高一學生理解代數式證明過程有效性的表現

各題所問的數學觀念為：第(九)題是「勾股弦定理」的敘述與證明，第(十)題是「因 式定理」的敘述與證明、第(十一)題是「三角不等式」的證明過程、第(十二)題是「算 幾不等式」的證明過程。

一、在題目只證了「pq」的證明過程中，受測學生在「兩敘述pq與q p真實 性的認知」與「證明有效性的判斷」兩種能力的表現關聯性會如何

以表 4-3-1 來說明兩敘述真實性認知與證明有效性判斷的關聯性。

表4-3-1 兩敘述真實性認知與證明有效性判斷的關聯表-1

第(九)題─勾股弦定理 設「△ABC中，

c AB b CA a

BC  ,  ,  」為大前提；

p：A90^ q：a² b² c²

（真實性：pq）

證明有效性判斷 題目證了pq

（不正確）

題目證了pq 但沒證q p

（正確）

人數 人數

受測學生認為 p, q 關係

（真實性認知）

是pq

a b

是pq,q p

c d

而a,b,c,d所代表的意義如表 4-3-2：

表4-3-2 兩敘述真實性認知與證明有效性判斷的關聯表-2

a

表 4-3-3 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-1

121(82.31%) 26(17.69%) 是pq,q p

194(88.99%) 24(11.01%)

是p q 16 6

表 4-3-6 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響顯著性-2

146(81.56%) 33(18.44%) 是q p 34 27

McNemar檢定 1.000^a

a. 使用二項式分配

回答研究問題 6.：學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後，學生對 兩敘述pq以及q p真實性的認知是否影響其對兩敘述證明有效性的判斷？

以McNemar檢定，由表4-3-3至4-3-8呈現的結果可以得知，受測學生對證明有效性 的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大，意即在第(九)題研究中，受測 學生判斷「題目是否有證明pq」時，跟認為「p, q關係敘述的真實性是不是pq」 的關聯性很強；受測學生在判斷「題目是否有證明q p」時，跟認為「p, q關係敘述 的真實性是不是q p」的關聯性很強。

回答研究問題 7.：學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後，代數式 證明的有效性理解表現為何？

在大前提「△ABC中，設BCa,CAb,ABc」下，設敘述p代表「A90^」，

敘述 q 代表「a² b²c²」，由附錄二可知，關於第(九)題─勾股弦定理：

1. 在 240 位高一同學中，

(1) 有 210 人認為此題證明了「pq」─答對率 87.5%；

(2) 僅有 60 人認為此題沒有證明「q p」─答對率 25%；

(3) 有 135 人認為此題並不是證明「敘述p與敘述 q 皆成立」─答對率 56.25%；

(4) 僅有 22 人認為此題證明了「pq」，且沒有證明「q p」以及「敘述p與 敘述 q 皆成立」，全答對率 9.17%。

(二) 在「pq的代數性質代數表徵」裡，高一學生是否能區辨「證明若 p 則 q」與

「證明若 q 則 p」的邏輯是不一樣的：

受測學生人數：240 人

(十) 下面 2 小題是有關多項式性質的問題：

1. 設 f(x)為多項式， a 為實數，下列關於多項式f(x)的敘述，何者正確？（至少有 一個敘述正確）

(A)若 f(x)除以xa的餘式為 2，則f(a)2。 (B)若 f(a)2，則 f(x)除以xa的餘式為 2。

2. 關於因式定理──小涼提出了下面的證明過程：

已知多項式 f(x)，用xa代入，發現 f(a)0 ………(1)

令 f(x)除以xa的商式為q(x)，餘式為 r，即由除法原理，可得 r

x q a x x

f( )(  ) ( ) ………...(2)

) (x

f 用xa代入，得 f(a)r ………..(3) 然後r 0 ………...(4)

故 f(x)(xa)q(x) ………...(5)

即xa為 f(x)的因式………...(6)

