數學敘述與證明

數學上，可以表示真偽的語句稱為敘述（statement）。敘述句所陳述的內容如與事 實相符，則該敘述句為真（true），否則即為偽（false）（洪萬生，2003）。例如：「相交 於一點的兩直線對頂角相等」是正確的敘述（真敘述）；「10」是錯誤的敘述（偽敘述）。 而「將ab開平方」、「求 2的近似值」並無法判斷真偽，因此不算是敘述；「y3」、「x

不小於 2」是敘述，但依變數值決定其真偽。此外，「存在實數x使得2^x x」雖是真敘 述，但並不容易直接判斷其真偽，此時則需要以證明證此敘述為真。

「命題」（proposition）與「敘述」這兩個用詞的意義並無差別。命題在邏輯上亦稱 作敘述句（statement），它是一種敘述事態的語句（sentence）（洪萬生，2003）。數學上，

命題是可以詴著證出的真敘述（Solow, 1990），例如歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原 本》中，第一卷中有 48 個命題，命題 6 的內容為「如果在一個三角形中，有兩角相等，

則其所對的邊也相等」。

吳大樑、過伯祥（2000）在《邏輯與演繹》書中提到：數學命題的主要種類有直言 命題和假言命題。假言命題是由前件（antecedent）和後件（consequent）所構成，寫成

「若 p 則 q」的形式，其中介於「若」與「則」之間的語句 p 稱為「前件」或「題設條 件」（在本研究中，以「前提」稱之）；在「則」字後面的語句 q 稱為「後件」或「結論」

（在本研究中，以「結論」稱之）。例如「若兩條直線 L, M 被一直線所截產生同側內角 互補，則直線 L 與 M 平行」即是假言命題。

直言命題是直接斷定事物具有或不具有某種性質的命題，可分為四種類型，以數學 觀念的命題為例，整理如下表（吳大樑、過伯祥，2000）：

表 2-1-1 直言命題形式表

命題種類 舉例 邏輯形式 S, P 圖示 縮稱

全稱肯定 所有的整數

都是有理數 所有的 S 都是 P 都是

全稱否定 循環小數 不是無理數

所有的 S 都不是 P

（沒有 S 是 P） 都不是

偏稱肯定 有些整數

是正數 有的 S 是 P 有的是

偏稱否定 有些複數

不是純虛數 有的 S 不是 P 有的不是

此外，「質數只有 2 是偶數」之類的命題另可被歸類於「單稱肯定」的命題，量詞為「

唯一存在」的命題。

直言命題可以轉化為假言命題，舉例如下：

直言命題（單句形式） 假言命題（複句形式）

對頂角相等 若兩個角是對頂角，則這兩個角相等

2是無理數 若r是r²2的正根，則r為無理數 質數有無窮多個 若p為任意質數，則必存在有質數p'使得p' p

中國數學史上，幾何類的著作《墨經》在邏輯學方面早有所論述，據考證，此書的 成書年代約為戰國時代後期（西元前四至三世紀），略早於《幾何原本》。《墨經》的其 中一篇《經說上》提到：「小故，有之不必然，無之必不然。體也，若有端。大故，有

可譯成：「小故是一種條件，有了這種條件不一定有這樣的結果，但若沒有這條件就一 定沒有這樣的結果。例如，有點，不一定就成直線，沒有點，就一定不成直線。大故是 一種條件，有了這種條件就一定有這樣的結果。例如，有了看的動作，就能看見東西，

看是看見的大故（世界數學簡史，1987，p.58）。」

在本研究中，「pq」形式的數學敘述，稱為條件性的敘述，其中敘述 p 是敘述 q 的充分條件，敘述 q 是敘述 p 的必要條件；另外，符號 p 與 q 為「敘述符號」，而「」 為「蘊涵符號」，因此「pq」亦可稱為蘊涵敘述。敘述符號的真假值判斷，真值用 T 代表，假值用 F 代表。蘊涵符號的作用是一種連結詞，它把兩個組成份子的命題連結 在一起，產生一個新的複合句，賦予蘊涵句真假值的方式，稱為「真值蘊涵（material implication）」（李國偉，2010）。

表 2-1-2 真值蘊涵表

p q pq

T T T

T F F

F T T

F F T

什麼叫做數學證明（proof）？蕭文強（1992）認為，要判斷命題「若 p 則 q」正確 與否，頇以基本概念（定義）、基本假設（公理）及之前已經證實為正確的命題（定理）

來推論，且推論手法必頇合乎邏輯，此過程就是數學證明。證明除了用以檢驗命題的正 確性外，同時也具有說服別人相信的目的（林福來、吳家怡等人，1995）。數學證明題 的目標不同於求解題：數學求解題的目標是去尋找未知數，代數的未知數是一個數，幾 何的未知數是一個圖形；數學證明題的目標是對某個敘述明確的結論，證明它的真假

（Polya, 1957）。Selden 與 Selden（2003）將證明當成一種證實（prove）定理的論點

（argument），「證明」通常預設結論正確，來進行論證，而「論證」係指相同種類的推理，

但可能是不正確的。

王懷權（1997）將數學推理方法分為三種：

1. 相似推理法：例如圓上平行弦的中點皆在一直線上，從此推論橢圓上平行弦的中點也 必共線。

2. 歸納推理法：例如經過考察很多三角形，發現其內角和約為180，從而歸為事實─三 角形的內角和為180。

3. 演繹推理法：例如代數方面解x37時，等號兩邊加 3 而得到x10。

所有的數學證明都必頇是「演繹推理法」，每一個證明都是一連串的演繹法，各有其 前提和結論，用演繹推理法證出來就稱為定理；「相似推理法」和「歸納推理法」都用來 臆測事實，這些事實有時候連極為優秀的數學家都證不出來（王懷權，1997，p.7）。

林福來、吳家怡等人（1995）以數學哲學的觀點，分成五類來說明數學證明觀：

1. 形式主義的數學證明觀：視數學為公理化系統的研究。數學是一種邏輯演繹的遊 戲，起點是假設（assumption）或公設（axiom），依嚴格的邏輯演繹產生結果。

2. 直觀主義的數學證明觀：直觀是整體的或統合的，並非詳細或分析的，不需要公理 化系統的形式分析便可做推論。

3. 準經驗主義的數學證明觀：在非形式數學中，證明是解釋、判斷、推敲，使臆測更 像真的、更具有說服力，同時在反例的駁斥下，調整臆測使其更仔細更真確的過程。

4. 邏輯主義的數學證明觀：證明是從公設或已證明的命題出發，依邏輯論證的規則推 得結論的過程。數學概念都可以用邏輯概念表示。

5. 證明的社會學觀：證明是一種溝通、討論數學的方式。證明是相信權威的，也就是

本研究選擇以邏輯主義的數學證明觀來分析學生在學過學校正規的高一數學代數