國小一年級兒童數學基本能力之研究

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(1)國立臺中教育大學幼兒教育學系碩士班碩士論文. 指導教授：阮淑宜博士. 國小一年級兒童數學基本能力之研究. 研究生：方錦平撰中華民國一○一年七月.

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(3) 國小一年級兒童數學基本能力之研究摘. 要. 本研究之目的在於瞭解中部地區國小一年級兒童數學基本能力的表現情形，以模糊集群分析其數學基本能力，將之適當分群，相似的樣本歸於同一集群，探討各集群概念結構之差異。並探討不同集群兒童在數學五種基本能力的試題反應組型與概念階層結構圖的呈現。研究對象是台中市 100 學年度第一學期入學四週的國小一年級兒童，共六所學校，施測樣本 617，無效 11，有效樣本為 606。以詹碧蓮(2008)所開發的「國小一年級數學學習困難測驗」為工具，採團體施測。所得的資料以 SPSS 進行統計分析，用認知診斷測驗分析即時服務系統上之多元計分概念詮釋結構模式 (PCAISM)分析工具繪製個人化概念階層結構圖，再使用 Matlab R2010a 的模糊 C 均值法(Fuzzy C-Means)，將兒童分群。本研究發現：(1)受試兒童的五種數學基本能力成功的分成了三個集群，三個集群的趨勢，高數學基本能力(HBMLC)，低數學基本能力(LBMLC)各一集群外，最特別為數大小工作記憶能力低(LWMC)的集群。(2)在 LBMLC 或 HBMLC 在性別上皆無差異，僅 LWMC 在性別上，男生顯著多於女生。(3)三個集群的總分相同，分群與個人化概念階層結構圖不同。(4)五種數學基本能力缺乏就是學習困難，而個別兒童數學學習困難有不同因素，有主觀因素是兒童個人之智能，有客觀因素包括影響兒童數學概念熟悉程度的數學知識的先備經驗及社會、文化背景和教育條件等，影響兒童數學概念學習的速度和水準。. 關鍵字：數學基本能力、數學學習困難、模糊集群、多元計分概念詮釋結構模式. i.

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(5) The Study on Basic Mathematics Literacy of the First Year Elementary School Students in Taichung Abstract This study aimed to investigate basic mathematics literacy of the first graders from six elementary schools in Taichung area. The researcher assumed that there are five basic mathematics literacy lacked by the elementary students with mathematics learning difficulty.. Therefore, the Screening Test of Mathematics Learning Difficulty. for the First Year Elementary Student, STMLD, was the major measurement for this investigation. In the fall semester 2011, 606 students took STMLD. The data sources included the scores of the STMLC and transcripts of interview with some home-classroom teachers. The data analysis included Fuzzy C-Means Clustering and Polytomous Concept Advanced Interpretive Structure Modeling, PCAISM. The findings were: 1）606 students were successfully divided into three clusters, and each cluster presented its tendency. The Cluster One students demonstrated their low scores of this subtest, regarding digits working memory. Thus, this cluster was named Low Working Memory Cluster, LWMC.. The students of Cluster two. demonstrated their low scores of all five subtests, including digits working memory and arithmetic combination. Thus, this cluster was named Low Basic Mathematics Ability Cluster, LBMAC. Furthermore, the students of Cluster three demonstrated their high scores of all five subtests. Thus, this cluster was named High Basic Mathematics Ability Cluster, HBMAC;. 2) There was a significant gender difference. of LWMC, there were more boy-students than girl-students of this cluster; 3) Among three clusters, these cases with the same scores were selected to compare with their ii.

(6) PCAISM, the same-score cases of each cluster revealed its specific item difficulty, item ordering and those concepts of mastery and difficulty；4）According to the results of case study, each student with math learning difficulty was caused by either subjective or objective factors. As shown in the findings, there were different concept structures of students from three clusters regarding their basic mathematics literacy. This investigation could be the important references for remedial instruction.. Key Words ： basic mathematics literacy, mathematics learning difficulty, fuzzy clustering,. polytomous concept. modeling. iii. advanced interpretive. structure.

(7) 目摘. 錄. 要.............................................................................................................................. i. Abstract .......................................................................................................................... ii 目. 錄............................................................................................................................ iv. 表目錄............................................................................................................................ vi 圖目錄........................................................................................................................... vii 第一章緒論................................................................................................................... 1 第一節研究背景與動機 ....................................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題 ............................................................................... 2 第三節重要名詞釋義 ........................................................................................... 3 第四節研究範圍與限制 ....................................................................................... 4 第二章文獻探討........................................................................................................... 7 第一節國外關於數學學習困難的研究 ............................................................... 7 第二節國內關於數學學習的研究 ..................................................................... 13 第三節數學基本能力和數學學習困難 ............................................................. 15 第四節認知領域的發展遲緩和學習困難 ......................................................... 17 第五節兒童數學學習相關理論 ......................................................................... 27 第六節概念詮釋結構模式 ................................................................................. 48 第七節模糊集群分析 ......................................................................................... 51 第三章研究方法......................................................................................................... 53 第一節研究架構 ................................................................................................. 53 第二節研究對象 ................................................................................................. 54 第三節研究工具 ................................................................................................. 55 第四節研究實施流程 ......................................................................................... 57. iv.

(8) 第五節資料處理與分析 ..................................................................................... 59 第四章研究結果與討論 ............................................................................................ 61 第一節樣本特質分析 ......................................................................................... 61 第二節集群的建立 ............................................................................................. 63 第三節不同集群在性別比例之差異分析 ......................................................... 66 第四節不同集群的兒童數學概念圖之比較 ..................................................... 68 第五節學習困難個案之探討 ............................................................................. 83 第五章結論與建議 .................................................................................................... 87 第一節結論 ......................................................................................................... 87 第二節建議 ......................................................................................................... 88 參考文獻....................................................................................................................... 91 附. 錄........................................................................................................................... 99 附錄一. 百分等級常模分析 ............................................................................... 99. 附錄二. 國小一年級數學學習困難篩選測驗使用同意書 ............................. 100. 附錄三. 施測臺中市各國小發函公文(一) ...................................................... 101. 附錄四. 小一數學篩選測驗施測表(一) .......................................................... 102. 附錄五. 施測臺中市各國小發函公文(二) ...................................................... 103. 附錄六. 小一數學篩選測驗施測表(二) .......................................................... 104. 附錄七. 施測對象之家長同意書 ..................................................................... 105. 附錄八. 給予教師之施測說明書 ..................................................................... 106. 附錄九. HBMLC 的兒童代碼 40215 受試者的數數能力測驗試卷 .............. 107. 附錄十. HBMLC 的兒童代碼 40215 受試者的數數能力分測驗之答題情形. ............................................................................................................................. 108 附錄十一. LWMC 的兒童代碼 41026 受試者的數數能力測驗試卷 ............ 109. v.

(9) 表目錄表 2-1. 數數能力測驗之例子 ................................................................................... 11. 表 2-2. 早期學習篩選測驗確實數據之概要 ........................................................... 11. 表 2-3. 國內幼兒階段與國小低年級數學學習困難之相關研究 ........................... 15. 表 2-4. 九十九年各級學校學習障礙與發展遲緩人數比較表(人數以及占全部身心障礙人數百分比) ..................................................................................... 26. 表 2-5. 認知發展理論各代表人物的主張 ............................................................... 46. 表 3-1. 研究對象人數表 ........................................................................................... 54. 表 3-2. 試題概念屬性表 ........................................................................................... 55. 表 3-3. 各分測驗之 Cronbach α信度..................................................................... 56. 表 3-4. 各分測驗之難度 ........................................................................................... 57. 表 4-1. 樣本性別分佈表 ........................................................................................... 61. 表 4-2. 各分測驗平均數與標準差 ........................................................................... 62. 表 4-3. 不同集群數在各能力的平均分數 ............................................................... 63. 表 4-4. 三個集群在五項數學基本能力之平均數與標準差 ................................... 64. 表 4-5. 三個集群人數及總分區間表 ....................................................................... 64. 表 4-6. 集群與性別的差異卡方檢定表 ................................................................... 66. 表 4-7. 各集群間性別差異卡方檢定表 ................................................................... 67. 表 4-8. 九十九年各級學校學習障礙與發展遲緩人數比較表(人數) .................... 67. 表 4-9. 總分都是 26 分反應組型不同的受試者答題情形 ..................................... 68. 表 4-10. 總分都是 27 分反應組型不同的受試者答題情形 ................................... 71. 表 4-11. School 2 小型學校三個集群人數、總分區間分布表 ............................ 74. 表 4-12. 總分都是 29 分反應組型不同的受試者答題情形 ................................... 75. 表 4-13. School 4 大型學校三個集群人數、總分區間分布表 ............................ 77. 表 4-14. 總分都是 24 分但是反應組型不同的受試者答題情形：比較 LWMC、 LBMLC ....................................................................................................... 78. 表 4-15. 總分都是 28 分但是反應組型不同的受試者答題情形：比較 LWMC 和 HBMLC ...................................................................................................... 80. 表 5-1. 百分等級常模表 ........................................................................................... 99. vi.

