課程手冊

十二年國民基本教育 普通高級中學

數學領域課程綱要

課程手冊

吳汀菱，張鎮華，單維彰 歐志昌，劉柏宏，蘇麗敏

民國 107 年 11 月 5 日 國家教育研究院出版

公告網址 www.naer.edu.tw/files/11-1000-1625.php

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高中階段特別說明

(1) 課綱文件裡的 10 至 12 年級「學習內容補充說明」，並沒有獨立列在以下說明文件內，而 是融入在「教學斟酌」、「條目範圍」、「釋例」、「評量」等項目內。

(2) 為強調國中與高中階段的銜接，高中階段的「先備」包含國中階段之學習內容。但是，高 中階段的「後續」卻不涉及大學課程。

(3) 因為 11 年級的 B 類課程是新課程，並不適合說明「與 99 課綱的差異」。為提供更有效 的訊息，該欄位改為「與 A 類課程的差異」。

(4) 重申領綱所訂的符號意義如下：

※ 為進階或延伸教材，教師宜適當補充，建議不納入全國性考試的範圍。

★ 建議不列為評量的直接命題對象，可融入其他課題的評量之中。

＃ 不必設置獨立的教學單元，宜融入適當課題，在合理的脈絡中教授。

N-10-1 實數：數線，十進制小數的意義，三一律，有理數的十進制小數特徵，

無理數之十進制小數的估算，（ 2 為無理數的證明 ^★），科學記號數字的運算。

備註：定義科學記號數字的有效位數，在運算之後應維持原本的有效位數。★

n-V-1 先備：有理數的四則運算，平方根式的化簡（N-8-1）。

連結：指對數（N-10-3、 N-10-4）。

後續：無窮等比級數，複數（選修數學甲、乙）。 基本說明

1. 與 99 課綱的差異

使用計算機，讓學生能實際透過計算操作而認識十分逼近法的過程，以及十進制小數 的意義。從計算的意義，而不藉由冪函數的圖形來認識正數的n 次方根。

2. 相關約定

(1) 可以用「黑板粗體字型」的大寫字母 、 、 、 ，依序表示正整數、整數、有理 數、實數。

(2) 不討論負數的 n 次方根，不討論負數的非整數次方。

(3) 對一給定的實數，「準至四位小數」或「算到小數點下第四位」的意思是將小數點下第 四位以後的數值「無條件捨去」(chopping)，而「約至四位小數」或「取四位最近小數」

或「約至小數點下第四位」的意思是在小數點下第四位做「四捨五入」(rounding)。例 如準至四位小數的是 3.1415，而約至四位小數的 是 3.1416。小數點下的位數也可 以改用十分位、百分位等位名來稱呼。不影響數值的 0 可以寫出來也可以省略，其判 斷準則是以溝通的效率來衡量。

(4) 非零的實數可轉換成唯一的科學記號數字，形式如 m 10ⁿ，其中稱為科學記號的

「正負號」，當它為正時可以省略不寫；m 稱為科學記號的「係數」部分，須滿足 1 m 10；n 稱為「指數」部分， n 。

(5) 對非零的數，取其「n 位有效數字的估計值」或者「以 n 位有效數字表示」的意思是：

先將它寫成科學記號數字，再將它的係數約至n1位小數，然後以普通記號或科學記 號呈現其數值。數學的「有效數字」僅用來約定概數的精確度，並不像自然科學還需 用來溝通測量的精確度。

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(6) 建議使用



3≒ 、 2 1.4142 。 學生應該明白，例如「 2 1.4142 」是「以五位有效數字表示 2 」的意思。

3. 學習目標

(1) 知道有理數與無理數的定義，知道它們十進制小數的區別特徵。

(2) 延續國中對數線的認識與理解，能作圖找到整數、有理數、平方根式之無理數在數線 上的位置。

(3) 理解十進位制小數的意義，能做有限小數與其等值分數的互化。

(4) 能進行有理數之分數與小數形式的互化，知道循環小數的特徵。

(5) 使用計算機做四則、平方根、或任何有限小數次方的運算，並明白其值僅為估計。

(6) 能判讀計算機顯示的科學記號數字，能將科學記號數字輸入計算機。

(7) 理解「取三位小數」、「準至千分位」、「以兩位有效數字作計算」等類型的語言，並能 用以溝通，例如將任意數依指令寫成正確的概數。

(8) 理解數線上的點坐標即為實數，而實數可以分成無理數與有理數，後者又可以分出整 數與正整數。

(9) 理解整數與有理數在離散性與稠密性的差異，而有理數雖然稠密卻不能佈滿數線，所 以實數不全是有理數。

4. 教學斟酌

(1) 本條目通常實現在教科書的第一冊第一章，特別指出使用計算機，具有宣示的目的。

(2) 在數線上作圖時，不必拘泥於「尺規」限制，可使用直角板做垂線或平行線、可複製 長度、可做一線段的均勻分割。

(3) 所有關於準至、約至、有效數字和有效位數的說法，都是為了溝通而約定的語言，它 們本身並非數學領域的教學目標。本手冊對有效數字 (Significant Figures) 的約定，符 合其他領域的習慣用法，應該不至於產生歧義。但是，數學領域所說的「有效位數」

只是「有效數字的位數」的簡約說法而已，與自然科學和工程裡的專業術語有些差異，

後者還須關切真值、估計值、與測量值的考量；例如，當1000 表示10³的數值，則1000 的有效位數是 4，但是當 1000 表示

2

(4) 把計算機當作數學實驗的工具，在數學理論未及說明計算機的功能時，可以把它的結 果當作客觀存在的事實。在實際的計算情境中，教導科學記號數字與有效數字之觀念。

若輸入之值含有概數，結論之有效位數當與之匹配。例如若取 之三位有效數字做計 算（亦即把 3.14 當作 ，或者說「取

  3.14

(5) 使用計算機做出結果很大或很小的數，就自然會看到計算機顯示科學記號數字。各款 計算機的顯示方式大同小異，應該都要看懂。在情境問題中，讓學生能夠將科學記號 數字輸入計算機。

(6) 引導學生認識科學記號估計值與日常語言之間的關聯。例如以兩位有效數字表示台灣 的人口，記作2.3 10 ⁷或者 23,000,000 都可以，而讀作「兩千三百萬」。例如以兩位有

4

效數字表示

2

(7) 在應用情境中，若由手算，以使用二位或三位有效位數的數值為宜，若由計算機取概 數，也不宜要求超過五位；除非有確切需求，不宜刻意提高有效位數。

(8) 數學教學與評量中，不必拘泥於有效位數的書寫規定。例如若要以四位有效數字表示¹ 4 ， 寫 0.25 和 0.2500 都可以；而若要以四位有效數字表示

3 10000

9999 ，雖然應該要寫 0.2500 才對，但是仍可以接受0.25。

(9) 運用計算機，結合十分逼近法，讓學生能具體操作以小數逼近無理數（例如 n 次方根）

的過程，並在過程中建立誤差估算的觀念。

(10) 透過數線上點的前後關係，建立數的大小關係之對應，此認識三一律，並做為未來 複數與平面向量不具備大小關係的基礎。

(11) 在缺乏參照時，諸如「結合律」、「交換律」等抽象性質，不容易產生意義。教師可 等到不滿足交換律的運算出現時（例如空間向量的外積），再正式介紹這些性質。

條目範圍

1. 透過 2 是無理數的證明，讓學生認識反證法，但不列入大考的評量範圍。

2. 根式的化簡以雙重根式及分式的有理化為原則。

3. 此處不用極限觀念探討無理數之「無窮小數」的存在性，所以也不用極限觀念處理無窮循 環小數。

4. 本條目不含整數論，特別聲明不討論關於負整數的因數、倍數問題。

5. 不刻意探討給定的數字的有效位數問題。

釋例

1. 三一律的應用機會之一，是討論0.9 與1的關係。若先承認 0.9 是一個實數（從它的小數形 式來看），則若 0.9 不等於1就必定較大或較小。從這裡切入，或許可以帶領學生在概念上 理解 0.9 與1的相等關係。

