國小六年級學生對分數乘除法教材題意理解之分析

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國立臺中教育大學教育學系

碩士論文

指導教授:游自達 博士

國小六年級學生對分數乘除法教材題意

理解之分析

研究生:康桂瑛 撰

中華民國九十九年一月

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國小六年級學生對分數乘除法教材題意理解之分析

摘要

本研究進行國小數學教科書分數乘除法教材文字題題型之分析,並透過實際 訪談,旨在探討教科書中分數乘除法文字題問題類型與學生題意理解之關係。 本研究以 97 學年度國小數學教科書為研究對象,包括康軒、南一與翰林三 個版本的課本與習作。研究採用「內容分析法」,進行教科書的內容分析,透過 教材的分析與發現設計訪談試題,進行訪談。 訪談試題的編纂,依照相關文獻以及研究者與指導教授反覆討論修正後制 定,在分數乘除法文字題中與學生題意理解有關的因素包括參照量的隱藏與顯 現、單位的出現形式、運算符號的熟悉名詞、不同的代詞形式與比較型文字題的 敘述順序。 本研究根據訪談結果,主要的發現於下: 一、數學教科書中問題敘述所涉及的「參照量的判斷」與學生分數乘除法文字題 之理解有密切關係。 二、數學教科書問題敘述中「參照量已知與否」與學生分數乘除法文字題之理解 有密切關係。 三、數學教科書中,分數乘除法比較型文字題之敘述,其「陳述句與關係句」的 位置與學生的題意理解關係較不明顯。 最後依據研究結果分別對教科書編寫與未來研究者提出相關建議以供參考。 關鍵詞:國小數學教科書,分數乘除法,文字題

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An analysis toward sixth-graders’ comprehension on the word-problems of multiplication and division of fractions in mathematics textbooks

Abstract

This study was to explore sixth-graders’ comprehension on different types of word problems of multiplication and division of fractions (MADOF). This study first identified the types of word problems used in mathematics textbooks and then

examined the relationship between word-problem types and students’ comprehension of word problems.

By content analysis, the researcher studied three visions of primary school mathematics textbooks and workbooks used in 2008 school year, and then identified word-problems types presented in them. Word problems of MADOF were

categorized into different types by the explicitness of reference whole, forms of measurement units, presence of key-words in problem statements, forms of anaphora, and the narrating order in word-problem of quantity comparison. The word problems were then used in two sixth-graders’ interview to explore their comprehension.

Based on the results of interviews, three major findings of this study were as follows:

1. Word-problem statements of MADOF with/without requirements of students’ judgment on reference whole closely related to students’ comprehension of the problems.

2. Word-problem statements of MADOF with known/ unknown reference whole closely related to students’ comprehension of the problems..

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problems did not seem to relate to sixth-graders comprehension of the problem. Finally, implications of the findings of this study were discussed, and recommendations were made to textbook editors and researchers.

Keywords : mathematics textbook, multiplication of fractions, comprehension of word problems,

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目次

第一章 緒論--- 1 第一節 研究動機---1 第二節 研究目的---3 第三節 研究問題---4 第四節 名詞釋義---5 第五節 研究範圍與限制---7 第二章 文獻探討--- 9 第一節 分數乘除法文字題之語意結構---9 第二節 乘法問題的結構分析及其相關研究--- 17 第三節 數學文字題之解題歷程及其相關研究--- 20 第四節 分數表徵及其在乘除法學習之意涵--- 27 第三章 研究設計--- 33 第一節 研究者背景及訓練---33 第二節 研究設計與研究對象---34 第三節 研究方法---36 第四節 研究之實施---42 第五節 資料整理與分析---44 第六節 研究的信度與效度---45

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第四章 結果與討論--- 49 第一節 分數乘除法教材之書寫表徵形式分析結果與討論---49 第二節 教科書中分數乘除法不同題型之文字題與學生數學題意理解之表現 ---78 第三節 題意理解錯誤之相關分析--- 108 第五章 結論與建議--- 125 第一節 結論---125 第二節 建議---126 參考文獻--- 129 一、中文部分---129 二、英文部分---134 附錄一---139 附錄二---142

