一、 結論：
本研究依研究目的與研究結果，分成三部分進行結論。
(一) 高一學生對兩敘述真實性的認知對其判斷兩敘述有效性之影響：
1. 受測學生對於敘述（pq）與其逆敘述（q p）的區辨能力，會受到敘述真實 性的影響，且在題目敘述與其逆敘述的真實性為一真一偽（pq,q p或是
q p p
q , ）時，比在真實性皆為真（pq）的敘述下較能使學生正確區辨出 敘述與其逆敘述的意思（邏輯意義）不同。然而，用 McNemar 檢定施測的結果發 現，不論敘述與逆敘述本身的真實性是皆為真還是一真一偽，「學生在兩敘述真實 性的認知」與「學生在兩敘述有效性的判斷」之關聯性是不強的。在幾何表徵問題 下區辨敘述與逆敘述的表現，與在代數表徵問題下區辨敘述與逆敘述的表現沒有達 到顯著差異，這代表高一學生學過學校高一上的代數課程後，對學生區辨敘述與逆 敘述的能力沒有明顯正面幫助。
2. 在有大前提與小前提的敘述上，即真實性為p1,p2 q且p2,p1 q的敘述問題 上，約 78%的高一學生能知道前提順序對調後，意思（邏輯意義）是相同的，不受 問題表徵是幾何表徵或是代數表徵的影響。整體來說，當兩敘述是指兩部分前提一 樣但呈現順序不同的敘述（即p1,p2 q以及p2,p1 q）時，「學生在兩敘述真 實性的認知」與「學生在兩敘述有效性的判斷」之關聯性是很強的，唯有在難度較 低的兩敘述真實性認知問題，「學生在兩敘述真實性的認知」與「學生在兩敘述有 效性的判斷」之關聯性才會較弱。
(二) 高一學生對於代數式推理的有效性理解：
1. 在本研究詴題所測的推理過程中，將有效性「p1 p2,p2 p3」誤以為是
2. 在本研究詴題所測的推理過程中，「p3 p1不正確」（以p3 p1敘述真實性來思 考）─答對的學生中，不在意「p3 p2,p2 p1」的推理有效性（以p3 p1推 理有效性來思考）的比率在不等式敘述上，與在多項方程式敘述上大致上一樣地多。
(三) 高一學生對於代數式證明的有效性理解：
1. 在題目敘述與其逆敘述的真實性皆為真（pq）時，有約 68%的高一學生認為
「pq的證明」已證了「 pq」，甚至有約 50%的人認為題目是證明了「敘述 p 成立與敘述 q 成立」。
2. 在題目敘述與其逆敘述的真實性皆為真（pq），但證明過程的證明有效性是
「pq證明有效」而「qp證明無效」時，在回答證明有效性是「pq證明 有效但q p證明無效」的人以及「pq證明有效」的人之中，有約 79%的人 誤認為是「pq證明有效」，只有約 21%的人正確認為「pq證明有效但q p 證明無效」，這顯示受測學生對於敘述與逆敘述證明有效性的判斷，會受到真實性 認知的影響，且用 McNemar 檢定施測的結果發現，「學生在兩敘述真實性的認知」
與「學生在證明有效性的判斷」之關聯性是很強的。
3. 依邏輯定位的理解面向─前提的定位、前提和結論的邏輯位置、前提和推論間所引 用的性質（楊凱琳，2004）為施測目標，進行施測證明的有效性時，發現高一學生 在證明有效性表現不佳的主因，是只有檢驗局部推理的有效性，或是說明局部推理 的正確性，並未質疑起始條件或引用的性質。受測學生中，僅有約 5%的人知道拿 待證的性質當已知來證明是無效的（循環論證），或者引用的性質要交代清楚由來；
僅有約 5%的人知道拿待證的敘述當已知來證明是無效。
二、 討論與建議：
1. 對受測的高一學生而言，不論敘述（pq）與其逆敘述（q p）本身的真實性 是皆為真還是一真一偽，「學生在兩敘述真實性的認知」與「學生在兩敘述有效性 的判斷」之關聯性並不強。與林福來等人（2004）對國中生整數論條件命題有效性 的研究，以及林嘉信（2011）對國二學生區辨幾何敘述與逆敘述的研究比較來看，