對於多項式 f(x)，小涼的證明過程證明了什麼？（至少有一個敘述正確）

(A)由除法原理推得，若 f(a)0，則xa為 f(x)的因式。

(B)由除法原理推得，若xa為 f(x)的因式，則 f(a)0。 (C)由除法原理推得，xa為 f(x)的因式且 f(a)0。

表 4-3-9 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-1

59(74.68%) 20(25.32%) 是pq,q p

145(80.56%) 35(19.44%) 是p q 37 23

表 4-3-12 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響顯著性-2

96(62.34%) 58(37.66%) 是q p 50 36

回答研究問題 6.：學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後，學生對 兩敘述pq以及q p真實性的認知是否影響其對兩敘述證明有效性的判斷？

以McNemar檢定，由表4-3-9至4-3-14呈現的結果可以得知，受測學生對證明有效性 的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大，雖然在第(十)題研究中，受測 學生判斷「題目是否有證明 pq」時，跟認為「p, q關係敘述的真實性是不是pq」 的關聯性不強，但受測學生判斷「題目是否有證明pq」時，跟認為「p, q關係敘述 的真實性是不是pq」的關聯性則是很強，且受測學生在判斷「題目是否有證明

p

q 」時，跟認為「p, q關係敘述的真實性是不是q p」的關聯性也很強。

回答研究問題 7.：學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後，代數式 證明的有效性理解表現為何？

在大前提「設 f(x)為多項式，a 為實數」下，設敘述p代表「 f(a)0」，敘述 q 代 表「xa為 f(x)的因式」，由附錄二可知，關於第(十)題─因式定理：

1. 在 240 位高一同學中，

(1) 有 182 人認為此題證明了「pq」─答對率 75.83%；

(2) 僅有 94 人認為此題沒有證明「q p」─答對率 39.17%；

(3) 有 105 人認為此題並不是證明「敘述p與敘述 q 皆成立」─答對率 43.75%；

(4) 僅有 35 人認為此題證明了「pq」，且沒有證明「q p」以及「敘述p與 敘述 q 皆成立」，全答對率 14.58%。

表 4-3-15 第(九)題、第(十)題在理解代數式證明過程的有效性答題表現

受測學生認為 題目證明了什麼

代數知識答對率

幾何性質代數表徵 代數性質代數表徵 第(九)2.題─勾股弦定理 第(十)2.題─因式定理 平均

題目證明了「pq」 87.5% 75.83% 81.67%

此題沒有證明「q p」 25% 39.17% 32.08%

此題並不是證明

「敘述 p 與敘述 q 皆成立」 56.25% 43.75% 50%

此題證明了「 pq」， 且沒有證明「q p」以及

「敘述p與敘述 q 皆成立」

9.17% 14.58% 11.88%

(三) 高一學生對於「代數性質代數表徵」證明過程的真實性認知：

表4-3-16 第(十二)1.題理解代數式證明過程的有效性答題結果統計

(四) 高一學生對於「幾何性質代數表徵」證明過程的有效性判斷：

(十一) 「已知a ,,b c為△ABC的三邊，若abc，則abc」的敘述，小玉將此 三角不等式證明過程依序寫出如下：

在AB上取 D 點，且在 BC 、 AC 上取 E、F 兩點，使得DE // AC、DF // BC (1) 得 CEDF 為一平行四邊形 ……… (2) 設CEa₁,EBa₂,AF b₁,FCb₂,ADc₁,DBc₂ ……… (3)

1,

1 c

b DF 

 即a₁b₁ c₁ ……… (4)

且a₂ DEc₂, 即a₂ b₂ c₂……… (5) 由(4),(5)式，得ab(a₁a₂)(b₁b₂)(a₁b₁)(a₂b₂)c₁c₂ c， 即abc ……… (6)

你認為小玉的證明是否正確？為什麼？

受測學生人數：240人

F

a2

E b1

D c₂ b2 a1

c₁ A

C

B B

b a

A c

C

(五) 高一學生對於「代數性質代數表徵」證明過程的有效性判斷：

第(十二)2.題與第(十一)題答對率皆在 4~5%左右；由第(十二)1.題與第(十二)2.題的 答對情形來看，受測學生在同一定理敘述真實性的正確認知表現，不能反映在證明有效 性的正確回答表現上。