數與量相關研究國內對於數與量主題單一個概念的相關研究很多：李源順 (2002) 研究使用「幾個百、幾個十、幾個一的幾倍」的多步驟計算方式，發現其需要兩種形式的位值概念轉換以及一種等價關係的轉換，對學童的學習負荷量大。張日齊 (2003) 研究發現三年級的分數概念發展階段為起始單位分數，但有些概念如：「部分在全體之中」的「整體」 (單位基準量) 掌握顯然不足。劉曼麗 (1998b) 指出學生獲得的小數知識大多侷限於程序性知識，對形成的原因或過程往往不求甚解。數. 11.

(20) 的概念性知識可為程序性知識的獲得及其持久性，提供一個堅固的基底。鍾靜 (1998) 認為時間 (time) 和速率 (velocity) 有相同的特性，無法藉由實體表徵出來，而且不易掌握量感。這一類教材的設計顯然不能同於長度、重量、容量、面積、體積、角度等教材，只能從工具的使用入門，在概念發展、文化適應上的處理要遠勝於對物理現象的掌握。吳俊諭 (2005) 研究發現由知識管理的角度出發，以國小三年級數學領域數與量主題為例，配合教學理論，用分年細目為學習元件索及學習進程控制的依據，所建置之學習系統的確能提昇學生的數學領域學業成就，但系統提供的學習元件無法完成數學概念的教學。所以本研究在試卷編製上兼顧三年級分年細目的各項概念，期能以數與量主題進行整體性分析，對細目所含概念的相互依隨關係有更完整的了解。. 第二節試題反應理論心理測驗理論是一種解釋測驗資料間實證關係 (empirical relationships) 之有系統的理論學說，測驗理論的學者通常將其分為古典測驗理論及現代測驗理論二大學派 (余民寧，1991) 。古典測驗理論又稱古典真分數理論 (classical true score theory) ，以線性模式 (觀察分數 =真分數 +誤差分數， X=T+E) 和樣本依賴 (sample dependent) 的指數值 (試題難度和鑑別度) 來描述測驗中試題的特性，並推論受試者的真分數 (余民寧，1997；郭生玉，1995) ，但由於古典測驗理論具有樣本依賴的特性、每位受試者的測量標準誤皆相同、忽略受試者的試題反應組型及以總分表示受試者的能力等缺點，加以電腦科技的進步，各種適用現代測驗理論的軟體程式相繼誕生，古典測驗理論有被現代測驗理論取代的趨勢。. 壹、基本概念試題反應理論 (item response theory, IRT) 為現代測驗理論之主要架構。試題. 12.

(21) 反應理論是描述受試者與其能力的關係，受試者經由測驗題目表現能力，而能力也透過測驗題目表達出來 (王寶墉，1995) 。以能力來預測或解釋受試者在某一測驗上的表現情形，而受試者的表現情形和能力間的關係可透過一條連續性遞增的函數來詮釋，此函數為試題特徵曲線 (item characteristic curve, ICC) ，此曲線也可視為不同能力受試者在某一測驗試題上之得分點連接起來所構成的曲線，若將各試題的試題特徵曲線加總起來，便構成所謂的試卷特徵曲線 (test characteristic curve, TCC). (余民寧，1992；Embretson & Reise, 2000）。. 不同於古典測驗理論，試題反應理論有二項不變性 (invariant) 的特徵：首先，試題獨立 (item-independent) 的能力估計值，不同組的試題估計而得的受試者能力估計值不受所使用的測驗種類所影響；其次，樣本獨立 (sample-independent) 的試題參數估計值，不同族群的受試者估計而得的試題參數估計值，不受參與測驗受試者族群的影響，此二種特性是將試題訊息包含在能力估計的過程中，將受試者能力訊息包含在試題參數估計的過程中。此外，不同能力受試者之能力估計值也各自提供其測量的估計標準誤 (standard errors). (余民寧，1992) 。. 貳、基本假設試題反應理論具有下列幾項基本假設，只有在這些假設都成立的前提下，試題反應理論模式方能被用來分析所有的測驗資料 (王寶墉，1995；余民寧，1992； Embretson & Reise, 2000)：一、單向性測驗中的各個試題都只測量同一特質或能力，但在一般測驗中易受動機、焦慮、答題技巧…等其它因素影響，不易符合此項假設，因此，試題反應理論中對此假設的基本看法為：只要該測驗具有能夠影響測驗結果的一個「主要成份或因素」即符合單向性 (unidimensionality) 的基本要求，也就是允許某程度的違反假定。. 13.

(22) 二、局部獨立性局部獨立性 (local independence) 係指在考慮受試者的能力因素後，受試者在不同試題的反應沒有任何關係存在，即涵蓋在試題反應模式裡的能力因素是唯一影響受試者在測驗上作答的反應因素。三、非速度測驗非速度測驗 (nonspeedness) 係指大部份的受試者都有機會回答每一道試題，測驗才能有效測出受試者的能力 (潛在特質) ，即受試者的表現不理想是由於能力不足所致。. 參、試題反應理論模式就二元計分的資料而言，試題反應理論模式分成四大類：常態肩形模式 (normal ogive) 、對數模式 (logistic) 、Splines 模式及其他類型模式 (Thissen & Steinberg, 1986) ，其中以對數模式的應用較為廣泛。因對數模式建立了不同參數間的關係，也因此分成單參數對數模式 (one-parameter logistic model) 、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model) 、三參數對數模式 (three-parameter logistic model) 及肆參數對數模式 (four-parameter logistic model) 等模式 (王寶墉，1995) ，前三種模式較為常見，如表 2-1 所示，表中 Pi   表示能力值為  的受試者答對第 i 題的機率， e 為自然對數的底數。. 14.

