探討高一生對數學敘述與代數式證明之邏輯理解

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(1)國立臺灣師範大學理學院數學系 碩士論文 Department of Mathematics College of Science. National Taiwan Normal University Master of Science. 探討高一生對數學敘述與代數式證明之邏輯理解 Research on Taiwanese Tenth Graders' Logical Understanding about Mathematical Statements and Algebra Proofs. 陳信東. 指導教授:楊凱琳. 博士. 中華民國 104 年 1 月.

(2) 誌謝 在論文完成之時,首先感謝父親陳明飄、母親林寶玉在我求學的路上,總是無私地 完全支持我想追求的偉大夢想,父母一生勤儉的性格,正面影響著我求學與在中學任教 的態度。 進台灣師大數研所以前,我對邏輯用之於數學推理與證明這方面有過一些探索,也 查閱了很多資料內容論述,這成為我後來想就讀師大數研所碩士班的動力之一,而在閱 讀過了楊凱琳博士在科學教育研討會發表過的數學論證文章後,決定請楊教授給予指 導。教授的數學教育專業常讓我在產生疑問過後豁然開朗,不論是面對我或是同研究群 組的其他同學,教授總是鼓勵學生自由發揮,並耐心地以極高的效率為學生解決疑難, 非常感謝楊凱琳教授在數學教材教法研究以及論文研究方面教導了我很多。 在論文研究的過程中,非常感謝以下諸位教授:左台益教授指示我在論文寫作時, 對參考資料必頇追本溯源,才能更了解整個理論的脈絡;曹博盛教授在我口詴時鉅細靡 遺地提供我論文可改進的地方,曹教授對學生評論一向中肯,一直是我認為身為數學教 師者該學習的地方;鄭英豪教授在數學論證方面學有專精,指出我許多論述內容可以更 周全的地方,感謝教授讓我受惠良多。 在我研究所求學歷程中,感謝黃俊瑋博士、謝淑莉老師在我曾經對於學術研究迷惘 時,分享他們在研究所求學的經歷,提供我研究的方向,及時幫忙我檢查撰寫的論文內 容;感謝李虹儀老師也幫我檢查研究工具。也謝謝在楊教授的論文討論時間,志錩、俊 筌、君毅、倚瑄、建亨、馮梵、泳欣、雪惠、桂安、梅芳、金尚等研究夥伴適時評析建 議,讓我順利完成論文。.

(3) 摘要 本研究的目的是了解高一學生「對數學敘述有效性的判斷」 、 「理解代數式推理與證 明的表現」是否顯著地受到「對數學敘述真實性的認知」的影響,並採量的研究方法。 本研究對象為台南地區某一高中的 240 位高一學生,學生的國中成績 PR 值約在 86 至 96 之間。研究結果顯示:1.學生「認為兩敘述是否同時為真」和「判斷兩敘述的有 效性」間的關聯性並不顯著,也就是說以高一學生對真實性的認知,並未能有效預測其 對有效性的判斷。2.對兩敘述有效性判斷的表現, 「在幾何知識上」與「在代數知識上」 沒有顯著差異。3.真實性 p1  p2 , p2  p3 的敘述,而認為 p1  p2 , p2  p3 敘述為真 的高一學生中,在多項方程式敘述上和在不等式敘述上,分別有 4%與 53%的學生將推 理有效性「 p1  p2 , p2  p3 」誤以為是「 p1  p3 」 ,兩者有顯著差異。4.在判斷代數 式證明過程的有效性上,平均約有 84%的學生誤以為一個「若 p 則 q」的證明可以同時 證了「 p  q 」和「 q  p 」。5.約有 95%的學生無法正確判斷循環論證是無效的。 從測驗結果顯示,高一學生對敘述真實性的認知雖然和其判斷敘述的有效性沒有顯 著關聯,但仍會影響其判斷某一證明的有效性。並且,學生對敘述有效性的判斷優於對 證明結果有效性的判斷,又優於對循環論證是無效證明的判斷。. 關鍵字:敘述與逆敘述、演繹推理、證明的有效性.

(4) Abstract This research aims to realize if the judgement of the validity of mathematical conditional statements (on logical implications) and the performance of understanding algebraic reasoning and proving for tenth-graders are strongly influenced by cognition of the truth of mathematical conditional statements. The quantitative research method is adopted in this study. The subjects in this research are two hundreds and forty tenth-graders of a senior high school in Tainan, whose knowledge levels in junior high school were between PR 86 and PR 96 or so. The main results are: 1. The tenth-graders' understanding of the truth of two mathematical conditional statements does not correlate strongly to their judgement of the validity of two mathematical conditional statements, that is, we can not predict students' judgement of the validity of mathematical conditional statements by their cognition of the truth of mathematical conditional statements. 2. About the tenth-graders' performance of judgement of the validity of two mathematical conditional statements, there is no significant difference between which of the knowledge geometrically and which of the knowledge algebraically. 3. Among the tenth-graders who think that the statements of p1  p2 , p2  p3 are true, the ratio of regarding valid reasonings p1  p2 , p2  p3 together as p1  p3 (false), through the Kruskai-Wallis' test, is more in the conditional statement of polynomial equality (53%) than in the conditional statement of polynomial inequality (4%), and there is significant difference between them. 4. In the judgement of the validity of proving about proof process of algebraic statements, there are 84% of the tenth-graders answering wrongly that the process-proving content of the question which p  q is concerned proves not only p  q , but also q  p ..

(5) 5. 95% of the tenth-graders or so are not able to judge correctly that the circular argument is invalid proving. The result of research tests says that although tenth-graders' cognition of the truth of mathematical conditional statements does not correlate strongly to their judgement of the validity of two mathematical conditional statements, it still influences their judgement of the validity of proving. Moreover, students' judgement of the validity of two mathematical conditional statements is superior to the judgement of the validity of proving, and both of the two kinds of judgement are superior to the judgement that the circular argument is invalid proving.. Keywords: statement and its converse, deductive reasoning, validity of proving.

(6) 目次 目次 ....................................................................................................................... I 表目錄 .................................................................................................................. II 圖目錄 ................................................................................................................ VI 附錄 ................................................................................................................... VII 第一章 緒論......................................................................................................... 1 第一節 研究背景與動機.................................................................................................. 1 第二節 研究目的與研究問題.......................................................................................... 6 第三節 名詞界定.............................................................................................................. 8 第四節 名詞解釋.............................................................................................................. 9. 第二章 文獻探討............................................................................................... 11 第一節 數學敘述與證明................................................................................................ 11 第二節 中學生區辨數學敘述與逆敘述的表現............................................................ 16 第三節 中學生對數學證明有效性的理解.................................................................... 21. 第三章 研究方法............................................................................................... 23 第一節 研究設計與流程................................................................................................ 23 第二節 研究對象............................................................................................................ 25 第三節 研究工具............................................................................................................ 26 第四節 資料處理與分析................................................................................................ 44 第五節 研究限制............................................................................................................ 45. 第四章 研究結果............................................................................................... 46 第一節 高一學生敘述有效性的表現............................................................................ 46 第二節 高一學生理解代數式推理過程有效性的表現................................................ 74 第三節 高一學生理解代數式證明過程有效性的表現................................................ 78. 第五章 結論與建議........................................................................................... 94 參考文獻............................................................................................................. 98 I.

(7) 表目錄 表 2-1-1. 直言命題形式表 .................................................................................................... 12. 表 2-1-2. 真值蘊涵表 ............................................................................................................ 13. 表 2-1-3. 證明數學敘述的方法-1......................................................................................... 15. 表 2-1-4. 證明數學敘述的方法-2......................................................................................... 15. 表 2-3-1. 在條件式的敘述邏輯裡有效與無效的論證 ........................................................ 21. 表 3-2-1. 正式施測樣本在高一上段考多項式單元的得分統計 ........................................ 25. 表 3-2-2. 正式施測樣本在高一上段考多項式單元的得分統計 A、B 組間t檢定 ........ 25. 表 3-3-1. 區辨敘述與逆敘述詴題測驗題型 ........................................................................ 27. 表 3-3-2. 區辨敘述與逆敘述詴題測驗目標-1..................................................................... 27. 表 3-3-3. 區辨敘述與逆敘述詴題測驗目標-2..................................................................... 28. 表 3-3-4. 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗題型 ........................................................ 30. 表 3-3-5. 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗目標 ........................................................ 30. 表 3-3-6. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗題型 ........................................................ 31. 表 3-3-7. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-1..................................................... 32. 表 3-3-8. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-2..................................................... 32. 表 3-3-9. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-3..................................................... 32. 表 3-3-10 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-4..................................................... 33 表 3-3-11 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-5 ..................................................... 33 表 3-3-12 以邏輯定位為理解面向的數學證明 .................................................................... 35 表 3-3-13 第(十一)、(十二)題數學證明題在邏輯面向上學生主要遭遇到的困難........... 35 表 3-3-14 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-1............. 36 表 3-3-15 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-2............. 37. II.