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表目次

表 3-3-1 國小數學教科書分數乘除法教材內容分析架構表--- 37 表 3-3-2 歷次訪談題目分布情形---40 表 3-4-1 訪談時間表---43 表 4-1-1 各版本分數乘除法教材在參照量表現形式呈現之次數統計--- 51 表 4-1-2 國小數學教科書分數乘除法教材題型-參照量的隱顯---55 表 4-1-3 各版本分數乘除法教材在單位表現形式呈現之次數統計表--- 58 表 4-1-4 國小數學教科書分數乘除法教材題型-單位的出現形式--- 61 表 4-1-5 各版本分數乘除法教材在運算符號熟悉名詞表現形式之次數統計表-64 表 4-1-6 國小數學教科書分數乘除法教材題型-運算符號的熟悉名詞--- 67 表 4-1-7 各版本分數乘除法教材在不同代詞表現形式之次數統計表--- 68 表 4-1-8 國小數學教科書分數乘除法教材題型-代詞的不同--- 72 表 4-1-9 各版本分數乘除法教材在不同敘述順序表現形式之次數統計表---73 表 4-1-10 國小數學教科書分數乘除法教材題型-敘述順序上的差異---76

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圖目次

圖 2-3-1 數學文字題理解歷程模式---23

圖2-4-1 面積的乘積模式--- 30

圖2-4-2 部分-整體區域面積模式--- 31

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第一章

第一章

第一章

第一章 緒論

緒論

緒論

緒論

第一節

第一節

第一節

第一節 研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

分數是國小數學課程的核心概念之一,分數概念與除法、小數、比、比值與 機率…等國小數學的重要概念息息相關;因此,分數的學習可說是國小數學教育 中最有挑戰性的教學主題。國內外諸多學者均指出,由於分數具有多重意義(如: 部分/整體關係、商、比、指示除法、運算子、測量等)、表徵多元(常運用面積、 長度、數線等連續量模式,或以獨立分立個物的集合整體量的離散模式來表徵部 分量與整體量的關係)、符號形式也以熟悉的數字表徵新的關係(以分子、分母獨 立自然數的組合表徵分量,也是一個重要特定值的有理數)等特質,導致學生在 分數學習上面臨諸多的困難(李端明,2001;林福來、黃敏晃,1991;林福來、 黃敏晃、呂玉琴,1996;林碧珍,1990,2006;甯自強,1993;Behr, Harel, Post,

& Lesh, 1992; Behr, Lesh, Post & Silver, 1983; Behr, & Post,1992; Behr,Washsmuth & Post,1988)。面對分數複雜多義的概念,了解教科書中分數教材運用的表徵, 能否協助發展學生的分數概念,乃是值得加以探究之議題,此為研究動機之一。 教科書的書寫表達方式乃是影響學生閱讀理解的重要因素。教科書中問題的 敘述方式,所涉及的專門術語等都與學生的問題題意理解有關,教科書的撰寫者 以有限的文字來傳達所要溝通的概念,而閱讀者則以其先備經驗來解讀教科書的 內涵,進而重整其意義。由於數學語言的符號化、邏輯性與抽象性、構成了數學 文本閱讀的特殊性,而在數學文字題(通稱應用問題)的解題過程中,究竟學生 是因為「看」不懂題意以致不會「解題」?抑或是「看」得懂題意但依然不會「解 題」?數學固然是一種語言,但是,由於數學涉及運用數字、符號、特定詞彙表 達質與量的關係,數學語言有別於一般語言的獨特性。相關學者認為數學語言有 它的句法、詞彙、詞序、同義字、否定詞、慣例、縮寫、句子結構、段落結構,