2. 雖然還沒講極限觀念，教師不必迴避無窮循環小數就是一個實數的事實。若先接受這個事 實，則10 0.9  9 0.9之計算就是合法的。

3. 利用無窮循環小數的特徵，可輕易比較 ⁷¹ 100和⁷⁰

99（分子和分母各減一）的大小。

錯誤類型

1. 因為沒有「完備性」的觀念，學生可能以為「稠密性」是實數的特徵，又或許認為稠密即

「連續」。教師可引導學生認識有理數即具備稠密性，但它卻還有「縫隙」；這些縫隙可 以被無理數填滿。

2. 因為( 2) ³ 8，學生容易認定³  8 2，然而在高中數學範疇內，不討論負數的非整數 次方。教師倒不必說它們無意義或未定義，也不必急著說明它是一種約定（而如此約定的 原因是與稍後的a^x 10^xloga一致），只要不刻意討論它就行了。

評量

1. 無理數的證明不宜列入大考範圍，例如不宜「證明³ 4 是無理數」及「已知 2 為無理數，

證明 3 2為無理數」。

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2. 所有關於有效數字、有效位數、準至與約至的說法，都是為了溝通而約定的教學語言，在 評量時可用於說明題意，不宜作為直接評量的對象。例如在一道應用題裡，敘述題幹之後，

補一句類似「以公尺為單位，用兩位有效數字作答」這樣的規定就好了。

3. 未介紹極限概念，不宜以無窮等比級數討論0.91之類的問題。

4. 未證明³ 2 無法尺規作圖，不宜出現對一般的正數 a 與n2，判斷ⁿ a是否可以尺規作圖 之問題。

5. 不應出現涉及負數之方根，或負數之非整數次方的問題。

6. 避免須刻意禁止使用計算機的評量題目，例如不宜禁止使用計算機而問「 3 17 在哪兩 個連續整數之間」。

7. 以下兩種計算策略，所得的數值結果可能有異：(a) 計算過程中，全部以計算機之精度進 行，最後依指令寫出概數；(b) 每一步皆取概數，以概數做下一步計算。評量之時，應該 接受這類差異，或者以命題方法避免這類差異。務實的情況是，若以器算，則應採策略 (a)，

而若筆算，則應採策略 (b)。

N-10-2 絕對值：絕對值方程式與不等式。

備註：絕對值不等式以 |x a| b和|x a| b為原則，且連結b 為誤差範圍之意 涵，連結相關的商品或工程標示。搭配不等式的解，引進實數的區間符號，可 包括區間的聯集以及符號，僅限表達不等式的解區間，不做區間的集合運算。

n-V-4

先備：絕對值的意義；以|ab|表示數線上兩點a, b 的距離（N-7-5），不等式的意義（A-7-7），

在數線上標示一元一次不等式解的範圍（A-7-8）。

連結：誤差觀念（N-10-5）。

後續：向量的長度，三角不等式（G-11A-4），二次曲線的標準式（G-12甲-1），複數的絕對值 及其幾何意涵（N-12甲-3）。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

國中階段雖已介紹絕對值的意義及其符號，但僅作紀錄之用，並未涉及絕對值的運算，

如以下觀念並不屬於國中課程範圍：

| | ,

,

a b a b a b

b a a b

 

     若 若

上述概念在99 課綱為前置經驗，在本課綱則須視為新概念進行引導與概念建立，以便 進行絕對值方程式或不等式的教學。

2. 相關約定

(1) 以 [ , ]a b 、( , )a b 、[ , )a b 、( , ]a b 、(, ]b 、(, )b 、[ , )a  、( , )a  等區間符號以 及聯集符號  表示解區間；不一定在本條目全部用到。

(2) 所謂兩（實）數之差，就是大數減小數。用符號來寫，就把「a 與 b 之差」記作|ab|。 3. 學習目標

(1) 能知道絕對值的具體概念為距離，在數線上或坐標平面上兩數相減的絕對值代表此兩 數間的距離。

(2) 能透過判斷數字的大小關係，進行絕對值方程式與不等式成立與否的討論。

(3) 透過絕對值不等式求得的解，搭配在數線上所呈現的區域，介紹區間符號，並能以區

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間符號表示絕對值不等式的解。可包括區間的聯集以及 ±∞ 符號。

(4) 能理解絕對值方程式與絕對值不等式在數線上所代表的距離關係，並透過此距離關係 求出所有的解，同時也能將所有可能的解表現在數線上。

(5) 能將不等式|x a| b與誤差範圍的意義相連結，並能用此形式的不等式表達誤差範 圍。

4. 教學斟酌

(1) 本條目通常出現在教科書的第一冊第一章，學生尚未學習到絕對值函數圖形，不應出 現以函數圖形方式求解的問題與學習內容。

(2) 講解絕對值不等式時，應同時採用代數討論及幾何概念兩種方式。使用代數解法時，

若使用兩邊平方去絕對值方式，應提醒學生 0 a b  時，0a² b²，反之則不成立的 概念，在設計問題時，不應出現平方後為 x 的二次不等式。

(3) 進行討論範圍去絕對值的過程中，應強化以下兩種觀念：

● 對於前提條件及原不等式解需取交集。

● 對於分段討論取不同範圍所求得的解，彼此間則需取聯集。

(4) 可設計絕對值不等式的聯立方程組，但僅以兩個不等式為限。

條目範圍

1. 不含兩層或更多層的絕對值方程式或不等式，例如不含 x  2 2 3之解。

2. 不含絕對值函數圖形及其相關解個數的問題。

3. 不含三角不等式，此課題推遲到 11 年級的 A 類課程。

4. 區間符號僅作記錄之用，不含任何集合運算。同理，也僅用作「無界」區間之記號，

不討論其運算性質。

釋例

1. 某果汁飲料中，含糖比例為 30% 5% ，代表 |實際糖份比30% | 5% 。

2. 可利用 x 2 3，在數線上的解為x 1或x5，建立學生以2為中心，找出距離為 3 的 兩個位置，即為x 1或x5。接著再利用此題，請學生思考，當絕對值方程式之解為

1

x  或x5時，其絕對值方程式應為 x 2 3，以強化學生對於絕對值以數線上距離 概念思考的連結。

錯誤類型

1. 2 x   2 x 3 5，需分三段進行討論，忽略拆絕對值時的前提條件，而求得錯誤答案。

2. x 2 x，僅能分段討論，不能使用兩邊同時平方的解法。

評量

1. 分式型絕對值不等式如：解不等式 1 1 2 x x

 