(23) 表 2-1 模式. 數學函數. 單參數對數模式. Pi ( ) . 雙參數對數模式. Pi ( ) . 三參數對數模式. 三種常用的對數型試題反應模式. 1 1 e. 1.7 (  bi ). 1 1 e. 1.7 ai (  bi ). Pi ( )  c i  (1  c i ). 1 1 e. 1.7 ai (  bi ). 意義 1. 僅有試題難度 (item difficulty parameter) 之參數 bi ，難度是與能力值同一個量尺單位。 bi 越大，表示該題越難而不容易答對。 2.當某受試者能力值小於試題難度時，由該模式可知該受試者答對該試題的機率小於 .5 ( 即   bi  0 ) ；反之，當某受試者能力值大於試題難度時，則該受試者答對該試題的機率大於 .5 (即   bi  0 ) 。 3.此模式有 Rasch 模式之稱。 1.將單參數模式中加入一個試題鑑別參數 (item discrimination parameter) ai 。 2.鑑別度參數 ai 愈大，其試題較能區分出受試者答對機率的差別，亦即鑑別度較大。 3. ai 值愈大，試題特徵曲線愈陡，愈能區辨不同能力值的答對機率； ai 愈小，試題特徵曲線愈平坦，較無法區辨不同能力值的答對機率。 1.將雙參數模式中加入「猜測方式答對試題」的猜測參數 (guessing parameter) ci 或稱「擬機會參數 (pseudo-chance level parameter) 」。 2. ci 值表示題目完全不會的受試者，即能力值很小的受試者，其猜題答對的機率。. 資料來源：摘自林原宏 (2004a，p272) 近年來，認知心理學 (cognitive psychology) 發展已逐漸以較客觀、可以量化和較深奧的數學模式為基礎的研究架構，來探究人類的學習行為及複雜的認知行為，而這門新的研究領域大多以試題反應理論為基礎。結合認知科學、教學研究、. 15.

(24) 心理計量學與認知診斷測驗，可根據某種認知科學的理論為基礎，設計新型的診斷測驗試題，再提出可能評量該理論模式的 IRT 測量模式，以驗證該理論下評量是否成立，並解釋認知、測量或教育領域中的意義 (余民寧，1994) 。. 第三節模糊邏輯的詮釋結構模式模糊邏輯詮釋結構模式係基於試題反應理論 (IRT) ，結合模糊理論 (fuzzy theory) 與察覺的模糊邏輯模式 (FLMP) 測度方法進行分析 (林原宏，2005a) 。本節將探討有關詮釋結構模式理論、模糊邏輯的詮釋結構模式及其相關研究進行分析。. 壹、詮釋結構模式理論詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) 由 Warfield (1976) 提出，基於離散數學和圖形理論，依據元素間的關係矩陣將元素階層化表示，可系統化表示整體元素間的階層結構關係，並應用在教育領域中課程與學習上 (佐藤隆博，1995，1996；林原宏，2004b；Warfield, 1982) 。其分析方法的要點如下 (佐藤隆博，1979；林原宏，2005a；許天維、林原宏，1994) ：假設所欲分析的系統內有 K 個元素，且已知其中任意兩元素 Ai 與 A j 的二元關係，以 A  aij KK 表示。若 aij  1，表示 Ai 從屬於 A j，即 Ai 為 A j 的下階元素；若 a ij  0，表示 Ai 不為 A j 之下階元素。一、矩陣的運算：  a 11( 2 )  (2) 2  a 21 A  兩個矩陣 A 的運算的結果定義為    (2) a K1. 16. (2). a 12. (2). a 22 . (2). aK2.    . (2) a1K  (2)  a 2K   a ij( 2 ) K   (2)  a KK .  K.

(25) K. A2 矩陣內的元素 a ij( 2 )   a ik a kj  a i1  a1 j  a i 2  a 2 j    a iK  a Kj k 1. 上式中  和  的運算，定義如下： 0 x y   1. else if x = 1 and y = 1. 0 x y   1. if x = 0 and y = 0 else. 二、傳遞閉包 (transitive closure) ：定義 Aˆ  A  A2  A3   AP ，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。三、可到達矩陣 (reachability matrix) ：定義 Aˆ  I  A  A2  A3   A P  I  ( A  I ) P ，其中 I 表示 K  K 階的單位矩陣。把如下的矩陣 R ，稱為可到達矩陣。 R  Aˆ  I  ( A  I ) P  A  A 2  A 3   A P  I  ( A  I ) P 1  A  A 2  A 3   A P  A P 1  I. 四、ISM 圖的繪製：以 A1 至 A5 元素為例 (佐籐隆博，1995) 。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A 表示，經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為 R ，分別為： 0 0  A  1  0  1. 0 0 0 0 0. 0 1 0 1 0. 0 1 1 0 0. 0 0 0 1 0.       . 1 1  R=  1  1  1. 0 1 0 0 0. 0 1 1 1 0. 0 1 1 1 0. 0 1 1 1 1.       . 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如下： Ak. R ( Ak ). A1 A1 0 0 0 A2 A1 A2 A3 A4 A3 A1 0 A3 A4 A4 A1 0 A3 A4 A5 A1 0 0 0. R ( Ak )  M ( Ak ). M ( Ak ). 0 A5 A5 A5 A5. A1 A2 A3 A4 A5. 0 0 0 0. 0 A2 0 0 A2 A3 A4 0 A2 A3 A4 0 A2 A3 A4 A5. 17. A1. 0 0 0 0. 0 0 A2 0 0 A3 0 A3 0 0. 0 0 0 0 A4 0 A4 0 0 A5.

