D: 長 E:正方
2. 空間中的直線關係大多數為歪斜，不必做太多直線交點的問題。
A-11A-1 二元一次方程組的矩陣表達：定義方陣符號及其乘以向量的線性組合意 涵，克拉瑪公式，方程組唯一解、無窮多組解、無解的情況。
備註：以平面向量的具體操作體現線性組合的意涵，克拉瑪公式以連結平面向量 之線性組合以及平行四邊形面積為重點。
g-V-4 a-V-3 先備：二元一次聯立方程式的解法與應用（A-7-5），二元一次聯立方程式的幾何意義（A-7-6）。
連結：平面向量（G-11A-1），平面向量的運算（G-11A-6），矩陣的運算（A-11A-3）。
後續：三元一次聯立方程式（A-11A-2）。
基本說明
63
1. 與 99 課綱的差異
強調矩陣運算式的線性組合意涵，此外，以往克拉瑪公式偏重代數觀點，本課綱希望 能以向量線性組合與平行四邊形面積切入，以便將來大學銜接線性代數的學習。
2. 相關約定
(1) 二階方陣以方括號紀錄，例如 a c b d
。
(2) 做方陣乘以向量的計算時，將向量改寫成方括號的「行矩陣」形式 a b
。 3. 學習目標
(1) 認識方陣符號，能將二元一次方程組 1 1 1
2 2 2
,
x y
a x b y c
a b c
寫成矩陣運算式
。
(2) 能理解二元一次方程組 可以從向量觀點寫成( ,c c1 2)xayb的線性組
合，其中a( ,a1 a2)、b ( ,b1 b2)。據此理解：平面上任一向量皆可唯一表示成兩個互 不平行非零向量之線性組合。
(3) 能從線性組合的觀點，理解克拉瑪公式中，x、y 值的大小分別為兩平行四邊形面積的 比值。
(4) 能從向量線性組合觀點解釋方程組唯一解、無窮多組解、無解的情況。
4. 教學斟酌
(1) 在國中學生學到以加減消去法解二元一次方程組，在高中學到以矩陣列運算求解，學 習了矩陣乘法之後可以利用反矩陣求解，本條目再從向量的幾何觀點引入克拉瑪公式，
希望能讓學生對於向量的線性組合意涵有更深刻的理解，未來能在學習線性代數時，
順利類比到更高維的向量空間。
(2) 在教學的順序上，建議先由向量線性組合觀點，解釋方程式無解，與無窮多解的情況，
然後在解釋唯一解時，以兩平行四邊形面積的比值即為x，y 值的大小，引入克拉瑪公 式。
(3) 教師可以從直線的斜率、直線的法向量與兩直線相交的狀況，與聯立方程組解的關係 做連結。
(4) 應同時透過幾何及代數方法介紹平面上任一向量皆可唯一表示成兩個互不平行非零向 量之線性組合。在幾何部分，可藉此熟練向量加、減法的圖形概念與係數積是向量的 伸縮概念，在代數部分，可藉此連結線性組合與聯立方程組間的關係。此處應讓學生 理解給定向量的分解並不唯一，選定的分解對象不同，分解結果就會不同，連結到代 數運算時，可挑選以(1,0)、(0,1)為分解對象及其他的向量為分解對象做比較。
(5) 建議在此條目之教學時，暫時不必將「行矩陣」推廣為「2 1 矩陣」。矩陣的一般性階
1 1 1
2 2 2
a b x c a b y c
1 1 1
2 2 2
a x b y c a x b y c
64
： 數，留到「矩陣」單元再談（A-11A-3）。
釋例
克拉瑪公式也可以使用線性組合、兩向量決定的平行四邊形面積比推得，老師可以斟酌補 充，釋例如下。
當克拉瑪之判別式不為 0 時（係數行列式不為 0），例如方程組 3 2 3 5 4 16
x y x y
，
。首先 (3, 5)
a 、b ( 2, 4) 、c(3,16)，則方程組可以改寫成xa ybc，亦即 3 2 3
5 4 16 x y
或 x(3, 5) y( 2, 4)(3,16)。也就是把c
寫成「a 與b
的線性組合」。 再換句話說，我們將a
與b
當作基礎的向量，把給定的一個c
拆解成a 與b
的「成分」，而 x、y 只是a
與b
的比重而已，如下圖。
如果我們可以看出 xa 是a
的兩倍，那麼x 當然就是 2；
同樣地，如果yb是b 的2
3 倍，y 就是 2 3。
而我們又要怎麼知道 xa 與a
的比例關係呢？我們可以用面積關 係來轉換：
a
： xa ＝
＝
可見 a
： xa ＝「a
、b
所張出的平行四邊形面積」：「c
、b
所張出的平行四邊形面積」。
：
65
而在代數上，a
： xa ＝
2 2
1 1
b a
b
a ：
2 2
1 1
b c
b
c 。
進而知道
2 2
1 1
2 2
