透過計算機的協助，讓學生操作 - 長 E:正方

D: 長 E:正方

2. 透過計算機的協助，讓學生操作

2 1 lim

x^ x

 的極限值，得到常數0.693147…..，並引入ln 2，讓學生知道指數函數在x0的極限值為一個與自然對數有關的常數，做為將來學習指數函數微分的基礎。

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F-12甲-3 微分：導數與導函數的極限定義，切線與導數，多項式函數及簡單代數函數之導函數，微分基本公式及係數積和加減性質。

備註：※可以將 sin x 、cos x、 2^x、3^x 等函數的導函數，當作微分的例子。

f-V-6 n-V-7 a-V-2 先備：除法原理（A-10-2）、直線方程式（G-10-2）。

連結：函數的極限（F-12甲-2）、導函數（F-12甲-4）。

基本說明

1. 與 99 課綱的差異

本課綱在 10 年級的多項式函數課題中，開始準備數學「分析」的前置經驗。多項式的泰勒形式，多項式函數的局部圖形，對三次函數的初步探究，都是微分的前置經驗，

宜善加利用。

2. 學習目標

(1) 能理解變化率與導數之間的關係，以及割線與切線的關係。

(2) 能透過極限理解導數在函數圖形上的意義，並推導出導數的定義。

(3) 能理解導數與導函數之間的關係。

(4) 能理解導數與函數圖形切線斜率的關係。

(5) 能透過定義推導出多項式函數及簡單代數函數之導函數。

(6) 能透過極限的四則運算推導出微分基本公式及係數積和加減性質。

3. 教學斟酌

(1) 將導數視為切線斜率的同時，修正學生過去認為切線為「與函數圖形恰有一個交點之 直線」的觀念。

(2) 透過函數圖形在某點的切線概念引入導數的定義，利用左右極限的處理，搭配適當的 例子(如 ^{f x}

 

^ ^x )，讓學生觀察導數的存在性與圖形的連續性之間的關係。

(3) 連結 10 年級的多項式對



^{x a}^



進行綜合除法的過程，介紹 ^{f x 在}

 

^x^^a^{的極限值，以}

作為後續引入 ^{f x 在}

 

^x^^a^{的導數概念。}

(4) 教學過程中應讓學生熟練透過導函數的定義推導出各種基本的微分公式，例如

 

^x ^^、^{ }  ¹_x ^。 (5) 可利用

limsin 1



 

 的結果，引導學生透過導數的定義推導出三角函數的導函數，以做為 0

limsin 1



 

 的應用；求三角函數之導函數的操作過程，也是和差角公式的重要應用示範之一。

條目範圍

簡單代數函數以x^r為限，其中r ，不應出現



³^x^⁴



^

的題型。

錯誤類型

學生會誤以為切線與曲線只有一個交點，如學生會誤認為右圖的直線不是切線。

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F-12甲-4 導函數：微分乘法律，除法律，連鎖律，高階導數，萊布尼茲符號。函數的單調性與凹凸性判定，一次估計，基本的最佳化問題。

備註：以多項式函數為主要操作對象。連鎖律以(xa)ⁿ的微分為主；多項式函數的泰勒展開式。

f-V-7 f-V-2

連結：函數極限（F-12甲-2）、微分（F-12甲-3）。

基本說明 1. 學習目標

(1) 能透過導函數的定義推導出微分乘法律、除法律。

(2) 能認識萊布尼茲符號，並與導函數定義對應。

(3) 能透過函數合成理解微分連鎖律並加以應用。

(4) 能推廣導函數的定義到高階導數，並正確計算出結果。

(5) 能由函數的一階導數及二階導數判斷函數的單調性及凹凸性，並能對函數圖形的外觀 能有更清楚的描述。

(6) 能運用函數的單調性及凹凸性解決最佳化問題。

(7) 能透過對函數微分，求函數的一次估計。

2. 教學斟酌

(1) 微分乘法律與除法律的推導過程應著重在補項的選取，可透過這樣的推導練習，讓學 生更熟悉導數的定義及使用。

(2) 引入萊布尼茲符號後，結合函數合成的概念，可引導學生思考：若^y^ ^{f u}

 

^，^u^^{g x}

 

^，

則^y^ ^{f u}

 

^ ^{f g x}

   

^，則^dy ^{dy du}

dx du dx，引入連鎖律的概念，強調^du

dx的存在性，並可將微分的除法律作為檢證的範例。

(3) 高階導數的引入在二階部分可透過與自然學科連結(如：加速度)，強調其功能與意義，

並連結函數圖形的凹凸性，高於二階以上的導數計算則以概念陳述、介紹為主，勿設計過多階的導數運算練習。

(4) 三次多項式函數圖形的完整分類可做為本條目的整合應用問題，老師可以透過一、二 階導數的計算對三次多項式函數做完整的分析，順便檢核學生對於導數意義與功能的了解。

(5) 最佳化問題的設計建議可連結自然科學、經濟學或工程學科相關題材，以協助學生連 結未來大學學習內容。

(6) 一次估計的學習引入建議從切線方程式著手，藉由提取切線方程式的概念，結合多項 式的泰勒展開形式，讓學生理解一次估計中，「一次」的意義。

條目範圍

1. 以多項式函數為主要操作對象，連鎖律以 (xa)ⁿ的微分為主，勿多做其他變化及延伸。

2. 題目設計要留意極值發生的位置，不要涉及需使用牛頓定理求根的情形，盡量設計使用 因式定理檢驗即可求出極值發生位置的問題。此處的因式選擇以

(x1), (x2), (x3), (x4), (x5)原則，不宜設計太大的數字。

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F-12甲-5黎曼和：黎曼和與定積分的連結。 f-V-9 n-V-8 先備：常用的求和公式（N-10-6），一次與二次函數（F-10-1），三次函數的圖形特徵（F-10-2）。

連結：數列的極限（N-12甲-1），Σ 符號（N-12甲- 2），積分（F-12甲-6）。 基本說明

在文檔中課程手冊 (頁 122-125)