• 沒有找到結果。

無須直接評量三平面幾何關係的代數判定。

在文檔中 課程手冊 (頁 67-70)

D: 長 E:正方

2. 無須直接評量三平面幾何關係的代數判定。

A-11A-3 矩陣的運算:矩陣的定義,矩陣的係數積與加減運算,矩陣相乘,反方 陣。將矩陣視為資料表,用電腦做矩陣運算的觀念與示範。

備註:可以在概念上探討任意階的反方陣,但若要確切算出反方陣,則僅限 2 階。

a-V-3

1 1

( ,x y ) (x y2, 2) ( ,x y3 3) yax2bxc

68

連結:方陣乘以向量的線性組合意涵(A-11A-1、A-11A-2),矩陣的應用(F-11A-3)。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

本課綱新增「將矩陣視為資料表」。 2. 相關約定

(1) 矩陣以方括號紀錄,例如

1 1

2 2

3 3

a b a b a b

 

 

 

 

 

,其中

1 2 3

a a a

  

  

 

稱為矩陣的第1 行,其右(如果存在)依

序稱為第2 行、第 3 行…;而

a1 b 稱為矩陣的第1

1 列,其下(如果存在)依序稱為 第2 列、第 3 列…。

(2) 每行 m 個數(也就是有 m 列)、一共有 n 行的矩陣,稱為 m n 階矩陣(讀作 m 乘 n 階),其中m、n 為正整數。方陣是當 m n時的矩陣特例,n n 階矩陣稱為n 階方陣。

(3) 用兩個正整數 i、j 的有序對 [i, j] 指稱矩陣內第 i 列、第 j 行的位置,其中1 i m、 1 j n,而 m n 是矩陣的階數。矩陣的一般性表達法為A[aij],其中aij表示矩陣A 在 [i, j] 位置的元 (element)。

(4) 當 A 是二階或三階方陣,可用 det A表示它的行列式,故| detA|是其行列式的絕對值。

(5) 矩陣 A 的第一行可以記作A1,依此類推Aj表示第j 行。

(6) 每一個元都是 0 的矩陣,稱為零矩陣,通常記作 O 或Om n

(7) 令A[aij]為一個n 階方陣,則a11a22、…、ann稱為A 的對角線元。

(8) 對角線元皆為 1,其他元皆為 0 的 n 階方陣,稱為 n 階單位方陣,通常記作In或者I。

(9) 如果方陣 A 存在反方陣,則稱 A 為可逆方陣,其反方陣記作A13. 學習目標

(1) 能了解矩陣的符號、階數的定義,並能指稱矩陣的行、列和元的位置。

(2) 能操作矩陣的加法、減法及係數積的運算。

(3) 能操作矩陣相乘的運算,並與線性組合連結。

(4) 能算出二階方陣的反方陣。

4. 教學斟酌

(1) 如果已經先安排了 A-11A-1 和 A-11A-2 的條目內容,建議將矩陣視為方陣的一般化,

並先將方陣乘以向量的運算,推廣到矩陣乘以行矩陣的運算,以便合理說明矩陣乘法 的階數搭配原理。然後將A、B 兩個矩陣的乘法運算 AB,理解為 A 分別乘以 B 的第一 行、第二行、…。