(26) R ( Ak ) ：是 A 的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的. 元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 M ( Ak ) ：就 R ( Ak ) 矩陣中， M ( Ak ) 的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 R ( Ak )  M ( Ak ) ：是 R ( Ak ) 和 M ( Ak ) 兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在. 該元素，則填出該元素；否則填上 0。而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為：【步驟一】針對 R ( Ak ) 和 R ( Ak )  M ( Ak ) 的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先找到相對應的第 1 列 A1 ，則在 R ( Ak ) 、 R ( Ak )  M ( Ak ) 中 A1 所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的行與列則不再比較和尋找。【步驟二】以相同方法再找到第 5 列 A5 ，以此類推，我們再次得到 A3 、 A4 一組元素和 A2 元素。【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依 A 中的元素關係，畫上箭頭，如圖 2-1 所示，圖 2-1 中 A3 、 A4 是對等元素。完成 ISM 圖的繪製後，若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖形簡化。 A1. A1. A5. A5. A. A3. A4. A3. 4. A2. A2. 圖 2-1 ISM 圖的繪製. 貳、模糊邏輯的詮釋結構模式一、模糊理論模糊理論 (fuzzy theory) 係由 Zadeh (1965) 首先發展出來，「模糊」是介於 0%到 100%間的部份關係，運用的範圍十分廣泛，包含：工程、天氣、人工智慧、. 18.

(27) 社會科學的資料分析等領域 (林基興，2007；楊敏生，1994；Kosko, 1999) 。其基本意義說明如下： (一)定義 1：令 U 表示全域 (universal set) ，  為一函數，即  : U  [0,1] ，模糊理論以隸屬度描述元素和集合之間的關係，其值介於[0, 1]之間，則 U 之模糊子集 A 的隸屬函數記為  A (x) ，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度，在離散的情形下，可表示成： A(.  A ( x1)  A ( x 2)  ( xn )  ( x) , ,..., A )( A x U ) x1 x2 xn x. 而兩個集合元素之間的相似程度，可用模糊矩陣 (fuzzy matrix) 來表示。 (二)定義 2：論域 X 有 m 個元素，論域 Y 有 n 個元素，則由 X 至 Y 的模糊矩陣為：  r11  . R  .  rm1. . . . .. . r 1n  . .   (rij ) m  n . .   . rmn . 其中 rij  fR ( x, y ) : X  Y  [0,1] 在給定  值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算 (Nguyen & Walker, 2000) 亦即：. R   (rij ) I  J. 1 , rij    且 rij    0 , rij  . ，其中 0    1. 人類語言、思維、決策與行為，常有模糊及非定量化的特質，例如氣象預報：「明天有 10%的機率會下小雨。」則人們對於「小雨」的認知便產生模糊的現象，如果把這些模糊、不確定的現象硬用二分法區分的話，可能會產生偏差的結果，例如「當黃金的價格提高時，需求會下降。」若以二分法區分此等經濟問題 (Kosko, 1999) ，所產生的偏差結果是可以預期的。模糊模式較適於評估物體間的相關特性，因此，使用模糊邏輯時，必須對其他特性也加以說明，以便將人們的喜好程度轉換成便於計算的效用函數值 (utility function) ，對那些. 19.

(28) 不易表達完善的思考、認知問題，藉由隸屬度函數與模糊統計分析似乎可提供更明確表達 (楊敏生、劉曼君，1996；阮亨中、吳柏林，2000；Seth & Sushil, 1994; Zimmermann, 1991) 。莊仲寧 (2002) 應用模糊理論，以模糊數學方法綜合評量九年一貫課程的國小一年級學生的期末成績，其研究指出模糊評量結果表達在成績報告時，以模糊分布表示較為充分與完整。二、察覺的模糊邏輯模式察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model perception, FLMP) 係描述在心理運作的過程中，某些向度因子組合下，判斷各刺激的特徵之組合與典型 (prototype)  之間符合機率程度 (Massaro & Cohen, 1993) 。假設 C 與 O 為二因子向度的組合，C   C1 , C 2 ,..., C I  及 O   O1 , O2 ,..., O J 分別表示各有 I 和 J 個水準。而 ci 與 oj 分別代表 Ci 與 Oj 所對應的模糊真實值 (fuzzy truth value) 及符合典型  的機率程度，其值介於 0 至 1 之間， (Ci,Oj) 被歸為典型  的機率為 p(ci , o j ) . ci o j ci o j  (1  ci )(1  o j ). 。. 察覺的模糊邏輯模式資料分析過程包括特徵評鑑 (feature evaluation) 、特徵整合 (feature integration) 及組型分類 (pattern classification) 等三個訊息處理階段。此外，從數學的性質導出此模式與現代測驗理論的 Rash 模式是等價、可相通的 (Crowther, Batchelder, & Hu, 1995) 。三、模糊邏輯的詮釋結構模式林原宏 (2005a) 提出的模糊邏輯詮釋結構模式，乃結合察覺的模糊邏輯模式 (FLMP) 和試題反應理論 (IRT) ，計算不同能力值的受試者概念間的模糊關係矩陣，並將其模糊關係矩陣進行 α 截矩陣，以概念屬性截矩陣繪製出該能力值受試者之個人化的概念 ISM 圖，並提出個人化的模糊邏輯 ISM 分析，其分析步驟如下：. 20.