(8) 表 3-3-16 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-3............. 38 表 3-3-17 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-4............. 39 表 3-3-18 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-5............. 40 表 3-3-19 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-6............. 41 表 3-3-20. A、B 兩組同學測驗詴題雙向細目表 ............................................................... 43. 表 4-1-1. 兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯表-1......................................... 47. 表 4-1-2. 兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯表-2......................................... 47. 表 4-1-3. 第(一)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 50. 表 4-1-4. 第(一)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 50. 表 4-1-5. 第(二)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 52. 表 4-1-6. 第(二)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 52. 表 4-1-7. 第(三)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 54. 表 4-1-8. 第(三)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 54. 表 4-1-9. 第(四)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 56. 表 4-1-10 第(四)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 56 表 4-1-11 第(五)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 58 表 4-1-12 第(五)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 58 表 4-1-13 第(六)題第 1.、2.題真實性認知與第 3.題有效性判斷的表現 .......................... 60 表 4-1-14 第(六)題第 1.、2.題真實性認知對第 3.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 60 表 4-1-15 認為兩敘述 p  q 以及 q  p 同時為真的受測學生中仍能正確判斷敘述 與逆敘述有效性的百分比.................................................................................... 61 表 4-1-16 認為兩敘述 p  q 以及 q  p 同時為真的受測學生中仍能正確判斷敘述 與逆敘述有效性的百分比差異檢定.................................................................... 62 表 4-1-17 兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯表-3......................................... 63 表 4-1-18 兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯表-4......................................... 64. III.

(9) 表 4-1-19 第(一)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 65 表 4-1-20 第(一)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 65 表 4-1-21 第(二)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 66 表 4-1-22 第(二)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 66 表 4-1-23 第(三)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 67 表 4-1-24 第(三)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 67 表 4-1-25 第(四)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 68 表 4-1-26 第(四)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 68 表 4-1-27 第(五)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 69 表 4-1-28 第(五)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 69 表 4-1-29 第(六)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現 .......................... 70 表 4-1-30 第(六)題第 1.、4.題真實性認知對第 5.題有效性判斷的表現的影響顯著性 .. 70 表 4-1-31 正確認為兩敘述同時為真(即 p1 , p2  q 以及 p2 , p1  q )的受測學生中 仍無法判斷敘述與逆敘述有效性的百分比........................................................ 72 表 4-1-32 認為兩敘述同時為真(即 p1 , p2  q 以及 p2 , p1  q )的受測學生中 仍無法判斷敘述與逆敘述有效性的百分比差異檢定........................................ 73 表 4-2-1. 第(七)題從 p1 至 p 3 推理過程答題結果統計........................................................ 74. 表 4-2-2. 第(八)題從 p1 至 p 3 推理過程答題結果統計........................................................ 75. 表 4-2-3. 第(七)題從 p 3 至 p1 推理過程答題結果統計........................................................ 76. 表 4-2-4. 第(八)題從 p 3 至 p1 推理過程答題結果統計........................................................ 76. 表 4-2-5. 受測學生中將有效性「 p1  p2 , p2  p3 」誤以為是「 p1  p3 」的百分 比差異檢定............................................................................................................ 77. 表 4-2-6. 在「 p3  p1 不正確」答對的受測學生中,不在意「 p3  p2 , p2  p1 」 推理有效性的百分比差異檢定............................................................................ 77. 表 4-3-1. 兩敘述真實性認知與證明有效性判斷的關聯表-1............................................. 78 IV.

(10) 表 4-3-2. 兩敘述真實性認知與證明有效性判斷的關聯表-2............................................. 79. 表 4-3-3. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-1 ...................... 81. 表 4-3-4. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-1 ................................................................................................................ 81. 表 4-3-5. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-2 ...................... 81. 表 4-3-6. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-2 ................................................................................................................ 82. 表 4-3-7. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-3 ...................... 82. 表 4-3-8. 第(九)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-3 ................................................................................................................ 82. 表 4-3-9. 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-1 ...................... 85. 表 4-3-10 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-1 ................................................................................................................ 85 表 4-3-11 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-2 ...................... 85 表 4-3-12 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-2 ................................................................................................................ 86 表 4-3-13 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現-3 ...................... 86 表 4-3-14 第(十)題第 1.題真實性認知與第 2.題證明有效性判斷的表現的影響 顯著性-3 ................................................................................................................ 86 表 4-3-15 第(九)題、第(十)題在理解代數式證明過程的有效性答題表現....................... 88 表 4-3-16 第(十二)1.題理解代數式證明過程的有效性答題結果統計 .............................. 90. V.

(11) 圖目錄 圖 2-2-1 Toulmin 的論證模式 ............................................................................................. 17 圖 2-2-2 Hoyles 與 Küchemann 的論證模式 ...................................................................... 18 圖 2-2-3. 林嘉信使用的論證模式 ........................................................................................ 19. 圖 2-2-4. 林嘉信的論證模式舉例 ........................................................................................ 20. 圖 3-1-1. 本研究量化研究流程圖 ........................................................................................ 23. 圖 3-1-2. 本研究設計撰文流程圖 ........................................................................................ 24. VI.

(12) 附錄 附錄一 探討高一生對數學敘述與代數式證明之邏輯理解研究詴題 ........................... 102 附錄二 正式施測受測學生答題表現 ............................................................................... 110 附錄三 認為證明的敘述正確與不正確的類型 ............................................................... 127 附錄四 證明有效性問答題結果 ....................................................................................... 130. VII.

(13) 第一章 緒論 第一節. 研究背景與動機. 有關高中代數方面的證明,在朱綺鴻(1999)的研究中,以剛要升高二的學生為對 象,探討學生對於數學歸納法瞭解的程度,受測對象為台北市地區成績優越的男子學校 高中生,在沒有接受教學實驗的受測學生中,有 20%的受測學生以「若 q 為真,則 p 為真」來證明「若 p 為真,則 q 為真」,並且他們捨棄使用數學歸納法來證明原本可以 用數學歸納法證明出來的問題,以及將整數論的證明題視為代數(代的數可以不是整數) 的問題來看待。令研究者好奇的是,那剩下不以「若 q 為真,則 p 為真」來證明「若 p 為真,則 q 為真」的 80%沒有接受教學實驗的受測學生中,是不是也有人認為「若 q 為真,則 p 為真」與「若 p 為真,則 q 為真」的意思是一樣的呢?他們當中是不是也有 人認為「若 q 為真,則 p 為真」可以證明「若 p 為真,則 q 為真」,只是在數學歸納法 的證明問題裡,選擇不以這種「倒果為因」的方式證明?在研究者的教學經驗中,常遇 到高一學生對於「已知 n 為自然數,若 n 為奇數,則 n 2 為奇數」的證明過程並不能證 明「已知 n 為自然數,若 n 2 為奇數,則 n 為奇數」而深感不解。研究者念高中時,對 於 x 3  x 2  x  1  0 的解題,一開始對於「湊 x  1 來乘,變成 ( x  1)( x 3  x 2  x  1)  0 , 然後求得的根中要把 x  1拿掉」這些計算過程間充分必要的邏輯也感到很疑惑。 在民國 97 年所制訂的現行九年一貫課程綱要(以下簡稱九年一貫 97 課綱)(教育 部,民 97)的第四階段能力指標(國中一至三年級)裡頭,將數學內容分為「數與量」、 「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。至於九年一貫 97 課綱 中與邏輯理解有關的指標,在「幾何」領域的部分有提到:「能用反例說明一敘述錯誤 的原因,並能辨識一敘述及其逆敘述間的不同(課綱指標代號 S-4-18)。」在八年級分 年細目中也提到: 「能舉例說明,有一些敘述成立時,其逆敘述也會成立。」例如:「平 行四邊形的兩條對角線互相平分,若四邊形的兩條對角線互相平分,則此四邊形必為平. 1.

