的值」皆不宜命題。
2. 與選修甲的差異 選修甲無此內容。
3. 學習目標
(1) 能理解平行直線系。
(2) 能將聯立二元一次不等式的圖形繪製在坐標平面上。
(3) 能知道可行解區域與目標函數的意義。
(4) 能利用平行線法與頂點法求出最佳解。
(5) 能理解題意，並將問題建立為線性規劃的數學模型。
135
4. 教學斟酌
(1) 學生已在 10 年級學習過單一的二元一次不等式的圖形，建議實際教學時應先複習相關 概念，俾使學生能正確繪製圖形，進而順利學習繪製聯立不等式的可行解區域。
(2) 介紹平行直線系時，可適當連結直線的截距，幫助學生判斷直線常數項變動的情形。
(3) 雖然在國中階段的數學內容中，代數的單元裡，已介紹關於如何適當的將問題中的未 知數設為變數，並列出題目中的相關條件對應到的式子，但解題涉及到學生的閱讀及 理解、整合能力，教學時應注意學生是否掌握數學建模的流程。
條目範圍
不涉及求下列目標函數之極值問題： 3 1 y x
、x2y2…等非一次式的極值問題。
錯誤類型
遇到平行直線系ax by c時，學生會誤以為直線愈往右，常數項愈大。教師宜適當舉例 澄清學生迷思。
A-12乙-2 方程式的虛根：方程式的虛根，實係數方程式的代數基本定理，虛根 成對的性質。
a-V-2 n-V-3 先備：一元二次方程式的解法與應用（A-8-7）。
連結：複數（N-12乙-1）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
在 99 課綱中，複數與方程式放在 10 年級，本課綱將複數的導入與相關內容，皆移至 12 年級。如果本條目安排在第二學期，則學生已經具備微積分的知識（建議微積分放 在上學期）。
2. 與選修甲的差異
不含係數有虛數的方程式，不必強調根與係數關係，更嚴格地將方程式限制在三次（含）
以內。
3. 相關約定
當一元二次方程式的根為虛數時，稱此方程式有虛根。
4. 學習目標
(1) 透過解一元二次方程式的根，定義出虛數、複數。
(2) 了解代數基本定理的意涵。
(3) 了解實係數方程式虛根成對性質。
5. 教學斟酌
(1) 代數基本定理重點在了解方程式根的個數與方程式次數的關係，可透過三次方程式的 實例，利用因式分解，講解其定理意涵。
(2) 由代數基本定理與實係數方程式虛根成對性質，再結合多項式函數的圖形，對於多項 式函數圖形與 x 軸的交點個數，能有更確實的了解。
條目範圍
本條目的重點強調方程式根的個數，以及實根、虛根的個數，因此特殊解根的技巧、三次 以上求根的公式，皆超出本條目的範圍。
136
錯誤類型
虛根成對性質，學生會忽視實係數的條件，因此會誤以為任何函數 f x( ) ，若 f(1 i) 0 ， 則 f(1 i) 0。
釋例
1. 虛根成對性質，可透過方程式實例的展開，使其了解，虛根成對與不成對之下，對係數的 影響。例如：(x 1 2 )(i x 1 2 )=0i 與(x 1 2 )(i x 1 2 )=0i 的比較。
2. 講解代數基本定理的過程，宜與圖形連結。例如： f x( )x31、
3 2 2
( ) 5 7 3 ( 1) ( 3)
g x x x x x x 、h x( ) x33x23x 1 (x1)3 依序對應以下圖 形：
分別代表：一實根、三實根（其中包含一個二重根）、三重根。
而下圖k x( )x3 3x2 2x x x( 1)(x2) 則有三相異實根。
評量
1. 不涉及特殊技巧求解方程式根，例如此題不宜：求解 (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 = 0 的根。
137
2. 不涉及整係數方程式求有理根的相關問題，例如此題不宜：求解 2x4+x36x22x+3 = 0 的 根。
F-12乙-1 函數：對應關係，圖形的對稱關係（奇偶性），凹凸性的意義。＃
備註：在學習微分或相關內容的脈絡中，認識函數作為可操作的對象，例如 f g、 f g。
f-V-1 g-V-2 先備：三角函數（F-11B-1）、指對數函數（F-11B-2）、一次與二次函數（F-10-1）。
連結：微積分及其應用（F-12乙-3、F-12乙-4、F-12乙-5、F-12乙-6）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