(29) (一)步驟一：確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有 M 個試題或所有試題所測量的概念總數為 L 個。 (二)步驟二：在選定的試題反應理論模式下，能力值  k 受試者在第 m 題的答對機率為 Pm ( k ) ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下：若所分析的元素單位為概念，則能力值  k 受試者的模糊關係矩陣為 D ( k )  [ p ij ( k )] L L ， p ij ( k ) 為符合概念 i 指向概念 j 的機率。依每一試題測得該. 概念與否的關係，設概念個數為 L 個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A  (a ml ) M  L，a ml  1 表示第 m 題包含概念 l，亦即有測到概念 l ； a ml  0 表示第 m 題沒有包含概念 l ，亦即沒有測到概念 l 。令 M. SA  ( a ml ) 1 L  ( a l ) 1 L 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力值  k m 1. 之受試者在每個概念精熟的機率為 MA( k )  [ Pm ( k )]1M [a ml a ] M  L  [ma l ( k )]1 L 。 l 依察覺的模糊邏輯模式意義，令 ci  ma i ( k ) 且 o j  1  ma j ( k ) ，所以可得： pij (k )  p(ci , o j ) . ci o j ci o j  (1  ci )(1  o j ). . mai (k ) [1  maj (k )] mai (k )[1  maj (k )]  [1  mai (k )]maj (k ). (三)步驟三：選定  值且 0    1，將模糊關係矩陣為 D( k )  [ p ij ( k )] L L 進行截矩陣分析。例如分析的單位為概念，則： 1 , D  ( k )  [ p ij ( k )] L L 且 p ij ( k )   0 ,. p ij ( k )   p ij ( k )  . ，其中 0    1. (四)步驟四：將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析。 (五)步驟五：給定  值，可獲得能力值  k 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不. 21.

(30) 同能力值受試者之個人化 ISM 圖。. 參、詮釋結構模式及模糊邏輯的詮釋結構模式之相關研究在資訊快速增加的現今社會，人們需要接受的訊息不斷的增加，如何將訊息以最有效率的方式吸收或予以系統化的處理是值得探討的課題，詮釋結構模式 (ISM) 可系統化分析訊息的元素關係，將複雜的系統再分成數個子系統進行評估，並透過階層化分析過程 (analytic hierarchy process) 可呈現系統中各項元素的關係及子系統的相關問題 (鄧振源、曾國雄，1993；Huang, Tzeng, & Ong, 2005; Watson, 1978; You, Kato, & Kitaoka, 1994) 。詮釋結構模式的分析方法也可運用在認知結構上，Tatsuoka (1995) 應用詮釋結構模式的分析方法，分析出概念和認知間的關聯性及知識結構階層性，提出了屬性間具有先前需要 (prerequisite relationship) 的關係。透過教材結構化的研究或評量訊息階層化的呈現方式，可產生更多認知診斷訊息，幫助學習者建立自身的知識體系 (徐賢德，2004；Wang, Gierl, & Leighton, 2006) 。一個系統或模式包含許多內部相關變數，需要簡化模式方能了解整個模式的運作，分析內部各個獨立的系統以免任訊息流失，而詮釋結構模式的分析方法能定義內在獨立變數的階層次序，可節省很多時間，較合乎經濟效益 (Gilli & Rossier, 1981, Venkatesan, 1984) 。模糊理論擴展了二元關係的限制，模糊邏輯的詮釋結構模式改進傳統 ISM 只能分析二元資料的限制。林原宏 (2005a) 以網路化分數減法施測系統取得 825 名高年級學童之施測結果，以模糊邏輯的詮釋結構模式進行資料分析，發現不同能力值學童的概念結構各有其特徵。陳紹銘 (2006) 應用模糊邏輯的詮釋結構模式分析國小六年級學童的等量公理概念之階層結構，發現國小六年級學童等量公理的知識結構具有階層性且其概念結構圖因能力值的不同而有明顯的差異。祝淑梅 (2007) 應用模糊詮釋結構模式探討個人化的小數知識概念階層結. 22.

(31) 構，發現不同能力值的受試者其小數概念階層結構有明顯差異。紀順雄 (2007) 運用模糊詮釋結構模式的分析方法發現，學生對分數加法概念的精熟有不同的學習路徑。Lin, Hung, and Yu (2007) 整合察覺的模糊邏輯模式及詮釋結構模式分析學童個人化等量公理概念，發現不同反應組型的受試者，其認知結構也不盡相同。Yih, Lin, and Hung (2007) 應用模糊邏輯的詮釋結構分析方法進行線性代數的認知診斷個別研究，以專家的概念結構為依據分析大學學生個人化的概念結構，發現了受試者的反應組型和總分不同，其認知結構也有所差異。從上面研究歸納出，模糊邏輯的詮釋結構模式理論突破傳統資料二元計分的限制，以心理學上對於察覺的模糊邏輯模式應用於知識或概念從屬關係程度的描述，是一個可行分析方式。本研究嘗試以此進行認知診斷模式分析，探討學童在九年一貫數學領域數與量概念的階層結構。. 第四節模糊集群分析由於社會科學問題較為複雜而且多樣化，傳統的分類方法大多以分類對象完全屬於某群集的硬分類法分類，較無法滿足各種不同問題，因此便出現其他各種不同分類方法 (阮亨中、吳柏林，2000) 。本研究先以能力值為分組依據，探討不同能力值組別的個人化概念結構特徵，再以概念隸屬度為分群依據的模糊集群分析方法進行交叉對照，驗證前項分組方式的適切性並提供補救教學時分組教學之參考。模糊集群分析方法係結合集群分析和模糊理論的概念，本節將探討有關集群分析、模糊集群分析及其相關研究。. 壹、集群分析一、集群分析的意義集群分析 (cluster analysis) 又稱為聚類分析，是將一群個體或變數，依其特性的相似或類似的程度，將這些觀察體加以分類或分為數個集群，進而能更有效. 23.