(14) 行四邊形。」但是,也有一些敘述成立時,其逆敘述卻不成立,例如:「箏形的兩條對 角線會互相垂直,兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是箏形(課綱指標代號 8-S-16) 。」 而在九年一貫 97 課綱中與邏輯理解有關的指標,在「代數」領域的部分也有提到: 「能用反例說明一敘述錯誤的原因,能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同(課綱指標代 號 A-4-19)。」有鑑於課綱能力指標的內容,我們知道國中畢業生應該要具備在幾何 方面能區辨一個數學敘述及其逆敘述間的不同,而且代數方面也應達到此目標,但現行 國中數學教科書中,找不到有代數敘述是用以區辨敘述及其逆敘述間的不同,而國中數 學的九年一貫 97 課綱也沒有對代數上課綱指標代號 A-4-19 指標內容做闡釋與舉例,到 了高中一年級階段,才有出現許多在代數方面「『若 p 為真,則 q 為真』且『若 q 為真, 則 p 為真』」的定理,以及「『若 p 為真,則 q 為真』但『若 q 為真,則 p 未必為真』」 的定理。 現行九年一貫97課綱國中數學教科書第四冊的勾股弦單元中,有一題涉及幾何性質 與代數表徵的敘述如下: △ ABC 中,已知 BC  a, CA  b, AB  c ,若 BAC 為直角,則 a2  b2  c2 。…(1) a c. c. b b-c b-c b. a. a. b b-c b-c b. c. c. a 現行教科書是利用上圖來證明:上圖中,由四個全等的直角三角形斜邊圍出大正方形, 內部則是一個小正方形。從大正方形面積可得. 2.

(15) a2 . 1 1 1 1 bc  bc  bc  bc  (b  c) 2 2 2 2 2. 化簡至最後可得 a 2  b 2  c 2 。定理(1)的逆敘述為: △ ABC 中,已知 BC  a, CA  b, AB  c ,若 a2  b2  c2 ,則 BAC 為直角。…(2) 雖然此敘述也正確,但若用上列方式來證明,就犯了「敘述( p  q )與其逆敘述( q  p ) 意思相同」的錯誤了。Scimone(2009)提供了歸謬證法,來證明逆定理(2):. A. b. c. h a-x. x. C. H. B. a 假設 BAC 不是直角,設 AH 為△ ABC 的高,如圖,則 (a  x) 2  h 2  b 2 … x 2  h 2  c 2 ……….. 即. - 得. a 2  2ax  b 2  c 2 …. 又. a 2  b 2  c 2 …….…. - 並化簡得. ax  c 2 …………..... a c 「△ AHB  ,加上 B  B 的緣故,這裡符合Euclid《幾何原本》第6卷的命題8: c x. 與△ BAC 相似,又 AHB 為直角,故 BAC 為直角。」但是這與「 BAC 不為直角」 3.

(16) 產生矛盾,由此可證「 BAC 不為直角」不成立,故 BAC 為直角。 由上列國中數學教科書所列的定理(1),以及Scimone(2009)用歸謬證法證明的定 理(2),我們便可以說 △ ABC 中,已知 BC  a, CA  b, AB  c 。若 BAC 為直角,則 a2  b2  c2 ,反 之亦然。 在國中學過區辨有關幾何概念的敘述與逆敘述意思不同的學生,面對高中有關代數概念 的敘述「若 p 成立,則 q 成立」時,是否也能區辨敘述與逆敘述的意思不同? 在民國 99 年起實行的現行高中課程綱要(在本研究簡稱高中數學 99 課綱)(教育 部,民 99)中,高中一年級上學期課程以函數為主題,其中有許多「若 p 成立,則 q 成立;若 q 成立,則 p 也成立」的代數定理敘述,下文以因式定理為例,表列各教科書 版本對此定理的說明: 在第一冊,、 版本. 因式定理的說明 符號有無使用. 南一版. 設 f (x) 是一個 n 次多項式( n  1 ) ,且 a  0 , b 則 ax  b 是 f (x) 的因式  f ( )  0 。 a. 龍騰版. 設 f (x) 為多項式, ax  b 為一次多項式, b (1) 若 f ( )  0 ,則 ax  b 是 f (x) 的因式。 a b (2) 若 ax  b 是 f (x) 的因式,則 f ( )  0 。 a. 4. 有使用. 未使用,僅在 附錄中出現.

(17) 設 f (x) 是一個多項式,c 為常數,若 x  c 是. f (x) 的因式,則 f (c)  0 ,反之亦然。 全華版. 有使用. 推論: 設 a  0 ,若 ax  b 是 f (x) 的因式,則 b f ( )  0 ,反之亦然。 a. 翰林版. b 若 f (x) 有一次因式 ax  b ,則 f ( )  0 ;反 a b 之,若 f ( )  0 ,則 f (x) 有一次因式 ax  b 。 a. 有使用. 研究者在高中任教期間,經歷過高中數學 88 課程綱要、95 暫行課程綱要(以下簡 稱高中數學 95 暫綱)及 99 課程綱要的課程,其中從高中數學 95 暫綱開始,數學課程 轉變較大的其中之一就是邏輯與集合單元,至今雖保留集合單元,但邏輯不獨立列為學 習單元,而僅於附錄的「認識證明」單元中的反證法略微提及。學校評量方面,雖然沒 有屬於邏輯單元的題目,但研究者的教學經驗中,卻屢屢發現學生非選擇題的答題敘述 之間存在邏輯的不合理。 對高一學生而言,從代數敘述的真偽以及給定的代數式證明過程來看,是否可以區 辨代數式的敘述「 p  q 」與其逆敘述「 q  p 」在邏輯上是不同的?給定的代數式證 明是不是被認為有效性的證明?這些是研究者希望瞭解的事。. 5.

(18) 第二節. 研究目的與研究問題. 本研究的目的有三: (一) 探討高一學生對兩敘述真實性的認知對其判斷兩敘述有效性之影響。 (二) 探討高一學生對於代數式推理的有效性理解。 (三) 探討高一學生對於代數式證明的有效性理解。 基於上述的研究目的,研究者的研究問題如下: 目的(一)的研究問題: 1.. 當兩敘述是指互為逆敘述時(即 p  q 以及 q  p ),學生對兩敘述真實性的認知 是否影響其對兩敘述有效性的判斷?. 2.. 學生在各種數學敘述上,認為兩敘述 p  q 以及 q  p 同時為真但仍能正確判斷敘 述與逆敘述有效性的相對比例各有多高?學生在各種數學敘述的比例是否一樣?. 3.. 當兩敘述是指兩部分前提一樣但呈現順序不同的敘述時(即 p1 , p2  q 以及. p2 , p1  q ),學生對兩敘述真實性的認知是否影響其對兩敘述有效性的判斷? 4.. 學生在各種數學敘述上,認為改變前提順序的兩敘述同時為真但仍無法正確判斷有 效性的相對比例各有多高?學生在各種數學敘述的比例是否一樣?. 目的(二)的研究問題: 5.. 學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後,代數式推理的有效性 理解表現為何?. 6.

(19) 目的(三)的研究問題: 6.. 學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後,學生於兩敘述 p  q 以 及 q  p 真實性的認知是否影響其對兩敘述證明有效性的判斷?. 7.. 學生在經過高中數學 99 課綱第一冊「代數」課程的教學後,代數式證明的有效性 理解表現為何?. 7.

(20) 第三節. 名詞界定. 現行高中教科書將陳述性的敘述(existential statement,例如「 x  2 」)稱為「敘 述」,將條件性的敘述(conditional statement,指「若 p 成立,則 q 成立」形式的敘述) 稱為「命題」。本研究為避免用詞困擾,研究者使用與國中數學一致的意義用詞,將以 上兩種都稱為「敘述」 ,在敘述「若 p 成立,則 q 成立」中,p 為「前提」 ,q 為「結論」。 敘述形式. 高中教科書. 本研究. 陳述性的敘述(單句形式). 敘述 p. 敘述 p. 陳述性的敘述(單句形式). 敘述 q. 敘述 q. 條件性的敘述(複句形式) 命題( p  q ) 敘述( p  q ) 當 p, q 已給定時,敘述「若 p 成立,則 q 成立」的逆敘述為「若 q 成立,則 p 成立」 。 本研究中, 1.. 敘述「若 p 成立,則 q 成立」簡稱「若 p 則 q」,用「 p  q 」的符號表示;符號 「 p  q 」並沒有說明「 q  p 」與「 q   p 」這兩者中何者符合 p, q 的邏輯關係。. 2.. 「若 p 成立,則 q 成立」且「若 q 成立,則 p 也成立」的敘述用「 p  q 」表示。. 3.. 「若 p 成立,則 q 成立」但「若 q 成立,則 p 未必成立」的敘述用「 p  q, q   p」 表示。. q p. pq p  q,. q  p, pq. q  p. 8. p  q.

