研究工具

本研究所使用之工具可分為：幾何知識與代數知識區辨敘述與逆敘述詴題、代數式 推理過程的邏輯理解詴題、代數式證明過程的邏輯理解詴題。各項工具詳述如下。

一、 幾何知識與代數知識區辨敘述與逆敘述詴題：

此研究詴題分成「幾何性質幾何表徵」的數學敘述、「幾何性質代數表徵」的數學 敘述、「代數性質代數表徵」的數學敘述，如表 3-3-1，(一)至(六)每個大題皆為不同數 學主題的詴題。

本詴題研究高一學生在理解數學敘述的正確與否之後，在數學敘述與逆敘述的區辨 能力表現，受測學生為均學習過第一學期高中數學 99 課綱代數課程的 240 位高一學生，

有 6 個大題，每個大題有 5 個子題，每個題目的敘述類型與測驗目標如表 3-3-1、表 3-3-2、

表 3-3-3。在 A 敘述中，p₁代表 A 敘述的大前提（前件），p₂代表 A 敘述的小前提（前 件），q 代表 A 敘述的結論（後件）；B 敘述為「在相同大前提下 A 敘述的逆敘述」，在 B 敘述中，p1代表 B 敘述的大前提（前件），q 代表 B 敘述的小前提（前件），p2代表 B 敘述的結論（後件）；C 敘述為「與 A 敘述相同前提且相同結論的敘述」，在 C 敘述中，

p₂代表 C 敘述的大前提（前件），p₁代表 C 敘述的小前提（前件）， q 代表 C 敘述的結 論（後件）。各題所問到的數學觀念，第(一)題是「三角形的大角對大邊、大邊對大角 性質」、第(二)題是「圓形的周長與面積關係」、第(三)題是「不等式的大小判斷」、第(四) 題是「兩個三角形的 AAS 對應與 ASS 對應」、第(五)題是「三角形的邊長對其面積」、

第(六)題是「整係數多項式的一次因式檢驗法性質」。

慮及受測學生對於太多相同結構問題的經驗效應，並避免學生失去答題的耐心，研 究者請 A 組受測學生測驗其中的第(一)、(三)、(五)題，B 組受測學生測驗其中的第(二)、

(四)、(六)題。

表 3-3-1 區辨敘述與逆敘述詴題測驗題型

表 3-3-3 區辨敘述與逆敘述詴題測驗目標-2

真實性的認知不是從數學上的對錯來分類學生的認知，而是以學生認為的結果來分 類。即學生認為「若 p 則 q」與「若 q 則 p」同時為真的一類、一真一假的一類，以及 學生認為「若 p1成立，且 p2成立，則 q 成立」與「若 p2成立，且 p1成立，則 q 成立」

同時為真的一類、一真一假的一類，無法判斷的則不納入檢定「學生對兩敘述真實性的 認知是否影響其對兩敘述有效性的判斷」。

邏輯與數學邏輯不同的地方是：邏輯不一定是含有數學表徵的，它牽涉的有可能只 是在語言學方面、哲學方面的邏輯問題，而數學邏輯問題就一定含有數學表徵。93年大 學入學學科能力測驗數學科考題曾出現下列的多重選擇題：

中山高速公路重慶北路交流道南下入口匝道分成內、外兩線車道，路旁立有標誌

「外側車道 大客車專用」。請選出不違反此規定的選項：

(1) 小型車行駛內側車道 (2) 小型車行駛外側車道 (3) 大客車行駛內側車道 (4) 大客車行駛外側車道 (5) 大貨車行駛外側車道

這類的問題就屬於非數學表徵的區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯問題，其中選 項裡面還含有「若非 q 則 p」、「若非 q 則非 p」、「若 q 則非 p」的問題，但其中本研究 只針對「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯問題做討論，以數學表徵呈現。然而不只是

題目 測驗目標 在pq,q p的數學敘述裡，

是否能區辨「若 p 則 q」與「若 q 則 p」的邏輯是不一樣的

(四)

、 (五)

、 (六)

