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第二節 主成分分析
建構完整之利率期間結構後，本節欲進一步衡量利率變動導致資產和負債價 值波動的風險即利率風險(Interest Rate Risk)，對於壽險公司財務報表股東權益 (Surplus)之影響。首先，針對利率風險計算的方式參考 Solvency II 於 2010 年發 布之技術文件 (Solvency II Calibration Paper, 2010)和 ICS (2016)認為主成分分析 (Principal Component Analysis；PCA)是易於捕捉利率風險之方法，故本研究以主 成分分析萃取出影響殖利率曲線變動之因素後，發現前數個主成分(PCs)即可解 釋大部分樣本期間內整條殖利率曲線之整體風險變動情況。接著，考慮利率期間 結構進行利率上升與利率下降兩種極端情境(Interest Rate Shock Scenarios)之壓力 情境測試，在不同的情境中，利率期間結構各點將會有不同比例的改變，在兩種 壓力測試情境中取最大損失者。以下分述原始資料(Raw Data)、定義受壓因子 (Stress Factor)及主成分分析法。
一、 原始資料
令零息公債利率日資料𝑟𝑡,𝑚為(𝑇 + 1) × 𝑀的矩陣 R：
R = [rt,m], ∀ t = 0,1, … T; m = 1,2, … , M ( 3 . 10 ) 其中，
𝑇 + 1為利率日資料之筆數(Number of Data Entries)，因需設起始點從利率之 第一筆資料開始，故共有𝑇 + 1筆資料。
𝑀為利率年期之個數(Number of Spot Rates)。例如：台幣為 1、2…、10 年 期，即𝑀 = 10；美元為 1、2…、10 年、15 年、20 年、30 年期，即𝑀 = 13。
二、 定義受壓因子
本研究進行主成分分析之原變數為受壓因子(stress factor)，並非指歷史利率，
受壓因子(Stress Factor)是由零息公債利率日資料所得的利率變化率(Percentage of Interest Rate Change)，主要是因為利差損導致市場利率急劇驟降，使得過去與現 在的市場利率落差較大，因此以利率變化率分析較為恰當。定義受壓因子𝑠𝑡,𝑚為 𝜏 × 𝑀的矩陣 S：
S = [st,m], ∀ t = ,1, … τ; m = 1,2, … , M ( 3 . 11 ) 其中，
𝜏為受壓因子之資料筆數。
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𝑀為受壓因子年期之個數，與利率年期之個數相同。
原始利率資料轉換為受壓因子之處理方式，依資料重疊(Overlapping)與否可 區分為年、季、週、月、日等滾動期間(Rolling Period)，其中，因本研究採用零 息公債利率的資料頻率為日資料，因此，若資料以非重疊(Non-overlapping)方式 處理，則滾動期間以一日為單位，亦稱為非滾動期間(Non-rolling Period)；若資料 以重疊方式處理，則滾動期間可以年、季、週、月等為單位衡量。依據(Solvency II Calibration Paper, 2010)定義受壓利率rshock，其計算方式為基礎利率rbase乘以 一固定之受壓因子，以決定受壓利率rshock。因此，本研究針對受壓因子之計算 方式區分為離散型(Discrete)和連續型(Continuous)，以下將針對兩種型態之受壓 因子進行說明，並彙整如表 3 - 1 所示：
(一) 離散型的受壓利率為
𝑟𝑠ℎ𝑜𝑐𝑘= 𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒∙ (1 + 𝑠)ℎ ( 3 . 12 )
故定義離散型之受壓因子即為
𝑠 = (𝑟𝑠ℎ𝑜𝑐𝑘
𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒)
1
ℎ− 1 ( 3 . 13 ) (二) 連續型的受壓利率為
𝑟𝑠ℎ𝑜𝑐𝑘 = 𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒∙ 𝑒𝑠ℎ ( 3 . 14 )
故定義連續型之受壓因子即為
𝑠 =1
ℎ∙ 𝑙𝑜𝑔 (𝑟𝑠ℎ𝑜𝑐𝑘
𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒) ( 3 . 15 ) 其中，
𝑠為年化的受壓因子(Annualized Stress Factor)。
ℎ為滾動期間轉換以年為單位衡量。
𝑟𝑠ℎ𝑜𝑐𝑘為受壓利率(Stressed Rate)。
𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒為基礎利率(Base Rate)。
log 定義為自然對數。
當歷史利率日資料採用一日為單位之滾動期間處理時，h = 1 一年之交易日⁄ ； 以週為單位之滾動期間時，h = 1 一年之週數⁄ ；以一個月之滾動期間時，h = 1 12⁄ ；