(21) 第四節. 名詞解釋. 一、幾何知識: 按《韋氏大辭典》中所查到一般的意思,幾何(geometry)是指在數學上以空間來 呈現的知識,這裡的空間包括點、線段、角、平面、多邊形、三維空間等等的形狀 結構。在本研究中,幾何知識是指一般幾何的知識,例如: 「三角形的大角對大邊、 大邊對大角性質」、「兩個三角形的 AAS 對應與 ASS 對應」,解析幾何、計算幾 何不在本研究所指的「幾何知識」範圍內。 二、代數知識: 按《韋氏大辭典》中所查到一般的意思,代數(algebra)是指在數學上以未知數(變 數)來呈現的知識,會牽涉到數字的呈現與算術。在本研究中,代數知識有牽涉到 幾何性質或是代數性質,例如:「半徑長為 r 的圓面積為  r 2 」是幾何性質的代數 知識,「若 a  b ,則 a 3  b 3 」是代數性質的代數知識。 三、敘述的真實性(truth of a conditional statement): 敘述本身是真敘述還是偽敘述。在本研究中,是指數學敘述「若 p 成立,則 q 成立」 是真敘述還是偽敘述,以及「若 q 成立,則 p 成立」是真敘述還是偽敘述。 四、敘述的有效性(validity of two conditional statements): 兩敘述是否等價,例如,敘述「若 p 成立,則 q 成立」與「若 q 不成立,則 p 不成 立」為等價關係,而在證明「若 p 成立,則 q 成立」時,用「若 q 不成立,則 p 不成立」來證明它,是有效的。在本研究中,敘述( p  q )與逆敘述( q  p ) (statement and its converse)是不等價的兩敘述,兩部分前提一樣但呈現順序不同 的兩敘述(即 p1 , p2  q 以及 p2 , p1  q )是等價的。. 9.

(22) 五、證明的有效性(validity of proving): . 演繹推理(deductive reasoning): 係根據已知事實或假設條件推演出結論的推理方式(張春興,2009)。. . 循環論證(circular argument): 設 p 是待證的敘述,則在證明過程中,引用了敘述 p,或將敘述 p 的性質當作 已知,做出後續推演,而證明敘述 p 是正確的。這是無效的證明,在邏輯上, 也叫作邏輯循環謬誤(circular fallacy)(洪萬生,2006)。. . 有效的推理(演繹推理)(valid reasoning):在推理中,如果前提可以支持結 論,則稱推理合乎邏輯,也就是說推理可以成立,用邏輯的術語來說,就是此 推理有效(valid);如果前提不能支持結論,則稱推理不合乎邏輯,也就是說 推理不能成立,用邏輯的術語來說,就是此推論無效(invalid) (徐金雲,2010) 。 就積極意義而言,一個有效的推理就是如果前提為真,則結論定真;就消極意 義而言,一個有效推理就是不可能前提為真而結論卻偽的推理(徐金雲, 2010)。在本研究中,推理的有效性指的是「局部推理的有效性」。. . 有效的證明(valid proving) :在推理過程中沒有循環論證的情形下,從前提為 真,經過一般化有效的推理,而證出真實的敘述。在本研究中,證明的有效性 指的是「整體證明的有效性」。. . 「有效的推理」與「有效的證明」的區別:有效的推理不在乎前提的真偽,只 在乎過程(從前提至結論)的合理性;有效的證明是對真實的敘述(結論為真) 做論證,證明時前提必頇為真,且沒有循環論證、拿待證的敘述當已知。. 10.

(23) 第二章 文獻探討 根據本研究的設計理念以及研究目的,研究者對數學敘述與證明、中學生區辨數學 敘述與逆敘述的表現、中學生對數學證明有效性的理解進行相關的文獻探討,本章分成 三節來討論。. 第一節. 數學敘述與證明. 數學上,可以表示真偽的語句稱為敘述(statement)。敘述句所陳述的內容如與事 實相符,則該敘述句為真(true),否則即為偽(false)(洪萬生,2003)。例如:「相交 於一點的兩直線對頂角相等」是正確的敘述(真敘述) ; 「1  0 」是錯誤的敘述(偽敘述) 。 而「將 a  b 開平方」 、 「求 2 的近似值」並無法判斷真偽,因此不算是敘述; 「 y  3」 、 「x 不小於 2」是敘述,但依變數值決定其真偽。此外, 「存在實數 x 使得 2 x   x 」雖是真敘 述,但並不容易直接判斷其真偽,此時則需要以證明證此敘述為真。 「命題」 (proposition)與「敘述」這兩個用詞的意義並無差別。命題在邏輯上亦稱 作敘述句(statement) ,它是一種敘述事態的語句(sentence) (洪萬生,2003) 。數學上, 命題是可以詴著證出的真敘述(Solow, 1990) ,例如歐幾里得(Euclid)所著的《幾何原 本》中,第一卷中有 48 個命題,命題 6 的內容為「如果在一個三角形中,有兩角相等, 則其所對的邊也相等」。 吳大樑、過伯祥(2000)在《邏輯與演繹》書中提到:數學命題的主要種類有直言 命題和假言命題。假言命題是由前件(antecedent)和後件(consequent)所構成,寫成 「若 p 則 q」的形式,其中介於「若」與「則」之間的語句 p 稱為「前件」或「題設條 件」 (在本研究中,以「前提」稱之) ;在「則」字後面的語句 q 稱為「後件」或「結論」 (在本研究中,以「結論」稱之) 。例如「若兩條直線 L, M 被一直線所截產生同側內角 互補,則直線 L 與 M 平行」即是假言命題。 11.

(24) 直言命題是直接斷定事物具有或不具有某種性質的命題,可分為四種類型,以數學 觀念的命題為例,整理如下表(吳大樑、過伯祥,2000): 表 2-1-1. 直言命題形式表. 命題種類. 舉例. 邏輯形式. S, P 圖示. 全稱肯定. 所有的整數 都是有理數. 所有的 S 都是 P. 全稱否定. 循環小數 所有的 S 都不是 P 不是無理數 (沒有 S 是 P). 縮稱. 都是. 都不是. 偏稱肯定. 有些整數 是正數. 有的 S 是 P. 有的是. 偏稱否定. 有些複數 不是純虛數. 有的 S 不是 P. 有的不是. 此外,「質數只有 2 是偶數」之類的命題另可被歸類於「單稱肯定」的命題,量詞為「 唯一存在」的命題。 直言命題可以轉化為假言命題,舉例如下: 直言命題(單句形式). 假言命題(複句形式). 對頂角相等. 若兩個角是對頂角,則這兩個角相等. 2 是無理數. 質數有無窮多個. 若 r 是 r 2  2 的正根,則 r 為無理數 若 p 為任意質數,則必存在有質數 p ' 使得 p'  p. 中國數學史上,幾何類的著作《墨經》在邏輯學方面早有所論述,據考證,此書的 成書年代約為戰國時代後期(西元前四至三世紀),略早於《幾何原本》。《墨經》的其 中一篇《經說上》提到:「小故,有之不必然,無之必不然。體也,若有端。大故,有 之必然,若見之成見也。」這裡「小故」相當於必要條件,「大故」相當於充分條件。 12.

(25) 可譯成:「小故是一種條件,有了這種條件不一定有這樣的結果,但若沒有這條件就一 定沒有這樣的結果。例如,有點,不一定就成直線,沒有點,就一定不成直線。大故是 一種條件,有了這種條件就一定有這樣的結果。例如,有了看的動作,就能看見東西, 看是看見的大故(世界數學簡史,1987,p.58)。」 在本研究中,「 p  q 」形式的數學敘述,稱為條件性的敘述,其中敘述 p 是敘述 q 的充分條件,敘述 q 是敘述 p 的必要條件;另外,符號 p 與 q 為「敘述符號」 ,而「  」 為「蘊涵符號」,因此「 p  q 」亦可稱為蘊涵敘述。敘述符號的真假值判斷,真值用 T 代表,假值用 F 代表。蘊涵符號的作用是一種連結詞,它把兩個組成份子的命題連結 在一起,產生一個新的複合句,賦予蘊涵句真假值的方式,稱為「真值蘊涵(material implication) 」(李國偉,2010)。 表 2-1-2. 真值蘊涵表 p. q. pq. T. T. T. T. F. F. F. T. T. F. F. T. 什麼叫做數學證明(proof)?蕭文強(1992)認為,要判斷命題「若 p 則 q」正確 與否,頇以基本概念(定義) 、基本假設(公理)及之前已經證實為正確的命題(定理) 來推論,且推論手法必頇合乎邏輯,此過程就是數學證明。證明除了用以檢驗命題的正 確性外,同時也具有說服別人相信的目的(林福來、吳家怡等人,1995)。數學證明題 的目標不同於求解題:數學求解題的目標是去尋找未知數,代數的未知數是一個數,幾 何的未知數是一個圖形;數學證明題的目標是對某個敘述明確的結論,證明它的真假 (Polya, 1957)。Selden 與 Selden(2003)將證明當成一種證實(prove)定理的論點 (argument) , 「證明」通常預設結論正確,來進行論證,而「論證」係指相同種類的推理,. 13.

