第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
第一節 研究背景與動機
有關高中代數方面的證明，在朱綺鴻（1999）的研究中，以剛要升高二的學生為對 象，探討學生對於數學歸納法瞭解的程度，受測對象為台北市地區成績優越的男子學校 高中生，在沒有接受教學實驗的受測學生中，有 20%的受測學生以「若 q 為真，則 p 為真」來證明「若 p 為真，則 q 為真」，並且他們捨棄使用數學歸納法來證明原本可以 用數學歸納法證明出來的問題，以及將整數論的證明題視為代數（代的數可以不是整數）
的問題來看待。令研究者好奇的是，那剩下不以「若 q 為真，則 p 為真」來證明「若 p 為真，則 q 為真」的 80%沒有接受教學實驗的受測學生中，是不是也有人認為「若 q 為真，則 p 為真」與「若 p 為真，則 q 為真」的意思是一樣的呢？他們當中是不是也有 人認為「若 q 為真，則 p 為真」可以證明「若 p 為真，則 q 為真」，只是在數學歸納法 的證明問題裡，選擇不以這種「倒果為因」的方式證明？在研究者的教學經驗中，常遇 到高一學生對於「已知 n 為自然數，若 n 為奇數，則n2為奇數」的證明過程並不能證 明「已知 n 為自然數，若n2為奇數，則 n 為奇數」而深感不解。研究者念高中時，對 於x3x2x10的解題，一開始對於「湊x1來乘，變成(x1)(x3x2x1)0， 然後求得的根中要把x1拿掉」這些計算過程間充分必要的邏輯也感到很疑惑。
在民國 97 年所制訂的現行九年一貫課程綱要（以下簡稱九年一貫 97 課綱）（教育 部，民 97）的第四階段能力指標（國中一至三年級）裡頭，將數學內容分為「數與量」、
「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。至於九年一貫 97 課綱 中與邏輯理解有關的指標，在「幾何」領域的部分有提到：「能用反例說明一敘述錯誤 的原因，並能辨識一敘述及其逆敘述間的不同（課綱指標代號 S-4-18）。」在八年級分 年細目中也提到：「能舉例說明，有一些敘述成立時，其逆敘述也會成立。」例如：「平 行四邊形的兩條對角線互相平分，若四邊形的兩條對角線互相平分，則此四邊形必為平
行四邊形。」但是，也有一些敘述成立時，其逆敘述卻不成立，例如：「箏形的兩條對 角線會互相垂直，兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是箏形（課綱指標代號 8-S-16）。」
而在九年一貫 97 課綱中與邏輯理解有關的指標，在「代數」領域的部分也有提到：
「能用反例說明一敘述錯誤的原因，能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同（課綱指標代 號 A-4-19）。」有鑑於課綱能力指標的內容，我們知道國中畢業生應該要具備在幾何 方面能區辨一個數學敘述及其逆敘述間的不同，而且代數方面也應達到此目標，但現行 國中數學教科書中，找不到有代數敘述是用以區辨敘述及其逆敘述間的不同，而國中數 學的九年一貫 97 課綱也沒有對代數上課綱指標代號 A-4-19 指標內容做闡釋與舉例，到 了高中一年級階段，才有出現許多在代數方面「『若 p 為真，則 q 為真』且『若 q 為真，
則 p 為真』」的定理，以及「『若 p 為真，則 q 為真』但『若 q 為真，則 p 未必為真』」
的定理。
現行九年一貫97課綱國中數學教科書第四冊的勾股弦單元中，有一題涉及幾何性質 與代數表徵的敘述如下：
△ABC中，已知BCa,CAb,ABc，若BAC為直角，則a2b2c2。…(1)
現行教科書是利用上圖來證明：上圖中，由四個全等的直角三角形斜邊圍出大正方形，
內部則是一個小正方形。從大正方形面積可得 a
a
a a b
b b
b
c c
c c
b-c b-c
b-c
b-c
2
產生矛盾，由此可證「BAC不為直角」不成立，故BAC為直角。
由上列國中數學教科書所列的定理(1)，以及Scimone（2009）用歸謬證法證明的定 理(2)，我們便可以說
△ABC中，已知BC a,CAb,ABc。若BAC為直角，則a2 b2c2，反 之亦然。
在國中學過區辨有關幾何概念的敘述與逆敘述意思不同的學生，面對高中有關代數概念 的敘述「若 p 成立，則 q 成立」時，是否也能區辨敘述與逆敘述的意思不同？
在民國 99 年起實行的現行高中課程綱要（在本研究簡稱高中數學 99 課綱）（教育 部，民 99）中，高中一年級上學期課程以函數為主題，其中有許多「若 p 成立，則 q 成立；若 q 成立，則 p 也成立」的代數定理敘述，下文以因式定理為例，表列各教科書 版本對此定理的說明：
版本 因式定理的說明
在第一冊，、
符號有無使用
南一版 設 f(x)是一個 n 次多項式（n1），且a 0， 則axb是 f(x)的因式 ( )0
a
f b 。
有使用
龍騰版
設 f(x)為多項式，axb為一次多項式，
(1) 若 ( )0 a
f b ，則axb是 f(x)的因式。
(2) 若axb是 f(x)的因式，則 ( )0 a
f b 。
未使用，僅在 附錄中出現
全華版
設 f(x)是一個多項式，c 為常數，若xc是 )
(x
f 的因式，則 f(c)0，反之亦然。
推論：
設a0，若axb是 f(x)的因式，則 0
)
(
a
f b ，反之亦然。
有使用
翰林版
若 f(x)有一次因式axb，則 ( )0 a
f b ；反
之，若 ( )0 a
f b ，則 f(x)有一次因式axb。
有使用
研究者在高中任教期間，經歷過高中數學 88 課程綱要、95 暫行課程綱要（以下簡 稱高中數學 95 暫綱）及 99 課程綱要的課程，其中從高中數學 95 暫綱開始，數學課程 轉變較大的其中之一就是邏輯與集合單元，至今雖保留集合單元，但邏輯不獨立列為學 習單元，而僅於附錄的「認識證明」單元中的反證法略微提及。學校評量方面，雖然沒 有屬於邏輯單元的題目，但研究者的教學經驗中，卻屢屢發現學生非選擇題的答題敘述 之間存在邏輯的不合理。
對高一學生而言，從代數敘述的真偽以及給定的代數式證明過程來看，是否可以區 辨代數式的敘述「pq」與其逆敘述「q p」在邏輯上是不同的？給定的代數式證 明是不是被認為有效性的證明？這些是研究者希望瞭解的事。