不涉及球面上任意兩點之間在球面上的距離。

釋例

除透過上圖的長方體觀察直線 PA 垂直於 x 軸外，亦可透過三垂線定理瞭解 PA 垂直於 x 軸，因此點 P 到 x 軸的距離為PA；同理點 P 到 y、z 軸的距離分別為PB、PC。

錯誤類型

學生會以為點P a b c( , , )到 x 軸的距離是 a ，應透過上圖的長方體，讓學生觀察到OA a ， 而點P a b c( , , )到 x 軸的距離為PA。

A-11B-1 矩陣與資料表格：矩陣乘向量的線性組合意涵，二元一次方程組的意涵，

矩陣之加、減、乘及二階反方陣。將矩陣視為資料表，用電腦做矩陣運算的觀念 與示範。

a-V-3

先備：二元一次方程組的解法與應用（A-7-5），二元一次方程組的幾何意義（A-7-6）。

連結：平面向量（G-11B-1）。

基本說明

1. 與 A 類課程的差異

本條目以概念理解為主要教學目標，在筆算時，以二階方陣為主要練習對象。學習「將 矩陣視為資料表」時，盡量以電腦軟體實作。

2. 相關約定

(1) 二階方陣以方括號紀錄，例如 a c b d

 

 

 。

(2) 做方陣乘以向量的計算時，將向量( , )a b 改寫成方括號的「行矩陣」形式 a b

  

 。 (3) 用兩個正整數 i、j 的有序對 [i, j] 指稱矩陣內第 i 列、第 j 行的位置，其中1 i m、

1 j n，而mn是矩陣的階數。矩陣的一般性表達法為A[ ]a_ij ，其中a_ij表示矩陣A

P(a, b, c)

x

y z

a

b c

O

A Q

B

102

在 [i, j] 位置的元（element）。

(4) 如果方陣 A 存在反方陣，則稱 A 為可逆方陣，其反方陣記作A^1。 3. 學習目標

(1) 認識方陣符號，能指稱矩陣的行、列、元，能將二元一次方程組

2

1

2 2

1 1 ,

a x b y c a x b y c

 

 



 寫成矩

陣運算式 。

(2) 能理解二元一次方程組 可以從向量觀點寫成 ，其中

， 的向量線性組合。據此理解：平面上任一向量皆可唯一表示成 兩個互不平行非零向量之線性組合。

(3) 在矩陣視為資料表的具體情境中，理解矩陣加、減、乘的目的和意義。

(4) 在求解二元一次方程組的脈絡裡，理解反方陣。

4. 教學斟酌

(1) 如果已經先安排了 A-11A-1 和 A-11A-2 的條目內容，建議將矩陣視為方陣的一般化，

並先將方陣乘以向量的運算，推廣到矩陣乘以行矩陣的運算，以便合理說明矩陣乘法 的階數搭配原理，例如Amn BnqC m q。然後將A、B 兩個矩陣的乘法運算 AB，理解 為A 分別乘以 B 的第一行、第二行、…。

(2) 有關矩陣的定義建議從情境問題中引入，強調矩陣作為簡化問題工具的角色，並藉此 將矩陣作為資料表使用，賦予矩陣加減法及係數積的具體功能，而不僅只是數字操作。

(3) 有關矩陣乘法之結合律、分配律及「不可交換」律的介紹，宜從從情境中出發，避免 純代數運算的驗證。例如可利用二元一次聯立方程式的經驗，說明「不可交換」律。

(4) 建議將二階反方陣與求解二元一次聯立方程式做連結，更進一步可以作為平面上的線 性變換的基礎概念。

(5) 可以在概念上探討任意階的反方陣，但若要確切算出反方陣，則僅限 2 階。

(6) 本條目的運算可透過電腦輔助方式（如 Excel），讓學生實際從電腦表單中操作數據的 變化，強化學生對於矩陣為資料表的心像。

(7) 本條目雖然沒提到矩陣的轉置運算，但是可以在合理的情境裡介紹此觀念。但不宜在 沒有脈絡的題目裡操作轉置。

評量

請掌握矩陣的學習目標，在評量中彰顯矩陣的用途，勿過度與其他單元做連結，例如勿刻 意求矩陣各元之和，也不要把矩陣相等的概念性問題轉換成複雜的聯立方程式問題。

1 1 1

2 2 2

a b x c a b y c

    

   

 

   

1 1 1

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  

 ( ,c c^{1 2})xuyv

1 2

( , )

u a a v( ,b b_{1 2})

103

F-11B-1 週期性數學模型：正弦函數的圖形、週期性，其振幅、週期與頻率，週 期性現象的範例。

f-V-3 n-V-7 先備：廣義三角比（G-10-6）。

連結：弧度量（N-11B-1），指數與對數（F-11B-2）。

基本說明

1. 與 A 類課程的差異

本條目僅強調以正弦函數作為描述週期性現象的語言。

2. 相關約定

(1) 探討三角函數（而不是三角比）時，自變量一律以弳為單位。

(2) 平移與伸縮變化的正弦函數BAsin(x)又稱為正弦波（sinusoidal wave），B 稱為 基準值或基線（baseline），A 稱為振幅（amplitude），T ²

  稱為週期（period），稱 為相位角（phase angle）。

3. 學習目標

(1) 能理解函數週期的定義。

(2) 能從三角比概念轉換到三角函數概念。

(3) 能了解如何描繪出 sin 函數圖形，且知道其定義域與值域。

(4) 了解正弦函數圖形的重要特徵：週期、振幅、對稱性。

(5) 能用計算機做弧度量的正弦函數值。

(6) 能透過水平與鉛直平移、水平與鉛直伸縮，來變化正弦函數的圖形。

(7) 認識週期性現象，並能用正弦函數的伸縮平移BAsin(x)，也就是正弦波，作為 該現象的數學模型。

(8) 能理解聲音震動所產生的聲波（音波）可以用正弦函數表示。

4. 教學斟酌

(1) 工程領域之週期性函數大都以波形呈現，但 11B 內容應取材自文化與生活之中，讓學 生了解函數的週期性就是一種模式的反覆出現。

(2) 在 10 年級雖然有多項式函數，但是因為沒有其他函數的參照，所以沒有提及它們的定 義域與值域。在 11B 課程中，宜以多項式函數、正弦函數與指對數函數彼此參照，並 利用它們為具體範例，講解函數圖形（相對於方程式圖形）的特徵：例如利用繪製鉛 直線檢定，以及定義域和值域的觀念。

(3) 課綱建議「方格紙、計算機」作為本條目之教具，是希望學生能有親手描繪 sin 函數 圖形的經驗。此外，推薦使用透明描圖紙，讓學生有機會實際觀察 sin 圖形的對稱和 週期性。

(4) 建議在學生操作描點法繪製函數圖形之後，以數學軟體繪製圖形，輔助學生理解正弦 函數圖形是平滑的曲線，也用來觀察圖形經平移及伸縮後的變化。

條目範圍

有關BAsin(x)的圖形，僅限於讓學生了解有伸縮平移的現象，不涉及探討伸縮平 移的順序及求平移量等概念。

錯誤類型

學生會誤以為正弦函數是由一些半圓弧連接而成。

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釋例