不同集群的兒童數學概念圖之比較

研究者根據樣本大小分別進行不同集群的兒童概念階層結構圖(以下簡稱概 念圖)之分析與比較。首先，從全體受試者人數中，發現在三個集群都出現的相同 總分之兒童，比較他們的概念圖。其次，根據受測學校的班級數進行比較和分析。

一年級班級數少於五班的小型學校，共有三所學校，比較其中不同集群的兒童的 概念圖；一年級班級數多於五班的大型學校，本研究共有三所學校，比較該校的 不同集群的兒童的概念圖。

測驗總分個別是 26、 27、 28 和 29 分，在三個集群都有的或者兩個集群有 的相同分數。如此，說明老師如果只根據篩選測驗總分來了解兒童的數學基本能 力，乃是不足夠的。

一、 三個集群都出現的相同總分兒童概念圖之比較

本研究發現在 606 名人數中，國小一年級兒童的五項分測驗數學基本概念出 現程度不同的測驗結果。首先發現三個集群的兒童總分都是 26 分，還有三個集 群的兒童總分都是 27 分的情況。以下分析與比較他們的概念圖。

(一) 不同集群總分都是 26 分的概念圖比較

LWMC 有 22 人總分 26 分，LBMLC 只有 1 人總分 26 分，HBMLC 有 5 人總分 26 分。以下從三個集群分別選取一名受試兒童，比較他們的概念圖。

整理如表 4-9。

表 4-9 總分都是 26 分反應組型不同的受試者答題情形

代碼 集群 總分 反應組型

20201 LWMC 26 8 0 6 5 7 60213 LBMLC 26 7 7 5 1 6 40215 HBMLC 26 1 6 6 7 6

1. LWMC 選取代碼 20201 的兒童

受試者 20201 總分 26 分。試題反應組型 80657，其概念階層結構圖分成 四階層。觀察概念結構圖，其「數數能力」、「理解能力」與「視覺區辨能力」、

這三種基本概念都達到完全精熟，「計算能力」未能滿分，而「數大小工作 記憶能力」分數零分，位於第三階層，呈現「概念○¹ ○³ ○⁵ →○⁴ →○² 」的指向 關係，如概念圖所示，加強「計算能力」概念基本能力之後，才能學會「數 大小工作記憶能力」的概念。概念階層結構圖如下圖 4-2：

圖 4-2 LWMC 的兒童代碼 20201 的概念階層結構圖 2. LBMLC 選取代碼 60213 的兒童

受試者 60213 總分 26 分。試題反應組型 77516，其概念階層結構圖分成 三層。觀察概念結構圖，其「數大小工作記憶能力」已精熟位於第一階層，

「數數能力」、「理解能力」與「視覺區辨能力」未能滿分，位於第二階層，

而「計算能力」分數零分，位於第三階層，呈現「概念○² →○¹ ○³ ○⁵ →○⁴ 」的 指向，如概念圖所示。概念階層結構圖如下圖 4-3：

圖 4-3 LBMLC 的兒童代碼 60213 的概念階層結構圖 3. HBMLC 選取代碼 40215 的兒童

受試者 40215 總分 26 分。試題作答反應 16676。由概念階層結構圖所示，

其最上層「數數能力」概念最不精熟，位於第二階層的「數大小工作記憶能 力」與「視覺區辨能力」、尚未精熟，只有下位概念的「理解能力」與「計 算能力」完全精熟。呈現「概念○³ ○⁴ →○² ○⁵ →○¹ 」的指向，概念階層結構圖 如下圖 4-4：

圖 4-4 HBMLC 的兒童代碼 40215 的概念階層結構圖 4. 小結

根據上述三名總分來自三個集群的概念圖，如圖 4-2 至圖 4-4 所呈現，

可以歸納以下幾點差異：

(1) 總分雖然相同，但是概念圖不同。

(2) 總分雖然相同，由於反應組型的不同，可以清楚得知圖 4-2，LWMC 的 受試者的最低分數的分測驗是「數大小工作記憶能力」；圖 4-3，LBMLC 的受試者的最低分數的分測驗是「計算能力」；圖 4-4，HBMLC 的受試 者的最低分數的分測驗卻是「數數能力」。