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(11) 圖目錄圖 2-1. 認知發展遲緩類型圖 ................................................................................... 18. 圖 2-2. Geary 的兒童數學學習與解題策略的演化圖 .......................................... 24. 圖 2-3. 數學學習障礙鑑定模式 ............................................................................... 25. 圖 2-4. 高級中等以下學校各教育階段身心障礙類學生人數統計圖 ................... 27. 圖 2-5. 訊息處理模式 ............................................................................................... 29. 圖 2-6. 圖像表徵 ....................................................................................................... 40. 圖 2-7. 形象運思的表徵 ........................................................................................... 40. 圖 2-8. 數概念的意涵圖示 ....................................................................................... 41. 圖 2-9. 後設認知形成過程 ....................................................................................... 43. 圖 2-10. 數學學習理論系統圖 ................................................................................. 47. 圖 2-11. ISM 圖 ....................................................................................................... 50. 圖 3-1. 研究架構圖 ................................................................................................... 53. 圖 3-2. 研究實施程序圖 ........................................................................................... 58. 圖 4-1. 三個集群人數分配折線圖 ........................................................................... 65. 圖 4-2. LWMC 的兒童代碼 20201 的概念階層結構圖 ....................................... 69. 圖 4-3. LBMLC 的兒童代碼 60213 的概念階層結構圖 ...................................... 70. 圖 4-4. HBMLC 的兒童代碼 40215 的概念階層結構圖 ...................................... 70. 圖 4-5. LWMC 的兒童代碼 20110 的概念階層結構圖 ........................................ 72. 圖 4-6. LBMLC 的兒童代碼 50604 的概念階層結構圖 ...................................... 73. 圖 4-7. HBMLC 的兒童代碼 50628 的概念階層結構圖 ...................................... 73. 圖 4-8. LWMC 的兒童代碼 20118 的概念階層結構圖 ........................................ 75. 圖 4-9. HBMLC 的兒童代碼 20111 的概念階層結構圖 ...................................... 76. 圖 4-10. HBMLC 的兒童代碼 20116 的概念階層結構圖 .................................... 76. 圖 4-11. LWMC 的兒童代碼 40319 的概念階層結構圖 ...................................... 78. 圖 4-12. LWMC 的兒童代碼 41026 的概念階層結構圖 ...................................... 79. 圖 4-13. LBMLC 的兒童代碼 40427 的概念階層結構圖 .................................... 80. 圖 4-14. LWMC 的兒童代碼 40310 的概念階層結構圖 ...................................... 81. 圖 4-15. LWMC 的兒童代碼 40219 的概念階層結構圖 ...................................... 81. 圖 4-16. HBMLC 的兒童代碼 40612 的概念階層結構圖 .................................... 82. vii.

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(13) 第一章. 緒論. 緒論分為四節，第一節為研究背景與動機；第二節為研究目的與研究問題；第三節名詞釋義；第四節為研究範圍與限制。茲探討分述如下。. 第一節. 研究背景與動機. 學習障礙是特殊教育服務對象中非常特別的群體。學障孩子被稱為「只有一點點不一樣的孩子」(near-normal children)，也因此在學前階段相對不容易發現。學習障礙分為語文與數學學習障礙，由於閱讀障礙的出現比率高，因此研究與調查此語文學習障礙的類型，學術界已經有豐碩研究成果，例如：早期篩檢語文學習困難的測驗工具已經能夠篩檢出幼兒階段的「音韻覺識」 (phonological awareness)的發展，以預測學齡前兒童是否為語文學習困難的高危險群(張世慧， 2006)。研究者長期從事幼兒園幼兒與安親班學齡兒童的輔導，對於早期如何發現學習困難的幼兒在認知領域的發展特徵非常感興趣。這是研究動機之一。根據本校測驗與統計所研究生詹碧蓮編製之「國小一年級數學困難篩選測驗」 (詹碧蓮，2008)，及本校幼兒教育研究所卓麗雅依據鑑定學習障礙的「排他因素」 (exclusionary cause)原則(卓麗雅，2011)，聯合運用王振德編製的「簡易兒童智力量表」與「國小一年級數學困難篩選測驗」兩種工具，發現可以早期篩選出數學學習困難的高危險群。研究者延伸其研究成果，除了從上述篩選測驗總分判斷疑似個案外，本研究將更為細膩地結合心理計量領域發展出的概念階層結構分析，確認其所擁有的數學基本能力，並進行相互比較，分析受試兒童數學學習之五種能力，這是研究動機之二。「學生的學習障礙多半是在早期且持續至學齡階段」(曹純瓊，2006) 。幼兒園老師如何兼具特教與幼教專業之敏銳度，在繁重的幼教專業職務中，關心與早期發現「只有一點點不一樣的孩子」。國科會雖然已經建立特殊教育長期追蹤資. 1.

(14) 料庫，由於早期療育逐漸落實，0 至 6 歲幼兒明顯的身心障礙通報率提高，因此在學前教育階段幼兒明顯的身心障礙通報率已經提高。但是細微的身心障礙則非常不易被發現，例如有關學習困難與學習障礙兒童的發現。卓麗雅(2011)以普查方式篩檢彰化縣秀水鄉 98 學年就讀小學一年級 309 學生，合乎我國數學學習困難切截點的兒童 54 名(31 名智力分數高於或等於 85 分，23 名智力分數低於 85 分)，國小一年級兒童出現學習困難的情狀與中年級診斷鑑定的學習障礙應該有所相關，但是目前除了缺少長期的縱貫研究資料，關於學習困難的中文文獻非常不足。受限於研究人力，本研究以立意取樣與比例原則測驗台中市 100 學年就讀小學一年級 606 名兒童，將可以提供特殊教育對象中數學學習困難的個案資料，充實學習困難的中文文獻，這是研究動機之三。研究者長期投入幼兒教育，觀察與紀錄幼兒的自由遊戲。發現有大班年齡的某些幼兒在娃娃區操作舊手機的數字鍵時，總是混淆 9 與 6。這數名幼兒的視力正常，為何不能區辨 9 與 6？國內外學者認為在幼稚園及一年級使用到的數字概念以數數為優先，根據上述實務經驗，想探討小學一年級兒童數字概念如何？這是研究動機之四。. 第二節. 研究目的與研究問題. 一、研究目的 (一) 建立「概念詮釋結構模式 CAISM」，探討小一兒童數學基本能力的概念結構圖。 (二) 利用模糊集群方法分群，分析與比較國小一年級兒童不同集群基本數學能力結構圖。 (三) 探討不同集群的性別差異。 (四) 探討數學學習困難個案。. 2.

(15) 二、研究問題基於上述研究目的，本研究針對待回答問題探討如下： (一) 研究臺中市六所國小一年級兒童，分成幾個集群的數學概念階層結構？ (二) 比較不同集群的概念結構圖—關聯和階層的比較？ (三) 研究臺中市六所國小一年級兒童，不同集群性別人數百分比有無差異？ (四) 數學學習困難個案的表現為何？. 第三節. 重要名詞釋義. 為了使讀者更清楚本研究的用語。本節針對本研究涉及的名詞加以定義，分述如下：一、國小一年級數學學習困難兒童本研究所指的國小一年級數學學習困難兒童，係篩選自樣本學校的兒童，在「國小一年級數學學習困難篩選測驗」中，測驗成績在一年級切截分數以下者稱之，其中不包括感官障礙或智能障礙兒童(詹碧蓮，2008)。二、數學學習基本素養(basic mathematics literacy) 本研究指國小一年級兒童在數學學習上需具備數數能力、數大小工作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力等五種能力，研究者稱它們為數學學習基本素養。以下分別說明： (一) 數數能力(counting ability) 數數能力，指兒童能夠數數，包括順數和倒數，範圍由數字 1 到 25。 (二) 工作記憶能力(magnitude judgment，working memory) 指兒童能記住部份訊息，同時對訊息進行處理，也就是兒童聽完並且能記住題目(5 到 8 個數字)的提示，再進一步比較數字之大小。. 3.

