第四章 研究結果
第一節 高一學生敘述有效性的表現
各題所問的數學觀念為：第(一)題是「三角形的大角對大邊、大邊對大角性質」， 第(二)題是「圓形的周長與面積關係」、第(三)題是「不等式的大小判斷」、第(四)題是「兩 個三角形的 AAS 對應與 ASS 對應」、第(五)題是「三角形的邊長對其面積」、第(六)題 是「整係數多項式的一次因式檢驗法性質」。以敘述是「幾何性質幾何表徵（幾何知識）」
（如第(一)、(四)題）、「幾何性質代數表徵（代數知識）」（如第(二)、(五)題）或「代數 性質代數表徵（代數知識）」（如第(三)、(六)題）為變因，以及以題目敘述的真實性為
q
p （即pq以及q p）（如第(一)、(二)、(三)題）或是pq,q p（如第(四)、
(五)、(六)題）為變因。
一、在有大前提之下，改變 p、q 在敘述中的位置時，受測學生在「兩敘述真實性的認 知」與「兩敘述有效性的判斷」兩種能力的表現關聯性會如何
以表 4-1-1 來說明兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯性。
表4-1-1 兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯表-1
果的影響很大。
2. 對立假設 H1：bc c
b, 值有顯著差異，代表兩敘述真實性的認知與兩敘述有效性的判斷關聯性不強，
即在本研究中，受測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結 果的影響並不大。
透過 McNemar 檢定方法，來檢定b,c值是否有達顯著差異。
(一) 在「pq的幾何性質幾何表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 p 則 q」與
「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的：
(一) 下列關於三角形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：△ABC中，若AB最短，且 BC 比 AC 長，則A為△ABC的 最大角。
B 敘述：△ABC中，若 AB 最短，且 A 為△ABC的最大角，則 BC 比 AC 長。
1. A 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
2. B 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
3. 無論 A、B 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、B 這兩個敘述的意思是 一樣的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
(一) 下列關於三角形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：△ABC中，若AB最短，且 BC 比 AC 長，則A為△ABC的 最大角。
C 敘述：△ABC中，若 BC 比 AC 長，且 AB 最短，則 A 為△ABC的 最大角。
4. C 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
5. 無論 A、C 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、C 這兩個敘述的意思是 一樣的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
受測學生人數：A 組 120 人
表4-1-3 第(一)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
(二) 在「pq的幾何性質代數表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 p 則 q」與 「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的：
(二) 下列關於圓形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：若a 0，且圓 C 的周長為a ，則圓 C 的面積為 4 a2
。
B 敘述：若a0，且圓 C 的面積為 4 a2
，則圓 C 的周長為a 。
1. A 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
2. B 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
3. 無論 A、B 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、B 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
(二) 下列關於圓形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：若a 0，且圓 C 的周長為a ，則圓 C 的面積為 4 a2
。
C 敘述：若圓 C 的周長為a ，且 a 0，則圓 C 的面積為 4 a2
。
4. C 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
5. 無論 A、C 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、C 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
受測學生人數：B 組 120 人
表4-1-5 第(二)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
(三) 在「pq的代數性質代數表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 p 則 q」與 「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的：
(三) 下列關於a,b兩數的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：若a,b為實數，且 a 大於 b，則a 大於3 b 。 3
B 敘述：若a, 為實數，且b a3大於b3，則 a 大於 b。
1. A 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
2. B 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
3. 無論 A、B 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、B 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
(三) 下列關於a,b兩數的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：若a, 為實數，且 a 大於 b，則b a3大於b3。
C 敘述：若 a 大於 b，且a,b為實數，則a3大於b3。
4. C 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
5. 無論 A、C 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、C 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
受測學生人數：A 組 120 人
表4-1-7 第(三)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
(四) 在「 pq,q p的幾何性質幾何表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 p 則 q」與 「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的：
(四) 下列關於四邊形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：四邊形ABCD中，若 AC 為C的角平分線，且 B 與 D 一樣大，則 AB 與AD等長。
B 敘述：四邊形ABCD中，若 AC 為C的角平分線，且AB與AD等長，則B與
D一樣大。
1. A 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
2. B 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
3. 無論 A、B 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、B 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
(四) 下列關於四邊形的敘述，請回答下列問題（單選題）：
A 敘述：四邊形ABCD中，若 AC 為C的角平分線，且B與D一樣大，則AB 與AD等長。
C 敘述：四邊形ABCD中，若B與D一樣大，且 AC 為C的角平分線，則AB 與AD等長。
4. C 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