(3) 數學基本概念的五個分測驗，第一個分測驗評量兒童 30 以內的二位 數，順著數數與倒著數數的概念，這是五個分測驗當中，相對簡單的概 念，也是多數小一兒童能夠率先建構的概念。但是代碼 40215 兒童的反 應組型非常特別。作答情形如附錄九、附錄十。觀察 40215 受試者該分 測驗 8 小題中，錯誤多達 7 小題，分析該兒童錯誤原因，發現他只填寫 兩位數字答案的個位數的數字，而遺漏十位數的數字。其次，倒著數數 是指數算數名之遞減順序，逐一倒退回去的數算技能(杜雪淇，2010)。

由於倒數時，兒童必須熟悉順數的數名順序，才能倒數。通常兒童進行 倒數的時候，會感到比順數時困難。「數數能力」 分測驗順數和倒數各 4 小題中(奇數題是順數，偶數題則是倒數)。40215 受試者，順數的概念 仍然非常不足。

(二) 不同集群總分都是 27 分的概念圖比較

LWMC 有 16 人總分 27 分，LBMLC 只有 1 人總分 27 分，HBMLC 有 4 人總分 26 分。以下從三個集群分別選取一名受試兒童，比較他們的概念圖。

表 4-10 總分都是 27 分反應組型不同的受試者答題情形

代碼 集群 總分 反應組型

20110 LWMC 27 8 0 6 6 7 50604 LBMLC 27 7 6 6 1 7 50628 HBMLC 27 4 6 5 5 7

1. LWMC 選取代碼 20110 的兒童

受試者 20110 總分 27 分。試題反應組型 80667，其概念階層結構圖分成 三階層，第一階層的分測驗「數數能力」、「理解能力」及「視覺區辨能力」

是滿分已達精熟概念，必須將尚未精熟「計算能力」的概念先學會，才能使 最上層的「數大小工作記憶能力」概念達到精熟。呈現「概念○¹ ○³ ○⁵ →○⁴ →○² 」 的指向，概念階層結構圖如下圖 4-5：

圖 4-5 LWMC 的兒童代碼 20110 的概念階層結構圖 2. LBMLC 選取代碼 50604 的兒童

受試者 50604 總分 27 分。試題反應組型 76617，其概念階層結構圖分成 三階層，位於第一階層的「理解能力」、「視覺區辨能力」已至精熟，位於上 位概念的「計算能力」要精熟，必須將下位概念「數大小工作記憶能力」及

「數數能力」完全學會。呈現「概念○³ ○⁵ →○¹ ○² →○⁴ 」的指向，概念階層結 構圖如下圖 4-6：

圖 4-6 LBMLC 的兒童代碼 50604 的概念階層結構圖 3. HBMLC 選取代碼 50628 的兒童

受試者 50628 總分 27 分。試題反應組型 46557，其概念階層結構圖所示；

位於最上層的「數數能力」尚未精熟，必須熟悉下位概念的「計算能力」依 序學會「數大小工作記憶能力」及「理解力」。呈現「概念○⁵ →○² ○³ →○⁴ →○¹ 」 的指向，概念階層結構圖如下圖 4-7：

圖 4-7 HBMLC 的兒童代碼 50628 的概念階層結構圖 4. 小結

根據上述三名總分來自三個集群的概念圖，如圖 4-5 至圖 4-7 所呈現，

可以歸納以下幾點差異：

(1) 總分雖然相同，但是概念結構圖不同。

受試者 20110 位於第三階層的是○² 「數大小工作記憶能力」，受試者 50604 位於第三階層的是○⁴ 「計算能力」，而受試者 50628 位於最上階 層的是○¹ 的「數數能力」。

(2) 總分雖然相同，由於反應組型的不同，可以清楚得知 LWMC 的受試者 20110 的最低分數的分測驗是「數大小工作記憶能力」；LBMLC 的受試 者 50604 的最低分數的分測驗是「計算能力」；而 HBMLC 的受試者 50628 的最低分數的分測驗卻是「數數能力」。

(3) 三個集群總分都是 27 分的受試者概念圖之比較，與上述三名兒童總分 26 分概念圖的比較，結果相似。但是受試者 50628 的兒童五項數學概 念能力較平均發展。符合 HBMLC 的趨勢，也就是沒有某一個數學概念 明顯不足，而導致評量該概念之分測驗的得分偏低。