(16) (三) 理解能力(the comprehensive ability of word problems) 指兒童能夠理解「改變量未知」、「總量未知」、「差異量未知」等較簡單加減法應用問題。 (四) 計算能力(calculation) 指兒童能計算未知數在等號後面的題目與未知數在等號前面的題目。 (五) 視覺區辨能力(visual discrimination) 兒童能辨識不同形體的主要特徵，如辨識位置、大小、形狀等。三、概念詮釋結構模式(Concept Advanced Interpretive Structural Model，簡稱 CAISM) 。藉由元素與試題間的關係，找出上下從屬關係，建構出受試者的概念階層以進行系統化分析，以 0 與 1 之間的數值做為概念之間上下從屬關係的隸屬程度，可得到更為靈敏的個人化概念階層。四、模糊集群分析(fuzzy clustering analysis) 結合集群分析(clustering analysis)以及模糊理論(fuzzy theory)，本研究利用模糊 C 均值法(Fuzzy C-Means，FCM)以決定元素間平均值與的距離作為分群的依據。. 第四節. 研究範圍與限制. 一、研究範圍 (一) 研究地區與對象本研究樣本以台中市 100 學年度國小一年級入學四週後的兒童。 (二) 研究內容本研究樣本主要目的在探討台中市 100 學年度國小一年級入學四週後的兒童在數數能力、數大小工作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力等. 4.

(17) 概念的表現。二、研究限制 (一) 研究樣本本研究對象僅以台中市 100 學年度國小一年級入學四週後的兒童。原意依學校分班級數量抽樣，然實際進行因各校尊重班級老師無法分班級抽樣。結果僅可推論至類似地區、家庭型態之兒童的數學能力。 (二) 研究變項影響兒童數學基本能力與學習困難的因素有很多。本研究在探討變項中只討論數數能力、數大小工作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力，但對於其他非本研究之變項時，在研究結果的推論需謹慎處理。 (三) 研究內容本研究主題、由於時間、人力、物力的限制，其研究工具採用詹碧蓮(2008) 編製「國小一年級數學學習困難篩選測驗」，其結果看出幼兒在數學學習基本素養中數數能力、數大小工作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力之五種基本能力表現情形，但對於其它有關數學領域，如語文能力缺陷、認知方式、時間及邏輯等概念未加以探討。因此，無法推論到其他數學能力的表現。. 5.

(18) 6.

(19) 第二章. 文獻探討. 本研究文獻探討主要分為七節，第一節為國外關於數學學習困難的研究；第二節為國內關於數學學習的研究；第三節為數學基本能力和數學學習困難；第四節探討數學領域學習障礙與學習困難；第五節為數學學習相關理論；第六節為概念詮釋結構模式；第七節為模糊集群分析。茲探討分述如下：. 第一節. 國外關於數學學習困難的研究. 數學學習障礙是很普遍的。多達 10%的學生被證實在學校生涯中，必然有數學某個領域面臨學習困難。根據 Geary(2004)的研究顯示，學齡孩子會有記憶或認知的缺陷，此缺陷會妨礙他們在一個或更多的數學領域中學習觀念或過程的能力。在非正式的調查中，發現許多學習者很辛苦地與數學奮鬥。數學學習障礙是持續的，面對一些數學學習困難的兒童，他們永遠趕不上同年齡兒童的進度。根據研究者的文獻探討歸納，美國相關研究較多，相對在國內目前研究正開始，以下簡要說明美國關於數學學習困難的研究概況。一、研究主題數學的基礎在兒童進入國小前就已經建立了。早期數學評量工具的鑑定將幫助兒童在數學課業上嚴重落後前進行篩檢、介入和監督的工作。由於美國 2004 年以前採用「能力與學習成就差異」的模式來定義學習障礙，因此學習障礙的鑑定與特教服務，出現了一項明顯缺失，如 Council for Exceptional Children, CEC 等專業團體所稱的「等待失敗」(wait and fail)鑑定模式。通常小學生必須在三或四年級才出現明顯的「能力與學習成就差異」，如此才能被鑑定為學習障礙。(美國特教協會，2011)。研究早期數學評量工具的編製與其信效度等，正是現今學術界積極探討的主題。. 7.

(20) 二、數學能力落後的問題數學能力的落後影響日常生活的運用、學習效果及工作成效。數學技能是以 Science, Technology, Engineering and Mathematics, STEM(科學、科技、工程學及數學)學科做為錄取標準的學院及職場的必要條件。數學能力因為社會經濟地位與個人學習基礎能力而出現差異。這些差異已顯示在早期兒童發展期，並隨著兒童數學學習困難現象，仍在教育過程中持續增加。三、研究內容縱貫研究顯示擁有數學學習障礙特徵的兒童將成為重要的介入對象。多數兒童在入學時擁有基礎數學概念，這足以讓他們應付課堂上的數學。數字在語言發展前(少數量的代表及大數量的代表)已經在嬰兒期發展。這些基礎的非正式數學概念認知發展，是多數面對數學學習困難的兒童在象徵性數學概念中表現較弱的。這與整數、數量關係、數學運算(可延展性並受經驗影響之領域)等正式數學能力相關。四、探討早期的數學基本能力在語文識字的領域中，具備良好信效度的早期篩選評量工具為兒童早期及後期發展帶來實際介入和支持。介入評量與閱讀是緊密關聯的(例如字音的知識)，這項預測閱讀成效比整體技能還要準確。同樣的，在數學領域中，低年級兒童數學篩選測驗(screening test)的結果，可預測中、高年級之數學成就。早期數學能力在兒童數學學習成就上是非常重要的。不佳的基礎數學概念是數學困難與障礙的主要原因(Geary, 2004)。例如，有計算困難(一項嚴重的數學障礙)的兒童欠缺區別數字與數量比較的能力，並在算術及數算一組物體時表現較弱。美國有數組研究團隊積極研究上述關鍵問題。五、縱貫研究之測量工具短期的縱貫研究(從幼兒園開始至幼兒園結束)顯示以計算、數量區分和數字命名的數學評量的結果沒有比優良的數學評量法顯著有效。學齡前的數學能力篩 8.

(21) 選或調查可預測兒童在國小低年級的數學能力。例如 Jordan 團隊發現，來自低收入家庭的兒童在入幼兒園(kindergarten)時的數學能力比來自中等收入家庭的兒童低。而這現象並沒有因為學校的教育而改善。縱貫研究在多重時間點上(從幼兒園開始到小三)，提出基礎數學概念將幫助以後複雜數學的學習，這包括計算和問題解答。幼兒園學習的計算、量的比較、非語言計算、理解計算的數學可以預測數學理解程度及在國小一年級至國小三年年級的數學表現。低收入家庭的兒童被早期數學技能影響，造成在數學方面的表現較不理想。數學基本技能比智商篩選測驗更能預測以後的數學學習表現。幼兒園的簡單算術包括加減法，是可以有效地預測其往後的數學學習表現。因為多數兒童具備早期數學能力，他們的數學可以銜接小學一年級的數學課程。國小老師可以根據其數學基本能力進行教學。六、潛在技能與現階段研究之缺失數學有三個基本認知技能；數量、語言學 (philology) 和空間，而在幼兒園的數學學習技能發展卻未統整。語言學是數字命名法的工具，而數量則用於非語言數算的工具；空間與視覺(visual spatial)技能則協助早期數學概念發展的工具。這三個潛在的技能將影響未來兩年的數學學習成效(例如語言學是數量技能、幾何和測量概念的特殊工具)。上述兒童發展數學模式，可以解釋為什麼學習者可以在某些數學領域表現得較好，卻在別的數學領域表現困難。利用篩選工具來診斷學前兒童在幼兒園期間的數學基本概念，除了需要學術機構的研發與編製良好工具之外。更需要學校與教育行政機構的支持。面對數學學習困難或障礙的兒童，除給予補救教學的介入，必須通過嚴謹與長期之相關研究。其次，學校會考量盡量減少家長對於孩子被早期貼上標籤的疑慮。研究者觀察與追蹤兒童某方面的數學基本能力是否有增強？哪些數學能力持續發展？其後是否發展成較高階的數學學習的能力？必須要有研究團隊的配合進行在數學能力上的實驗並比較更多元的方式。 9.