研究者認為，相較於國中階段的學生，高一階段的學生較能抽離對敘述真實性的思 考，不以敘述與其逆敘述的認為對錯，來進行邏輯思考。本研究的對象只有高一學 生，如能找在校學業成就同等級的國中生與高中生，以在校修業課程為範圍施測比 較，將更能證實這一點。
2. 在林嘉信（2011）的研究中顯示，對國二生而言，在實施教科書的幾何課程前，與 實施教科書的幾何課程後，在區辨敘述與逆敘述的表現沒有顯著差異；在本研究 中，研究者另外發現，對高一生而言，在實施高一上代數課程後，整體來說，代數 知識程度高者在敘述有效性的表現，比代數知識程度低者略優，但是沒有顯著差 異，只是這不在研究者的研究問題內，因為這需要以數學程度好壞差異更大的高中 生為研究對象才適合研究。研究者認為，因為邏輯的觀念不夠充分融入在國二的幾 何課程與高一的代數課程中，甚至是在學校的評量上，以致幾何知識學前學後邏輯 表現無差異，代數知識好壞對邏輯表現的影響可能不大。建議在進行幾何課程以及 代數課程時，不論敘述真實性「若 p 則 q」與「若 q 則 p」同時為真，還是一真一 偽，都能傳達給學生：「pq與q p的邏輯意義是不同的」這樣的觀念，進而 在上高中代數的證明課程時，重視證明過程每個敘述的邏輯定位，以及題目大前 提、小前提與待證敘述的邏輯定位，不會只重視證明過程中敘述的真實性。
3. 跟幾何論證的邏輯研究，以及整數論論證的邏輯研究比較起來，國內目前在代數證 明的邏輯研究是比較少的。在邏輯上，pq（若 p 成立，則 q 成立）與~q~ p
（若非 q 成立，則非 p 成立）是等價的，建議未來在代數式邏輯推理研究有興趣者，
可以研究高中生在代數式敘述pq與~q~ p推理有效性的表現，也可以高 二、高三學生為研究對象，會有一番研究結果。
4. 本研究並不是教學實驗的研究，如果有教學實驗研究可以顯示出，高一學生進行數 學敘述邏輯的教學，例如「敘述pq」、「逆敘述q p」、「否逆敘述~q~ p」 之間邏輯關係應用在代數證明的實例上，會對於學生代數式證明的閱讀理解與證明 表現很有幫助的話，可以考慮將邏輯證明的內容，納入高中數學教學內。
5. 在代數式推理有效性的研究詴題上，研究者只就方程式與不等式在計算程序上會出 現的「式子p式子q」或「式子p式子q」的邏輯做初步探討，沒有對方程式 與不等式的知識多做說明，但在本研究中，可以顯現受測學生對於代數知識，即使 是用已學會的代數定理、性質以及計算方法可以解出的計算問題，仍存在有代數敘 述與代數敘述間充分必要關係這種邏輯上的誤解。
6. 關於本研究中「循環論證與否」、「待證敘述當已知與否」的證明有效性問答題中，
有少數同學對於這兩個詴題證明不正確的原因是因為「覺得怪怪的」，因為本研究 屬於量的研究，研究者未深入追問這些少數同學「覺得怪怪的」的理由。對於本研 究證明有效性問答題中的受測學生答題內容類型，以論證模式作為此類研究詴題質 的研究也是一個不錯的題材。
7. 本研究不同於數學「計算或證明題」的錯誤類型研究（一個「計算或證明題」有多 少比例的受測學生犯了哪一種錯），本研究的特色是以數學「是非判斷題」為研究 工具，以「敘述有效性」、「推理有效性」、「證明有效性（循環論證與否、待證敘述 當已知與否也包含在內）」為本研究所設定的數學邏輯理解錯誤類型指標，來探討 每個數學邏輯理解錯誤類型各佔了多少比例的受測學生，使受測學生可以明瞭自己 確實具有哪些邏輯觀念的錯誤，以便受測學生日後自行改進。敘述的真實性帶給「敘 述有效性」、「證明有效性」的影響力，可做為中學數學教師在進行證明教學時的參 考。
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