(32) 地掌握各集群性質的一種分析方法 (陳正昌、程炳林、陳新豐、劉子鍵，2003) 。一般集群分析的最終目標是希望「集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高。」 (林邦傑，1981) 。集群分析可和因素分析 (主成份分析) 、迴歸分析、區別分析、變異數分析等統計方法並用，以增進結果的正確性。依個體或元素特性之相似程度分群的集群分析法，其類似程度的基準，通常以距離 (distance) 或類似度 (similiarity) 表示。距離表示個體間或個體與某群體相距的遠近，距離愈小，表示相似程度愈高；而類似度是一個係數，以一個係數值來表示二者的關係程度。二、集群分析的方法集群分析依其目的之不同，其分析的方法主要分為階層集群方法 (hierarchical clustering method) 和非階層集群方法 (non-hierarchical clustering method) 兩種 (林原宏，2007；楊志堅、張家榮，2000；Klir & Yuan, 1995) 。 (一)階層集群分析法基本上分為分裂法 (division method) 與凝聚法 (agglomerative method) ，前者是將所有個體先視為一個集群，然後根據距離關係加以分裂，形成多個集群；後者是將每一個個體都視為一個集群，然後逐漸根據距離關係加以融合起來，形成多個集群，最後融合成一個整體。 (二)非階層集群方法此法不分析其階層關係，主要係探討可分割的集群數目及集群裡面的個體。非階層集群分析方法有很多種，較常用的是 K 平均法 (K-means method) ，先將所有個體分割成 K 個集群，再計算每一集群之重心，以及每一個體到各集群重心的距離，將個體分派到距離較近的集群，若個體分派的集群有所更動，則重新計算得到該個體集群的重心以及失去該個體之集群的重心，直到每個個體分派的集群不再更動為止 (黃俊英，1984) 。一般而言，集群分析要考慮同一集群內的個體，其變數之間的變異要盡量小. 24.

(33) (即盡量同質) 以及不同集群個體，其變數之間的變異要盡量大 (即盡量異質) 的二個原則，以達集群分析之最終目的。. 貳、模糊集群分析模糊集群分析結合了集群分析和模糊理論的概念 (林原宏，2005b；Kaufman, & Rousseeuw, 1990) 。隸屬度是模糊集群分析中決定元素間距離的重要因素，也由於模糊集群分析考慮了隸屬度概念，所以統計學上，模糊集群分析也稱為軟分類. (soft classification) ，而統計學上的集群分析則稱為硬分類. (hard. classification) 。根據模糊理論所進行的集群分析方法有很多種，其方法也各有其特性，其中目標函數法是最常見的且應用性很廣的方法，雖然它不具階層性的性質，卻可描述每個個體的隸屬度 (林原宏，2002，2007) ，和本研究所欲探討的個人化 ISM 圖相符，故採用此種分析方法。目標函數法是非線性最佳化 (non-linear optimality) 的數學規劃方法，以目標函數的極小值方法，引入模糊集群之概念 (Dunn，1974) ，其後，雖然此領域的研究學者有導出許多種不同的目標函數，但其基本的準則是不變的，其分析步驟如下 (林原宏，2007；Bezdek, 1981; Zimmermann, 1991) ：一、步驟一假設分析之個體有 N 位，每位受試者有 M 個變項，以資料矩陣表示如下：  x11 x12  x1M    x 21 x 22  x 2 M   X    xnm N  M          x N 1 x N 2  x NM . 二、步驟二假設根據模糊分割方法，可將整體受試者分成 C個潛在類別，可得到 C  N 階之模糊隸屬度矩陣，矩陣之元素表示受試者隸屬於某類別之隸屬度，此模糊矩陣為：. 25.

(34)  u11 u12  u1N    u 21 u 22  u 2 N   U  ucn C  N         u C1 u C 2  u CN . 其矩陣元素需滿足下列三條件：【條件一】： u cn  0,1，  c  1,2,  , C. ,. n  1,2,  , N. ＜公式 2-1＞. C. 【條件二】：  u cn  1 ，  n  1,2,  , N. ＜公式 2-2＞. c 1. N. 【條件三】： 0   u cn  N ，  c  1,2,  , C. ＜公式 2-3＞. n 1. 三、步驟三矩陣 V 表示各類別之中心，令：  v11 v12  v1M    v 21 v 22  v 2 M  V   vcm C  M         v C1 v C 2  v CM . 定義目標函數 (objective function) 為： N. C. J (U , V )   (u cn )2 d 2 (c, n) n 1 c 1. M. 其中： d 2 (c, n)   ( x nm  vcm)2. ＜公式 2-4＞. m 1. 目標函數的定義方式有很多種，此模式採應用最廣的目標函數，針對目標函數，以最小平方法 (least square method) 之準則，取目標函數之極小值。四、步驟四在＜公式 2-1＞、＜公式 2-2＞、＜公式 2-3＞三個條件之限制下，使用 Lagrange’s multipliers 方法，求 J (U , V ) 之極小值。令   (1 ,  2 ,  ,  N ) ，即求解下式： N C M C   N   F   (u cn )2  ( x nm  vcm )2     n ( u cn  1) n 1 c 1  m 1 c 1  n 1  . ＜公式 2-5＞. 針對＜公式 2-5＞進行偏微分求極值，所以： C F  ( u cn )  1  0  n c 1. ＜公式 2-6＞. 26.

(35) F  2 (u cn)21 d 2 (c, n)   n  0  u cn. ＜公式 2-7＞. N F  2 (u cn )2( x nm  vcm )  0  vcm n 1. ＜公式 2-8＞. 由＜公式 2-7＞可知： u cn  .  n   2 d 2 (c, n) . 1 2 1. ＜公式 2-9＞. 將＜公式 2-9＞代入＜公式 2-6＞，得到： 1. 1. . (  n ) 21  C. 1 2 d (l , n).  l 1. 2. . ＜公式 2-10＞. 1 2 1. 將＜公式 2-10＞代入＜公式 2-9＞，可得：.    (x . 1. M. nm.  vcm. m 1. u cn .  1   (x  v .   )   2. C. M. l 1. nm. m 1. 1 2 1.   )  . ＜公式 2-11＞. 1 2 1. 2. lm. 由＜公式 2-8＞可得： N. vcm .  (u. cn. 2 ) ( x nm ). n 1. ＜公式 2-12＞. N.  (u. cn. ). 2. n 1. M. 若：  ( x nm  vcm)2  0. 則： u cn  1 且 u c 'n  0 ,  c'  c. m 1. 五、步驟五利用迭代法，將＜公式 2-11＞計算得的 u cn 代入＜公式 2-12＞，得到新的 vcm ，再將此 vcm 代入＜公式 2-11＞，如此不斷反覆循環，直到 u cn 、 vcm 收歛。. 27.