(22) 七、家長、機構及策略的介入美國現今的多數學校裡，兒童是否有數學學習障礙，通常不會在國小四年級前發現。數學學習障礙的早期發現與補救教學未如閱讀障礙般的普遍。國內幼教老師應該觀察孩子是否有數學學習困難或障礙，就如他們會觀察孩子是否有閱讀障礙。幼兒園應該提供在數字、數字關係與數學應用上充分的體驗。這個階段，數學領域應以數字系列、有關聯的數學原則、組的比較和分類等教材為主。數字系列和運用數字系列的遊戲可以幫助兒童更理解數量。在幼兒園認知領域課程的研究，務必列入上述教材類型之基礎數學。如此才能全面照顧到來自低收入、文化差異大的家庭的兒童。因為在他們進入「幼兒園大班」時，由於文化不利的後天因素，大多數有數學學習困難的情形。八、小結數學學習障礙是很普遍的情況，並將會長期影響兒童。基礎數學能力在國小一年級前已經開始發展，數學基本能力篩選測驗結果，可以準確預測兒童未來的數學能力和是否有學習障礙。評量兒童數學能力的年紀越大，例如國小三年級預測可在數學應用上表現得更具體和實質。其次，表徵化的數學技能與整數的關係及運算，是隨著年級升高更重要。數學能力取決於兒童的語言能力(例如數字名稱的認知)，數量和空間的認知。雖然數學基本能力對弱勢家庭孩子的影響遠比中等收入家庭孩子的影響長遠，但是數學困難的早期篩選與補救教學卻能夠增強與促進這些兒童的早期數學技能。低收入家庭孩子入學時並沒有很多數學方面的先備知識及學習資源，這也造成了他們的弱勢。數學技能的欠缺應該在幼兒園階段被發現和加強。早期數學概念對於國小時期的數學學習乃是非常關鍵的。例如，表 2-1 數數能力測驗之例子，表 2-2 早期學習篩選測驗確實數據之概要。. 10.

(23) 表 2-1. 數數能力測驗之例子. 數字認知測驗. 例子 1. 這裡有一些圓形和三角形。只是數三角形，並告訴我有多少. 第 0 階段三角形。 1. 如果你有 4 個巧克力，有人再給你 3 個，那麼你會有多少個第 1 階段. 巧克力？ 2. 5 或 4，哪個數值比較大？ 1. 19 或 21，哪個數值比較大？. 第 2 階段 2. 從 17 倒數的第四個數字是什麼？ 1. 999 之後的第九個數字是什麼？第 3 階段 2. 哪個差值比較小：48 和 36 的差值或 84 和 73 的差值？資料來源：Gersten, R., Clarke, S. B., Haymond, K., & Jordan N. C. (2011) Screening for Mathematics difficulties in K-3 students 2nd.. 表 2-2 概念. 計算策略. 早期學習篩選測驗確實數據之概要研究者. 說明時間. 題型. N 受測人數秋至小一 52 (春). Clake & Shinn(2004). 數字填空. Clake(2008). 數字填空. 95. Clake et al. (2004). 數字填空. 123. Jordan et al. (2008). 計算理解能力. 277. 11. 冬至幼兒園 (春) 秋至小一 (春) 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春). 評量工具 WJ-AP M-CBM SE-SAT 2 NKT SAT-10 NKT WJ-3 WJ-3.

(24) WRAT 幼兒園計算策略(準確性與檢索) Clake & Shinn(2004) Clake(2008) 量值對比. Clake et al. (2004) Jordan et al. (2008). 生字問題. 數量識別能力. 數字知識 (Number sense). Jordan et al. (2008). 42 52. (秋)至小一(春). WJ-AP M-CBM. 95. (冬)至幼兒園(春). SE-SAT 2 NKT. 123. 冬至小一 (春). SAT-10 NKT. 277. 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春) 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春) 小一(秋)至小二(春). WJ-3. 277. Sheethler & Fuchs(2010). 立方米計算. 170. Jordan et al. (2008). 非語言計算. 277. 計算策略. Jordan et al. (2008). 數詞識別. Clake & Shinn(2004). 混合運算. 277. 52. 數字識別能力. 12. WJ-3 WJ-3 WJ-3 WRAT. 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春). WJ-3. 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春) 秋至小一 (春). WJ-3. WJ-3 WJ-3. WJ-3 WJ-AP M-CBM.

(25) 綜合. Clake(2008). 95. 冬至幼兒園(春). SE-SAT 2 NKT. Clake et al. (2004) Jordan et al. (2008). 123. 冬至小一 (春) 幼兒園(秋) 至小一(春) 幼兒園(春) 至小一(春). SAT-10 NKT WJ-3. 277. 篩選系列之項目. 226. 幼兒園至小三. VanDerHeyden 數數能力測驗 et al. (2001). 65. 幼兒園(春) 至小一(春). Mazzocco & Thompson (2005). WJ-3. SAT-9. 資料來源：Gersten, R., Clarke, S. B., Haymond, K., & Jordan N. C. (2011)Screening for Mathematics difficulties in K-3 students 2nd. 註：CBM(Curriculum-Based Measurement)課程本位評量 SAT(Student Achievement Test)學生學習成就測驗 NKT(Number Knowledge Test)數學常識測驗. 第二節. 國內關於數學學習的研究. 如本章第一節說明，關於數學學習困難，美國相關研究較多，相對在國內目前研究正起步，尤其對於學前階段銜接國小低年級之研究更少。杜雪淇(2010)研究「苗栗縣弱勢與非弱勢家庭對其大班幼兒數學能力」發現弱勢家庭幼兒的數學能力比非弱勢家庭幼兒低落。鍾志從、盧明、陳鳳卿、陳冠潔、林宛霖、黃秋華(2002)針對數學學習困難幼兒進行篩選、介入與評鑑，以台. 13.

(26) 北市幼稚園幼兒為研究對象，共計 269 名，以一對一訪談方式，蒐集幼兒數學能力之資料，與美國的常模對照，抽取介在百分位數 5 到百分位數 25 之間，共計 51 位幼兒，推估可能具有數學學習困難的幼兒，從中選出 15 位幼兒為第二年介入與評鑑的受試對象，廣泛蒐集這 15 位幼兒的活動觀察與教師評量記錄。經觀察資料佐證，數學學習困難幼兒的問題在於數與量聯結的概念尚未建位，數算發展不成熟，因此基數概念不正確，未能顯現成熟的數保留概念。使用測驗工具來瞭解幼兒數學學習困難乃是最便捷又有信效度的探究方法，然而國內當前可篩選幼兒數學學習困難之測驗工具非常少。相對國小階段的數學學習困難或障礙之測驗工具稍多，例如：國民小學中低年級數學診斷測驗實作評量表(林月仙、吳裕益，1999)，國小低年級數學科篩選測驗(陳東陞，1996)、幼兒數學能力測驗－第二版 (許惠欣，1996)，國小低年級數學診斷測驗(吳裕益、秦麗花，1993)等，這些測驗工具不是版本過舊就是跨年齡距大無法進行早期篩檢。柯華威(1998)與詹碧蓮(2008)針對國小學童的數學學習困難進行研究，尤以詹碧蓮針對國小一年級學童建立數學學習困難篩選工具，相較於現行普遍要到國小二年級才進行學習障礙之篩選與鑑定，詹碧蓮開發的數學學習困難的篩選往前一年，將可協助甫進入國小階段的學齡兒童之教師及早發現。詹碧蓮編製的「國小一年級數學學習困難篩選測驗」，為目前國內唯一針對國小一年級數學學習困難之測驗工具，在國小一年級上學期測驗，在試題上沒有下限效應(floor effect)及上限效應(ceiling effect)，而且常模是在中部地區建立的，應該可以了解我國六歲兒童數學在數數、數大小工作記憶、理解能力、計算及視覺區辨能力等五種基本能力發展狀況。綜合上述文獻探討，本論文選用「國小一年級數學學習困難篩選測驗」為研究工具。. 14.

(27) 表 2-3. 國內幼兒階段與國小低年級數學學習困難之相關研究. 作者(年代). 研究對象. 研究結果. 鍾志從、洪淑蘭、 5 歲幼兒. 比對美國常模得知，20.2%的 5 歲幼兒非正式數. 趙威(1999). 學知識不及常模標準，未來可能會發生數學學習困難。. 柯華威(1998). 小學二、將兒童分為低分組、一般兒童、高分組，發現低三、五、六分組兒童最困難的是數學應用問題，顯示在基礎年級兒童. 數學概念上有困難。. 鍾志從、盧明、陳 4 歲幼兒. 數學學習困難幼兒的問題在於數與量聯結的概. 鳳卿、陳冠潔、林. 念尚未建立，數算發展不成熟，因此基數概念不. 宛霖、黃秋華(2002). 正確，未能顯現成熟的數保留概念。. 詹碧蓮(2008). 小學一年編製數學學習困難篩選工具，具良好信效度，該級兒童. 測驗工具在百分等級 8，原始分數 24 分(含)以內認定為數學學習困難學生。. 卓麗雅(2010). 小學一年延續使用詹碧蓮開發之數學學習困難篩選工級兒童. 具，以區別分析分組，確認該測驗工具能鑑定出數學學習困難之學生。. 資料來源：研究者自行整理. 第三節. 數學基本能力和數學學習困難. 本研究界定小一學童具備數學基本能力則沒有數學學習困難的現象，換言之小一學童若數學基本能力發展遲緩，則定義為數學學習困難學童。以下說明本研究探討的多數小學一年級學童應該具備的五項基本數學能力：. 15.