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這些跟一般語文理解有所不同,因此,數學閱讀有其特殊性 (秦麗花,2004)。 由於數學的語言特質,數學學習和語言學習之間有其相似性,數學詞彙、數學言 談之樣式、文字敘述等各種表徵的掌握是學童熟悉數學語言不可或缺的內涵。同 時,數學學習仍有其不同於語言學習的獨特性,因數學語言有特殊的思考方式與 表達形式,因此,學童在學習歷程中,除認識相關的數學概念外,亦須學習特定 的表達形式,認識不同表徵間的關係與意義,方能逐步掌握數學語言,進而達到 理解。 Henney(1980)曾指出運用演算技巧從事數學解題之前,必先具備對問題準 確閱讀之能力。而國內相關的實徵性研究(如翁嘉英,1988;謝毅興,1991)發 現學生解題失敗的原因大多是由於沒有弄清楚題目,甚至忽略對題目的理解,而 只是機械式地針對題目的表面訊息(尤其是關鍵字)進行運算。張景媛(1994) 的研究亦指出在數學學習上,語言可能是形成學生瞭解數學的障礙。陳立倫 (2000)也認為從文字到數字,從意象到抽象,文字題在文字與數學間架起了橋 樑,跨越了兩者的鴻溝,也凸顯了整合兩個能力的困難性。徐建煌(2003)亦建 議研究焦點應聚集在文字解題與轉換的部份,鄭昭明(1996)認為國小學生解數 學文字題的能力比基本計算能力差主要原因是因為從語文式的數學變成形式數 學的過程中涉及許多的轉換。因之,學生在解數學文字題時,不僅要能熟悉計算 的過程,同時也要能閱讀文字題的語意,理解問題的要求及其所提供的條件來解 決問題。此外,相關研究也顯示國小學生的數學理解能力遠落於其運算能力之 後,也就是說,學生可以經過「複製」教師的數學運算規則,在機械式訓練後熟 練數學算則,卻未必理解算則背後的真正意義(李秋華,1997;黃芳玉,2002; Kerslake, 1986)。面對數學語言的特殊性,學生是否能了解數學語言進而達到文 字題之題意理解,此乃本研究動機之二。 當學童學習的範疇從整數跨入分數領域時,分數的多重意義與表徵的多元形

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式造成學童對於分數的學習感到困難(呂玉琴,1991;林碧珍,1990;楊壬孝, 1988;甯自強,1993;劉秋木,1996; Hunting, 1983 )。學童在剛接觸分數概念 時,分數代表一個量;進行加減運算時,分數亦是量的概念;但進入分數乘除法 時,分數表徵時而代表量,時而表示關係,當編者已賦予分數不同的意義時,學 童是否察覺此一改變?然而,無論是將分數視為「部分-整體」的關係、兩數量 相除的「商」、兩數量的相對關係-「比」、兩數量相對關係的數值化-「比值」、 測量(measures)及運算子(operators)等,最重要的都是在表徵「基準量」與 「比較量」兩數量之間的關係。而在探求「基準量」與「比較量」兩數量之間的 關係,牽涉到在日常生活中常見的「基準化」(norming)的概念,即為「參照 量」。而在文字題中,會影響到「基準量」與「比較量」兩數量之間的關係有「參 照量的隱顯」、「單位詞的出現與否及其形式」、「代詞的表現形式」、「比較 型問題中的關係句陳述順序」等,都會影響到學生的判斷與理解。在教科書中不 同題目型態的敘述之下,可能導致學生的理解困難及影響後續的解題運算。因 此,本研究欲探討在不同版本分數教科書中乘除法文字題之題目型態與學生數學 理解的關係,進而提供現場老師與書商之編輯時,布題敘述上之參考。此為研究 動機之三。

第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的

本研究主要目的是透過質性分析,採用內容分析法,結合訪談,以了解學生 在數學文字題之題意理解情況,因此,本研究之研究目的包含以下幾點: 一、分析九年一貫課程國小數學教科書中分數乘除法教材之書寫 表徵之運用情形。