1 1
b a
b a
b c
b c
x ＝
從前面的討論，知道克拉瑪判別式不為 0 的意思就是係數向量a
、b
不平行，故它們 可以決定一個（面積不為0 的）平行四邊形。如果判別式為 0，意思就是a b// （我們假設
a
、b
皆為非零向量）。此時，如果a//c ，也就是a
、b
、c
互為平行向量，則方程組有 解，而且教師可以展示它有無窮多組解（當c 0時也可以推論同樣結論）。如果a b// 但是
c
不跟它們平行，則線性組合xayb只能形成一條直線，但c
不在那條直線上，所以無 解。
A-11A-2 三元一次聯立方程式：以消去法求解，改以方陣表達。用電腦求解多元 一次方程組的觀念與示範。
備註：可連結插值多項式，作為產生三元一次聯立方程式的範例之一，連帶介 紹牛頓插值多項式。高斯消去法之增廣矩陣不延伸至方陣之 rank 觀念。可適 度連結平面向量之線性組合意涵，解釋方程組唯一解、無窮多組解、無解的 情況，但不延伸線性獨立之相關課題。可在觀念上推廣到更多未知數的一次 聯立方程式，說明高階方程組用電腦求解，並應以方便取得的資訊工具電腦 軟體示範之。（三平面幾何關係的代數判定。★）
g-V-4 a-V-3
先備：二元一次聯立方程式（A-7-2,3,4,5,6，A-11A-1）。
連結：矩陣的運算（A-11A-3），平面方程式（G-11A-9）。
基本說明
1. 與 99 課綱的差異
以消去法求解三元一次聯立方程式的程序，以及其解的三種情況（唯一、不存在、無 窮多）之概念理解，這兩項核心課題，與99 課綱相同。但是新課綱不講述三階克拉瑪 公式的解法，所以不強調此條目與三階行列式的連結。新課綱也不強調以三平面的關 係來解釋「解」的三種情況，而希望以三向量的線性組合意涵來解釋那三種情況。最 後，新課綱希望讓學生認識更多元的一次方程組，以及求解的資訊工具。
2. 相關約定
(1) 「方程組」是「聯立方程式」的同義詞。
(2) 三階方陣以方括號紀錄，例如
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
。
66
(3) 做方陣乘以向量的計算時，將向量改寫成方括號的「行矩陣」形式 a b c
。
3. 學習目標
(1) 理解插值多項式的意涵，並作為產生三元一次聯立方程式的動機之一。
(2) 認識三元一次聯立方程式的意義，理解其「解」的意義，知道如何做「解」的驗算。
(3) 對照二元一次聯立方程式，理解同樣有代入與消去兩大類的求解方法，其中代入法相 當於「降階」，但因為消去法可以發展出一般性的演算法，所以我們偏重於消去法。
(4) 認識「增廣矩陣」的價值在於分離係數，並能用以操作高斯消去法，寫出方程組的解，
或者判定無解或非唯一解；理解方程組的解若不唯一，則有無窮多組。
(5) 從二元、三元方程組，經類比而認識更多元的方程組，並知道宜以資訊工具求這些方 程組的解，也知道如何驗算其解。
4. 教學斟酌
(1) 可以用三平面的幾何關係，來解釋「解的三種情況」：不存在、唯一、不止一組（則必 有無窮多組）。但請勿過度強調三平面幾何關係的代數判定，宜類比於二元一次方程組 的線性組合意涵，用線性組合來解釋「解的三種情況」，建立一致性的概念心像。
(2) 教師應明白高斯消去法可能遇到需要 pivoting 的情況（意思是：消去法的某個步驟，
遇到對角線元素為0，必須先將該列與下方的某列交換，才能繼續進行消去步驟），否 則雖然方程組有唯一解卻無法繼續執行消去程序。但是，不必教導這個細節，只要在 練習與評量的時候，避免命題發生需要pivoting 的狀況即可。
(3) 未必需要以增廣矩陣操作反方陣，所以不需要將高斯消去法程序之後的矩陣，化為單 位方陣。
(4) 求解多元一次方程組的程序，並非計算機 (Calculator) 的適用範圍，教師宜以學生容 易合法取得的資訊工具，示範其求解的程序，並做驗算的示範。
(5) 可在觀念上推廣到更多未知數的一次聯立方程式，說明高階方程組用電腦求解，並 應以方便取得的資訊工具電腦軟體示範之。
(6) 建議將「矩陣的運算」條目內容（A-11A-3），放在本條目之後。因此，在本條目教學 時，暫時不必將「行矩陣」推廣為「 3 1 矩陣」。矩陣的一般性階數，留到「矩陣」單 元再談。
條目範圍
1. 不談高斯消去法的 pivot 操作，在練習與評量的時候，避免命題發生需要 pivoting 的狀況