(28) 一、數數能力(counting ability) 小學一年級學生用的數算策略之發展先後順序為：唱數、倒數與跳數。唱數是以口頭背誦，並且知道順序，由 1 開始一個接一個順數。倒數是由指定的數字開始，依數算數名之遞減順序一個接一個倒數回去之數算技能。跳數是幾個一數的數算技能，可以做 5 個一數、10 個一數。有關數算技能的研究，黃惠嬋(2003)研究結果發現，多數國小一年級兒童已有 20 以下倒數的能力，10 到 1 的倒數較流暢，倒數 20 到 11 的有停頓的現象，顯示 20 到 11 的倒數較為困難。二、數大小工作記憶能力(magnitude judgment，working memory) (一) 數大小(magnitude judgment)。 (二) 工作記憶(working memory) 工作記憶是在認知歷程中，同時需要語言理解、學習和推理的訊息執行短暫儲存(temporary storage) 和運算處理(manipulation)的能力。在訊息處理歷程中，工作記憶扮演的角色大致是「暫時保留訊息」與「初步訊息處理」。並指出工作記憶模型，主要由一個中央執行系統(central executive)；兩個輔助系統：語音迴路系統(phonological loop)，及視覺空間掃描系統(visuospatial sketchpad)所組成(蔣大偉，2000；Baddelay, 2003)。三、數的理解能力(the comprehensive ability of word problems) 學習數學著重於「解題的過程」，是理解力而非答案本身，孩子是否具備主動思考、與人溝通、推理、判斷以及新舊經驗的連結等能力。四、計算能力(calculation) 隨著思維水平的提高和語言的迅速發展，他們能夠精細地區分出物體的長短、高矮、粗細，會用不同的詞語表達不同的量，能判斷相等量，會按量的差異進行排序，一年級的學生的計算策略傾向於模擬問題情境，利用數物的方式來計算答案，可以做簡單 10 以內數分解、組合(分解與合成)。 16.

(29) 五、視覺區辨能力(visual discrimination) 視知覺能力認知是能辨認位置、大小、形狀及顏色、文字符號的形狀，並能分析與解釋的統整過程。. 第四節. 認知領域的發展遲緩和學習困難. 為了釐清幾個相關的特殊教育名詞，以下依照兒童發展階段，討論發展遲緩和學習困難。一、發展遲緩與發展性學習障礙我國「兒童福利法施行細則」第十一條「發展遲緩之特殊兒童係指認知發展、生理發展、語言及溝通發展、心理社會發展或生活自理技能等方面有異常或可預期會有發展異常之情形，需要接受早期療育之未滿六歲之特殊兒童。」唯一提到六歲以下特殊教育對象之條款，則是我國特殊教育法第三條第二項第十一款提到的「發展遲緩」，該款專門指六足歲以下，有特殊需求的兒童。上述兩法雖然強調不分類，為了早期療育，仍再分為生理、認知、語言等六大領域的發展遲緩。其次，特殊教育法第三條第二項第八款「學習障礙」，則指滿六足歲以上兒童，屬於認知領域之身心障礙，且在學制內提供特殊教育服務的身心障礙類別。歸納上述法規，研究者從零到十二歲發展階段之縱貫面來討論，幼稚園到國小一年級的轉銜期(transitional period)，為「發展性學習障礙」是否轉變成「學業性學習障礙」的關鍵時期。近年來，英文的研究歸納數感發展遲緩(poor number sence)乃是數學學習困難兒童的明顯指標，中文文獻非常缺少，研究者根據現有的文獻，參考 Kirk 的學習障礙類型(引自曹純瓊，2012)，連貫幼兒期、幼小轉銜期與學齡期，釐清因不同階段不同特殊教育名詞的混淆。. 17.

(30) 認知發展遲緩. 幼兒期. 幼小轉銜期. 發展性學習障礙. 數感發展遲緩 (poor number sense). 原始性缺陷．注意力缺陷．記憶力缺陷．知動協調缺陷．知覺能力缺陷. 學業性學習障礙. 音韻覺識發展遲緩(poor phonological awareness). 衍生性缺陷．思考能力異常．語言能力異常. 圖 2-1. 學齡期. 閱讀障礙. 算數障礙. 拼字障礙. 書寫障礙. 認知發展遲緩類型圖. 資料來源：自行整理自曹純瓊(2012)。學習障礙兒童。載於張嘉紓等編著：特殊幼兒教育(第三版)(pp.13-7)。臺北市：永大。二、數學學習障礙的涵義「數學學習障礙」是源自「學習障礙」。早期對學習障礙的定義多是醫學腦神經功能病變，和基本心理歷程的取向去認定，現在對學習障礙的定義，多以學科能力去認定。數學學習障礙與學習障礙的關連性，Kirk (1989) 認為學習障礙可能是因為個體學習的基本能力關係，包含心理以及語文方面功能損傷而造成「發展性學習障礙」。發展性障礙兒童，大多是進入學校之後，才發現學業上的困難，而產生所謂的「學業性學習障礙」(蔡久瑜，2003)。而數學學習障礙之定義，係指學生智力正常，沒有智能不足、視覺、聽覺、. 18.

(31) 動作與情緒障礙及文化不利等因素存在，是在學習和運用數學概念、數學符號時產生困難，並且明顯有計算能力、推理能力、問題解決能力等方面的不足。而有顯著性的數學低成就(楊坤堂，2007)。根據美國精神醫學學會出版的精神疾病診斷手冊(Digonostic and Statiscal Manual, DSM-IV-TR, 1994)，將「數學學習障礙」定義為個體數學能力在標準化的個人測驗的表現中，低於其發展年齡預期的應有的標準(孔繁鐘譯，1998，引自林沅芝 2005)。數學學習障礙兒童導致其在數學方面產生困難的有：(1) 語文能力的問題，導致在數學方面有困難；(2) 知覺能力的問題，使其在辨識或閱讀數字與數字符號及分類能力有困難；(3) 注意力的問題，使其在抄寫數字或數學符號與檢視運算過程有困難；(4) 數學能力問題，使其在依照計算步驟或推理方面有困難。根據教育部(2006)「身心障礙及資賦優異學生鑑定標準」最新的定義第十條為：「本法第三條第二項第八款所稱學習障礙，統稱因神經心理功能異常而顯現出注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協調等能力有顯著問題，以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者；其障礙並非因感官、智能、情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不當等環境因素所直接造成之結果。」世界衛生組織的精神衛生部所頒的國際疾病分類第十版 (International Classification of Disease, ICD-10)中提到：「特定算術障礙症」是一種無法完全以一般智能不足或明顯的教學不當來解釋的特定算術技巧障礙，且其主要原因與基本加、減、乘、除運算技巧的熟練度有關。 Blalock 認為數學學習障礙是指個體在數學學習成就上，有明顯的計算技巧、推理能力以及問題解決能力不足之現象(引自蔡淑桂，1999)。由上可知「數學學習障礙」是個體的智力正常，但在數學的符號、概念、計算、推理以及問題解決等方面的學習上產生了困難者；另外，數學學習困難並非因為感官(視覺、聽覺)、動作、情緒等障礙或文化刺激不足、或教學不當等環境 19.

(32) 因素而造成的結果。本研究是針對進入國小一年級學生的數學五種基本能力，瞭解其數學學習困難的出現比率，如兒童在數數能力、數大小工作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力等概念的表現。三、學習障礙的類型及其特徵 (一) 數學學習障礙的類型數學學習障礙是學習障礙的一種，其個體在智力上正常，但在數學符號、概念運用上卻有困難，而造成數學能力低下。Badian(1983)認為數學學習障礙的類型分為： 1. 計算方面有困難(anarithmetria)， 2. 閱讀或書寫方面有困難(alexia or agraphia for numbers)， 3. 數的組織方面有困難(spatial acalculia)等三種類型。 Garnett 指出數學學習障礙類型分為(引自郭靜姿、許慧如、劉貞宜、張馨仁、范成芳，2001)： 1. 觀念瞭解的學習障礙， 2. 書寫數字符號系統的學習障礙， 3. 計算過程的學習障礙， 4. 算術技巧運用的學習障礙， 5. 計算次數順序的學習障礙， 6. 數學語言及問題解決的學習障礙。 Blalock(1987)，Rourke(1997)，Kosc(1974)和 Badian(1983)認為四種數學學習障礙的類型有(引自楊坤堂，2007) : 1. 視覺空間能力不足的數學學習障礙， 2. 邏輯數學能力不足的數學學習障礙， 3. 數學概念不足的數學學習障礙， 20.