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二、探討九年一貫課程國小數學教科書中分數乘除法不同題型之文字 題與學生數學閱讀理解之關係。 三、綜合本研究之相關發現結果,對國內數學教科書設計、數學閱讀 文本選擇與設計提出相關建議以供參考。

第三節

第三節

第三節

第三節 研究問題

研究問題

研究問題

研究問題

根據研究之目的,提出研究問題如下: 一、九年一貫課程國小數學教科書中分數乘除法教材之書寫表徵運用情形為 何? 二、分析九年一貫課程國小數學教科書中分數乘除法不同題型之文字題與學 生數學題意理解的影響為何? 2-1 國小六年級學生對參照量的隱與顯之分數乘除法文字題,其理解情 形為何? 2-2 國小六年級學生對不同單位出現形式之分數乘除法文字題中,其理 解情形為何? 2-3 國小六年級學生對有無出現運算符號熟悉名詞的分數乘除法文字 題其解情形為何? 2-4 國小六年級學生對不同代詞形式的分數乘除法文字題,其理解情形 為何? 2-5 國小六年級學生對敘述順序不同之比較型分數乘除法文字題,其理 解情形為何?

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第四節

第四節

第四節

第四節

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

壹 壹壹 壹、、、、分數乘除法分數乘除法分數乘除法文字題分數乘除法文字題文字題 文字題 在教科書中,教材的呈現可以分為「圖形表徵」與「文字敘述」。數學文字題 (mathematics word problems),過去通稱為「應用問題」,是指以語文的方式來 描述問題情境的數學問題,提供學生一種運用計算能力於各個情境的機會。本研 究定義的文字題是指數學教科書中分數乘除法文字題的題型,而對象是以市占率 最高之前三個版本(康軒、翰林、南一)中,。本研究將分數乘除法之教材設定在 「文字題之題型」,對學生的數學題意理解之關係。 貳 貳貳 貳、、、、題目型態題目型態題目型態 題目型態 本研究包含五種題目型態的分數乘除法文字題,分別說明如下: (一)參照量的隱顯 在分數「部分-整體」的概念,是一個整體等分後,紀錄其中被指定的部分 與全體的關係,參照量就是指「部分-整體」中的「整體」,在兩量或兩量以上 的關係中,用來做為基準單位「1」的一個參照量。像是「陳媽媽有一塊長方形 的土地,用 4 3 塊地當花園,花園的 5 2 種玫瑰……」這個敘述中,第二句話就是隱 藏了「一塊長方形的土地」這整體參照量,用「 4 3 塊地」這個分量的描述來說明 其與參照量的關係;第三句話則明顯的指出種玫瑰的參照量是「花園的 5 2 」。而 參照量的明確的出現與否,則為本研究所欲探討之重點。 (二)單位的出現形式 「多個單位構成整體」也就是「集聚單位」,是指一個集合體是由數個「1」 所合成,而此集合視為一個整體。若以「一盒餅乾有 24 塊, 4 1 盒有幾塊?」該

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題目視之,就是一種「多個單位構成整體」之布題,題目中要學生去分辨「盒」 與「塊」的關係;而在「1 公升的蘋果汁,每 5 2 公升裝一瓶,可以裝多少瓶」之 布題中,就是「單一單位即為整體」。而在文字題中,單位詞的出現是「單一單 位即為整體」與「多個單位構成整體」與學生題意理解之關係為本研究所欲探討 之重點。 (三)運算符號的熟悉名詞