(2) 有關矩陣的定義建議從情境問題中引入,強調矩陣作為簡化問題工具的角色,並藉此 將矩陣作為資料表使用,賦予矩陣加減法及係數積的具體功能,而不僅只是數字操作。

(3) 有關矩陣乘法之結合律、分配律及「不可交換」律的介紹,宜從從情境中出發,避免 純代數運算的驗證。例如可利用二元一次聯立方程式的經驗,說明「不可交換」律。

(4) 建議將二階反方陣與求解二元一次聯立方程式做連結,更進一步可以作為平面上的線 性變換的基礎概念。

(5) 可以在概念上探討任意階的反方陣,但若要確切算出反方陣,則僅限 2 階。

(6) 本條目的運算可透過電腦輔助方式(如 Excel),讓學生實際從電腦表單中操作數據的 變化,強化學生對於矩陣為資料表的心像。

(7) 本條目雖然沒提到矩陣的轉置運算,但是可以在合理的情境裡介紹此觀念。但不宜在

69

沒有脈絡的題目裡操作轉置。

條目範圍

不含三階以上的反方陣計算。

評量

請掌握矩陣的學習目標,在評量中彰顯矩陣的用途,勿過度與其他單元做連結,例如勿 刻意求矩陣各元之和,也不要把矩陣相等的概念性問題轉換成複雜的聯立方程式問題。

A-11A-4 對數律:從10x及指數律認識log 的對數律,其基本應用,並用於求解指 數方程式。

備註:認識一般底的對數,但勿過度練習。

a-V-1 n-V-2 先備:常用對數(N-10-4)。

連結:指數與對數函數(F-11A-4)。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

10 年級已講述過以 10 為底的常用對數,學生學習對數的經驗,和以往迥然不同。在 此希望透過解指數方程式的需要,理解即使底數不為10,仍可以用對數表示其解。且 本條目仍需使用計算機融入課程,學習目標不含查表。

2. 相關約定

(1) 給定任意 0 a 1,則任意正數 x 皆可改寫成xalogax。相對於log x稱為 x 的對數,

現在logax稱為以 a 為底 x 的對數;此外,在loga x中,稱 a 為底數,x 為真數。

(2) 常用對數logxlog10x3. 學習目標

(1) 將x10logx推廣到xalogax,其中 0 a 1,x > 0。

(2) 透過指數律認識對數律,並利用對數律解決對數相關問題。

(3) 能用對數律解指數方程式。

4. 教學斟酌

(1) 適當的複習 10 年級中底數為 10 的對數運算。

● 例如:當最後解到10x 3 而得到 xlog 3 時,利用計算機求log 3的近似值。

(2) 沿用 10 年級所學的x10logx,其中x > 0,則對數律其實都是指數律的另一個形式。

● 例如:對任意正數 x 和 y,則xy10logxy, 而另一方面xy10logx10logy 10logxlogy

比較10 的指數部分,得到logxylogxlogy。 以上論述可以把底數10 換成任意 a,其中 0 a 1。

(3) 對數的引入,可搭配解指數方程式的過程,對於解底數不是 10 的指數方程式,也可透 過將底數皆換成底數10 來解之。

● 例如將2x3 換成

10log 2

x 10log 3,因此10xlog 2 10log 3,比較指數而得

log 2 log 3

x  ,故得解 log 3 log 2 x 。 以前,如果先定義log 32 再導出像 2 log 3

log 3

log 2

 這樣的關係稱為「換底公式」。但是如果

70

沿用上述的脈絡,其實這樣的關係是log 32 的定義,亦即log 3 2 : log 3 log 2  。

(4) 「換底公式」的意義就是「對數的底並不重要」,而「換底公式」的教學目標是:理解 對數可以使用「任意底」0 a 1,但是任意底皆可換成一組方便的標準底。以目前 的國際慣例而言,存在三個常用的標準底:10、e、2。學生使用的計算機上,可能已 經提供以10 和 e 為底的兩種對數,學生應能運用這些功能計算任意底的對數值。計算 機上不存在「任意底」的對數按鍵,足以表示「任意底」的對數並不重要,勿過度強 調它。

(5) 承上,在高中階段,能用常用對數解決的問題,就不要透過其他底的對數。

釋例

複雜的指數方程式除了善用以 10 為底的對數概念外,也應設計搭配計算器的問題。例如

求解 等價於 (10log 2 10) x 106,比較指數得到 log 2 10 x 6,亦即 6

10 log 2

x  ,

再搭配計算機求得 log( 6 ) log 2

x 的近似值。

錯誤類型

在文檔中 課程手冊 (頁 67-70)