(33) 4. 語文智商和非語文智商之間，只是成就測驗較低，但其理解力和數學概念尚佳的數學學習困難兒童。由於數學學習障礙研究仍在發展中，其中會發現不同的數學學習障礙，例如：概念上的理解問題、書寫數字符號系統問題、計算的步驟問題、數算技巧的應用問題、計算策略不佳、計算數列及基礎數字的問題、數學語彙和解決問題方面的問題等等，期盼日後在實務教學領域中，能發現驗證這些不同的數學學習障礙，針對數學學習困難者給予協助。 (二) 數學學習障礙的特徵數學學習障礙的特徵分為(鄧國彬，2007)： 1. 訊息處理能力， 2. 語言及閱讀能力， 3. 認知學習策略， 4. 數學焦慮感等。以及注意力缺陷、記憶缺陷、理解困難、動作不靈活、固執和形象背景區分不易。國內學者林秀柔(1989)、林美和(1987)、蕭金土(1995)等研究之數學學習障礙兒童的特徵：缺乏理解問題之能力、數學語言表達之困難、計算方面之困難、注意力之不足、數學基本概念理解之困難、策略應用能力之不足、視覺辨識之困難、記憶能力之缺陷、知覺上缺陷及學習態度之因素，及動作不靈活等(林穎義，2002)。一些國外學者研究(Benson & Weir, 1972；Cohn, 1961；Dahmen,Hartje, Bussing, & Sturm, 1982；Luria, 1980；Spiers, 1987)顯示，部分數學障礙者的特徵；是在於對視覺空間的數字訊息處理有困難，因為數學學習有獨特的符號系統與邏輯演算規則，因此這些學者認為，不應只是單純地將數學學習障礙視為是語文基礎疾患(language-based disorder)的一種次分類，一些無法理解數學符 21.

(34) 號意義與缺乏演算能力的數學學習障礙者，其實利用觀察的方法同樣可以得知的(引自蔣大偉，2001)。數學學習障礙的兒童大多有某種程度的訊息處理(注意力、記憶、視覺空間辨識、聽覺、動作)、語言、閱讀、認知與後設認知等能力缺陷，以致於影響其學習能力與表現，而成為了學習成就低落問題。蕭金土(1995)認為數學學習障礙的特徵：簡略來說就是； 1. 書寫數字方面；含有零的數字容易混淆、也不清楚數字和文字之間的關係、更不瞭解位值的概念及十進位概念。 2. 數學符號方面；沒辦法做有意義的計算、概念化乘法或除法、不能閱讀統計圖表、大小區分及形狀辨識也有困難。 3. 數數方面；無法建立一對一對應概念、沒有數量保留概念。 4. 演算問題的步驟方面；計算能力不佳、缺乏適當應用計算的技能、不會將應用問題轉換為數學算式、也不會數學運用、記不住數學運算步驟。國內學者郭靜姿、范成芳(2001)認為：數學學習障礙的學習特徵是： 1. 視覺的辨識困難：包括符號辨識與視覺空間能力， 2. 數學的概念形成困難：包括數的概念及運算概念， 3. 基本數字計算能力出現問題， 4. 數學語言的表達困難：包括口語表達、書寫與知覺動作協調的能力， 5. 記憶能力的困難：包括短期記憶、長期記憶及序列的記憶， 6. 注意力的困難：包括注意力缺陷及過動， 7. 抽象推理的困難， 8. 策略學習與應用的困難， 9. 學習態度的因素：包括信心、工作效能與歸因等。神經生理與心理方面的特徵：神經生理與心理方面的研究目前注重在數學學習的「腦與行為之間的關係」。一般而言，左腦與語言功能的相關性較高， 22.

(35) 在進行學習時所需的「視覺－空間訊息處理」則與右腦有密切的關係。而大腦皮質部雙側，尤以右半腦的白質部為主，若有缺陷會造成計算推理以及閱讀理解上的困難，若發生在左腦者有下列困難：數字符號系統的中介困難；從語意記憶中檢索數的事實困難；簡單線性等式的運算困難。若發生於右腦的問題有：調整思考或視覺之空間組織的數學實作問題(邱上真，2001)。認知心理方面的特徵：Miller 和 Mercer(1997)的歸納發現數學學習障礙的一般心理特質有： 1. 習得無助感； 2. 依賴老師； 3. 被動缺乏動機。至於較特定的心理特質則有： 1. 訊息處理因素； 2. 後設認知因素； 3. 語言因素； 4. 社會與情緒因素等。綜合以上各學者的見解，認為數學學習困難的特徵通常是表現在認知能力、語言表現、社會情緒和行為、學業表現等四方面，他們通常在數學學習上的困難可能有以下因素：(一) 學習的準備不足；(二) 教學的效率問題；(三) 閱讀能力問題；(四) 興趣和動機的問題。四、關於工作記憶的新近研究 Geary(2002)提出認知、反應時間與解題策略的進化演進關係，如圖 2-2。他指出隨著兒童工作記憶策略使用所需的資源量，兒童數學學習使用的解題策略更為迅速，因為他們更懂得如何使用有效的解題技巧。大多數的幼兒園大班小朋友處理計算問題的時候，第一階段前期會利用十隻手指頭完成比大小與總量的計算；第一階段後期加入口語的數算，幼兒熟悉阿拉伯數字的名稱，Geary 稱為以 23.

(36) 實際數算為基礎的階段(Counting-based period)。第二階段的小朋友會去認知系統記憶庫提取跟解題有關的訊息，稱之為以有效記憶為基礎的階段(Memory-based period)。. 認知資源與反. 數算手指 Counting Fingers 和以實際數算為 Sum 大數基礎的階段 Max Counting-based 小數 Min. 應時間減少. 口頭數算 Verbal Counting 和 Sum 大數 Max 小數 Min 手指 Fingers. 以記憶為基礎的階段. 分解數量 Decomposition. Memory-based. 提取數學事實 Retrieval. 日益成熟. 圖 2-2. Geary 的兒童數學學習與解題策略的演化圖. 資料來源：Geary, D. C., & Hoard, M. K. (2002). Learning disabilities in basic mathematics: Deficits in memory and cognition. Mathematical cognition, p102.. 24.

(37) 根據研究者的實務經驗，大約滿六足歲的學齡兒童逐漸減少依賴手指頭的具體操作，能從認知系統提取有用的資訊，例如基本數字關係、順利完成二位數的加法與減法。因此，實地觀察到每班仍有少數小一兒童處理 20 以內的計算題時，會把雙手放在課桌使用手指頭運算，推測他仍在第一階段，以實際數算為基礎的階段，這可能是一個數學學習困難的早期線索之一。 Geary(2004)將計算視為學習表現的第一層次，數感方面包括數的知識和位值的交換為第二層次的基礎能力，而計算的執行需要有執行功能(亦即 McLean & Hitch 所謂的工作記憶)和語意表徵和視覺空間表徵兩個系統的合作。Geary 將之整理成數學學習障礙鑑定模式如圖 2-3 所示。透過此圖，可以發現數學核心能力在不同層次會有不同的能力和功能運作。 Mathematical Domain 數學領域 (e.g.,Base-10 Arithmetic) 十進位算數為例 Supporting Competencies 基礎能力 Conceptual 概念的. Procedural 程序的. (e.g.,base-10 knowledge). (e.g., columnar trading). Underlying Cognitive Systems 先備知識的認知系統 Central Executive 中央執行 Attention and Inhibitory Control of Information Processing 資訊處理中的注意力和抑制的控制 Language System 語言系統 Information Representation 資訊表徵. Visuo-spatial System 視覺空間系統. Information Manipulation 資訊運作. 圖 2-3. Information Representation 資訊表徵. Information Manipulation 資訊運作. 數學學習障礙鑑定模式. 資料來源：Geary, D. C. (2004). Mathematics and learning disabilities. Journal of Learning Disabilities, 37(1), p8.. 25.

(38) 五、數學學習困難與數學學習障礙的不同從特教法討論，數學學習障礙是學習障礙的一種，屬第三條明定為第八類(學習障礙)。學習障礙必須具備嚴謹的鑑定流程，目前能夠鑑定學習障礙的最早年齡為國小一年級升二年級時。但是，根據實務經驗凡是鑑定為學習障礙的兒童，當他在幼兒園階段已經出現學習困難的現象，受限於目前普通幼兒園教師在職前養成階段通常只修習三學分的「特殊幼兒教育」，幼教老師特教專業能力不足，對於如此隱性的障礙相對缺乏敏感度，無法記錄關於幼兒學習困難的觀察。從下表 2-4 整理出的學習障礙各級學校比較中便可發現，如果無法早期發現，年齡愈長，學習障礙人數顯著成長。張世慧(2006)認為為何學前階段偏低，原因是很多縣市都是採不分類障礙類，其次由於沒有學業方面的要求，學習障礙幼兒也不如其他障礙類別容易鑑別出來。表 2-4 九十九年各級學校學習障礙與發展遲緩人數比較表(人數以及占全部身心障礙人數百分比) 高級中等學前階段. 國小階段. 國中階段. 以下學校學習障礙. 發展遲緩. 高中職階大專院校段. 20,279. 10. 8,374. 6,756. 5,139. 1,117. (14%). (0%). (15%). (16%). (17%). (11%). 5,550. 5,550. 0. 0. 0. 0. (4%). (48%). (0%). (0%). (0%). (0%). 資料來源：99 年度特殊教育統計年報根據最新特殊教育統計年報高級中等以下學校統計結果顯示，學習障礙已成為智能障礙之下人數最為明顯凸出的障礙類型(如圖 2-4)。然而學前階段學習困難的孩子不一定成為學習障礙者，因此從家長心態討論，學習障礙是一個相對難以接受的名詞，如果改用學習困難與家長溝通，家長較能接受，願意配合後續相關補救與輔導。本研究建議，學前階段只適用「學習困難」或「發展遲. 26.