(26) 但可能是不正確的。 王懷權(1997)將數學推理方法分為三種: 1.. 相似推理法:例如圓上平行弦的中點皆在一直線上,從此推論橢圓上平行弦的中點也 必共線。. 2.. 歸納推理法:例如經過考察很多三角形,發現其內角和約為180 ,從而歸為事實─三 角形的內角和為180 。. 3.. 演繹推理法:例如代數方面解 x  3  7 時,等號兩邊加 3 而得到 x  10 。 所有的數學證明都必頇是「演繹推理法」 ,每一個證明都是一連串的演繹法,各有其. 前提和結論,用演繹推理法證出來就稱為定理; 「相似推理法」和「歸納推理法」都用來 臆測事實,這些事實有時候連極為優秀的數學家都證不出來(王懷權,1997,p.7) 。 林福來、吳家怡等人(1995)以數學哲學的觀點,分成五類來說明數學證明觀: 1.. 形式主義的數學證明觀:視數學為公理化系統的研究。數學是一種邏輯演繹的遊 戲,起點是假設(assumption)或公設(axiom),依嚴格的邏輯演繹產生結果。. 2.. 直觀主義的數學證明觀:直觀是整體的或統合的,並非詳細或分析的,不需要公理 化系統的形式分析便可做推論。. 3.. 準經驗主義的數學證明觀:在非形式數學中,證明是解釋、判斷、推敲,使臆測更 像真的、更具有說服力,同時在反例的駁斥下,調整臆測使其更仔細更真確的過程。. 4.. 邏輯主義的數學證明觀:證明是從公設或已證明的命題出發,依邏輯論證的規則推 得結論的過程。數學概念都可以用邏輯概念表示。. 5.. 證明的社會學觀:證明是一種溝通、討論數學的方式。證明是相信權威的,也就是 說,著名的數學家所做的證明通常都較能說服讀者。 14.

(27) 本研究選擇以邏輯主義的數學證明觀來分析學生在學過學校正規的高一數學代數 課程後,對於數學代數證明的邏輯閱讀理解表現。 證明數學敘述「若 p 成立,則 q 成立」的各種方法,研究者認為大致如表 2-1-3、表 2-1-4 所示。 表 2-1-3. 證明數學敘述的方法-1 方法. 證明過程. 綜合證題法 p …(依據某些定理) q  P(1) 數學歸納法  P(n)  P(n  1), n  2, n  N ~ q  (~ q1  ... ~ q n ) ; ~ q1 … ~ p ;. 窮舉法 …;. ~ q n … ~ p 用恆等式 p  q 的證明上: 順推倒推法. 歸謬證法 反證法. p  r (順推)且 q  r (倒推)… p  q. p 且 ~ q …(得到與另一個已知為真的敘述 r 產生矛盾) ~ q (順推)… ~ p. 而當真敘述 p 不顯然時,證明數學敘述 p ( p 成立)的方法如下: 表 2-1-4. 證明數學敘述的方法-2 方法. 證明過程 (1) ~ p  r …(得到與 p 產生矛盾). 歸謬證法. (2) ~ p  ~ r …(得到與 p 產生矛盾). 15.

(28) 第二節. 中學生區辨數學敘述與逆敘述的表現. 在邏輯中,如果一個推理,不論敘述 p 的真偽,從敘述 p 到敘述 q 的過程是正確的, 且從所有符合敘述 p 的敘述去推理,稱作從敘述 p 到敘述 q「有效的推理」,如果其過 程不正確,則稱作無效的推理。若敘述 p 為真,且敘述 p 到敘述 q 的推理過程是有效的, 則敘述 q 為真,這是演繹推理(deduction)。 從高中數學 95 暫綱實施以來,高一上學期課程,將「認識證明」的主題放至附錄 (不必於正規課程中介紹),其內容包含與敘述「 p  q 」和逆敘述「 q  p 」有關的 證明,但受重視的程度大不如前。研究者的教學經驗中,若僅僅按照教科書所安排的單 元教學,而無與敘述、證明有關的邏輯教學,學生常對符合敘述真實性的結論,以不符 合邏輯有效性的推論來進行證明。 對於中學生區辨敘述與逆敘述邏輯的研究,林福來、鄭英豪(1997)曾調查我國高 二學生對過去高一數學課程中反證法的了解,發現有約 55%的學生瞭解反證法的證明 格式(否定結論,推得矛盾),然而只有不到 5%的學生瞭解反證法的論證原理。此一 方面顯示在數學課堂中學生只學到一種演繹的格式,而非完整的論證原理;另一方面也 顯示學生在生活中利用對偶命題進行論證的經驗「並未與邏輯原理相連結」(林福來、 鄭英豪,1997)。 郭俊麟(2011)研究我國國二學生辨識數學敘述及其逆敘述現象之探討,以生活情 境的中文敘述與數學知識的中文敘述為研究工具,探討國二學生對敘述「 p  q 」及其 逆敘述「 q  p 」的辨識能力,結果 46.1%的學生認為意思不相同;林嘉信(2011)量 的研究指出,我國國二學生區辨敘述「 p  q 」和逆敘述「 q  p 」的能力,在「有案 例問題(以符合問題的實際舉例誘使學生猜想結果)」的表現明顯優於「無案例問題」, 且國二課綱的幾何課程無助於國二學生在區辨敘述和逆敘述的表現。. 16.

(29) Hoyles 與 Küchemann(2002)研究英國國中生在整數論方面區辨敘述和逆敘述的 表現,其中國三學生皆為高學習成就,並受測兩次,結果有 69%的人在前測中不能區辨 敘述和逆敘述,而後測的答題表現亦未明顯優於前測,仍有多達 63%的人不能區辨敘述 和逆敘述。Hoyles 與 Küchemann(2002)曾將 Toulmin(1958)的論證模式(如圖 2-2-1) 做了點修改,用以表示 Hoyles 與 Küchemann 所研究的「英國高成就的國三生在整數論 方面區辨敘述和逆敘述表現」其中幾位具代表性受訪者的論證情形,如圖 2-2-2。. 證據資料. 主張. (Data). (Claim) 除非,因為 依據. 反駁. (Warrant). (Rebuttal). 支持理論 (Base) 圖 2-2-1. Toulmin(1958)的論證模式. 17.

(30) 證據資料. 結論. (Data). (Conclusion). 依據 (Warrant). 支持理論 (Base) 圖 2-2-2. Hoyles 與 Küchemann(2002)的論證模式. 在林嘉信(2011)質的研究中,為了確實了解學生在「 p  q, q   p 」中,如何區 辨敘述和逆敘述,看出學生在「無案例」問題和「有案例」問題中區辨敘述和逆敘述的 思考歷程是否不同,他將學生的思考歷程以 Toulmin(1958) ,以及 Hoyles 與 Küchemann (2002)所使用的論證模式來表示,給論證模式中六個元素的操作型定義如下:. 1.. 判斷(judgement):學生根據情境,經由依據和理由所做出來的判斷。. 2.. 情境(context):題目中所給定的情境。. 3.. 依據(warrant):連結情境和理由,作為最後判斷時的依據。. 4.. 理由(reasoning):學生在訪談中提出的理由。. 5.. 限制(qualifier):指出理由所適用的情況,也就是對理由的條件限制。. 6.. 反駁(rebuttal):理由的例外;關於反例和反依據的說明和反駁。. 18.

(31) 情境. 限制. 判斷. (context). (qualifier). (judgement). 依據. 反駁. (warrant). (rebuttal). 理由 (reasoning) 圖 2-2-3. 林嘉信(2011)使用的論證模式. 林嘉信(2011)將個案學生分成三種類型: 1.. 無案例問題能區辨且有案例問題也能區辨者(YO)2 人。. 2.. 無案例問題不能區辨但有案例問題能區辨者(NO)2 人。. 3.. 無案例問題不能區辨且有案例問題也不能區辨者(NX)4 人。. 其中林嘉信(2011)對個案學生 YO-1 提供案例「利用 2 根一樣長,一根不一樣長的吸 管拼出三角形,並發現此三角形有兩個內角相等」 ,然後依個案學生 YO-1 的對話內容, 依「情境、判斷」 、 「依據、理由」以及「限制、反駁」三步驟分析該學生的論證模式, 如圖 2-2-4。. 19.

(32) 案例中,利用 2 根一 案例中符合的敘述是 樣長,1 根不一樣長的. 學生們是先利. 吸管拼出三角形,並. 用吸管去排. 「若一個三角形有兩個 邊一樣長,那麼此三角 發現此三角形有兩個. (先固定長度) 限制. 內角相等. 形必有兩個內角相等」 判斷. 情境 案例中先做的事. 如果學生先固定角就會. 情是因,後做的. 符合等腰三角形性質的. 事情是果. 逆敘述了 依據. 反駁. 對話過程中學生是 先用吸管去排 理由 圖 2-2-4. 林嘉信(2011)的論證模式舉例. 20.