(1) 99 課綱在 10 年級配合多項式內容的學習，介紹單項多項式的圖形具有線對稱與點對 稱的圖形特徵，並引入函數的奇偶性，本課綱則將此概念挪至12 年級與函數圖形一起 介紹。本單元不另立章節，應適度融合、安排在各條目的學習之中。
(2) 99 課綱在數乙教材並未涵蓋圖形凹凸性的介紹，本課綱為銜接函數微分與極值問題之 探討，需介紹圖形凹凸性的概念。
2. 與選修甲的差異
不討論有關反函數的相關概念，也沒有一般性的合成函數。
3. 相關約定
(1) 高斯函數 [x] 定義為「不超過 x 的最大整數」。對正數x 而言，[x] 就是其整數部分。
(2) [f g x]( ) f g x( ( )) 。 4. 學習目標
(1) 能理解函數的定義域、對應域及值域。
(2) 能認識分段函數的圖形。
(3) 能從圖形中觀察出奇函數的圖性對稱關係與偶函數的圖性對稱關係，並能從函數式中 判斷函數的奇偶性。
(4) 能理解函數凹凸性的圖形特徵與代數表達。
(5) 能將函數作為操作的對象，包括係數積 kf、加減 f g、乘fg、除或分式 f
g、合成 f g。 關於函數的合成，請看教學斟酌。
5. 教學斟酌
(1) 學生已於 10 年級及 11 年級接觸過函數概念，此處應適時引入過去所學過的函數作為 學習的出發點，並強化學生對於定義域及值域的了解。
(2) 分段函數的介紹與可從絕對值函數及高斯函數引入，讓學生對於函數圖形的種類能有 不同於多項式函數的經驗。
(3) 函數奇偶性應著重在函數圖形的特徵，以連結未來函數積分計算。可從代數觀點介紹 奇函數的定義為： f
x f x
，偶函數的定義為： f
x f x
，但不建議做繁雜的代數運算來判斷函數的奇偶性。
(4) 函數的奇偶性介紹可搭配函數積分及圖形面積間的關係做介紹，讓學生能實際體會函
138
數奇偶性對簡化計算的威力。
(5) 可連結已經學過的指對數函數圖形或多項式函數圖形，讓學生認識函數的凹凸性。
(6) 不 必 深 入 一 般 性 的 合 成 函 數 ， 但 是 透 過 簡 單 的 例 子 介 紹 合 成 函 數 ， 例 如 (x1)2 f x( 1)，其中 f x( )x2，並知道[f g x]( )的意義是 f g x( ( ))。
錯誤類型
方程式及函數皆能在坐標平面上繪出圖形，但學生容易因為方程式能畫出圖形而誤以為 是函數。
釋例
從yx2、yx4的圖形中觀察出圖形具有對稱 y 軸的特徵，再輔以偶函數的代數運算方 式檢驗方式，可以協助學生對偶函數同時具有代數及圖形的特徵了解。同時也可以舉
yx3為奇函數的例子。
評量
不宜出現討論yax與yloga x的交點數之考題。
F-12乙-2 函數的極限：認識函數的連續性與函數在實數 a 的極限，極限的運算 性質，介值定理，夾擠定理。
備註：請注意連結 10 年級所學的多項式相除之基礎；此處的目標是處理微分，
勿過度延伸。
f-V-6 n-V-2 a-V-1 先備：多項式的除法原理（A-10-2）。
連結：微分與導函數（F-12乙-3、F-12乙-4）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
99 課綱明訂極限相關課題集中在同一章，而且學習極限內容之後，並無微積分。本課 綱則認為本條目應以支援學習微分之所需為主，期望教材勿將極限集中於獨立的單元，
而使其搭配微分之學習脈絡。本條目的最主要目的，是為了寫出導數的定義。
2. 與選修甲的差異
函數的極限與函數的連續性，主要透過圖形來認識。介紹函數極限的概念時，以多項 式函數為主，以圖形作為連續性與極限之範例時，可涉及絕對值函數及分段函數。本 條目的主要目的是為了支援微分的學習，不必延伸過多一般性的極限知識。
3. 學習目標
(1) 能從圖形直觀認識與辨識函數的連續性。
(2) 能透過檢查左、右極限的方法確定函數在實數 a 的極限是否存在。
(3) 能進行函數極限的四則運算。
(4) 能藉由函數連續的特性理解介值定理，並用來解決問題。
(5) 能利用夾擠定理處理函數的極限問題。
4. 教學斟酌
(1) 盡量使用繪圖工具讓 學生觀察求極限之附 近的函數圖形。例如 在 x1附近觀察
139
2 1
1 y x
x