(39) 緩」討論幼兒的學習。高級中等以下學校各教育階段身心障礙類學生人數統計 35% 31% 30% 25% 21% 20% 15% 9%. 10%. 8%. 6%. 6%. 4%. 5%. 4%. 2%. 4%. 3%. 2%. 礙他障其. 發. 展遲. 緩. 症自閉. 礙重障多. 礙習障. 為障行情緒. 學. 礙. 弱體病身. 礙體障肢. 礙言障語. 礙覺障聽. 礙覺障視. 智. 能障. 礙. 0%. 圖 2-4. 高級中等以下學校各教育階段身心障礙類學生人數統計圖資料來源：99 年度特殊教育統計年報. 第五節. 兒童數學學習相關理論. 關於數學學習理論分為兩大典範，行為學派與認知學派。國內學者陳李綢 (1992)針對認知分為六個觀點：(一) 傳統的觀點：傳統認知的定義是採用完形心理學(Gestalt Psychology)的觀點，其認為「人類是先有領悟再有學習」。(二)發展心理學觀點：發展心理學觀點是將「認知」視為個人心智的發展及成長；認知發展是個人心智結構的成長及心智活動的發展歷程。(三)布魯納認知論觀點：布魯納(J.S. Bruner)認為「認知」為求知及辨識。人類認知是主動的反應對外界所接收的各種訊息，個人會自動透過內在模式或表徵系統加以轉譯，而後領悟、超越並獲得理解。(四)訊息處理論觀點：訊息處理論(informational process)從電腦擬人化觀點是「認知」接收訊息及運用訊息。認知歷程包括「輸入」、「輸出」、「轉換」、 27.

(40) 「儲存」、「檢索」及「運用」等連續的歷程。(五)心理語言學觀點：心理語言學是從語言學的觀點認為「認知」是個人獲得符號表徵及語言結構的結合。認知的歷程則包括人類聲音符號與形象符號的意義化、抽象化及規則化的歷程。(六)廣義的觀點：近代學者對「認知」的界定是採行多元化及廣泛化的觀點；認知能力除了心智活動外，還包含個人的知識、意識、心智技巧、思考力、想像力、創造力、推理能力、計劃能力、策略及解決問題的能力等。有的學者也涵蓋社會認知、知覺、記憶、注意及學習能力等。由上述可知，認知(cognition)為個人心智活動與心理狀態運作的複雜歷程；而認知理論的發展是受康德哲學理念，完形心理學、心理學分化等研究歷程的影響而形成。研究者僅以米勒(G. Miller)、皮亞傑(J. P. Piaget)、布魯納(J. S. Bruner)、維高斯基(L. S. Vygotsky)等學派的認知發展理論作為初步探討。一、訊息處理理論(information processing theory) 訊息處理理論的代表人物為美國心理學家米勒(G. Miller)，使認知心理學者藉助電腦處理訊息的過程來解釋人在環境中，如何經由感官察覺、注意、辨識、轉換、記憶等內在心理活動，以吸收並運用知識的歷程。其認知歷程包括「輸入」、「輸出」、「轉換」、「儲存」、「檢索」及「運用」等連續的歷程。訊息處理的內涵其重點在於認知歷程的發展，環境中的刺激由學習者接收器接收後，立即進入感覺記憶(Sensotry Register，SR)其主要功能是辨別探索刺激及保存對感覺的刺激(如影像、聲音、味道等)，對訊息的一種短暫停留，而短期記憶(Short-term Memory，STM)有其同時處理訊息元素容量的侷限性，所以亦稱工作記憶(working Memory)，是個人在進行思考時所被活化的訊息，當短期記憶中的訊息經編碼的過程轉換成語意心像時，和個人的舊知識相結合，再輸入長期記憶(Long-term Memory，LTM)中儲存，長期記憶包含內在產生的訊息，如個人的見解、價值和意念。這些內容是允許我們理解、思考和解決問題的，這些結構即 28.

(41) 被稱為是基模。個人訊息處理的歷程包括選擇 (selection) 、建構 (construction) 、統整 (integration)、與獲得(acquisition)等四個主要成分，其中「建構」屬於一種「內在聯結」，是學習者於工作記憶中建立新訊息或觀念之間的聯結(connection)。「統整」則為「外在聯結」，是學習者於長期記憶中提取先備知識(prior knowledge)，訊息處理模式包含了三個主要階段，如下圖 2-5。. 環境中的刺激. 輸入. 感官收錄 (SR). 注意. 短期記憶(STM) (時間) 運作記憶(WM) (功能). 遺忘. 複習. 長期記憶(LTM) 情節記憶語意記憶程序性記憶. 遺忘反應(輸出) 反應(輸出). 圖 2-5. 訊息處理模式. 資料來源：張春興(2004)。教育心理學。台北：東華。在訊息處理歷程中，工作記憶的功能；一為「判斷」，即訊息的處理；一為「容量」，即訊息在認知系統的暫存。工作記憶和短期記憶的概念之不同在於短期記憶只假設「容量」功能的存在，未涉「判斷」的功能。但個體在保留訊息之前，一定先對記憶材料的性質有初步的「判斷」。這樣的發現，使認知心理學家提出以工作記憶取代短期記憶的看法(陳淑麗，1996)。 Baddeley(1992，2003)認為，工作記憶是指個體在認知歷程中，同時對需要語言理解、學習和推理的訊息執行短暫儲存 (temporary storage) 和運算處理 (manipulation)的能力。數學學習障礙兒童是由具體到抽象的過程轉換速度慢，總是依照具體的事物 29.

(42) 來計算；認知能力方面無法從題目中找出線索或相關字詞，對於加減乘除的符號不會運用，無法列出運算的步驟。由於數學學習障礙兒童的數學語言的發展，在接收和表達層面有困難，而導致運用數學符號語言能力的缺陷，因此產生無法閱讀題目與了解題意的缺陷。由於無法專心完成題目，而長期的學習挫敗、常會使數學學習障礙兒童的學習動機低落，產生自我否定的歸因，或是習得無助感，導致自我概念低下。訊息處理包含有注意力、視覺空間處理、聽覺處理、記憶與回憶以及動作等問題(許靖如，2008)。在個人訊息處理方面，數學學習障礙兒童學習困難的因素有下列幾點： (一) 注意力問題：數學學習障礙者在專注行為的表現上容易分心、注意力難以持續。 (二) 視動協調與視知覺問題： Lerner(2000)指出部分數學學習障礙者，在點數物體的能力有困難；分辨不同組別有困難，找題目的位置有困難；分辨數字，例如 9 與 6 有困難；分辦運算符號有困難；對齊列式有困難；與涉及方位或方向有困難。 (三) 記憶問題：在訊息處理研究中指出工作記憶能有效的區辨學習障礙與非學習障礙兩種群體。Swanson(1994)研究；工作記憶對高層次的認知學習(閱讀與數學)是項重要的指標，而短期記憶只是訊息的表面處理，對低層次的認知學習扮演重要的角色。 (四)動作障礙：寫的數字難以辨識、寫得太慢又不正確；寫在較小空間或寫整齊有困難，精細動作的協調能力也較弱。 (五) 語言障礙：數學語言的使用對計算和文字題是重要的。計算時，語言技能是在記憶數 30.