5. 無論 A、C 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、C 這兩個敘述的意思是一樣 的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
受測學生人數：B 組 120 人
表4-1-9 第(四)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
(五) 在「 pq,q p的幾何性質代數表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 p 則 q」與
表4-1-11 第(五)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
(六) 在「PQ,Q P的代數性質代數表徵」裡，高一學生是否能區辨「若 P 則 Q」
與「若 Q 則 P」的邏輯是不一樣的：
(六) 下列關於整係數多項式 f(x)a2x2 a1xa0，p, 為整數的敘述，請回答下 q 列問題（單選題）：
A 敘述：若 p
q 為最簡分數，且 ( )0 p
f q ，則p為a 的因數、q 為2 a 的因數。 0
B 敘述：若 p
q 為最簡分數，且p為a 的因數、q 為2 a 的因數，則0 ( )0 p
f q 。
1. A 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
2. B 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
3. 無論 A、B 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、B 這兩個敘述的意思是 一樣的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
(六) 下列關於整係數多項式 f(x)a2x2 a1xa0，p,q為整數的敘述，請回答下 列問題（單選題）：
A 敘述：若 p
q 為最簡分數，且 ( )0 p
f q ，則p為a 的因數、q 為2 a 的因數。 0
C 敘述：若 ( )0 p
f q ，且 p
q 為最簡分數，則p為a 的因數、q 為2 a 的因數。 0
4. C 敘述是正確的嗎？ (A)正確 (B)不正確 (C)不知道
5. 無論 A、C 這兩個敘述是不是正確的，請問 A、C 這兩個敘述的意思是 一樣的嗎？ (A)一樣 (B)不一樣 (C)無法判斷
受測學生人數：B 組 120 人
表4-1-13 第(六)題第1.、2.題真實性認知與第3.題有效性判斷的表現
回答研究問題 1.：當兩敘述是指互為逆敘述時（即pq以及q p），學生對兩敘述
0.00%
Kruskai-Wallis 檢定
.077 保留 H0
(二)3.成績表現及(三)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.150 保留 H0
(一)3.成績表現及(三)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.815 保留 H0
(四)3.成績表現及(五)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.236 保留 H0
(五)3.成績表現及(六)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.938 保留 H0
(四)3.成績表現及(六)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.353 保留 H0
(一)3.成績表現及(四)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.381 保留 H0
(二)3.成績表現及(五)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.288 保留 H0
(三)3.成績表現及(六)3.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.905 保留 H0
以表 4-1-17 來說明兩敘述真實性認知與兩敘述有效性判斷的關聯性，而a,b,c,d所
表4-1-19 第(一)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
表4-1-21 第(二)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
表4-1-23 第(三)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
McNemar檢定 1.000a
a. 使用二項式分配
由表4-1-23、4-1-24顯示，透過McNemar檢定，1.0000.05未達顯著差異，顯示受 測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大。
表4-1-25 第(四)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
McNemar檢定 1.000a
a. 使用二項式分配
由表4-1-25、4-1-26顯示，透過McNemar檢定，1.0000.05未達顯著差異，顯示受 測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大。
表4-1-27 第(五)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
McNemar檢定 1.000a
a. 使用二項式分配
由表4-1-27、4-1-28顯示，透過McNemar檢定，1.0000.05未達顯著差異，顯示受 測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大。
表4-1-29 第(六)題第1.、4.題真實性認知對第5.題有效性判斷的表現
McNemar檢定 1.000a
a. 使用二項式分配
由表4-1-29、4-1-30顯示，透過McNemar檢定，1.0000.05未達顯著差異，顯示受
回答研究問題 3.：當兩敘述是指兩部分前提一樣但呈現順序不同的敘述時（即 q
p
p1, 2 以及p2,p1 q），學生對兩敘述真實性的認知是否影響 其對兩敘述有效性的判斷？
以 McNemar 檢定，由表 4-1-19 至 4-1-30 呈現的結果可以得知，在第(一)、(二)題 中，受測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響並不 大；在第(三)、(四)、(五)、(六)題中，受測學生對兩敘述有效性的判斷，會受到他對兩 敘述真實性認知結果的影響很大。
研究者推測，當受測學生對兩敘述p1,p2 q與p2,p1 q真實性認知結果答對率 比較高時（如第(一)題第 1.、4.題、第(二)題第 1.、4.題），受測學生對兩敘述有效性的 判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響並不大，而當受測學生對兩敘述
q p
p1, 2 與p2,p1 q真實性認知結果答對率比較低時（如第(三)題第 1.、4.題、第(四) 題第 1.、4.題、如第(五)題第 1.、4.題、第(六)題第 1.、4.題），受測學生對兩敘述有效性 的判斷，會受到他對兩敘述真實性認知結果的影響很大。
回答研究問題 4.：學生在各種數學敘述上，認為改變前提順序的兩敘述同時為真但仍無 法正確判斷有效性的相對比例各有多高？學生在各種數學敘述的比 例是否一樣？
由表4-1-19、4-1-21、4-1-23、4-1-25、4-1-27、4-1-29的資料，整理成表4-1-31與 圖4-1-2，為受測學生在各種數學敘述上，認為兩敘述p1,p2 q與p2,p1q同時為真 但仍無法正確判斷兩敘述間有效性的相對比例百分比。
由表4-1-31統計結果顯示，只有第(四)(五)題間─敘述p1,p2 q與p2,p1 q有效 性的判斷錯誤率達顯著差異，其餘以「題目性質與表徵」為變因時的任兩題，以及以「給 定題目敘述及其逆敘述的真實性」為變因的兩題間有效性的判斷錯誤率均未達顯著差 異，第(四)(五)(六)題間三者一起檢定也未達顯著差異。檢定的方法是以無母數檢定法來 檢定。
由表4-1-32，以「給定題目敘述的真實性」為變因時，相同性質與表徵的兩個題目
表4-1-32 認為兩敘述同時為真（即p1,p2 q以及p2,p1 q）的受測學生中仍無法 判斷敘述與逆敘述有效性的百分比差異檢定
無效假設H0 檢定方式 顯著性 決策
(一)5.成績表現及(二)5.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.973 保留 H0
(二)5.成績表現及(三)5.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.713 保留 H0
Kruskai-Wallis 檢定
.048 拒絕 H0
(五)5.成績表現及(六)5.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.075 保留 H0
(四)5.成績表現及(六)5.成績表現
之分配相同 無母數檢定之
Kruskai-Wallis 檢定
.981 保留 H0
(四)5.成績表現、(五)5.成績表現
及(六)5.成績表現之分配相同 無母數檢定之
及(六)5.成績表現之分配相同 無母數檢定之