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X1, X2, … , Xk，透過轉軸(Rotating)至新的座標系統上，而所對應的新座標軸代表具 有最大變異的方向，且可藉由共變異數矩陣更簡潔地描述。由於主成分只由隨機 變數X1, X2, … , Xk的共變異數矩陣Σ所決定，故不需假設主成分為多元常態分配 亦可使用主成分分析，然因為母體主成分假設為常態分配時，具有許多特殊性質 可推論至樣本的主成分，故本研究系假設常態分配計算極端利率情境。
依據上述針對受壓因子定義𝑆 = [𝑆1 𝑆2… 𝑆𝑀]，經減平均數或標準化後，其共 變異數矩陣為Σ𝑠，且𝑆與 k 個向量𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑘作為線性組合：
{
𝑆1 = 𝛽1𝐹 = 𝛽11𝐹1+ 𝛽12𝐹2+ ⋯ + 𝛽1𝑘𝐹𝑘 𝑆2 = 𝛽2𝐹 = 𝛽21𝐹1+ 𝛽22𝐹2+ ⋯ + 𝛽2𝑘𝐹𝐾
⋮
𝑆𝑀 = 𝛽𝑀 𝐹 = 𝛽𝑀1𝐹1+ 𝛽𝑀2𝐹2+ ⋯ + 𝛽𝑀𝑘𝐹𝐾
( 3 . 16 )
其中，
𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑘為k 個主成分。
𝛽𝑖𝑗是第i 個變數在第 j 個主成分的權重。上述方程組要求權重𝛽𝑖𝑗：
𝛽𝑖12 + 𝛽𝑖22 + ⋯ + 𝛽𝑖𝑘2 = 1 i = 1,2, … , k 使得新變數的尺度固定，且具有以下性質：
1. 𝐹1的變異數最大，𝐹2的變異數是除𝐹1之外最大的，依此類推。
2. 𝛽𝑖1𝛽𝑗1+ 𝛽𝑖2𝛽𝑗2+ ⋯ + 𝛽𝑖𝑘𝛽𝑗𝑘 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗，使得所有主成分𝐹𝑖和𝐹𝑗為直交或不相 關，故其解釋變異量不重疊，即共變異數為0。且可以得到：
Var(𝐹𝑖) = 𝛽𝑖Σ𝑠𝛽𝑖′ 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 Cov(𝐹𝑖, 𝐹𝑘) = 𝛽𝑖Σ𝑠𝛽𝑘′ 𝑖, 𝑘 = 1,2, … , 𝑘
欲求出𝛽𝑖1, 𝛽𝑖2, … , 𝛽𝑖𝑘等係數，需在𝛽𝑖12 + 𝛽𝑖22 + ⋯ + 𝛽𝑖𝑘2 = 1條件下，找一向量𝛽使 其滿足在𝛽𝛽′= 1的情形下，使得𝛽Σ𝑠𝛽′最大，則此解即為矩陣Σ𝑠的最大特徵值 (Eigenvalue)所對應的單位特徵向量(Eigenvector)。
隨機向量之線性組合為找到變異數最大的主成分，即解釋變異能力最大者，
其解為矩陣𝛴𝑠的最大特徵值所對應的單位特徵向量。因此，我們可透過正定矩陣 的光譜分解(Spectral Decomposition)，求得特徵值與對應的單位特徵向量。本研究 係針對受壓因子進行主成分分析，因此，令受壓因子S 經減平均數或標準化後之 樣本共變異數矩陣(Sample Covariance Matrix) 𝛴̂𝑆為M × M之矩陣，令𝛴̂𝑆光譜分解 為：
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量，選取前k 個主成分，可近似而得因素負荷量(Factor Loadings)。因素負荷量為 新變數與舊變數的相關係數，表示原始變數對新變數的影響力或重要性；負荷愈‧ 國
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以利率年期第一年的受壓因子為例：
𝑆1′ ≈ ∑ √𝜆𝑗 𝑞𝑗 𝐹𝑗
𝑘
𝑗=1
= √𝜆1 𝑞1𝐹1+ √𝜆2 𝑞2𝐹2+ ⋯ + √𝜆𝑘 𝑞𝑘𝐹𝑘 = ∑ 𝛽1𝑗 𝐹𝑗
𝑘
𝑗=1
(三) 主成分之分配假設
本研究在α%信心水準下，將每個利率年期減平均數後之受壓因子，透過正 定矩陣的光譜分解，求得特徵值與對應的單位特徵向量，選取前k 個主成分，產 生受壓因子之極端情境，其中，針對主成分的分配假設服從多元常態分配 (multivariate normal distribution)，平均數為 0，標準差為 1。在信心水準為 α%下，
受壓因子的上升極端情境可表示為：
𝑆𝑚𝑢𝑝 = 𝑍𝛼(∑𝑘𝑖=1𝛽𝑚𝑖2 ) ∀ 𝑚 = 1,2, … , 𝑀 ( 3 . 26 ) 在信心水準為α%下，受壓因子的下降極端情境可表示為：
𝑆𝑚𝑑𝑜𝑤𝑛 = 𝑍1−𝛼(∑𝑘𝑖=1𝛽𝑚𝑖2 ) ∀ 𝑚 = 1,2, … , 𝑀 ( 3 . 27 ) 其中，
𝑚為利率年期。
𝑆𝑚𝑢𝑝為受壓因子之上升極端情境(Shock Up)。
𝑆𝑚𝑑𝑜𝑤𝑛為受壓因子之下降極端情境(Shock Down)。
最後，依據方程式(3.13)或(3.15)所定義之受壓因子，並設定基礎利率評價時 點，將基礎利率𝑟𝑏𝑎𝑠𝑒代入後，即可還原回上升和下降之極端利率情境如方程式 (3.12)或(3.14)。接著，採用 Smith-Wilson 方法外插至 120 年，即可得到極端利率 期間結構(Shocks to Interest Rate Term Structure)，並且在兩種極端情境中取最大 損失者，以衡量資產負債受利率波動下造成最極端之損失情況。