(36) 以 U (t ) 、 V (t ) 表示運算過程中第 t 次循環的模糊隸屬度矩陣和各類別之中心矩陣，且：. U (t ). (t ) (t ) (t ) u11 u12  u1N   (t ) (t ) (t )  u u 22  u 2 N    21  u (cnt ) C  N        (t ) (t ) (t )  u C1 u C 2  u CN . ，. t  0,1,2,3,. V (t ). (t ) (t ) (t ) v11 v12  v1M   (t ) (t ) (t )  v 21 v 22  v 2 M     v(cmt ) C  M        (t ) (t ) (t )  vC1 vC 2  vCM . ，. t  0,1,2,3, . 當 t  0 時，則 U ( 0 ) 、V ( 0 ) 分別表示初始的模糊隸屬度矩陣和各類別之中心矩陣。對於 U ( 0 ) 矩陣，視每位受試者平均隸屬於每個類別，其隸屬度為. U (0). 1 C 1  C   1  C. 1 C 1 C  1 C. 1 ，所以： C. 1 C 1  1   C    C C  N     1  C  . 以差值的絕對值小於 10 5 為運算收歛的標準，亦即當第 t 次和第 t  1 次循環運算的結果同時滿足下列兩個不等式時，則 u cn 、 vcm 已達收歛。 5 ( t 1) (t ) u cn  u cn  10 ， n  1,2,3,  , N. ,. c  1,2,3,  , C. 5 ( t 1) (t ) vcm  vcm  10 ， m  1,2,3,  , M. ,. c  1,2,3,  , C. 六、步驟六以上步驟是在類別數為 C 的情形下，計算各種參數收歛時的數值。至於類別數的決定，以使用較廣的分割係數 (partition coefficient) 和分割亂度 (partition entropy) 等二個指標為參考依據 (Bezdek, 1981) 。前者分割係數 F (U ; C ) 定義為：. 28.

(37) F (U ; C ) . 1 N. N. C.  (u n 1 c 1. cn. 2 ) ，此數值的範圍是. 1  F (U ; C )  1 ，但在實際應用中，當其 C. 較大值時，為較佳的分割數。後者分割亂度分割亂度 H (U ; C ) 定義為： H (U ; C ) . 1 N C  ucnln(ucn) ， ucn  0 ，此數值的範圍是 0  H (U ; C )  ln(C ) ，在實際 N n 1 c 1. 應用中，當其較小值時，為較佳的分割數。. 參、集群分析及模糊集群分析之相關研究長久以來，人們便不斷嘗試將日常生活中繁多的人事物，依照特性分成數目較少的類別或群體，使每一類別內的事物性質非常類似，可以用相同的方式對待或處理，以減少須重新學習認識及思考對應之策的時間。近二十年來，藉由電腦之助，數量分類方法已廣泛應用於生物、農業、心理、經濟、教育、企管等許多不同的領域 (殷志文，2000) ，目前此種數量分類的方法在各學科間較通用的名詞為集群分析 (蔡憲唐、周建新，1987) 。謝龍卿、黃德祥 (2005) 在了解當前臺灣青少年網際網路使用的現況及網路成癮現象的相關研究中，應用集群分析將網路成癮的高危險群分為「色情網站成癮」、「網路遊戲成癮」及「虛擬友誼成癮」等三個高危險集群。曾薰瑤 (2005) 在處理多變量類別資料的探索資料分析技巧的研究中指出，結合集群分析可將受訪學生依據其所選擇性格類別項目的異同做性格特質的區隔分群，且不會漏失其他資料。在教育領域方面，郭昭佑 (1999) 藉由適當的表現指標，以集群分析法將國內大學分群，以了解各大學的辦學傾向，提供教育行政與大學發展之參考。曾世杰、邱上真、林彥同 (2003) 以閱讀障礙雙缺陷假設為基礎，編製一份唸名速度的測驗，以做為早期閱讀障礙學童的篩檢工具，研究中應用集群分析的方法，將受試者依其唸名測驗的表現，分為唸名快速組、唸名中速組、唸名慢速組及唸名超慢組等四組。Lin and Hung (2007a) 以強韌性集群分析方法分析學童機率概念，藉由分析每一集群受試者之解題規則以了解其認知結構。Lin and Hung (2007b) 以柳澄汁濃度測驗的實徵資料應用強韌性集群分析探討學童的解題規則，研究結. 29.