 ，不宜作為本條目之評量問題。

2. 絕對值方程式或不等式之討論以一次為原則，例如：解不等式 x²3x 4x 6 0，不宜 作為本條目之評量問題。

3. 不宜出現需使用三角不等式解絕對值方程式概念的問題。如：解 x 5 2x 3 3x2 。 4. 不宜出現由多個絕對值所組成之函數求極值問題。如：求 x      3 x 2 x 1 x 7 的最

小值。

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N-10-3 指數：非負實數之小數或分數次方的意義，幾何平均數與算幾不等式，

複習指數律，實數指數的意義，使用計算機的x^y鍵。 n-V-1 先備：正整數指數律 (N-7-7)。

連結：科學記號數字 (N-10-1)，對數 (N-10-4)。

後續：指數函數 (F-11A-4, F-11B-2)。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

(1) 99 課綱實施的時候，國中階段習慣於包含負整數的次方，本課綱則明確規範國中階段 僅含一般底數的非負整數次方，只在科學記號出現 10 的負整數次方。因此，本條目須 包含負整數次方的教學。

(2) 99 課綱用單項函數xⁿ a，其中a0，之正根定義a^1/n，本條目意欲由計算的意義而 直接定義a^1/n，不經過單項函數的圖形與求根的過程（參閱教學斟酌）。99 課綱無計 算機相關內容。

2. 相關約定

(1) 不討論負數的非整數次方。

(2) 分數指數可以寫成橫列的形式，例如

1 2 1/2

2 2 2 。 3. 學習目標

(1) 複習指數為非負整數的指數律，並由此推導出負整數指數、有理數指數的合理定義，

推廣整數的指數律到分數與有限小數。

(2) 用計算機求得x^y的數值，並理解它「通常」應為無理數，而計算機的結果是近似值。

(3) 能解讀計算機顯示很大或很小的x^y計算結果，例如3²⁰⁰，並報讀或記錄為指定有效位 數的科學記號數字。也要能夠從計算機顯示的結果，判斷x^y超出了它的處理能力，例 如2¹⁰²⁵和2^1075。

(4) 知道無理數指數也符合指數律，亦即指數律對所有實數皆成立（但非整數指數僅作用 在正數上）。

(5) 介紹算術平均數與幾何平均數的概念及定義，透過代數及幾何方式進行算幾不等式證 明，並應強調等號成立的條件。

4. 教學斟酌

(1) 有理數次方有兩種定義的方法。其一是，先定義「非負實數 a 的 n 次方根ⁿ a是指滿足 bn a的非負實數 b」，然後定義「非負實數 a 的 m/n 次方a^{m n/} 定義為ⁿa 」。也可以^m 定義「非負實數 a 的 m/n 次方a^{m n/} 是指滿足bⁿ a^m的非負實數 b」，然後定義「非負 實數 a 的 n 次方根ⁿ a定義為a^1/n」。但還是要正式定義，手算例子，必要時作十分逼 近法，最後才用計算機。計算機不要拿來代替定義。

(2) 不必透過函數，直接用數的概念定義「非負實數 a 的 n 次方根ⁿ a是指滿足bⁿ a的非 負實數 b」，說明存在唯一可暫時接受。舉例說明之後， 若有必要可操作十分逼近法。

瞭解定義之後才適合用計算機、快速得到答案。計算機是用來協助計算，這包括快速 計算可以協助數學實驗，但不可取代定義。

(3) 無理數指數（例如2 ）也是有意義的，但是因為牽涉極限觀念，在高中階段無法真正³ 講清楚，所以宣稱它「存在」即可。實際計算時，它也僅能從 3的近似值做2^1.732 來

8

代替2 ，所以³ 2 的存在性是一個概念性的問題，沒有計算上的困難。因此，建議不³ 必主動教導這個理論的細節。當學生有疑問或者有能力理解時，教師可以用逼近無理 數之有效位數越來越多的有限小數來闡述其意義（例如 2, 2 , ^1.7 2^1.73, 2^1.732, … 越來越 靠近某個固定的數，那個數就定義為2 ）。 ³

無理數指數之所以難以解釋的根本原因，是它不再能使用「連乘」的意義來說明。

前段建議之解釋方法，涉及極限概念或者連續概念，皆不宜以嚴格的理論形式教學。

建議善用計算機，以具體的數值展現「逼近」的現象。事實上，如果教師並不在此條 目範圍內針對無理數指數設計評量問題，則學生暫時沒有理解無理數指數的迫切性，

只要接受其存在，能依指數律操作其運算，並且能用計算機操作其近似值即可。

(4) 不討論0⁰。只要避免評量0⁰即可，不必刻意說它不存在或無定義。因為計算機的普及，

學生可能會發現科技工具顯示0⁰是 1（也可能出現錯誤訊息），數學教師如果遇到這 種疑問，可以說這是一個具有某種方便性的規定，將來若是學習到不定形式的極限，

才能全面地了解它。

條目範圍

本條目僅止於指數符號的認識與了解，再搭配計算機的 x^y 鍵，讓學生了解2^2/3、2^3.14 類 型之實數指數的意義與近似值，讓學生更確切地感受指數的大小。有關指數函數或指數代 數型式的操作，皆不屬於此條目。

釋例

1. 透過生活中、故事裡或寓言式的例子，讓學生感受指數的成長或衰退。例如：將一張厚度 0.01 公分且足夠大的紙，對摺 10 次的厚度為幾公分？如果能夠一直對摺，幾次以後會比 101 大樓還高？

2. 創造一個需要對科學記號數字開方的情境，特別是指數為奇數的情況。

錯誤類型

1. 非整數指數僅在底數為正數時才有意義，例如，雖然2是x³  8的一個解，但是³ 8並 不是2，而且

1 2 2

( 2) 2

(

)

2. 透過計算機的操作是一種估算且會有誤差。例如理論上

 

輸入10^0.1在螢幕上看到1.2589254118，如果接著做它的 10 次方，會還原到 10，但是若自 行輸入





但是，原則上，計算機的誤差是難以避免的，參閱條目N-10-5。此處應該強調有效位數的 選取，進而決定只需要選擇估算的位數。並讓學生了解任一數的小數或分數次方「通常」