(33) 第三節. 中學生對數學證明有效性的理解. Wason(1968)使用選擇卡片的作業,來展示「 p  q 」邏輯的學習困境。實驗中, 參與者皆為大學生,他們會看到四張卡片,每一張卡片上有 E、K、4、7 等四個字母或 數字的其中一個,且被要求至少只翻哪些卡片就能確認符合法則「若卡片的一面有一個 母音字母,則它的另一面會有一個偶數數字」。正確答案是:E 和 7 的卡片必頇被翻面 (翻 E 是為了確定背面是不是有偶數數字,翻 7 是為了確定背面是不是沒有母音字 母),結果發現只有少於 10%的人正確地解決問題,許多人會選擇將 4 這張卡片全部翻 開,但這並無助於確認,因為法則上沒有提到只有母音字母才會對到偶數數字(Yekovich & Yekovich, 1993)。由此可以顯現區辨「 p  q 」與「 q  p 」邏輯的難度,而 Wason (1968)選擇卡片的作業,可以歸列於各種論證情形,如表 2-3-1。 表 2-3-1. 在條件式的敘述邏輯裡有效與無效的論證(Bye, 2012). 肯定前件. 肯定後件. (modus ponens). 1. P  Q. 否定後件. 否定前件. (modus tollens). 2. P. 1. P  Q 2. Q. 1. P  Q 2. ~ Q. 1. P  Q. 3. Q (有效論證). 3. P (無效論證). 3. ~ P (有效論證) 3. ~ Q (無效論證). 2. ~ P. 而在中學的數學教學中,發展推理論證的能力是其中很重要的一環(NCTM, 2000) 。在實徵研究中,林福來等人(2004)以全國抽樣問卷調查法,對 1181 個國一學 生、1105 個國二學生及 1059 個國三學生調查對其所學過代數方面的條件式敘述有效性 之了解,結果發現: 1.. 有約三分之一的學生以舉例來驗證條件式敘述的有效性。 21.

(34) 2.. 超過三分之一以上的國中生,以一個支持例驗證後,就認為條件式敘述是正確的; 或以一個反例驗證後,就認為條件式敘述是不正確的。. 3.. 超過一半的中學生認為敘述與其逆敘述意思相同。. 4.. 條件式敘述中前提與結論的真實性對國中生推論有影響。 有關對證明的理解,在幾何證明方面,楊凱琳(2004)認為幾何證明閱讀理解的面. 向包含:表層理解、邏輯定位理解、摘要統整理解、一般性理解、應用推廣理解和賞析 理解,其中在邏輯定位理解方面,在學生實際表現上的地位低於學生自我評估上的地 位。葉明達(2005)對高二學生做整數論問題的測驗,結果顯示個案學生的「論證判讀 能力」出現五種主要的困難:忽視文本編排方式與寫作慣例、不能區辨證明的架構(數 學歸納法、反證法、輔助線證法及解析證法等)、不能舉出反例、不會等價變換 ( ~ ( P  Q)  (~ P)  (~ Q) )及未能察覺證明的方向等。有別於「幾何」領域以及「整 數論」的領域,本研究希望能在高中「代數」的證明方面,探討高一學生對數學證明有 效性的邏輯理解。. 22.

(35) 第三章 研究方法 第一節. 研究設計與流程. 本研究為量的研究,從學生詴圖理解數學概念敘述的正確與否中,測量學生區辨敘 述與逆敘述、理解代數式推理、理解代數式證明的作答表現。研究流程圖如圖 3-1-1、 3-1-2。. 研擬詴題: 取材於國二至高一上學 預詴. 正式施測. 期數學教科書單元數學. 分析資料. 觀念條件性的敘述題. 圖 3-1-1. 本研究量化研究流程圖. 在第二章研究者所提到的學者,他們在研究中表示,學生對於敘述和逆敘述有效性 的判斷,會受到學生對於敘述和逆敘述真實性認知的結果所影響,也就是學生認為敘述 的有效性等同於兩敘述的真實性;學生對於證明的有效性,會受到前提與結論真實性的 影響。至於「敘述的真實性」與「敘述的有效性」關聯性強弱程度如何,「敘述的真實 性」與「證明的有效性」關聯性強弱程度如何,是本研究相較於其他學者的研究進一步 要探討的地方。. 23.

(36) 文. 確立研究主題. 擬訂研究計畫. 決定研究方法. 發展研究工具. 編製題目. 獻 1.選定預詴對象 預詴階段. 2.詴題信度分析 3.實施專家效度. 探. 正式施測. 1.選定施測對象 2.收集施測資料. 資料整理與分析. 1.分析結果與討論 2.提出結論與建議. 討. 撰寫論文. 圖 3-1-2. 本研究設計撰文流程圖. 24.

(37) 第二節. 研究對象. 本研究將研究對象分成三個部分介紹,分別為預詴、正式施測及訪談與介入。 1.. 預詴: 找他校的高一 1 個班 44 位學生測,受詴學生在台南地區屬於高學業成就的學生。. 2.. 正式施測: 本研究的研究對象為台南地區的一所學校全體高一學生,找全體 246 位高一學生正 式施測,其中男生 110 位、女生 130 位共 240 位高一學生有效完成施測並回收。受 詴學生在國中時學業成績的 PR 值幾乎在 86~96 之間,為學業成就偏高的學生。在 正式施測時,以系統抽樣的方式將同班級同性別的學生座號奇數偶數來分 A、B 兩 組同時施測,經過敘述統計,並檢定是否 A 組受詴學生與 B 組受詴學生間的代數 知識程度(在此以高一上學期段考多項式單元成績來定義)有顯著差異,如表 3-2-1、3-2-2 所示,A、B 兩組的平均成績,顯著性 0.260  0.05 ,故沒有達到顯著 差異。在本研究,A 組受詴學生與 B 組受詴學生的代數知識程度視為沒有差異。. 表 3-2-1. 表 3-2-2. 正式施測樣本在高一上段考多項式單元的得分統計 平均數. 個數. 標準差. A組受詴學生120人(男55人、女65人). 55.36. 120. 18.07. B組受詴學生120人(男55人、女65人). 57.97. 120. 18.39. 正式施測樣本在高一上段考多項式單元的得分統計 A、B 組間t檢定 成對變數差異 顯著性 差異的95%信賴區間 平均數. A組受詴學生 - B組受詴學生. -2.61. t. 自由度 (雙尾). 標準差. 25.24. 下界. 上界. -7.17. 1.95. 25. -1.132. 119. .260.

(38) 第三節. 研究工具. 本研究所使用之工具可分為:幾何知識與代數知識區辨敘述與逆敘述詴題、代數式 推理過程的邏輯理解詴題、代數式證明過程的邏輯理解詴題。各項工具詳述如下。 一、幾何知識與代數知識區辨敘述與逆敘述詴題: 此研究詴題分成「幾何性質幾何表徵」的數學敘述、「幾何性質代數表徵」的數學 敘述、「代數性質代數表徵」的數學敘述,如表 3-3-1,(一)至(六)每個大題皆為不同數 學主題的詴題。 本詴題研究高一學生在理解數學敘述的正確與否之後,在數學敘述與逆敘述的區辨 能力表現,受測學生為均學習過第一學期高中數學 99 課綱代數課程的 240 位高一學生, 有 6 個大題,每個大題有 5 個子題,每個題目的敘述類型與測驗目標如表 3-3-1、表 3-3-2、 表 3-3-3。在 A 敘述中,p1 代表 A 敘述的大前提(前件),p2 代表 A 敘述的小前提(前 件),q 代表 A 敘述的結論(後件);B 敘述為「在相同大前提下 A 敘述的逆敘述」,在 B 敘述中,p1 代表 B 敘述的大前提(前件) ,q 代表 B 敘述的小前提(前件) ,p2 代表 B 敘述的結論(後件) ;C 敘述為「與 A 敘述相同前提且相同結論的敘述」 ,在 C 敘述中, p2 代表 C 敘述的大前提(前件) ,p1 代表 C 敘述的小前提(前件) , q 代表 C 敘述的結 論(後件)。各題所問到的數學觀念,第(一)題是「三角形的大角對大邊、大邊對大角 性質」 、第(二)題是「圓形的周長與面積關係」 、第(三)題是「不等式的大小判斷」 、第(四) 題是「兩個三角形的 AAS 對應與 ASS 對應」 、第(五)題是「三角形的邊長對其面積」、 第(六)題是「整係數多項式的一次因式檢驗法性質」。 慮及受測學生對於太多相同結構問題的經驗效應,並避免學生失去答題的耐心,研 究者請 A 組受測學生測驗其中的第(一)、(三)、(五)題,B 組受測學生測驗其中的第(二)、 (四)、(六)題。. 26.