(38) 果將受試者分為五個解題規則特徵互異的集群，且不同年級的學童其解題規則也有顯著的不同。集群分析方法可對資料的掌握度有更精確的了解，讓使用者依其狀況去做適當的選擇以做出最正確的判斷 (楊志堅、張家榮，2000) 。模糊理論擴展了傳統集群分析分類結果的「非此即彼」的二元觀點 (林原宏， 2007) ，模糊集群分析方法在認知及其他相關領域的應用正逐漸興起 (Klir & Yuan, 1995) 。Baldwin (1996) 以某德國金融機構的顧客區隔的例子說明模糊集群的分群效果較傳統分群方法佳。徐村和、朱國明、詹惠君 (2000) 指出由於消費者經常使用數種品牌的產品，不是「完全忠誠」的隸屬於某一區隔市場，而是同時隸屬於不同的區隔市場，傳統集群分析法有「互斥區隔」的缺失，因而以模糊集群分析法進行模糊區隔，以增加數據處理的合理性並提升分析解釋的能力，其經由利益區隔變數，萃取出消費者的八個利益尋求構面，運用模糊集群分析法，區隔出「信用導向」、「品味導向」、「紅利導向」及「安全導向」等四種市場，並採用隸屬度的觀念，計算市場大小及相對比例，藉由硬分類與軟分類的分析，以反應出市場的動態特性。Chu (2003) 採用隸屬度的觀念，以模糊集群分析法建構市場區隔，解決傳統「硬分類」方法所造成的缺失，試圖透過購屋者行為之研究，以市場區隔的方式對購屋者需求屬性加以研究，並以大高雄地區十五個住宅個案產品為例，進行實證研究得知：購屋者以模糊集群分析方式分成五群，再透過行銷策略的訂定，改變購屋者的區隔變動。Liaw and Wang (2005) 在探討管理型態與技術效能對國內物流業廠商經營績效之影響的研究中，運用模糊集群分析將廠商分為「績效卓越」、「加強改善」、「管理領導」等三個集群，以提供廠商在技術層面及管理層面能掌握重要的相關課題與成功關鍵因素。在教育領域方面，Lin, Yu, and Wu (2006) 以模糊集群分析法分析學童機率概念之解題策略，每一集群呈現其認知結構，從實證研究發現學童的解題策略隨著年級不同而有所差異。從上面研究歸納出，以隸屬度概念應用於一般實務分類評鑑，並進一步地以模糊統計方法做為資料分析的依據，以模糊統計分類的理念去解決一些不確. 30.

(39) 定、難以度量的問題，可提昇我們的未來生活品質 (阮亨中、吳柏林，2000) 。本研究嘗試以隸屬度概念應用於學童在九年一貫數學領域數與量概念結構分類，並進行交叉對照，以驗證前項以能力值為依據的分組方式之適切性，並提供補救教學之分組教學參考。. 31.

(40) 32.

(41) 第三章研究方法第一節研究架構依據我國九年一貫課程綱要能力指標，並蒐集相關研究之文獻，研究者依能力指標中三年級分年細目之數與量主題，依整數、量與實測、有理數和估算等四子題 (教育部，2003) ，做為自編數與量概念測驗的依據，運用 IRT 模式及 FLMP 模式分析研究資料，再透過 AISM 軟體繪製受試者個人化的 ISM 圖，以了解與分析不同能力值組別數與量的模糊邏輯概念結構特徵，再以模糊集群分群的方法進行交叉對照及驗證，最後達到本研究所欲研究之目的。研究之架構圖及流程圖如圖 3-1 及下頁圖 3-2 所示：九年一貫課程綱要. IRT 模式分析. 相關文獻之探究. SAS/IML 模糊關係矩陣分析編製數與量分年細目概念測驗. 定義數與量概念範圍. 用 AISM 軟體進行 α-cut 截矩陣分析並畫出個人化 ISM 圖. 決定數與量能力指標分析並比較不同能力. 分年細目概念之向度： ◎ 整數. 值受試者數與量之模糊邏輯概念結構再以模糊集群方法分群進. ◎ 量與實測 ◎ 有理數 ◎ 估算. 行交叉對照. 圖 3-1. 研究架構圖. 33.

(42) 相關文獻探討. 分析現行九年一貫數與量教材. 歸納數與量知識概念. 編製數與量概念評量. 與數學領域專家討論題目適切性並進行試題審查. 取樣預試. 修正數與量評量試題以成正式試題. 正式施測. 進行 IRT模式分析. 進行模糊關係矩陣分析. 以 AISM 軟體畫出個人化模糊邏輯概念 ISM 圖. 分析並比較個人化模糊邏輯概念 ISM 圖. 以模糊集群方法分群進行交叉分析比較. 結論與建議. 圖 3-2. 研究流程圖. 34.

(43) 第二節研究對象本研究係在探討學生在數學領域第一階段有關數與量主題學習之後，已習得的數與量概念之知識結構的情況，研究結果不做推論，故樣本的選取方式採取立意抽樣，研究對象為國民小學三年級學生。研究對象來自台中市、台中縣、彰化縣及雲林縣等四縣市共十六所小學，各縣市不同受試學校類型如表 3-1 所示。智類學校，受試班級數計有 13 班 436 名學生；仁類學校，受試班級數計有 12 班 371 名學生；勇類學校，受試班級數計有 10 班 279 名學生，有效樣本共計 1086 名學生，其不同學校受試班級暨受試人數分配如表 3-2 所示。表 3-1 各縣市不同受試學校一覽表縣市. 學校代號. 台中市台中縣彰化縣雲林縣. S1 S2~S5 S6~S15 S16. 學校類型仁(24 班~47 班) S1 S3~S4 S8~S9 S16. 智(48 班以上) S2 S6~S7. 勇(23 班以下) S5 S10~S15. 表 3-2 不同學校受試班級暨受試人數一覽表學校類型智(48 班以上) 仁(24 班~47 班) 勇(23 班以下) 總計. 受試班級數 13 12 10 35. 男 222 191 146 559. 女 214 180 133 527. 受試人數 436 371 279 1086. 第三節研究工具本研究依據教育部公告之九年一貫課程綱要能力指標，以三年級數與量之分年細目自行編製測驗。數與量主題共分四個子題，三年級數與量分年細目共 18 項，依此做為測驗工具編製的概念屬性單位，故測驗包含 18 個概念屬性，如表. 35.

