第二節 第二節 乘法問題的結構分析及其相關研究 乘法問題的結構分析及其相關研究 乘法問題的結構分析及其相關研究 乘法問題的結構分析及其相關研究
四則運算包含加、減、乘、除四部分，在一般人的直觀看法，以及傳統的數 學教育課程中，皆認為加減法為乘除法的前身或基礎(林慧麗，1991)，因而教學 中介紹乘除概念時，皆以加減法的操作導入。從學習心理及教學方面言，這是符 合學理的基礎。但從學習遷移的角度來看，若學生太過於執著固有的乘除概念，
無法將舊有的基模(schema)擴大，則產生若干乘除運算的迷思概念。例如「連加」
是乘的基礎，以致於形成乘法會使結果變大，除法會使結果變小等概念。當乘除 運算的數字皆為正整數，且被除數大於除數時，皆符合上述之學生原始的乘除概 念；但當數值有所不同時(如分數、小數範圍)，則學生容易產生明顯的錯誤(Bell,
Fischbein, & Greer, 1984)。
本節首先說明乘法問題的結構分析，其次介紹國內外乘除法結構之相關研究 如下。
壹壹壹
壹、、、、乘法問題的結構分析乘法問題的結構分析乘法問題的結構分析 乘法問題的結構分析
從數學的觀點視之，正整數和有理數的乘除法被視為是簡單的，然而在這簡 單的背後透露出心理上的複雜性，尤其是不從計算觀點而是考慮情境模式時，複 雜性更為明顯。因此有必要探討乘法的結構問題，以瞭解兒童對乘法的認知觀 點。歷年來國外學者分析乘法的結構(Bell et al.,1988; Nesher, 1988; Schwartz, 1988;
Schmidt & Weiser, 1995; Usiskin & Bell, 1983; Vergnaud, 1988)，在分類依據和方式
有所差異，而產生不同的乘法問題結構模式，Vergnaud (1988)從向量空間和向度(dimension)分析的觀點，進行乘法結構分析；Usiskin 和 Bell (1983)以乘法應用的
觀點對乘除法問題進行分析與意義分類。Gree (1987)考慮數值型態的乘除法問題 進行分析，且其又依情境模式分類乘除法問題；Schwartz (1988)的乘法結構分析 是從內涵量(intensive measures)和外延量(extensive measures)考慮；Nesher (1988) 從語意的觀點對乘除法問題進行分析，解析情境種類的命題結構；Bell 和 Greer(1984)將乘法問題概括地分成對稱和不對稱兩種類型；Schmidt 和 Weiser (1995)
採用語意結構分類。在這些不同的分析結構中，有助於本研究對題目類型之區分。貳 貳貳
貳、、、、乘除法結構之相關研究乘除法結構之相關研究乘除法結構之相關研究 乘除法結構之相關研究
以問題本質而言，乘除法較加減法為複雜，因為乘除並非很單純由「連加法」
或「連減法」的關係去解決即可。有關加減乘除的研究範圍可分為兩大方面（林 碧珍，1991；翁嘉英，1988)：一、結構變項取向（structural variable approach )：
即探討影響問題難度的變項，例如，乘除法的類型、未知數的位置、數值型態和 大小等。二、轉換取向(translation approach ) 探討將文字問題轉換成相對數學式 子之過程及難易因素。
而乘除法問題較加減法較為難理解的原因受到量的轉變之影響，國外學者
Quintero (1981）以內涵量（以 I 表示）和外延量（以 E 表示）為觀點，探討學生
對 I╳E 型的乘法之概念，並利用畫圖的表現，了解其表徵，其研究發現學生最 主要困難在於 I 和 E 兩個量關係的了解。而 Gree (1987)亦指出，乘除法和加減法 相較之下，乘除法較為困難，其主要原因在於加減法是單一向度(unidimension) 的問題，而乘除法的相度則較為複雜。國內學者甯自強(1993)指出，乘除法本質 上是一種單位量的轉換，乘法是把「高階單位量表示的量」化為「低階單位量表 示的量」的單位量轉化活動，而包含除則相反；至於等分除則為「新高階單位量 未知」的單位量轉換活動。
此外在乘除法研究中也可以根據解題與擬題的角度視之，相關學者（Bell et al,
1984; Gree, 1987 ; Hart, 1981)指出，若以「解題」觀點來看，就是「給問題，立算
式」，即要求兒童針對文字問題，選擇適當算式。因為現代社會中，計算機、電 腦的使用頻繁，選擇正確運算符號、策略，遠比計算能力重要。但大部分亦要求 學童列出計算過程，或利用晤談來進行。若以「給算式，編故事題」的觀點視之，此乃將算式的符號表徵轉換成文字情境的表徵，由表徵的轉換亦可探討學生對乘 除概念的理解。
除了量的轉變與解題、擬題的角度觀點，亦可以從「認知結構」的角度視之，
如國內學者林碧珍（1991）以四種乘除的架構來探討五、六年級學生的認知結構，
分析各種架構的難易度，發現學生對於乘除法應用問題的瞭解由易而難為量數同 構型、叉積型、比較型、多重比例型。比較型中由易而難為比例尺問題、倍數問 題、折扣問題；叉積型是面積問題、組合問題、陣列問題。由其研究中可以得知 學生對乘除法的解題策略和認知結構，但其研究中僅針對乘除類型來探討，並未 涉及數值型態的因素。由前述的研究取向中，數值型態亦為影響乘除表現之一因 素，因此，若以數值型態因素，如分數、小數來探討，定能提供乘除概念的諸多 訊息。