運算符號的熟悉名詞(famililiar names for operations),即為「關鍵字」。例如 「甲數是 26 15 ,乙數是甲數的 5 4 倍……」,有「倍」字的出現就是「運算符號的熟 悉名詞」,若是「甲數是 26 15 ,乙數是甲數的 5 4 ……」,無「倍」字的出現就是無「運 算符號的熟悉名詞」。因此,本研究中「運算符號的熟悉名詞」定義是指題目中 特有的關鍵字詞。 (四)代詞出現的形式 代詞是指替代先前敘述已經提過的「名詞」、「動詞」或「副詞」,又依照其 代表之意義可以區分為「疑問代詞」、「指示代詞」、「參照量代詞」,如:「誰的」、 「他們的」、「全部的」、「1/5 面牆的」、「剩下的」等之不同形式。 (五)比較型文字題 在比較型文字題中,Mayer(1987)指出「從一已知量數推算另一量數」的 題型主要是由三個句子所構成:陳述句(assignment)、關係句(relation)、及 問句(question)。其中第一句陳述句中是給其中一個量數固定值;第二句關係 句是指兩個量數間的關係;第三句問句則是詢問未知數。而未知數會因其在關係 句中位置的不同而有差異,會形成被比較量未知或參照量未知題型,例如在「河 濱公園中,賞鳥步道長 4 1 1 公里,自行車道是賞鳥步道的 3 1 1 倍,自行車道長多少 公里?」這樣的布題下,表呈現的就是被比較量未知的題型;「河濱公園中,賞

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鳥步道長 4 1 1 公里,賞鳥步道是自行車道的 3 1 1 倍,自行車道長多少公里?」這樣 的布題下,表呈現的就是參照量未知題型。而本研究定義的乘除法文字題比較型 問題是指其在關係句中未知量的陳述順序之不同。 參 參參 參、、、、數學數學數學題意數學題意題意理解題意理解理解理解 數學閱讀理解是指學童在與數學教科書接觸時,能應用其先備知識與早期閱 讀指導中所發展的技能與策略,協助其閱讀前做預測;在閱讀中能夠透過數學文 本中的書寫符號與圖形的表徵系統獲得教科書所欲傳達的內容,同時建構數學文 本的意義,進而達到數學閱讀理解(秦麗花,2004 )。而數學題意理解並不完全 等於閱讀理解,除數學具有其特殊的數學語言性,在一個問題的布題中,要利用 簡短的文字,表達數與量之間的關係,就會牽涉到詞彙的使用(如特殊詞彙與專 門詞彙)、語意結構的呈現(如狀態敘述與關係敘述)、圖形的表現形式及其功能, 都會影響學生對於題目的認識與了解。

第五節

第五節

第五節

第五節 研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

壹 壹壹 壹、、、、研究範圍研究範圍研究範圍 研究範圍 本研究探討國小數學教科書分數乘除法文字題與學生題意理解之關係,對國 小數學教科書分數乘除法教材進行內容分析,教材上的研究對象為九十七學年度 國小數學審定本教科書中之分數乘除法教材。訪談的對象以國小六年級學生為研 究對象。 在研究範圍部分,選取市場佔有率較高的三個版本,包括康軒版(康軒文教 事業)、南一版(南一書局企業公司)、翰林版(翰林出版事業股份有限公司),

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針對每個版本的課本與習作進行分數乘除法文字題分數乘除法內容分析,設計研 究架構以進行訪談。 貳 貳貳 貳、、、、研究限制研究限制研究限制 研究限制 本研究執行的過程中發生同時事件,爆發 H1N1 流感,其中有一研究對象疑 似感染但並非確診,然而基於研究的一致性,仍然進行訪談,但該研究對象有一 兩次的精神表現較為不佳,影響的作答之反應。此乃本研究之限制。 此外,在訪談的過程中,為避免受訪者因時間過長而導致疲累,每次訪談的 時間以不超過四十分鐘為原則,而可能影響學生對題目理解的因素相當多,且題 目的型態很多種類,但又受限於訪談的題數不能過多,因此面臨一些取捨上的困 難。在訪談結果之分析上為求題型間之比較,但卻又減少了部分的題型與敘述, 此亦為本研究之限制。

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第二章

第二章

第二章

第二章

文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本研究以探討與比較數學教科書中,分數乘除法之表徵與學生題意理解為 題,並據以提出具體建議,以供各版本編輯教科書、教師選擇教科書之參考。 本章分為四節,第一節析論分數乘除法文字題之語意結構,第二節說明乘法 問題的結構分析及其相關研究,第三節說明數學文字題之解題歷程及其相關研 究,第四節說明數學教科書表徵與數學題意理解之關聯。