(44) 3-3 所示。表 3-3 三年級數與量分年細目及所隸屬子題細目代號 3-n-01 3-n-02 3-n-03 3-n-04 3-n-05 3-n-06 3-n-07 3-n-08 3-n-09 3-n-10 3-n-11 3-n-12 3-n-13 3-n-14 3-n-15 3-n-16 3-n-17 3-n-18. 內. 容. 能認識 10000 以內的數及「千位」的位名，並進行位值單位換算能熟練加減直式計算 (四位數以內，和＜10000，含多重借位) 能熟練三位數乘以一位數的直式計算，並解決二位數乘以二位數的乘法問題能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄 (包括有餘數的情況) ，並解決生活中的問題能熟練三位數除以一位數的直式計算能在具體情境中，解決兩步驟問題 (加、減與除，不含併式) 能由長度測量的經驗，透過刻度尺的方式來認識數線，標記整數值，並在數線上作比較、加、減的操作能在具體情境中，做三位數以內的加減估算，並用來檢驗答案的合理性能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題能認識一位小數，並作比較與加減計算能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算能認識長度單位「毫米」，及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係，並作實測與相關計算能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量能認識容量單位「公升」、「毫公升」 (簡稱「毫升」) 及其關係，並作相關的實測、估測與計算能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同物體的重量能認識重量單位「公斤」、「公克」及其關係，並作相關的實測、估測與計算能認識角，並比較角的大小能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」. 36. 隸屬子題整數整數整數整數整數整數量與實測估算有理數有理數量與實測量與實測量與實測量與實測量與實測量與實測量與實測量與實測.

(45) 測驗總計 30 道試題，試題為二元計分，但因每道試題皆包含數個概念，故概念以多元計分形式呈現，例如：有 5 道試題 (1-1、1-3、2-2、3-1、3-2) 測量概念 1 (分年細目 3-n-01) ，每答對 1 道試題得 1 分，故概念 1 為六元計分，如表 3-4 所示。表 3-4 數與量試題概念組成表概念編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18. 細目代號 3-n-01 3-n-02 3-n-03 3-n-04 3-n-05 3-n-06 3-n-07 3-n-08 3-n-09 3-n-10 3-n-11 3-n-12 3-n-13 3-n-14 3-n-15 3-n-16 3-n-17 3-n-18. 概念總分 1-1,1-3,2-2,3-1,3-2 5 1-5,2-2,2-9,2-10,2-12,3-1,3-2,3-3 8 2-2,2-11,2-12,3-2 4 1-6,2-4,2-8,3-3,3-4 5 1-6,2-4,2-11,3-3 4 1-5,1-6,1-7,1-9,2-4,2-5,2-6,2-8,2-11,2-12,3-1,3-3,3-4 13 2-3,2-8,2-9 3 1-2,1-3 2 1-4,1-9,2-5 3 1-6,1-8,2-3,2-6,2-7 5 1-12,2-1 2 1-2,1-5,2-9 3 2-10,2-11 2 1-6,2-10,2-11,2-12,3-2 5 1-7,1-8,2-13 3 1-8,2-4,2-6 3 1-10,1-11 2 1-4,1-9,2-14 3 測量該細目的試題編號. 研究者以概念為單位，根據上述 18 個概念編擬試題，試題編製後，經七位現職國小中年級資深數學教師審題如表 3-5 所示，並請數學教育系的教授審題進行試題校正，共同研商題目設計的適切性及是否符合學生之發展經驗，再予以試題檢核修訂，製成預試試卷，共計 30 道試題。於 96 年 3 月中旬，採立意抽樣方式抽取臺中縣、臺中市、彰化縣 5 所小學共 223 位國小三年級學生進行預試。預試工具的分析如表 3-6 所示，整份試卷信度 Cronbach’s  係數為.84，信度尚稱良. 37.

(46) 好，在相關係數的檢定上，只有第 1-2 道試題的相關係數值沒有達顯著水準，其餘的試題皆達顯著水準。表 3-5 數與量試題評量參與編製人員編製人員研究者陳老師許老師李老師施老師蔡老師葉老師. 年資 6~10 年 6~10 年 6~10 年 6~10 年 6~10 年 6~10 年 1~5 年. 相關背景現職教師及教育測驗統計研究所進修中現職教師及教育測驗統計研究所進修中現職教師及教育測驗統計研究所進修中現職教師及教育測驗統計研究所進修中現職教師及教育測驗統計研究所進修中現職教師及數學教育碩士班進修中現職教師及數學教育碩士班進修中表 3-6 預試工具之分析. 試題題號 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-9 1-10 1-11 1-12 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11. 鑑別度相關係數 .33*** .09 .52*** .23*** .38*** .21** .42*** .43*** .55*** .40*** .45*** .34*** .52*** .51*** .53*** .32*** .42*** .22** .44*** .30*** .54*** .53*** .40***. 項目刪除時的 Cronbach's  值 .84 .85 .84 .84 .84 .85 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .84. 38. 整份試卷 Cronbach's  值 .84.

(47) 表 3-6 預試工具之分析 (續) 鑑別度相關係數 .53*** .46*** .25*** .45*** .51*** .57*** .65***. 試題題號 2-12 2-13 2-14 3-1 3-2 3-3 3-4 **p<.01. 項目刪除時的 Cronbach's  值 .84 .84 .84 .84 .84 .84 .83. 整份試卷 Cronbach's  值. ***p<.001. 根據預試工具的分析，修正第 1-2 道試題且再次進行審題並編製成正式施測工具 (附錄一) ，其概念屬性矩陣如表 3-7 所示，矩陣中的「1」代表該道試題有測量到該項概念，矩陣中的「0」代表該道試題沒有測量到該項概念，例如試題編號 1-2 有測量到概念編號 8、12 等兩項概念。正式施測工具總計 30 道試題，於 96 年 5 月中旬進行正式施測。表 3-7 試題與概念屬性之關係矩陣試題編號 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 1-9 1-10 1-11 1-12 2-1 2-2. 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1. 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1. 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 6 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0. 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 39. 概念編號 8 9 10 11 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0. 12 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 14 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 15 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0. 16 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0. 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0. 18 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0.