(39) 表 3-3-1. 區辨敘述與逆敘述詴題測驗題型 每個子題施測的數學敘述類型 敘述. 認知 理解數學敘述的正確與否 (真實性的認知) 區辨敘述與逆敘述. 幾何性質 幾何表徵 (幾何知識). 幾何性質 代數表徵 (代數知識). 代數性質 代數表徵 (代數知識). (一) 1.2.4. (四) 1.2.4.. (二) 1.2.4. (五) 1.2.4.. (三) 1.2.4. (六) 1.2.4.. (一) 3.5. (四) 3.5.. (二) 3.5. (五) 3.5.. (三) 3.5. (六) 3.5.. 每種性質表徵皆分成兩種邏輯類型的敘述詴題,分別是「在有大前提之下,『若 p 成立,則 q 成立』且『若 q 成立,則 p 也成立』」的數學敘述(以下簡稱 p  q )與「在 有大前提之下, 『若 p 成立,則 q 成立』但『若 q 成立,則 p 未必成立』」的數學敘述(以 下簡稱 p  q, q  。(一)至(六)每個大題都附帶有數學敘述真實性認知的詴題(如表  p) 3-2-2、表 3-2-3) ,每個大題皆找 A、B 兩組的其中一組全體 120 位同學施測,每個大題 的第 1、2、4 題為數學敘述真實性認知的問題,第 3 與 5 題為數學敘述與逆敘述區辨的 問題。每個數學敘述問題皆以「若 a 成立,且 b 成立,則 c 成立」的語法呈現,也就是 以含有兩個前提的條件式敘述呈現。 表 3-3-2 題目. (一) 、 (二) 、 (三). 區辨敘述與逆敘述詴題測驗目標-1 測驗目標. 項目. 在 p  q 的數學敘述裡,是否能區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」 的邏輯是不一樣的 敘述本身 是否與 A 敘述的 正確與否 邏輯一樣. 題意. A 敘述. 若 p1 成立,且 p2 成立,則 q 成立. ○. B 敘述. 若 p1 成立,且 q 成立,則 p2 成立. ○. ╳. C 敘述. 若 p2 成立,且 p1 成立,則 q 成立. ○. ○. 27.

(40) 表 3-3-3 題目. 區辨敘述與逆敘述詴題測驗目標-2 測驗目標. 在 p  q, q   p 的數學敘述裡, 是否能區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的. 項目 (四) 、 (五) 、 (六). 敘述本身 是否與 A 敘述的 正確與否 邏輯一樣. 題意. A 敘述. 若 p1 成立,且 p2 成立,則 q 成立. ○. B 敘述. 若 p1 成立,且 q 成立,則 p2 成立. ╳. ╳. C 敘述. 若 p2 成立,且 p1 成立,則 q 成立. ○. ○. 真實性的認知不是從數學上的對錯來分類學生的認知,而是以學生認為的結果來分 類。即學生認為「若 p 則 q」與「若 q 則 p」同時為真的一類、一真一假的一類,以及 學生認為「若 p1 成立,且 p2 成立,則 q 成立」與「若 p2 成立,且 p1 成立,則 q 成立」 同時為真的一類、一真一假的一類,無法判斷的則不納入檢定「學生對兩敘述真實性的 認知是否影響其對兩敘述有效性的判斷」。 邏輯與數學邏輯不同的地方是:邏輯不一定是含有數學表徵的,它牽涉的有可能只 是在語言學方面、哲學方面的邏輯問題,而數學邏輯問題就一定含有數學表徵。93年大 學入學學科能力測驗數學科考題曾出現下列的多重選擇題: 中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道,路旁立有標誌 「外側車道 大客車專用」。請選出不違反此規定的選項: (1) 小型車行駛內側車道. (2) 小型車行駛外側車道. (4) 大客車行駛外側車道. (5) 大貨車行駛外側車道. (3) 大客車行駛內側車道. 這類的問題就屬於非數學表徵的區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯問題,其中選 項裡面還含有「若非 q 則 p」、「若非 q 則非 p」、「若 q 則非 p」的問題,但其中本研究 只針對「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯問題做討論,以數學表徵呈現。然而不只是 幾何問題表徵方面,在高中數學的領域裡,區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」邏輯的不. 28.

(41) 同,在代數問題表徵方面更是佔了重要的地位,會影響「不知是 p  q ,還是 p  q 但. q  p 」的數學敘述裡,「若 p 則 q」的推理能力與證明能力。為了解在幾何知識、代 數知識的數學敘述中對於「若 p 則 q」與「若 q 則 p」真實性的認知,是否影響學生區 辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」邏輯不同的能力,研究者設計了六個大題,各主題涵蓋 的觀念與取材的範圍如下: (一) 三角形的大角對大邊、大邊對大角性質:(國二數學. 三角形的基本性質). △ ABC 中,. BC 比 AC 長  A 比 B 大 (二) 圓形的周長與面積關係:(國三數學 圓) a  0,. 圓C的周長為 a  圓C的面積為. a2  4. (三) 不等式的大小判斷:(高一上學期數學 指數與對數) a, b 為實數,. a 大於 b  a 3 大於 b 3 (四) 兩個三角形的AAS對應與ASS對應:(國三數學. 幾何與證明). ACB 與 ACD 一樣大,. B 與 D 一樣大.   . AB 與 AD 等長. (五) 三角形的邊長對其面積:(國二數學 三角形的基本性質). BC 長為 a , AB 、 AC 長皆為 b. . 1 a △ ABC 面積為 a b 2  ( ) 2  2 2 . (六) 整係數多項式的一次因式檢驗法性質:(高一上學期數學 整係數多項式 f ( x)  a2 x 2  a1 x  a0 ,. q 為最簡分數, p.  q p 為 a 2 的因數且 q 為 a 0 的因數 f( )0  p  29. 多項式函數).

(42) 二、代數式推理過程的邏輯理解詴題: 如表 3-3-4,此研究詴題為「代數性質代數表徵」的數學敘述,詴題設計的理念, 是測驗學生對於數學推理過程有效性的能力。從學生認為 p3  p2 , p2  p1 , p3  p1 三 個條件式敘述的正確與否,初探學生是否以 p3  p2 , p2  p1 的方式去看待 p3  p1 ; 求式子的解時,從 p1 推演至 p3,是否會以 p1  p3 或是 p1  p3 來認定 p3 是否為 p1 的 解。各題所問到的數學觀念,第(七)題是「一元一次不等式」 ,第(八)題是「多項式函數」 。 A、B 兩組受詴學生做第(八)題、第(七)題,為多重選擇題。 表 3-3-4. 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗題型 每題施測的數學敘述類型 敘述. 幾何性質 幾何表徵 (幾何知識). 認知. 幾何性質 代數表徵 (代數知識). 理解代數式推理過程的 有效性. 表 3-3-5 題目. 代數性質 代數表徵 (代數知識) (七). 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗目標 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係 項目. 題意. (A)選項. 若 p1 成立,則 p2 成立. (七). (B)選項. 若 p2 成立,則 p3 成立. 、. (C)選項. 若 p3 成立,則 p2 成立. (八). (D)選項. 若 p2 成立,則 p1 成立. (E)選項. 若 p1 成立,則 p3 成立,且若 p3 成立,則 p1 成立. (F)選項. 若 p3 成立,則 p1 成立. 30. (八).

(43) 主題與取材的範圍如下: (七) 將 x  3  2 做推演:(國一數學. 一元一次不等式). x  3  2.   . x0. (八) 求 x 3  x 2  x  1  0 的解:(高一上學期數學. x3  x2  x  1  0.   . 多項式函數). x  1,1, i,i. 三、代數式證明過程的邏輯理解詴題: 如表 3-3-6,此研究詴題為「幾何性質代數表徵」、「代數性質代數表徵」的數學敘 述,詴題設計的理念,是測驗學生對於數學證明過程有效性的能力。A、B 兩組受詴學 生皆做第(九)至(十二)題的詴題,(九)、(十)、(十二)1.以選擇題方式呈現,(十一)、(十二)2. 以問答題方式呈現。 表 3-3-6. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗題型. 每個子題施測的數學敘述類型 敘述 認知. 幾何性質 幾何表徵 (幾何知識). 理解數學敘述的正確與否. 幾何性質 代數表徵 (代數知識) (九)1.. (真實性的認知). 代數性質 代數表徵 (代數知識) (十)1. (十二)1.. 理解代數式證明過程的. (九)2.. (十)2.. 有效性. (十一). (十二)2.. 31.

