在樹狀圖的表徵之下，同一「層」的所有事件之機率總和是 1，因此比較容易處理餘事件。

而樹枝的分岔就是互斥的，因此同層事件的機率相加，就是處理和事件的算法，免除了 考慮「取捨原理」的負擔。

錯誤類型

1. 學生將條件機率 誤以為是積事件 的機率。因此題目的敘述上務求清楚明 瞭，尤其條件機率的敘述，應強調在什麼的條件下。

2. 學生在文氏圖裡建立了錯誤的獨立事件心像（誤以為互斥事件）。

評量

此條目的評量請盡量吻合學生的生活經驗：包括個人的、校園的與社會的。例如：溫布頓 男子網球賽採五戰三勝制(即先勝三局者獲勝晉級)，根據過去紀錄知 A 選手與 B 選手實力 有段差距，A 選手與 B 選手獲勝的機率比為 4：1，但比賽前兩局 A 選手因失誤過多致二 局皆敗。假設經過短暫休息後，A 選手恢復原來水準，假設沒有其他特殊狀況發生，請問 比賽最後結果誰獲得晉級的可能性較大？

( | )

P B A P A( B)

爆開 不爆

2/3 1/3 1

白米 黃米

爆開 1/3 2/9

不爆

2/3 1/3 1

白米 黃米

爆開 1/3 2/9 5/9

不爆

2/3 1/3 1

113

N-12甲-1 數列的極限：數列的極限，極限的運算性質，夾擠定理。從連續複利 認識常數 e。

備註：應包括牛頓求根法，示範不確知結果的數列極限，用計算機估計其值；以勘 根定理為牛頓法找到合適的初始值。夾擠定理可示範古典的圓周率估計，從計算機 的估計值看到夾擠的現象。（※認識常數 e 之後，可介紹標準指數函數及自然對數 函數。）

n-V-8 n-V-2

先備：三次函數的圖形特徵（F-10-2），等比數列（N-8-6）。

連結：無窮等比級數（N-12甲-2），函數的極限（F-12甲-2），積分（F-12甲-6）。 基本說明

1. 與 99 課綱的差異

本條目在 99 課綱列為高三選修（數甲、數乙）下冊，在本課綱則定位為積分的準備課 程，所以建議 12 年級上學期教授。此外，99 課綱明訂極限相關課題集中在同一章，

而且獨立於微積分之前。本課綱則認為高中階段的極限課題應以支援學習微分、積分 之所需為主，期望教材勿將極限集中於獨立的單元，而使其搭配微分、積分之學習脈 絡。本條目在高中課程中的最主要目的，是為了能用數列的極限來理解級數的極限，

而後者是為了理解定積分和無窮等比級數（其中又以循環小數為主要範例）。

2. 相關約定

數列  a_n 的首項足標，習慣設定為 1，也就是a1、a₂、 。 3. 學習目標

(1) 認識數列的收斂與發散的意義，並理解數列的極限意義。

(2) 認識極限符號 lim _n

n a

 的意義及表示方法。

(3) 認識並能運用數列極限的運算性質。

(4) 學會不等式型式的數學歸納法證明。

(5) 學習極限的夾擠定理及其應用。

(6) 從連續複利的過程認識常數 e。

(7) 能利用牛頓求根法找到根的近似值。

4. 教學斟酌

(1) 因為「牛頓求根法」之學習目標，本條目宜放在微分之後。或者，本條目之學習目標 不必集中在一個單元。

(2) 教學過程中介紹數列的極限，可利用數線上的位置，說明數列是否逐漸靠近某定值 L 的 現象，也可以將數列視為數據，展現其（前面若干項的）折線圖，觀察它是否逐漸靠 近某水平線y=L，讓同學感受收斂與發散的情形，再進而判斷極限值的存在與否情況。

數列的極限是n ，對象是無窮數列，與函數的極限xa的意義不同，後者是為 了微分而準備。在教學順序上，也可以考慮介紹積分之前才認識無窮數列的極限。

(3) 介紹極限觀念時，不妨建立對符號的直觀想像，例如對n與n²兩個值，以真實的極大 數代入：100 兆與 100 兆的平方，前者為後者的 100 兆分之一，所以當 n 趨向無窮大 時。(n²＋n) 趨近 n²、(2n²-5n+1) 趨近 2n²…等等。

(4) 夾擠定理可示範古典的圓周率估計，從計算機的估計值看到夾擠的對象。

(5) 利用兩數列的比較關係，讓學生建立尋找數列上界、下界的能力，透過上界與下界的 概念，讓學生建立以夾擠的方式求極限值（搭配計算機）。

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(6) 可搭配計算機，讓學生操作如下：假定年利率是 1=100%，引導學生列式，當每年複利 一次、每月複利一次、每天複利一次、每小時複利一次、每分複利一次、每秒複利一 次、每 0.1 秒複利一次…的利息變化，體會何謂連續複利。並觀察出本利和的成長倍 率趨近於定值，再說明此極限值lim(1 ¹)ⁿ

n^ n 為e。然後了解計算機上的 EXP 按鍵之用途。

若年利率為r，以計算機的操作，引導學生發現lim(1 )ⁿ

n

r

 n 的結果為EXP(r)。若學生程 度可接受，則再利用變數變換介紹：lim(1 )ⁿ

n

r

 n 1

lim(1 )

n r r

n n

r



  

  

 

lim[(1 1) ]^{t r r}

t e

 t

   。

(7) 以牛頓求根法示範不確知結果的數列極限，用計算機估計其值；可在導函數的應用單 元，利用介值定理與給曲線上一點求切線的方法，以勘根定理為牛頓法找到合適的初 始值，可當作一個遞迴數列的例子，這與之前所產生數列的方式不同作為比較。

條目範圍

有關自然指數 e，僅建議搭配計算機讓學生感受到此數的存在，給出數學上的定義，但不 須進一步運用或背誦其值。

釋例

牛頓法求 f x( )0的實根r 之近似值步驟：

1. 決定a₁（通常先勘根）。

2. 過P a( , ( ))₁ f a₁ 做 y f x( )之切線L，

L 之方程式為： ， L 與 x 軸交於A a₂( ₂, 0)，

a₂= 。 同理 a₃= ……。

例如，試以牛頓法求 f x( )x²2的正根。

步驟1：因為 f(1) (2)f 0，此正根介於1 與 2 之間，取a₁ 2。

步驟2：過點P(2, (2))f (2, 2)作y f x( )的切線，因為 f(2)4，此切線為y4(x 2) 2。 步驟3：切線y4(x 2) 2與x 軸交點的坐標 ³

x2，取 ₂ ³ a  2。

重 複 步 驟 2 、 3 ， 可 得 一 數 列 a a a₁, ₂, ₃,... ， 其 值 會 愈 來 愈 接 近 此 實 根 。 過 點

3 3 3 1

( , ( )) ( , )

2 2 2 4

P f  作y f x( )的切線，因為 ( )³ 3

f 2  ，此切線為 3( ³) ¹

2 4

y x  。而切線

3 1

3( )

2 4

y x  與x 軸交點的坐標 ¹⁷

x12，取 ₃ ¹⁷ 1.416

a 12  。已經很接近 2 了。

錯誤類型

1. 錯誤使用極限的運算性質，如lim^{1 2 3 ...}₂ lim( ¹₂ ²₂ ... ₂)

n n

n n

n n n n

 

       

2 2 2

1 2

lim lim ... lim 0 0 ... 0 0

n x x

n

n n n

  

         的錯誤結果，教師可以成語「積沙成塔」來

解釋，極限的和差公式只能推廣到有限多項，推廣到無窮多項是不可行的。

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