項目 題意 敘述本身

正確與否

是否與 A 敘述的 邏輯一樣 A 敘述 若 p₁成立，且 p₂成立，則 q 成立 ○

B 敘述 若 p1成立，且 q 成立，則 p2成立 ╳ ╳ C 敘述 若 p2成立，且 p1成立，則 q 成立 ○ ○

同，在代數問題表徵方面更是佔了重要的地位，會影響「不知是pq，還是pq但

二、 代數式推理過程的邏輯理解詴題：

如表 3-3-4，此研究詴題為「代數性質代數表徵」的數學敘述，詴題設計的理念，

是測驗學生對於數學推理過程有效性的能力。從學生認為p₃  p₂,p₂ p₁,p₃ p₁三 個條件式敘述的正確與否，初探學生是否以p₃  p₂,p₂ p₁的方式去看待p₃  p₁； 求式子的解時，從 p₁推演至 p₃，是否會以p₁  p₃或是p₁  p₃來認定 p₃是否為 p₁的 解。各題所問到的數學觀念，第(七)題是「一元一次不等式」，第(八)題是「多項式函數」。 A、B 兩組受詴學生做第(八)題、第(七)題，為多重選擇題。

表 3-3-4 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗題型

表 3-3-5 代數式推理過程的邏輯理解詴題測驗目標 每題施測的數學敘述類型 敘述

認知

幾何性質 幾何表徵

（幾何知識）

幾何性質 代數表徵

（代數知識）

代數性質 代數表徵

（代數知識）

理解代數式推理過程的

有效性 (七) (八)

題目 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係

(七)

、 (八)

項目 題意

(A)選項 若 p₁成立，則 p₂成立 (B)選項 若 p2成立，則 p3成立 (C)選項 若 p3成立，則 p2成立 (D)選項 若 p2成立，則 p1成立

(E)選項 若 p1成立，則 p3成立，且若 p3成立，則 p1成立 (F)選項 若 p3成立，則 p1成立

主題與取材的範圍如下：

表 3-3-7 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-1

表 3-3-8 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-2

表 3-3-9 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-3

題目 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係 (九)1.

、 (十)1.

項目 題意

(A)選項 若 p 成立，則 q 成立 (B)選項 若 q 成立，則 p 成立

題目 測驗目標 在pq的數學敘述裡，題目證明了什麼邏輯關係

(九)2.

、 (十)2.

項目 題意

(A)選項 已知 r，若 p 成立，則 q 成立 (B)選項 已知 r，若 q 成立，則 p 成立 (C)選項 已知 r，則 p 成立且 q 成立

題目 測驗目標 判斷不同敘述間的充分必要邏輯關係

(十二)1.

項目 題意

(A)選項 若 p1成立，則 p2成立 (B)選項 若 p2成立，則 p₃成立 (C)選項 若 p3成立，則 p₂成立 (D)選項 若 p₂成立，則 p₁成立

表 3-3-10 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-4

表 3-3-11 代數式證明過程的邏輯理解詴題測驗目標-5

題目 測驗目標 判斷「若 p 成立，則 q 成立」是否正確

(十一)

項目 題意

第 1 個選項 正確（因為已知 p，用rq證明了 q 成立）

第 2 個選項 不正確（因為 r 是從 q 來的，造成qq循環謬誤）

題目 測驗目標

「用pr的證明過程，來判斷因為 r 成立，所以 p 成立」

的邏輯是否正確

(十二)2.

項目 題意

第 1 個選項

正確（因為pr與r p的邏輯意義相同）

（因為pr）

第 2 個選項

不正確（因為不管pr會不會成立，pr與r p的邏 輯意義不同，過程沒有提到r p）

在代數式證明過程的邏輯理解詴題中，主題與取材的範圍如下：

(九) 證明勾股弦定理：（國二數學 三角形的基本性質）

△ABC中，設BC a,CAb,ABc，

題目敘述的真實性：A90^  a² b² c²

題目證明的有效性：A90^ a² b²c²

(十) 證明因式定理：（高一上學期數學 多項式函數）

已知多項式 f(x)，

題目敘述的真實性： f(a)0  xa為 f(x)的因式

題目證明的有效性： f(a)0  xa為 f(x)的因式

(十一) 三角不等式：（國二數學 三角形的基本性質）

詴證明：若a ,,b c為△ABC的三邊，則abc

題目證明的有效性：以「三角不等式性質」來證明「三角不等式性質」，

為循環論證，屬於無效證明

(十二) 算幾不等式：（高一上學期數學 數與式）

詴證明：若a,b0，則ab  ab 2

題目敘述的真實性：a,b0， a b ab

 