第一節

第一節

第一節

第一節

分數乘除法文字題之語意結構

分數乘除法文字題之語意結構

分數乘除法文字題之語意結構

分數乘除法文字題之語意結構

數學是一種高度複雜的符號語言,是人類用以溝通、解決問題、創作藝術作品和 科技工具的一種媒介。因為數學語言有其特別的思考方式與表達形式,學生在學 習歷程中經歷了另一種溝通形式,也產生了不同於其他學習領域的困難。由於數 學有具有獨特的語彙(如符號、數字、圖示等),也有其約定的語法規則,以傳達 某種特定的語意,其具有語言的各項特質。因此,學生在學習上除了認識相關的 數學概念外,也必須掌握這些特質、特定的表達形式,並理解不同表徵間的關係 與意義,方能對數學有深入的理解。 以下先說明數學文字題的意義與類型,其次介紹數學文字題之語意結構,最 後,整理國內外之相關研究。 壹 壹壹 壹、、、、數學文字題之意義與類型數學文字題之意義與類型數學文字題之意義與類型 數學文字題之意義與類型 一、數學文字題之意義 數學文字題也稱之為「數學應用問題」,數學文字題之異於算術列式題,在

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於數學文字題是以語言文字描述一個數學題,用以表示學習者在學會某些計算能 力之後,能利用此能力解決日常生活所遇見的問題。數學文字題是以語文的方式 來描述問題情境的數學問題,其中包括了語文知識與計算技巧,文字題也是用來 考察兒童運用推理思考、解決日常生活中數量問題的能力。 二、數學文字題的類型 文字題問題本身是一種特殊的文體,學生在解題時須先整理題意,從語文理 解轉換為數學符號,並依照題意列式,然後再進行計算過程,而困難之處就是按 照題意列式(鄭人豪,2004)。綜合相關文獻 (蔣治邦,1994; Marshall, Pribe, & Smith, 1987; Riley, Greeno & Heller, 1983)可將數學文字題分為三類: (一) 依 「情境」分類、(二)依「運算」分類、(三)依「語意結構」分類,而Riley等人 (1983) 將語意結構又細分為改變類(change)、合併類(combine)、和比較類(compare)三 種類型。其中比較類問題則指兩個數量進行大小(多少)或關係的比較,依其語 意關係分為「尋求二個數量之差異」或是「從一已知數量推算另一數量」。又可 依其未知數的性質,又可分為差異量未知、被比較量未知與參照量未知等三類題 型。 情境是依問題陳述的情境區分,運算是依照運算符號或解題步驟來決定問題 之類型,其中以「語意結構」分類最能夠了解數學文字題的結構。Lewis 和 Mayer (1987)將被比較量未知的題型稱為「一致性語言問題」(consistent language

problem, CL problem);參照量未知的題型稱為「不一致性語言問題」(inconsistent

language problem, IL problem)。根據文獻(翁嘉英,1988;葉雪梅,1990;謝毅

興,1991)發現「比較」的問題最難。進一步的研究指出,參照量未知題(不一 致性語言問題)最難(翁嘉英,1988;謝毅興,1991;Lewis & Mayer,1987)。