二、 小型學校不同集群的相同總分兒童概念圖之比較

為了合乎真實的教學情境，以下採取小樣本人數為研究範圍的方式。選取在 其中任二個集群出現總分相同者的受試者，列出討論。凡國小一年級班級數五班 以下者，稱之為小型學校。本研究共有三所小型學校，以下擇一討論。

School 2 小型學校之受試者，共 41 人，三個集群人數的分布與 School 1 小型 學校相似。

表 4-11 School 2 小型學校三個集群人數、總分區間分布表

集群 總分區間 人數

LWMC 23-31 10

LBMLC 9-25 11

HBMLC 29-35 20

研究者根據上列之分佈表，選取 LWMC、HBMLC 總分皆為 29 分的受試者，

比較其概念圖。LWMC 的受試者 20118 的數的工作記憶能力概念最低，HBMLC

的受試者 20111 其理解能力最低；受試者 20116 則呈現五種概念較平均發展。符 合 HBMLC 的趨勢。

表 4-12 總分都是 29 分反應組型不同的受試者答題情形

代碼 集群 總分 反應組型

20118 LWMC 29 8 3 6 5 7 20111 HBMLC 29 8 6 1 7 7 20116 HBMLC 29 7 6 5 5 6 (一) LWMC 選取代碼 20118 的兒童

受試者 20118 總分 29 分。試題反應組型 83657，其概念階層結構圖分成四階 層，最上層的「數大小工作記憶能力」概念最低，第三階層的「計算能力」的概 念必須學會，才能指向上位概念的「數大小工作記憶能力」。呈現「概念○¹ ○³ ○⁵ →

○⁴ →○² 」的指向，概念階層結構圖如下圖 4-8：

圖 4-8 LWMC 的兒童代碼 20118 的概念階層結構圖 (二) HBMLC 選取代碼 20111 的兒童

受試者 20111 總分 29 分。試題反應組型 86177，其概念階層結構圖所示；位 於第三階層的理解能力最低；第一階層的 「數數能力」、「計算能力」及「視覺 區辨能力」概念都已精熟，所以將第二階層的「數大小工作記憶能力」概念再精

熟，就可以使分測驗「理解能力」的概念趨於熟悉程度。呈現「概念○¹ ○⁴ ○⁵ →○²

→○³ 」的指向，概念階層結構圖如下：

圖 4-9 HBMLC 的兒童代碼 20111 的概念階層結構圖 (三) HBMLC 選取代碼 20116 的兒童

受試者 20116 總分 29 分。試題反應組型 76556，其概念階層結構圖只分成二 個階層。「數數能力」、「數大小工作記憶能力」、「視覺區辨能力」的概念皆位於 下位概念，表示三項概念的平均發展，將此三項下位概念更精熟時才能指向上位 概念的計算能力，呈現「概念○¹ ○² ○³ ○⁵ →○⁴ 」的指向，概念概念階層結構圖如下 圖 4-10：

圖 4-10 HBMLC 的兒童代碼 20116 的概念階層結構圖

(四) 小結

相同總分 29 分之受試者 20118、20111、20116，如圖 4-8 至圖 4-10 所示。

歸納下列幾點差異：

1. 總分雖然相同，但是概念結構圖不同。

根據 CAISM 分析理論，將測驗資料進行分析後，計算概念之間的從屬 關係的機率及個人對概念的精熟度，而建構受試者個人化的概念結構圖。三 位受試者雖然總分相同，卻分別呈現出不同階層的概念結構圖。受試者 20118、20111 呈現三個階層個人化的概念結構圖，而受試者 20116 呈現二個 階層個人化的概念結構圖。

2. 總分雖然相同，由於反應組型的不同。

受試者 20118 的數大小工作記憶能力概念最低，分配在 LWMC，受試者 20111 其理解能力最低，因概念從屬的關係，分配在 HBMLC，受試者 20116，

試題反應組型 76556，各分測驗概念趨於平均發展，分配在 HBMLC。

三、 大型學校不同集群相同總分之受試兒童概念圖之比較

研究對象之大型學校皆為五個班級以上，如表 4-13，選取 School 4 比較其不 同集群受試者之概念圖，並追蹤訪談其個別化概念精熟程度差異之原因。

研究對象之大型學校皆為五個班級以上，如表 4-13，選取 School 4 比較其不 同集群受試者之概念圖，並追蹤訪談其個別化概念精熟程度差異之原因。