2  (ab)² 0

題目證明的有效性：以「待證的敘述算幾不等式」當已知，為無效證明

明閱讀理解的邏輯定位面向（如表 3-3-12）來命題，在預詴後確認對於預詴受測學生在

「前提的定位」、「前提和結論的邏輯位置」、「前提和推論間所引用的性質」這三方面是 不是都有相當比例的人有遇到困難，到了正式施測過後，研究者與兩位在職數學老師將 正式施測受測學生填寫第(十一)、(十二)題的結果做編碼，並請指導教授以及幾位中學 數學教育專家檢核編碼，編碼如附錄二所示。

表 3-3-12 以邏輯定位為理解面向的數學證明（楊凱琳，2004）

理解面向 理解對象 操作型定義

邏輯定位

前提的定位 辨識直接引用的事實

前提和結論的邏輯位置 判斷敘述的邏輯次序 前提和推論間所引用的性質 辨識證明引用的性質

表 3-3-13 第(十一)、(十二)題數學證明題在邏輯面向上學生主要遭遇到的困難

邏輯定位面向 學生主要遭遇到的困難

前提的定位

第(十一)題三角不等式證明過程中前提「a ,,b c為△ABC的 三邊，abc」的定位

第(十二)題算幾不等式證明過程中前提「a,b0」的定位

前提和結論的 邏輯位置

第(十二)題算幾不等式證明過程中前提和結論的邏輯位置

前提和推論間 所引用的性質

沒有區辨第(十一)題三角不等式「證明過程中所引用的性 質」以及「結論的性質」兩者關係

研究者將證明的有效性分成六類（如下表 3-3-14 至 3-3-19），依前提 p 的屬性（p 是屬於一般化的敘述還是特例的敘述）、前提 p 的真實性、「pq」的推理有效性或

推理正確性（即以代特例方式驗證）、結論 q 的真實性及p,q的觀念性質異同等變因，

表 3-3-15 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-2

表 3-3-16 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-3

表 3-3-17 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-4 證明在 c 條件下，敘述 q 成立

物件 設敘述 p 的真實性

推理的 有效性

敘述 q 的 真實性

證明的 有效性 敘述 p 真

真 q 無效

p 有效

敘述 q（p, 的 q 觀念性質「相同」）

對表 3-3-17 做舉例說明：

詴證若a,b0，則a b ab

 

2 。

證明：ab2 ab 所以a b ab

  2

關於此一證明過程中的物件：

敘述 c: a,b0（前提）

敘述 p 的真實性：ab2 ab（為真敘述）

q

p 推理的有效性：ab2 ab  ab  ab

2 （有效推理）

敘述 q 的真實性：a b ab

 

2 （為真敘述）（與敘述 p 意思「相同」）

由這些物件可以確定，表 3-3-17 的舉例說明為無效的證明。

表 3-3-18 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-5

表 3-3-19 前提真實性、推理有效性、結論真實性、證明有效性間的關係表-6

對照表 3-3-20，本研究的研究問題：

1. 當兩敘述是指互為逆敘述時（即pq以及q p），學生對兩敘述真實性的認知 是否影響其對兩敘述有效性的判斷？……(1)的表現，可回答此研究問題。

2. 學生在各種數學敘述上，認為兩敘述pq以及q p同時為真但仍能正確判斷敘 述與逆敘述有效性的相對比例各有多高？學生在各種數學敘述的比例是否一樣？

……在(1)當中，(6)、(7)、(8)的比例，(6)與(7)的比例差異檢定，以及(6)與(8)的比例 差異檢定，可回答此研究問題。

3. 當兩敘述是指兩部分前提一樣但呈現順序不同的敘述時（即p₁,p₂ q以及 q

p

p₂, ₁  ），學生對兩敘述真實性的認知是否影響其對兩敘述有效性的判斷？

……(3)的表現，可回答此研究問題。

4. 學生在各種數學敘述上，認為改變前提順序的兩敘述同時為真但仍無法正確判斷有

4. 學生在各種數學敘述上，認為改變前提順序的兩敘述同時為真但仍無法正確判斷有

在文檔中 探討高一生對數學敘述與代數式證明之邏輯理解 (頁 38-56)