Marshall等(1987)從「改變類問題」、「合併類問題」與「比較類問題」等三

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「比較類問題」最為困難。因此,以實用性觀點視之,研究比較類問題可以協助 學生之數學發展。 貳 貳貳 貳、、、、數學文字題比較類型在數學學習上之困境數學文字題比較類型在數學學習上之困境數學文字題比較類型在數學學習上之困境 數學文字題比較類型在數學學習上之困境 依言語性質和運算符號的不同,Lewis 與Mayer(1987)將參照量未知題型 與被比較量未知題型區分成一致性語言問題(被比較量未知題型)和不一致性語 言問題(參照量未知題型);其題型則主要是由三個句子所構成:陳述句 (assignment)、關係句(relation)、及問句(question)(Mayer, 1987)。其中 一致性語言問題是指未知數在關係句中的詞性是主詞, 陳述句 關係句 問句 如:甲是10,乙是甲的 5 2 ,問乙是多少? 主詞 未知數 不一致性語言問題是指未知數在關係句中的詞性是受詞, 陳述句 關係句 問句 如:甲是10,甲是乙的 5 2 ,問乙是多少? 受詞 未知數 「一致性語言問題」與「不一致性語言問題」,可從其問題句子的關係表徵 看出,未知數在關係句中的詞性影響其關係表徵進而影響其運算,乘除概念的數 學文字比較題中,一致性語言問題所採用運算符號是「×」乘法,不一致性語言 問題所採用運算符號會是「÷」除法(陳玟樺,2007)。 從國小數學科各版本課本及習作之數學文字比較題中發現,比較量的量數 已從兩個提升到三個。兩個量數的數學文字比較題主要是由三個句子所構成:陳 述句、關係句、及問句;而三個量數的數學文字比較題則會在題目中會產生兩個

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關係句,形成四個句子:陳述句、關係句A、關係句B 及問句。其中三個量數的 不一致性語言數學文字比較題會再依照未知數是關係句中的位置及關係,分為一 次不一致性語言問題題型、二次不一致性語言問題題型兩種類型。 過去相關研究多以加減運算為主,然而國小六年級數學科教學已進入到乘 法、除法、分數、小數及倍數等數學概念,而這些概念也經常以文字比較題的形 式出現。如下所示: 如:哥哥有540元,弟弟是哥哥的6.5倍,請問弟弟有多少元? 如:哥哥有540元,哥哥是弟弟的0.54倍,請問弟弟有多少元? 如:哥哥有540元,弟弟是哥哥的 7 3 ,請問弟弟有多少元? 加減概念的數學文字比較題與乘除概念的數學文字比較題不同的是:加減概 念的數學文字比較題中,一致性語言問題所採用運算符號會與題目中的關鍵字相 符;不一致性語言問題所採用運算符號會與題目中的關鍵字不相符。加減概念的 一致性語言題型、不一致性語言數學文字比較題的關係句中有甲「比」乙「多」 或甲「比」乙「少」的關鍵字作為運算符號的判斷。乘除概念的一致性語言題型、 不一致性語言數學文字比較題的關係句中則不一定有甲「是」乙「倍」關鍵字作 為運算符號的判斷(陳玟樺,2007),如下例題所示:「哥哥有540元,弟弟是哥 哥的 7 3 ,請問弟弟有多少元?」,經由題目之敘述可知未知數是弟弟,而弟弟在 關係句中的詞性是主詞。且可由未知數在關係句與問句的詞性(主詞)相同,判斷 此例題為一致性語言題型,關係形式不需要轉換,其表徵為 □=560 × 7 3 。再如: 「哥哥有540元,哥哥是弟弟的 7 3 ,請問弟弟有多少元?」經由題目之敘述可知 未知數是弟弟,但是在這題型下,弟弟在關係句中的詞性是受詞。因此,可由未 知數在關係句與問句的詞性不相同,判斷此例題為不一致性語言題型,關係形式