不是一個有限小數。

3. 算幾不等式的誤用。例如：已知a,b是正實數，若 3a2b15，求 ab 的最大值。學生誤 解：因為 2

a b

  ab等號成立的條件為 a b ，又 3a2b15代入 a b 解出來a3，所

9

以 ab 的最大值為 3 3 9  。 評量

1. 此節以認識實數指數符號為原則，過多的代數操作不適宜作為此節的命題內容，例如：若

0

a ﹐且 ² 4

1 2 1



a^

a ﹐求  ^2 

5 2 5

a

a __________為不宜的題目。

2. 不過度針對無理數指數做評量。避免評量0⁰。

3. 有關指數函數性質的試題，皆不為此節的評量範圍，應避免。

例：x y z, ,  ，xyz0，已知 3^x 5^y 15^z，求1 1 1

x y z之值。

4. 算幾不等式的相關應用例題僅限於兩個變數。例如：若a b 15求a b² 之最大值的題型 不適宜作為考題。

5. 不宜在這裡出現根式的代數運算問題，應強調計算機處理小數或分數次方所得結果與目標 數值的誤差。

例：

1 2 4 5

1 (a )

a  _^{4 3} _a²_(a^{3 2}₎ 。

N-10-4 常用對數：log 的意義，常用對數與科學記號連結，使用計算機的10^x鍵和 log 鍵。

備註：透過操作而加強認識任意正數 a 皆可以改寫成 10^log𝑎。不談其他底的對 數。

n-V-1

先備：概數（N-4-4），指數律（N-7-7），科學記號（N-7-8 與 N-10-1）。

連結：指數（N-10-2），有效位數（N-10-1），數值計算的誤差（N-10-5），等比級數與求和公 式（N-10-6）。

後續：對數律（A-11A-4），指數函數與對數函數（F-11A-4）。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

(1) 在 99 課綱的脈絡裡，教材習慣從一般底指數函數ya^x的圖形導入一般底的對數（其 中0 a 1），本條目將常用對數放在認識實數的概念層次上，不需要指數函數與函數 圖形之較高概念層次，也不會擴展到一般底的對數。

(2) 承上，99 課綱的教材安排，需先知道一般實數的次方運算a^x，其中 a 為非負實數，才 能討論指數函數的圖形。本課綱在這一點上與 99 課綱相同，但不同之處在於：一、在

「指數」學習內容（N-10-3）理解實數次方的意義之後，運用計算機獲得觀察計算結 果的學習經驗；二、不必立即發展到指數函數的概念層次。本條目在理解實數次方的 前提下，考慮特殊的 10 的次方，並在任一正數 a 總是 10 的某次方的概念穩固之後，

習得數學將該次方記作 log a ；而且在 log a 的概念穩固之後，以計算機的探究與實驗，

獲得觀察計算結果的學習經驗。

(3) 本條目將常用對數 log 當作一種紀錄和表達數值的記號： log a 的意思是使得 10 的某 次方等於 a 的那個指數，並不進行 log 的代數操作。可以說本課綱將對數的學習分成 兩階段，本條目讓 log 先以記號與計算的意義出現，讓學生有機會在具體情境中使用

10

它，然後在十一年級才進入代數性質（對數律）和變化與關係（對數函數）的層次，

並引入一般底之對數。

2. 相關約定

(1) 對任意正數 x， log x 稱為 x 的對數。

(2) 在求 ( )f x b之近似解的情境中，「取二位最近小數」或「約至二位小數」或「約至 小數點下第二位」的意思是：x 是使得 ( )f x 與 b 誤差最小的二位小數；當此數不唯一 時，依情境做個案處理。例如求解10^x 3時，10^0.4771 2.99985，誤差不到 0.0003，

而10^0.47723.00054，誤差超過 0.0004，用計算機實驗觀察其他四位小數造成的誤差

更大，所以約至四位小數的解是x0.4771。 3. 學習目標

(1) 理解計算機的10^x功能是x^y的特殊化，明白此特殊化的緣由是我們使用「十進制」計 數系統，並能用計算機，以十分逼近法估計形如10^x 5的近似解（譬如取二位最近小 數的近似解）。

(2) 知道正實數 a 的常用對數 log a 是指滿足10^b a的實數b。因此而理解 log a 的意義就 是 a10^loga。反之，任意正數a 都可以改寫成10^loga。能用log 符號紀錄或表達數值。

(3) 當一大於 1 的正數 a 之科學記號為 c10ⁿ時，理解n 就是 log a 的整數部分，而 c 表示 10^d或其近似值，其中d 是 log a 的小數部分；呼應 1 c 10 的規定。

(4) 能用計算機的x^y功能，探索形如(1.01)^x 2之方程式的近似解。

4. 教學斟酌

(1) 建議一種啟發式（heuristic）的思維，作為「為什麼要探究 10 的次方」的動機，供老 師們參考。已經學會x^y的運算之後，因為我們使用「十進制」而特別常用 10 的次方，

例如科學記號數字就有 10 的次方，也可以從計算機上有10^x按鍵獲得證實。我們已經 從指數律知道10 =1、⁰ 10¹ 10，而且知道10^0.5  103.14（其實 10 3.16，但古 埃及人使用 10 的平方根當作圓周率的估計值，這個故事讓人比較容易記得 10 3.14）， 顯然10^0.5不是「10 的一半」也不是「從 1 到 10 的一半」。那麼，有沒有一個實數 b 能使得10^b是「10 的一半」或者「從 1 到 10 的一半」呢？（這是「學習目標」(1) 以 求10^x 5之近似解為例的原因。）

(2) 經過類似前述的啟發之後，可透過計算 10 的 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、

0.9 次方實驗，發現遞增的規律，再多做一些探究之後，獲得 10 的次方「的確」可以 等於1 到 10 之間的每一個數（例如整數 2、3、4、5、6、7、8、9），然後才適合「告 知」確實每個正數都是 10 的某次方；因此，定義正實數 a 的常用對數 log a 是指滿足 10^b a的實數b，才是有意義的。

(3) 承上，定義了常用對數 log 之後，建議先以十分逼近法的實際操作經驗，讓學生熟悉

0.3010

2 10 ^，亦即 log 2 0.3010 之類的近似值表達方式，然後說明正確的記號為 log 20.3010。最後才說計算機提供 log 按鍵，使我們不必每次都麻煩地使用十分逼 近法來找 log a 的近似值。

(4) 建議一種類比式（analogous）的思維，幫助學生穩固常用對數觀念，供老師們參考。

我們在國中時，已經明白：每一個正數都是某數的平方，現在進入高中，我們也明白 了：每一個正數都是 10 的某次方。

(5) 把計算機當作數學實驗的工具，在數學理論未及說明計算機的功能時，可以把它的結

11

果當作客觀存在的事實。在實際的計算情境中，教導科學記號數字與有效數字之觀念。

(6) 若10^a 10^b則可以推論 ab；此事實隱含一個前提，即10^x是一對一函數，但是只要 學生依照計算的經驗接受上述事實，教師可以不多做闡述。在學生能夠理解的條件下，

可提醒學生這類關係未必成立，例如a² b²不能推論 ab。

(7) 一個著名的「勵志」故事是說：每天進步 1%，將來就會進步一倍（成為現在的兩倍）。 多久之後會達標呢？這就是「學習目標」(4) 的問題動機：(1.01)^x 2。這種問題不需 要使用對數律來解決，更不需要使用「以 1.01 為底的對數」。在學習等比級數之相關 應用時（N-10-6），也可能會發生a^x b形式的方程，可用同樣的方法求近似解。