的圖形；如果軟體能任意zoom in 則效果更好。在有理式的情況，一旦發現 分子、分母在求極限的目標點上同時為 0，注意要連結因式定理而斷言此有理式必定 可以約分。
(2) 建議由圖形來認識連續與不連續函數。
(3) 要引導學生從圖形區辨函數在 a 處的極限是否存在，並進一步探討此極限值與函數在 該點的函數值是否相等。
(4) 透過實例介紹函數極限的四則運算。
(5) 透過圖形觀察理解連續函數符合介值定理，並取其特例 y0時，說明結論為勘根定 理。
(6) 可適當運用計算機，透過逐次計算理解極限的意義。
錯誤類型
將 xa與 xa所代表的意義混淆，並誤以為lim
x a f x
總是等於 f a 。
F-12乙-3 微分：導數與導函數的極限定義，切線與導數，多項式函數之導函數，
微分基本公式及係數積和加減性質。
f-V-6 n-V-7 a-V-2 先備：除法原理（A-10-2）、直線方程式（G-10-2）。
連結：函數的極限（F-12乙-2）、導函數（F-12乙-4）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
99 課綱的選修數學乙，預備給所謂「社會組」和「文組」的學生選修，沒有微積分內 容。本課綱的選修數學乙，則設計為支持大學商管、財金、社會科學等學群的學習，
包含基本的多項式微積分內容。
2. 與選修甲的差異
本條目不涉及非多項式函數之導函數微分，不納入「簡單代數函數」的微分。
3. 學習目標
(1) 能理解變化率與導數之間的關係，以及割線與切線的關係。
(2) 能透過極限理解導數在函數圖形上的意義，並推導出導數的定義。
(3) 能理解導數與導函數之間的關係。
(4) 能理解導數與函數圖形切線斜率的關係。
(5) 能透過定義推導出多項式函數及簡單代數函數之導函數。
(6) 能透過極限的四則運算推導出微分基本公式及係數積和加減性質。
4. 教學斟酌
(1) 將導數視為切線斜率的同時，修正學生過去認為切線為「與函數圖形恰有一個交點之 直線」的觀念。
(2) 連結 10 年級的多項式對
x a
進行綜合除法的過程，介紹 f x
在 xa的極限值，以作為後續引入 f x
在 xa的導數概念。140
條目範圍
此條目所使用的函數僅限多項式函數。
錯誤類型
學生會誤以為切線與曲線只有一個交點，如學生會誤認為右 圖的直線不是切線。
F-12乙-4 導函數：二階導數，萊布尼茲符號。函數的單調性與凹凸性判定，基本 的最佳化問題，導數的邊際意涵。
f-V-7 f-V-2 連結：函數極限（F-12乙-2）、微分（F-12乙-3）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
99 課綱的選修數學乙無此內容。
2. 與選修甲的差異
本條目的高階導數僅做二階即可，不必發展乘法律、除法律、連鎖律，無「一次估計」。 在應用方面，加強商管金融領域的範例，並強調導數的邊際意涵。
3. 學習目標
(1) 能認識萊布尼茲符號，並與導函數定義對應。
(2) 能推廣導函數的定義到二階導數，並正確計算出結果。
(3) 能由函數的一階導數及二階導數判斷函數的單調性及凹凸性，並能對函數圖形的外觀 能有更清楚的描述。
(4) 能運用函數的單調性及凹凸性解決最佳化問題。
(5) 能認識導數的邊際意涵。
4. 教學斟酌
(1) 三次多項式函數圖形的完整分類可做為本條目的整合應用問題，老師可以透過一、二 階導數的計算對三次多項式函數做完整的分析，順便檢核學生對於導數意義與功能的 了解。
(2) 最佳化問題的設計，盡量連結社會科學、經濟學或財務金融相關題材，以協助學生連 結未來大學學習內容。
錯誤類型
學生會混淆：lim
x a f x
及lim ( ) ( )
x a
f x f a x a
的意義及使用時機。
釋例
邊際分析（marginal analysis）是探討經濟量的變化率，如國內生產總值（GDP：gross domestic product）在一給定時間的成長速率或衰退速率，或在某一生產水準（產量：level of production）的總成本變化率等。以例說明經濟學間使用「邊際」的意義。
舉例而言，若某公司製造 x 台冰箱的成本函數（cost function）為
8000 200 0.2 2, 0 400C x x x x 。