(44) 表 3-3-7. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-1. 題目. 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係. (九)1.. 項目. 、. (A)選項. 若 p 成立,則 q 成立. (十)1.. (B)選項. 若 q 成立,則 p 成立. 表 3-3-8. 題意. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-2 測驗目標 在 p  q 的數學敘述裡,題目證明了什麼邏輯關係. 題目. 項目. 題意. (九)2.. (A)選項. 已知 r,若 p 成立,則 q 成立. (B)選項. 已知 r,若 q 成立,則 p 成立. (C)選項. 已知 r,則 p 成立且 q 成立. 、 (十)2.. 表 3-3-9. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-3. 題目. 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係 項目. (十二)1.. 題意. (A)選項. 若 p1 成立,則 p2 成立. (B)選項. 若 p2 成立,則 p3 成立. (C)選項. 若 p3 成立,則 p2 成立. (D)選項. 若 p2 成立,則 p1 成立. 32.

(45) 表 3-3-10 題目. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-4 測驗目標 判斷「若 p 成立,則 q 成立」是否正確 項目. 題意. (十一) 第 1 個選項 正確(因為已知 p,用 r  q 證明了 q 成立). 第 2 個選項 不正確(因為 r 是從 q 來的,造成 q  q 循環謬誤). 表 3-3-11. 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-5 「用 p  r 的證明過程,來判斷因為 r 成立,所以 p 成立」. 題目. 測驗目標 的邏輯是否正確 項目. 題意 正確(因為 p  r 與 r  p 的邏輯意義相同). 第 1 個選項 (十二)2.. (因為 p  r ) 不正確(因為不管 p  r 會不會成立, p  r 與 r  p 的邏. 第 2 個選項. 輯意義不同,過程沒有提到 r  p ). 33.

(46) 在代數式證明過程的邏輯理解詴題中,主題與取材的範圍如下: (九) 證明勾股弦定理:(國二數學 三角形的基本性質) △ ABC 中,設 BC  a, CA  b, AB  c , 題目敘述的真實性: A  90  a 2  b 2  c 2 題目證明的有效性: A  90  a 2  b 2  c 2 (十) 證明因式定理:(高一上學期數學. 多項式函數). 已知多項式 f (x) , 題目敘述的真實性: f (a)  0  x  a 為 f (x) 的因式 題目證明的有效性: f (a)  0  x  a 為 f (x) 的因式 (十一) 三角不等式:(國二數學. 三角形的基本性質). 詴證明:若 a, b, c 為△ ABC 的三邊,則 a  b  c 題目證明的有效性:以「三角不等式性質」來證明「三角不等式性質」, 為循環論證,屬於無效證明 (十二) 算幾不等式:(高一上學期數學 詴證明:若 a, b  0 ,則. 數與式). ab  ab 2 ab  ab  (a  b) 2  0 2. 題目敘述的真實性: a, b  0 ,. 題目證明的有效性:以「待證的敘述算幾不等式」當已知,為無效證明. 第(十一)、(十二)題有關證明閱讀理解的命題,是研究者依楊凱琳(2004)數學證 34.

(47) 明閱讀理解的邏輯定位面向(如表 3-3-12)來命題,在預詴後確認對於預詴受測學生在 「前提的定位」 、 「前提和結論的邏輯位置」 、 「前提和推論間所引用的性質」這三方面是 不是都有相當比例的人有遇到困難,到了正式施測過後,研究者與兩位在職數學老師將 正式施測受測學生填寫第(十一)、(十二)題的結果做編碼,並請指導教授以及幾位中學 數學教育專家檢核編碼,編碼如附錄二所示。 表 3-3-12. 以邏輯定位為理解面向的數學證明(楊凱琳,2004) 理解面向. 邏輯定位. 表 3-3-13. 理解對象. 操作型定義. 前提的定位. 辨識直接引用的事實. 前提和結論的邏輯位置. 判斷敘述的邏輯次序. 前提和推論間所引用的性質. 辨識證明引用的性質. 第(十一)、(十二)題數學證明題在邏輯面向上學生主要遭遇到的困難. 邏輯定位面向. 學生主要遭遇到的困難 第(十一)題三角不等式證明過程中前提「 a, b, c 為△ ABC 的. 前提的定位. 三邊, a  b  c 」的定位 第(十二)題算幾不等式證明過程中前提「 a, b  0 」的定位. 前提和結論的 第(十二)題算幾不等式證明過程中前提和結論的邏輯位置 邏輯位置. 前提和推論間 沒有區辨第(十一)題三角不等式「證明過程中所引用的性 所引用的性質 質」以及「結論的性質」兩者關係. 研究者將證明的有效性分成六類(如下表 3-3-14 至 3-3-19),依前提 p 的屬性(p 是屬於一般化的敘述還是特例的敘述)、前提 p 的真實性、「 p  q 」的推理有效性或 35.

(48) 推理正確性(即以代特例方式驗證)、結論 q 的真實性及 p, q 的觀念性質異同等變因, 決定一個敘述的證明是否有效。 表 3-3-14. 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-1 證明在 c 條件下,敘述 q 成立 物件. 設敘述 p 的真實性. 敘述 p. 真. 推理的 有效性. 敘述 q 的 真實性. 證明的 有效性. 真 pq. 有效. 有效. 敘述 q( p, q 的 觀念性質不同). 對表 3-3-14 做舉例說明: 詴證已知 a, b  0 ,則 證明: 實數 2  0. ab  ab 。 2.  (a  b) 2  0. a 2  2ab  b 2  0 a 2  2ab  b 2  4ab. (a  b) 2  4ab a  b  2 ab ,所以. ab  ab 2. 關於此一證明過程中的物件: 敘述 c: a, b  0 (前提) 敘述 p 的真實性: 實數 2  0 (為真敘述) p  q 推理的有效性: 實數 2  0  (a  b) 2  0  ... . 敘述 q 的真實性:. ab  ab (有效推理) 2. ab (與敘述 p 意思不同)  ab (為真敘述) 2. 由這些物件可以確定,表 3-3-14 的舉例說明為有效的證明。. 36.

(49) 表 3-3-15. 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-2 證明在 c 條件下,敘述 q 成立 物件. 設敘述 p 的真實性. 敘述 p. 偽. 推理的 有效性. 敘述 q 的 真實性. 證明的 有效性. 真或偽 pq. 有效. 無效. 敘述 q( p, q 的 觀念性質不同). 對表 3-3-15 做舉例說明: 詴證若 a, b  0 ,則 證明: a, b  0. ab  ab 。 2.  (a  b) 2  0. a 2  2ab  b 2  0 a 2  2ab  b 2  4ab. (a  b) 2  4ab a  b  2 ab ,所以. ab  ab 2. 關於此一證明過程中的物件: 敘述 c: a, b  0 (前提) 敘述 p 的真實性: a, b  0 (為偽敘述) p  q 推理的有效性: a  b  (a  b) 2  0  ... . 敘述 q 的真實性:. ab  ab (有效推理) 2. ab (與敘述 p 意思不同)  ab (為真敘述) 2. 由這些物件可以確定,表 3-3-15 的舉例說明為無效的證明。. 37.

(50) 表 3-3-16. 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-3 證明在 c 條件下,敘述 q 成立 物件. 設敘述 p 的真實性. 敘述 p. 真. 推理的 有效性. pq. 敘述 q 的 真實性. 無效. 敘述 q( p, q 的. 證明的 有效性. 無效 真. 觀念性質不同). 對表 3-3-16 做舉例說明: 詴證若 a, b  0 ,則. ab  ab 。 2. 證明: 實數 2  0.  (a  b) 2  0. a 2  2ab  b 2  0 a 2  b 2  2ab. a 2  b 2  2 ab ,又 a  b  a 2  b 2 所以 a  b  2 ab ,而得. ab  ab 2. 關於此一證明過程中的物件: 敘述 c: a, b  0 (前提) 敘述 p 的真實性: 實數 2  0 (為真敘述) p  q 推理的有效性:實數 2  0  ... . 敘述 q 的真實性:. ab  ab(過程有誤,為無效推理) 2. ab (與敘述 p 意思不同)  ab (為真敘述) 2. 由這些物件可以確定,表 3-3-16 的舉例說明為無效的證明。. 38.

(51) 表 3-3-17. 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-4 證明在 c 條件下,敘述 q 成立 物件. 設敘述 p 的真實性. 敘述 p. 真. 推理的 有效性. 敘述 q 的 真實性. 證明的 有效性. 真 pq. 有效. 無效. 敘述 q( p, q 的 觀念性質「相同」). 對表 3-3-17 做舉例說明: 詴證若 a, b  0 ,則. ab  ab 。 2. 證明: a  b  2 ab 所以. ab  ab 2. 關於此一證明過程中的物件: 敘述 c: a, b  0 (前提) 敘述 p 的真實性: a  b  2 ab (為真敘述) p  q 推理的有效性: a  b  2 ab . 敘述 q 的真實性:. ab  ab (有效推理) 2. ab (與敘述 p 意思「相同」)  ab (為真敘述) 2. 由這些物件可以確定,表 3-3-17 的舉例說明為無效的證明。. 39.

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