條目範圍

1. 僅介紹以 10 為底的常用對數符號，不講其他底數也沒有換底公式。

2. 不介紹對數函數，所以不宜介紹遞增遞減性質及內插法。

3. 本條目不含「log2 為無理數」的證明。

4. 含指數或對數的方程式或不等式，應在高二學習對數函數後再學習。

釋例

1. 不使用計算機，判斷 10^1.01、10^0.4771分別最接近哪一個整數，並說明理由。（10^1.01接近10¹10，

0.4771

10 接近10^0.5  10接近3。）

2. 不 使 用 計 算 機 ， 判 斷 log34567 介 於 哪 兩 個 整 數 之 間 ， 並 說 明 理 由 。

（10^{log 34567} 3.4567 10 ⁴ 10^4. ，所以介於4 和 5 之間。）

3. 待學生對 10 的冪次表示法熟練後，可以與化學科連結，計算 pH 值；例如將 pH 值 3 與 pH 值 4 的溶液等體積混合之後，pH 值會是 3.5 嗎？

錯誤類型

以 log 定義的度量，關心的是 10 的冪次，例如地震的級數、酸鹼度、聲音的響度等。在 這些度量裡，級數 1 並不是級數 2 的一半，兩種級數的「平均」也不是算術平均數。

評量

1. 不使用對數律來幫助計算，若涉及指數方程式，僅限a^x b且

0   a 1

2. 不使用首數與尾數的名詞，應以科學記號的表達法來理解一個數為幾位數。

3. 關於計算數值解的「取至」和「約至」的說法，都是為了溝通而約定的共同語言，在評量 時可用於說明題意，但不宜作為直接評量的對象。

4. 不介紹對數函數，因此應避免使用遞增遞減性質來比較數值的大小，如「比較log 2 、log3 與 log 的大小」為此階段學習不宜出現的評量試題。

N-10-5 數值計算的誤差：認識計算機的有限性，可察覺誤差的發生並做適當有

效位數的取捨。★＃ n-V-2

連結：所有使用計算機求值或求解的情形。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

以前不在課綱裡放置計算機相關內容，所以沒有討論誤差的必要性，這是新的課題。

此外，以前的高中課綱都類似教材章節的大綱，所以也沒有這類「不設置獨立教學單 元，融入適當課題，在合理的脈絡中教授」的綱要條目。

12

2. 相關約定

(1) 所謂「誤差」就是指「絕對誤差」，亦即估計值與理論值之差。

(2) 在課綱文件裡「計算機」有時也稱為「計算器」，意指英文的Calculator，並非 Computer；

後者稱為「電腦」。 3. 學習目標

(1) 能理解計算機的「有限性」可以做以下類比：一律採用係數部分限定為三位有效位數，

且指數部分限定在 9 之間的科學記號數字做計算（除了 0 以外），但是在宣告答案時 必須將係數的最後一位四捨五入，給出兩位有效數字的結果。如此限制所產生的誤差，

本質上就是計算機的有限性誤差。計算機硬體的擴充可以提高係數的有效位數與指數 的位數，得計算結果顯示較多的數字，但是永遠無法克服其有限性。所以，計算機產 生的結果（幾乎）必有誤差。

(2) 能察覺計算結果可能是一個循環小數，例如 1.66666667 可能是1.6，但是不論它是或 不是¹⁰

6 ，都只能由數學來論證而不能從數值判斷。但是，在適當的誤差範圍內，可以 用分數¹⁰

6 來代替計算機產生的數值1.66666667。

(3) 能理解當有理數的小數循環節太長，就無法從計算結果讀出循環小數。

(4) 能測試一部計算機的表現是「取到」還是「準到」最後一位有效數字，亦即是否在其 下一位做過四捨五入；例如可以用¹

6的小數做此測試。

(5) 能理解科學記號指數部分的有限性造成「溢位」(Overflow)和「歸零」(underflow) 的 現象。

(6) 能根據科學記號數字相加（減）的算則，理解係數部分的有限性會導致小數消失的現 象。

4. 教學斟酌

(1) 本條目為處理操作計算器時可能面臨的實際狀況，可趁機協助學生建立數位素養，但 是並不是數學本身的學習目標。所以，本條目不宜列入數學本身的評量。

(2) 本條目的內容不宜集中在一堂課或一個單元裡教授，宜伴隨著學生操作計算機的經驗 以及課程對計算機的需求，在適當的時機逐步教授。

(3) 如果學生發現溢位和歸零的指數並「不對稱」：即使10^N 發生溢位，10^N未必歸零，那 是因為計算機採取了一種例外措施。當計算機裡的科學記號指數部分已經達到最小值 的時候，係數部分就採取例外措施，容許它小於 0。教師可指出方向，讓學生自行探 索。使用計算機之後，讓部分的數學變成像自然科學一樣，有了觀察的對象。不妨讓 學生去觀察。

(4) 前面（N-10-3）提過：計算機顯示出來的數值，只是實際計算結果的一部份。可以做 類似以下的實驗：輸入10^0.1在螢幕上看到1.25892541179，接著輸入 1.25892541179 就 會看到 4.1673331e-12，表示實際計算的結果，在顯示出來的 11 位小數之後，還有 8 位數值。（此實驗是作者在2018 年 10 月使用 64 bit 版本的 Chrome version 69 之虛擬計 算機所得的結果，在其他計算機上重複此實驗，數值可能略有差異。）

13

(5) 如果學生發現溢位產生的 Inf 還可以繼續做計算，將會發現它具備一些特殊的計算性 質。這些性質跟



  

(6) 類似於前款，如果計算機對於算式 1 0 、 0 0 、0⁰ 產生了某種結果，而不是錯誤訊 息（例如 1 0 顯示Inf，0 0 顯示NaN，0⁰顯示1），學生可能難以理解，教師不妨告 知「這是計算機工業制訂的標準」。這是補充，有必要時才說，並非本條目的教學目標。

條目範圍

1. 本條目僅涉及計算機的有限性所造成不吻合數學理論的狀況，不討論演算法造成的穩定性 或收斂性課題。

2. 本條目不含誤差的傳播或擴散現象，也不要延伸到任何誤差分析的課題。

錯誤類型

1. 當計算結果顯示9.999999999 10 ^7，學生照實抄錄下來，或者直接認定它就是10^6，都不 正確。如果指定以三位有效位數作答，則可以回答10^6，否則應該懷疑它是10^6，並設法 以數學方法論述之。

2. 雖然 ¹

19應該等於循環小數，但是它的循環節有18 位數（052631578947368421）， ¹ 29更長 達 28 位，超出大多數計算機的顯示位數，所以因為計算機的有限性而無法顯示循環節，

學生可能誤以為它不是循環小數。並非所有單位分數的循環節長度都接近分母，例如 ¹ 27的 循環節只有3 位。

3. 如果一個數的絕對值太大，超過了計算機所能處理的上限，可能會產生錯誤訊息，也可能 顯示Inf 或Inf，它是 infinite（無窮）的縮寫，但那並不是數學符號



4. 因為計算機內有效位數的限制，1 加很小的正數（但不至於小到歸零）結果卻仍可能等於 1。發生此現象的最大正數，稱為此計算機的「機器精度」(machine epsilon)。

