第二章 文獻探討
第二節 中學生區辨數學敘述與逆敘述的表現
在邏輯中，如果一個推理，不論敘述 p 的真偽，從敘述 p 到敘述 q 的過程是正確的，
且從所有符合敘述 p 的敘述去推理，稱作從敘述 p 到敘述 q「有效的推理」，如果其過 程不正確，則稱作無效的推理。若敘述 p 為真，且敘述 p 到敘述 q 的推理過程是有效的，
則敘述 q 為真，這是演繹推理（deduction）。
從高中數學 95 暫綱實施以來，高一上學期課程，將「認識證明」的主題放至附錄
（不必於正規課程中介紹），其內容包含與敘述「pq」和逆敘述「qp」有關的 證明，但受重視的程度大不如前。研究者的教學經驗中，若僅僅按照教科書所安排的單 元教學，而無與敘述、證明有關的邏輯教學，學生常對符合敘述真實性的結論，以不符 合邏輯有效性的推論來進行證明。
對於中學生區辨敘述與逆敘述邏輯的研究，林福來、鄭英豪（1997）曾調查我國高
二學生對過去高一數學課程中反證法的了解，發現有約 55％的學生瞭解反證法的證明 格式（否定結論，推得矛盾），然而只有不到 5％的學生瞭解反證法的論證原理。此一 方面顯示在數學課堂中學生只學到一種演繹的格式，而非完整的論證原理；另一方面也 顯示學生在生活中利用對偶命題進行論證的經驗「並未與邏輯原理相連結」（林福來、
鄭英豪，1997）。
郭俊麟（2011）研究我國國二學生辨識數學敘述及其逆敘述現象之探討，以生活情 境的中文敘述與數學知識的中文敘述為研究工具，探討國二學生對敘述「pq」及其 逆敘述「qp」的辨識能力，結果 46.1%的學生認為意思不相同；林嘉信（2011）量 的研究指出，我國國二學生區辨敘述「pq」和逆敘述「qp」的能力，在「有案 例問題（以符合問題的實際舉例誘使學生猜想結果）」的表現明顯優於「無案例問題」，
且國二課綱的幾何課程無助於國二學生在區辨敘述和逆敘述的表現。
Hoyles 與 Küchemann（2002）研究英國國中生在整數論方面區辨敘述和逆敘述的 表現，其中國三學生皆為高學習成就，並受測兩次，結果有 69%的人在前測中不能區辨 敘述和逆敘述，而後測的答題表現亦未明顯優於前測，仍有多達 63%的人不能區辨敘述 和逆敘述。Hoyles 與 Küchemann（2002）曾將 Toulmin（1958）的論證模式（如圖 2-2-1）
做了點修改，用以表示 Hoyles 與 Küchemann 所研究的「英國高成就的國三生在整數論 方面區辨敘述和逆敘述表現」其中幾位具代表性受訪者的論證情形，如圖 2-2-2。
圖 2-2-1 Toulmin（1958）的論證模式 證據資料
（Data）
支持理論
（Base）
依據
（Warrant）
反駁
（Rebuttal）
主張
（Claim）
除非，因為
圖 2-2-2 Hoyles 與 Küchemann（2002）的論證模式
在林嘉信（2011）質的研究中，為了確實了解學生在「 pq,q p」中，如何區 辨敘述和逆敘述，看出學生在「無案例」問題和「有案例」問題中區辨敘述和逆敘述的 思考歷程是否不同，他將學生的思考歷程以 Toulmin（1958），以及 Hoyles 與 Küchemann
（2002）所使用的論證模式來表示，給論證模式中六個元素的操作型定義如下：
1. 判斷（judgement）：學生根據情境，經由依據和理由所做出來的判斷。
2. 情境（context）：題目中所給定的情境。
3. 依據（warrant）：連結情境和理由，作為最後判斷時的依據。
4. 理由（reasoning）：學生在訪談中提出的理由。
5. 限制（qualifier）：指出理由所適用的情況，也就是對理由的條件限制。
6. 反駁（rebuttal）：理由的例外；關於反例和反依據的說明和反駁。
證據資料
（Data）
支持理論
（Base）
依據
（Warrant）
結論
（Conclusion）
圖 2-2-3 林嘉信（2011）使用的論證模式
林嘉信（2011）將個案學生分成三種類型：
1. 無案例問題能區辨且有案例問題也能區辨者（YO）2 人。
2. 無案例問題不能區辨但有案例問題能區辨者（NO）2 人。
3. 無案例問題不能區辨且有案例問題也不能區辨者（NX）4 人。
其中林嘉信（2011）對個案學生 YO-1 提供案例「利用 2 根一樣長，一根不一樣長的吸 管拼出三角形，並發現此三角形有兩個內角相等」，然後依個案學生 YO-1 的對話內容，
依「情境、判斷」、「依據、理由」以及「限制、反駁」三步驟分析該學生的論證模式，
如圖 2-2-4。
情境 (context)
依據 (warrant)
理由 (reasoning)
限制 (qualifier)
判斷 (judgement)
反駁 (rebuttal)
圖 2-2-4 林嘉信（2011）的論證模式舉例 案例中，利用 2 根一
樣長，1 根不一樣長的 吸管拼出三角形，並 發現此三角形有兩個 內角相等
案例中符合的敘述是
「若一個三角形有兩個 邊一樣長，那麼此三角 形必有兩個內角相等」
案例中先做的事 情是因，後做的 事情是果
對話過程中學生是 先用吸管去排 情境
判斷
依據
理由
學生們是先利 用吸管去排 (先固定長度)
如果學生先固定角就會 符合等腰三角形性質的 逆敘述了
限制
反駁