(43) 字步驟、規則、組織和數學知識的。當兒童無法理解數學語言，例如拿走幾個、比較問題，在文字題的解題就比較容易受到阻礙；在解文字題時，「誰比較多」、「誰比較少」可能是協助解題的關鍵字，但是當學生的語言能力低落時，這些關鍵字卻可能成為解題的陷阱，導致解題失敗(邱佳寧，2001)。由上所述可知數學學習困難兒童的學習問題，除了神經生理與心理缺陷外，也可能因為訊息處理過程缺陷，以致無法有效輸入、輸出訊息而造成學習阻礙，更可能因工作記憶缺陷而產生學習困難。而數學學習困難兒童常出現的困難有注意力缺陷、記憶力缺陷和知覺動作缺陷： (一) 注意力缺陷問題：無法有效的集中和保持注意力；無法維持注意力在計算的步驟或問題解決；無法維持注意力。 (二) 記憶力缺陷問題：包括短期記憶、長期記憶及序列記憶的缺陷。短期記憶的缺陷，即對數學概念的保存、記住符號的意義感到困難；長期記憶的缺陷，是指無法保留已學過的數學概念。 (三) 知覺動作缺陷問題：包括視知覺、視覺空間和聽知覺的問題。在視知覺方面困難，是無法辨別類似的數字、符號等問題。視覺空間方面困難，是寫數字有困難，對於加法的進位、減法的借位有困難。聽知覺方面困難，如聽覺分辨能力不良、無法做口頭練習、無法做有順序的計數。所以教學者應重視兒童學習數學的困難，要早期診斷、早期發現、早期矯正，提供適性的補救教學。二、認知發展理論(cognitive development) 兒童數學概念的發展分成兩個主要學派，行為主義學派、認知心理學派；行為學派主要以桑代克(Edward L.Thorndike)、斯金納(B.F.Skinner)和新行為學派的 31.

(44) 葛聶(Robert Gange)為代表人物。他們認為數學是事實和技能，數學學習就是學會這些事實和技能。認為數學的知識是透過工作分析有系統、有組織、有順序的的教給兒童。強調以教學者為主體，學習者是被動的吸收知識。主張數學的學習須不斷的練習、背誦強化聯結關係，不認為「理解」是必要的，只要多練習就可以堆積概念(周淑惠，1999)。在認知心理學的影響之下，數學教育也強調主動思考與建構知識的能力，認知心理學派主要代表人物就是 J. Piaget，卡密(Constance Kamii)等人。他們認為數學是一組關係，這種關係必須由學習者自己的內在去創造，強調在教學上重要的是理解能力。他們認為兒童的學習過程比較重要(周淑惠，1999)。 (一) Piaget 的認知發展理論(cognitive development) Piaget 是近代認知心理學中最重要的理論之一。他根據長期對於兒童的觀察與研究，認為兒童的認知發展係依照感官動作期(sensory-motor period)、前操作期(preoperational period)、具體操作期(concrete operation period) 和形式操作期(formal operation period) 循序發展而來的(Piaget,1974；Inhelder & Piaget, 1958)。任何人的成長都需經歷此四個階段，其成長的快慢可能因為個人或文化的背景不同而有差異，但因每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，所以四個時期的發展順序是不會改變的。Piaget 認為知識的本質是操作(operation)，思想及推理是內化的操作能力，它們係由感官動作期的外在操作能力或動作智慧發展而來 (Piaget, 1971) 他認為影響認知成長快慢的因素有四：生理成熟 (maturation)、物理經驗(physical experience)、社會交流(social transmission)和平衡化(equilibration，也可稱為自我協調(self-regulation)(Piaget, 1964。黃湘武等， 1985)。 Piaget 的認知發展理論中一個很重要的觀點是自我協調理論 (selfregulation) (Piaget, 1964, 1971)。自我協調是在遭遇不能理解的事物時，能主動尋找新模式的認知本能。自我協調是促進兒童認知成長的原動力，也是學習及 32.

(45) 瞭解新事物時的認知模式(黃湘武等，1993)。兩個自我協調的作用就是同化 (assimilation) 與調適 (accommodation)。Piaget 認為兒童在成長的過程中不斷的有外界環境的刺激，例如人際的關係、物理經驗的獲得等。這些外來的刺激會使兒童本身的認知基模產生不協調的現象，頭腦便會根據已有的知識去解釋這些外來的資訊，並整合到原有的基模或認知結構中，這就是同化的過程。但是若原來的知識體系解釋這類資訊有衝突時，頭腦便會修正自己原先的認知結構重新解釋外來的資訊，這便是調適的過程。同化與調適之間是並存而且是雙向的，當外來的資訊不斷藉由自我協調的作用加以整合時，兒童的認知結構便不斷的改變而成長。 1. Piaget 數概念理論國內的九年一貫數學學習領域綱要中指出，所謂概念即是對數字與運算符號之意義的理解，所謂能力乃是指學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做連結，進而使學習者形成邏輯性的連結能力。 Piaget 認為知識是個體與環境間互動的結果，認為語言、價值、規則、道德與符號等系統在與他人互動時方可習得。Piaget 認為數概念是必須建立在邏輯的思考上，是一種邏輯知識，是心智統合物體的關係之後而建構的。有關數概念之論點：(1) 數學概念之理解是源於兒童的心智發展，這些概念的發展是獨立自發、無人教導的(Piaget, 1952)；(2) 保留數目不變性 (數的保留概念)的能力是數學理解的必要條件，兒童到了六歲半左右就會發展出這樣的能力(Piaget & Szeminska, 1952)(引自周淑惠，1999)。 Piaget 認為，幼兒在六歲半以前會唱數、計數、會一些簡單的加減運算，但是仍不具保留(conservation)的心智能力(保留概念)。Piaget 認為保留 (conservation)概念大約在五到七歲之間習得。從實驗當中發現兒童對數的了解有三個發展階段：第一階段，四歲左右；第二階段：五至六歲；第三階段：六歲半以後(連秀敏，2010)。 33.

(46) 兒童有必要在學前教育就充分掌握數概念，Piaget(1965)「兒童的數概念發展」一書中對兒童的認識：「愈是花多時間在數概念的準備活動上，孩子愈能在以後的學習中容易理解」(蔡馨儀，2008)。 2. Piaget 保留概念發展理論根據 Piaget 的看法，兒童的認知發展過程大致分為四個時期：感覺動作期(sensorimotor period)、運思前期(preoperational period)、具體運思期 (concrete operational period)和形式運思期(formal operational period)等四個階段。不同認知階段的兒童，其運作思考的能力也不同。其中由運思前期轉型至具體運思期最顯著的特徵是各種保留概念的發展。即「保留概念乃兒童在某特殊經驗因素(如重量、容積等)的狀態，經可觀察的改變後，仍能了解其不變性(Inhelder & Piaget, 1958)。」Piaget 發現，若要具有保留概念，兒童的思考程序應包括認同、補償、反轉自如的逆轉能力及穩定的理解能力。兒童保留概念的發展，可分成三個階段(Piaget, 1952)： (1) 缺乏保留概念的階段：運思前期的兒童屬於此階段，兒童缺乏保留概念的原因有二：兒童依據狀態或靜態的外型來推理，不能注意到轉變的過程。兒童即使瞭解到轉變的現象，但不會認為這種轉變具有可逆性，即不認為形式雖變，量依舊不變的事實。 (2) 過渡階段：此階段兒童漸漸呈現保留概念，但並未具有完整的保留概念，只有在某些情況上有保留概念。 (3) 充份具有保留概念的階段：此時已達具體操作期的兒童，對於測試的每一種轉變，都能立刻做正確的回答，而且能夠說出適當的理由。 Piaget 提出兒童常利用三種論證來支持其保留判斷，即同一論證 (identity argument)、簡單的可逆性論證(argument of simple reversibility)和補償作用。 34.

(47) (1) 同一性(identity)：是指兩個刺激物外形原來相同，在轉變的過程中，既無增加也沒有減少，故兩個刺激物仍然相同。 (2) 可逆性(reversibility)，也就是逆轉性(negation)：是指刺激物雖經過改變，兒童能循相反的方向思考，發現刺激物若還原，還是相同物體。 (3) 補償性(compensation)，也就是相互性(reciprocity)：是指兒童認為每個刺激物有兩個測量的向度，一個向度的改變，必然為一個向度的補足，故兩者雖然外型不一樣，但兩者仍然相同。保留概念發展完成後，兒童思考操作則趨於概念化，較不受事物表象的影響，能夠處理更複雜的問題。具體運算期國小兒童的認知；由於國小兒童入學後必須學習日益複雜的各種活動，而建構了認知和智力發展的良好基礎並且迅速的發展。一般而言，國小階段兒童的認知是處於 Piaget 的具體運思期(concrete operational stage)。此時期兒童有了思維的易變性、具有可逆性，能解決守恆問題，也開始能掌握邏輯思維，能夠對具體事務進行群集運算的能力。群集運算包括有五個特點或五個指標，如果具備了即達到了群集運算的水平了。五個指標即指(張春興，1998)： (1) 組合性(combination)：兩個運算可組合而產生同一群的一個新運算。例如：男生+女生=人類；植物+動物=生物。 (2) 可逆性(reversibility)：一種相反的運算方式。例如：男生+女生=全部的人，全部的人-男生 =女生。 (3) 綜合性(composition)： 35.