評量

1. 本條目不宜作為直接評量的對象。

2. 在數學課裡使用計算機是為了輔助數學的學習，不應刻意評量計算機產生誤差的原因，也 不應利用計算機的誤差而設計評量的誘答方向。

3. 不應要求學生僅根據小數數值而猜測其整數或分數的值。

N-10-6 數列、級數與遞迴關係：有限項遞迴數列，有限項等比級數，常用的求 和公式，數學歸納法。

備註：遞迴關係以一階為主，連結國中的等差數列和等比數列。數學歸納法應先 透過觀察發現規律，然後用以證明；將數學歸納法的範例與應用，融入後續的課 程，不必在此過度練習。可連結常用對數而求解 𝑎^𝑥 = 𝑏 之近似值。

n-V-5

先備：已認識常見的數列（等差、等比）及其規律性（包括圖形的規律性），並能由給定條

14

件求其一般項 (N-8-3、N-8-4、N-8-6) 、能利用等差級數求和公式解決生活中相關的 問題 (N-8-5)。

連結：利用求和公式處理一維數據及二維數據的相關統計量 (D-10-2)。 後續：做為學習無窮數列與級數的基礎 (N-12甲-1、N-12甲-2 、N-12乙-2)。 基本說明

1. 與 99 課綱的差異

(1) 國中階段已介紹等比數列的一般項求法，但並未涉及其逆向命題，不同於99 課綱是在 高中階段才正式介紹等比數列，此處可將國中的學習經驗作為出發點，並引導學生做 逆向問題之思考。

(2) 99 課綱在此條目有介紹





僅透過條列方式，讓學生具體熟悉與練習有限項級數和的運算及處理方法。

2. 學習目標

(1) 能觀察並具體操作具有規律的數列或圖形，並寫出其遞迴關係式及一般項。

(2) 能由所給定的條件求出等比數列或等比級數的一般項及項數。

(3) 能利用遞迴關係式推導出常用求和公式。

(4) 能了解數學歸納法中所蘊含的遞迴關係，並加以運用作為證明的方法。

3. 教學斟酌

(1) 數列或圖形規律應強調其遞迴關係的建立與連結，若能同時具有與項數或圖形特徵的 相關性，會更能協助學生學習此觀念。

(2) 應介紹等比級數求和公式之推導過程，但不宜將此處理方法延伸至循環小數轉換為分 數的問題，因為此處涉及無窮級數與極限的概念，所以在教學設計上勿做過度的延伸。

(3) 可透過學生熟悉的等差數列及等比數列一般項，帶出以累加法及累乘法處理具有遞迴 關係的數列一般項，再進 一步引入其他的遞迴關係式求一般項的問題。此處的遞迴關 係式若能搭配圖形或數列規律，引導學生先進行歸納、臆測，最後再以代數運算進行 推論的驗證，可以讓學生完整體驗數學思考的歷程。同時也要引導學生思考，觀察有 限項所做的臆測，不見得正確，需經過驗證的過程才能確認其正確性，此處可選擇適 當的例子做為說明。

(4) 由遞迴關係式推演出一般式的問題以一階為限，但若僅止於遞迴關係式的觀察，則不 受此限。(如：費氏數列)

(5) 可透過代數運算或圖形規律的設計，引導學生進行常用求和公式的推導，僅限於





1+2+3+ +

2 n n n

 、 2 2 2 2







1 +2 +3 + +

6 n n n

n  

 及

 

3 3 3 3 1

1 +2 +3 + +

2 n n n 

  

  ，不宜過度延伸其他的級數求和問題。

(6) 數學歸納法的引入是以做為遞迴關係的應用為出發點，因此有關數學歸納法的學習素 材選擇，應同時兼顧遞迴關係式及一般式，並應引導學生進行歸納、臆測、驗證，讓 學生完整體驗數學思考的歷程。

條目範圍

1. 學生尚未有無窮級數及極限的概念，不宜出現循環小數化為分數的問題。

15

2. 數學歸納法強調為遞迴關係的應用，此處不宜出現不等式型的數學歸納法問題。

3. 數學歸納法以第一型為限，不宜出現第二型數學歸納法的問題。

4. 本條目不使用

m

k n





N-10-7 邏輯：認識命題及其否定，兩命題的或、且、推論關係，充分、必要、

充要條件。★＃ n-V-6

先備：畢氏定理以及平面幾何的推理。

連結： 2 是無理數的證明，各單元中的性質、定理敘述與證明。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

99 課綱在附錄中介紹命題、充分條件、必要條件、充要條件、反證法等邏輯課題。本 課綱雖移入課文中，但不另立章節，搭配課程正常進度中的數學命題說明這些概念，

並隨時予以連結和印證。

2. 相關約定

(1) 原則上，在數學課程中只討論數學命題，亦即可以用數學知識判斷真偽的直述句。

(2) 若 P 表示一個命題，符號「 P 」代表P 的否定，又稱為非 P。

(3) 「且」和「或」用文字描述，不用符號。

(4) 符號「PQ 」代表若 P 則 Q。當「PQ」 成立時，稱 P 為 Q 的充分條件，Q 為 P 的必要條件。

(5) 以符號「PQ」表示「PQ」且「QP」，此時稱P、Q 互為充要條件。

(6) 當 P 和 Q 兩個命題同時為真且同時為偽時，稱它們等價；若要使用符號，建議PQ。 3. 學習目標

(1) 認識、理解並能操作數學命題的否定命題。例如x0的否定為x0，正整數 n 為質 數的否定為n1或是合數， 2 為無理數的否定是 2 為有理數。

(2) 理解「或」和「且」的意義，並能有效溝通。例如|x 1 | 1的解區間和|x 1 | 1的解 區間分別該用「且」還是「或」來描述？（此處可以順便再講解一次：符號 1  x 1 的意義是x 1且x1。）

(3) 理解並能操作用「或」或「且」連接的複合命題之否命題。例如前項之兩個解區間互 為否命題。

(4) 理解「充分」、「必要」、「充要」條件的意義，並能有效溝通。例如「 ABC 是直角三 角形」是「 ABC 之三邊長滿足BC² AC²AB²」的哪一種條件？「A為銳角」是

「 sinA0」的哪一種條件？

(5) 理解「反例」的意義，並能用以判斷命題之偽。例如「x²   0 x 0」之偽。

(6) 理解「等價」的意義，並理解數學定義皆為等價的意涵。例如正整數 n 為偶數等價於 存在正整數k 使得n2k， 2 為有理數的假設等價於存在正整數 n、m 使得 2 n

 m。 (7) 理解PQ與其對偶命題  Q P等價，並能應用此等價關係。例如若平面上的曲線

沒有對稱軸，則它不是二次函數的圖形。

16

(8) 理解PQ與其逆命題QP不等價，例如「若實數x0且y0則xy0」正確但是 其逆命題錯誤。認識充分但不必要的條件，如前例。

(9) 理解PQ與其否逆命題  P Q不等價，如前項的例子。

(10) 從 2 是無理數的證明，認識反證法：若一命題 P 導致矛盾，則 P 為偽而 P 為真；

所謂矛盾的意思是，可推論某命題Q與Q同時為真。

4. 教學斟酌

(1) 避免使用自然語言的敘述作為邏輯的例證。因為自然語言（特別是中文）有很多模稜 兩可或者「歧義」的可能，而且自然語言的陳述跟環境有關，其前提隱諱不明，所以，

拿它們當作邏輯的例子，經常造成麻煩，反而讓師生進退維谷無所適從。適當的作法，

就是在數學課裡，數學老師專注於「數學命題」的邏輯就好了。至於學生是否將邏輯 應用到「生活」和「言談」中，由其他領域的教育來補充。

(2) 邏輯概念搭配數學課程之學習內容中需要的數學定義、定理、性質、條件來學習，第 一次出現的概念為介紹，爾後遇到的同樣概念則為增強其理解。不要另立主題，也不 針對邏輯而評量。

(3) 複合命題「P 且 Q」、「P 或 Q」的否定命題，可與集合中的笛摩根定律一併教學。

條目範圍

不衍生形式性邏輯運算，不含真值表。

釋例

1. 學生較難理解複合命題「P 且 Q」、「P 或 Q」的否定命題，搭配易懂的數學概念陳述。例 如「a＝0 或 b＝0」的否定敘述為a0且b0，學生對於「或」、「且」的概念模糊，可試 著讓學生理解題目等同於「ab0 」的否定敘述「ab0 」，再轉為a0且b0。 2. 以實例說明「PQ 」成立時，「QP 」不一定會成立；以及「  P Q」。「  Q P 」

這兩者的區別。例如：「若x＞0，則 y＞0」成立時，則可以推出下列哪一個敘述亦成立？

(A) 若 x  0，則 y  0 (B) 若 y  0，則 x  0 (C) 若 y＞0，則 x＞0 (D) 若 x＞1，則 y＞0 (E) 若 y＜0，則 x  0」。

3. 學校規定上學期成績需同時滿足以下兩項要求，才有資格參選模範生。 一、國文成績或 英文成績70 分(含)以上；二、數學成績及格。已知小文上學期國文 65 分而且他不符合參 選模範生資格。請問下列哪一個選項的推論正確？

(A) 小文的英文成績未達 70 分 (B) 小文的數學成績不及格

(C) 小文的英文成績 70 分以上但數學成績不及格 (D) 小文的英文成績未達 70 分且數學成績不及格 (E) 小文的英文成績未達 70 分或數學成績不及格 錯誤類型

1. 學生不能了解「PQ 」成立時，「QP 」不一定會成立的觀念；以及「  P Q 」

「  Q P」這兩者的區別。

17

2. 「或」、「且」概念搭配圖形，難度增加。例如：

下方不等式圖形，小安說其對應式子為 ，小花

說是 且 ，判斷兩人的對錯。

評量

1. 此條目不單獨評量。每一數學學習單元都會有邏輯概念，搭配學習內 容做邏輯的培訓即可，不刻意單獨評量邏輯。

2. 可搭配集合單元，結合「或」、「且」與「聯集」、「交集」概念，做整合評量。

G-10-1 坐標圖形的對稱性：坐標平面上，對 x 軸，對 y 軸，對直線 x=y 的對稱，

對原點的對稱。

備註：不必涉及一般的線對稱與點對稱。

g-V-2 先備：線對稱（S-7-4,5），三角形的全等（S-8-5）。

連結：直線方程式（G-10-2），圓方程式（G-10-3），一次與二次函數圖形（F-10-1），廣義三 角比(G-10-6)。

後續：指數函數與對數函數（F-11A-4），三角函數圖形（F-11-A-1，F-11-B-1）。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

99 課綱並未明訂這些學習目標。

2. 相關約定

所謂兩點P 和P對稱於點Q 的定義是 Q 位於線段PP的中點。

3. 學習目標

不必訂定獨立的單元，將這些對稱性一次講完。搭配適當的學習單元中，介紹坐標平 面上（而非一般平面上）點與點的特殊對稱關係，包括：

(1) 點P a b( , )對稱於 x 軸的點是P a₁( ,b)； (2) 點P a b( , )對稱於 y 軸的點是P₂(a b, )； (3) 點P a b( , )對稱於原點的點是P₃( a, b)； (4) 點P a b( , )對稱yx直線的點是P b a₄( , )

以上關係的推論，可連結國中的直角三角形之全等性質。點對稱的觀念穩固之後，再 介紹圖形與圖形的（前述）特殊對稱關係。

4. 教學斟酌

(1) 應提供學生循序漸進的學習機會；建議讓學生先由描點的方式，理解到點與點對稱的 情形與特性，再擴及圖形與圖形的對稱關係。

(2) 學生應可理解圖形自身的對稱性，如二次函數的圖形有對稱軸的意義，但圖形自身對 稱於y 軸，與對稱於原點分別稱為偶函數與奇函數的名稱可在 F-12甲-1 時再介紹。

(3) 可使用數學軟體輔助教學。

(4) 在高一時，學生函數觀念尚未鞏固，所以不必使用抽象符號如：圖形 y = f x( )與

= ( )

y  f x 對稱於原點。

條目範圍

本條目是在坐標平面上的特殊對稱關係，不涉及一般的線對稱與點對稱。

(x y 2)(x  y 1) 0 2

x y x  y 1 _x

y

2 2

-1 -1

18

釋例

1. 判斷直線y=2x 分別對稱於 (1) x 軸 (2) y 軸 (3) x=y 直線的圖形，並探討其斜率。

2. 討論如何將 f x( ) = x²的函數圖形，經由對稱與平移，得到y= 1  x 3)²的圖形。

3. 在說明三角比之補角、負角或餘角性質時，可運用或連結廣義角終邊的對稱性。

評量

宜評量課內提及的圖形即可，y x 1 的圖形宜在 F-12甲-1 再提及。

G-10-2 直線方程式：斜率，其絕對值的意義，點斜式，點與直線之平移，平行線、

垂直線的方程式。點到直線的距離，平行線的距離、二元一次不等式。

備註：平行線方程式與平面幾何的綜合應用，可導出由 𝑃、 𝑄 兩點坐標計算三 角形 𝑂𝑃𝑄 面積的算法，其應用範例可包含計算點到直線的距離、平行線的距 離。呼應平行線、垂直線在國中階段平面幾何主題範圍內的知識。

g-V-4

先備：二元一次聯立方程的幾何意義（A-7-6），平行（S-8-3），直角三角形的三角比(S-9-5)。

連結：絕對值，廣義角和極坐標，廣義角的三角比（G-10-5,6），一次函數（F-10-1）。

後續：平面向量及其運算（G-11A-1,6、G-11B-1,2）。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

直線方程式從11 年級挪到了 10 年級，看似恢復了 95 暫綱的安排，但是本條目的設計 內涵還是比較接近99 課綱的想法，亦即以直線方程式導引出各種基本的坐標方法，作 為向量方法的前置經驗與動機。其次，因為 9 年級學了直角三角比，正的斜率可連結 仰角的正切比。

2. 相關約定

(1) 直線方程式和（平面上的）二元一次方程式可視為同義詞。

(2) 鉛直線沒有斜率。斜率的絕對值較大時，說直線較「陡」。

(3) 當直線方程式axby c 0可以寫成ymxk形式時，可以說y 是 x 的函數，其中 x 是自變數而y 是應變數；若可以寫成 x pyq形式，可以說x 是 y 的函數，此時 y 是 自變數而x 是應變數。國中階段已經有函數觀念，可以與之連結，但是本條目不寫 f x( ) 這種函數符號。

(4) L:y2x表示直線L 的方程式是y2x

(5) d P L( , )表示點P 到直線 L 的距離，d L L( ,_{1 2})表示兩平行線L₁和L₂的距離。

(6) 可善用符號，稱之為「垂直符號」，唸「垂直」，英文唸perp（是 perpendicular 的簡 寫）。例如L M表示直線L 與 M 互相垂直，L^表示直線L 的垂直線，m^表示垂直 於斜率為m 之直線的斜率。

(7) 原則上以語文描述「將變數 x 置換成xh」，教師在適合的班級中，可約定使用 x xh之置換符號。

3. 學習目標

(1) 理解坐標數值的加減，造成點在坐標平面上的平移效果。

(2) 知道斜率的定義，能從二元一次方程式計算斜率，理解滿足方程式axby0的所有點

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( , )x y 聚集成通過原點且斜率為 ^a

b 的直線（當b0）。

(3) 當斜率為正數時，稱直線與 x 軸正向所夾的角為直線的仰角，連結 9 年級的三角比，

理解斜率就是仰角之正切比。所以斜率也是9 年級說的「坡度」的意思。

(4) 理解斜率相等的（不同）直線皆彼此平行，因此認識到任何直線都是通過原點之同斜 率直線的（水平或鉛直）平移；而若限定其通過原點，則斜率與直線是一一對應的。

在技術上，能操作直線的水平與鉛直平移，並能用以化簡問題。

(5) 將直線 L: axby c 0的x 置換成 x h 時，直線左右平移h 單位，將 y 置換成yk 時，直線上下平移k 單位。通過原點且與 L 平行的直線是L₀:axby0；L 是L₀的水 平「或」鉛直平移，平移的量就是L 的 x 截距或 y 截距。

(6) 給定原點以外的一點P a b( , )，理解P^(b a, )使得線段OP^是OP 往逆時鐘方向旋轉直 角的結果（盡量使用基本的全等三角形技術來推論）；而利用點對稱，得知P b ( , a)使 得線段 OP是 OP 往順時鐘方向旋轉直角的結果。斜率互為「相反倒數」的直線彼此 垂直。

(7) 理解並能運用點到直線的距離公式，擴及兩平行線的距離公式。

(8) 能根據情境設立二元一次不等式，理解其「解」的意義，並能在坐標平面上畫出「解 區域」的圖示。能以線型不等式表示坐標平面上（含或不含直線）的半平面區域。

4. 教學斟酌

(1) 應國中階段已經知道二元一次方程式的圖形是直線，且在平面幾何的層次上理解關於 平行線與垂直線的基本性質，本條目的學習要確實建立在這些基礎上，進一步以斜率 連結所有相關的既有知識，並發展新的坐標幾何方法，展現坐標的功能。

(2) 以下性質可以當作已知而不再闡述：平面上兩平行線存在公垂線，且這些公垂線互相 平行；兩平行線之間的任意公垂線段皆等長，且其長度為平行線的距離。可以定義平 面上的平行線為同時垂直於某直線的兩條直線。

(3) 關於直線的任何性質或公式，都盡量從通過原點的直線開始學習，再以平移手段獲得 一般化的知識，具體展現以簡馭繁的精神。

(4) 應提供學生循序漸進的學習機會。建議先在坐標平面上練習點的平移，例如將三角形 APQ 平移至OP Q ，其中A 點平移至原點，討論P和Q的坐標。鞏固了點的平移之後，

再討論直線的平移。爾後，有圓的平移、二次函數的平移、三次函數的平移，皆屬同 一脈絡的學習。

(5) 直線的「陡」度、三角形面積公式、點到直線的距離公式，都是運用絕對值符號作為 溝通工具的絕佳範例。10 年級範圍內的絕對值，應該以類似這種脈絡中的絕對值紀錄 與操作為主，不要延伸到複雜的不等式與絕對值函數圖形。

(6) 可藉此條目以集合的描述形式表示半平面區域，例如用R{( , )x y∣y2 }x 描述坐標平 面上的區域R。此集合形式的教學是以溝通為目的，不要擴張到集合運算。

(7) 順時鐘和逆時鐘方向的直角旋轉（前項之第 (5) 點），是認識角有方向性之必要的初 步經驗，應該要帶領學生認識。

(8) 教學與評量過程中，應讓學生有機會察覺：妥善設計的坐標系統，或者妥善利用平移，

能簡化問題並且凸顯問題的核心要素。

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條目範圍

1. 本條目意欲彰顯坐標的功能：它不只提供繪製方程式圖形的一張畫布而已，它有自己的功 能。這些功能可以當作向量的前置經驗，但是本條目絕不包含向量觀念，也沒有任何向量 操作。向量在數學史上發生得比較晚，顯示它雖然威力強大，卻很可能需要比較高的數學 成熟度，本條目為學生準備這種成熟度，但過早引進向量方法很可能是揠苗助長。

2. 本說明雖指出三角形面積的坐標算法，以彰顯直角坐標的功能，並為師生提供好用的工具，

但它不是必需的，本條目不含「行列式」，絕不系統性地表述行列式的代數性質。

釋例

1. 判斷直線y=2x 分別對稱於 (1) x 軸 (2) y 軸 (3) x=y 直線的圖形，並探討其斜率。

2. 討論如何將 f x( ) = x²的函數圖形，經由對稱與平移，得到y= 1  x 3)²的圖形。

3. 在說明三角比之補角、負角或餘角性質時，可運用或連結廣義角終邊的對稱性。

錯誤類型

若h0，將點的x 坐標置換成 x h 時，點的位置向左平移。但是將方程式的x 變數置換 成 x h 時，滿足方程式的圖形卻向右平移。這裡不能強記，強記則容易混亂，務必要求 了解。而平移的想法與技術是最核心的數學方法之一，教師務必讓學生有充分學習的機 會。

評量

1. 請勿過度練習二元一次聯立方程式的求解，不要設計太多等價於求解二元一次聯立方程式 的評量題目。

2. 不要將使用向量方法的題目，移植到本條目的評量。

G-10-3 圓方程式：圓的標準式。 g-V-4

先備：熟練兩點之間的距離公式與配方法 (G-8-1、A-8-7)。

連結：圓與直線的關係 (G-10-4)，廣義角和極坐標 (G-10-5)。

後續：橢圓的標準式與參數式(G-12甲-1)。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

本條目與99 課綱沒有差異，主要希望學生能將圓的定義透過坐標及距離公式找出其代 數型式，以連結國中的幾何定義，並作為距離公式的具體應用但是99 課綱將此學習內 容安排在 11 年級，而此時改在 10 年級，在技術上沒有向量可用，學生的成熟度也稍 低，期望教師採用較為基礎的工具來發展本條目的內容。

2. 相關約定

通常使用C 或表示一個圓，用C x: ² y² 1表示圓C 的方程式為x² y² 1。 3. 學習目標

(1) 能將圓的幾何定義透過坐標及距離公式，表示成



 



此方程式的點

 

 

(2) 能利用圓的標準式判定平面上一點與圓的相對位置關係：圓內、圓上、圓外。並以圓 的不等式表示坐標平面上圓內、圓外（含或不含圓）的區域。

(3) 能將圓的標準式轉換成二元二次方程式，並能從中找出圓心與半徑。