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需要轉換,即是將「哥哥是弟弟的 7 3 」轉換成「弟弟是哥哥的 3 7 」,二個量數關 係之表徵為 □=540÷ 7 3 。 上述兩例題,名詞、數字皆相同,但是在文字的敘述順序上稍做調整,改變 其語意,變使得解題的改變。而三個量數的數學文字比較題的題型會依照其量數 增加、關係句增加、語意的複雜性增加,而造成解題的困難度增高,而在分數乘 除運算的數學文字比較題又因為關係句中「倍」字是可有可無,讓習慣用關鍵字 法解題的學生作為理解題目之參考,此時,學生便需依據未知數在關係句的位置 來判斷其關係表徵及進行運算,對其解題的困難度亦會隨之增高,舉例說明如下 例題:「哥哥有540元,哥哥是弟弟的 7 3 ,姐姐的錢是弟弟的 4 5 ,請問姐姐有多少 元?」,在這題中,學生解題時先要求出弟弟的值之後才能求出姐姐的值。經由 題目之敘述可知未知數是弟弟,弟弟在關係句A 中的詞性是受詞。可由「哥哥有 540元,哥哥是弟弟的 7 3 」句中發現未知數(弟弟)在關係句與問句的詞性不相 同,判斷此兩句為不一致性語言題型。因此,為求弟弟之值,須先將關係A 句中 哥哥與弟弟的關係轉換,即是將「哥哥是弟弟的 7 3 」轉換成「弟弟是哥哥的 7 3 」, 二個量數關係之表徵為弟弟=540÷ 7 3 ,算式變成弟弟=540× 3 7 。由此算式可知, 還會牽涉到倒置的問題,其中運算符號從 ÷(除法)變成×(乘法),分數由 7 3 變 成 3 7 。在第二階段解題中,「姐姐的錢是弟弟的 4 5 ,請問姐姐有多少元?」在此 關係B 句中未知數的詞性上,未知數是姐姐,姐姐在關係句中的詞性是主詞。因 此,可由未知數在關係句與問句的詞性相同,判斷此兩句為一致性語言題型,運 算符號不需要轉換,二個量數關係之表徵為姐姐的錢=弟弟× 4 5 。 在教科書中還可以看到許多不同的題型,在關係句中,主詞的位子有所改變

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時會影響到參照量的改變,則導致運算方式的不同,由不同題型可發現,學生解 題時,在語意上皆需要分別將關係句中的未知數做出正確的表徵,此外在不一致 性語言的題型中,數學運算上會牽涉到分數倒置的計算問題,然後需求出正確的 答案,才能進行下一步的解題,其解題也隨之複雜性,困難度亦會隨之增高。 根據相關的研究指出,六年級數學文字比較類問題會因為未知數在關係句中 的位置以及量數的數量,而衍生出不同數學文字比較類類型,此外在分數概念的 乘除運算中,因為關係句中沒有「比……多」或是「比……少」的關鍵字作為學 生判斷運算符號的參考或判斷,且進行分數計算時,會因乘除符號的互換,分數 必須倒置,其解題困難度也會增加,所以造成學生解題成功率降低(陳玟樺, 2007)。 參 參參 參、、、、數學文字題中影響題意理解之因素數學文字題中影響題意理解之因素數學文字題中影響題意理解之因素 數學文字題中影響題意理解之因素 一、單位量的意義 在數概念的發展當中,單位(unit)的概念扮演著重要的角色,而測量的單 位與單位量的大小對於理解數的關係和運算都極為重要。歐基里德(Euclid)曾 提出「所謂的『單位』是指存有而被稱為『一』的事物,而『數』則是由單位所 構成的『多數』」(甯自強,1998)。這個存有而被稱為「一」的事物它所代表 的量就是「單位量」。 Behr 和 Post(1992)的研究更特別強調「單位型態」與「集聚單位」的重 要性,認為這是連結整數與有理數的關鍵。兒童在形成分數概念時,必須先形成 相當有彈性或變通性的單位概念(劉秋木,1996)。當單一物體被當成一個單位 時,此種單位稱為單項單位(singleton units);而把數個物體的集合視為一個單 位時,則此種單位稱為集聚單位(composite units)(劉祥通,2004)。

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二、單位化與基準化 Lamon(1994)提出了單位化(unitizing)和基準化(norming)的觀點,可以 幫助老師分析學生的解題想法。單位化就是建立逐漸複雜的單位結構歷程,是一 種發展更複雜推理的重要機制結構。簡單說,單位化能力就是將單位集聚化的能 力,例如,ㄧ位學生能以10為單位,做每10個一數,也就是把集聚單位「10」單 位化了(劉祥通,2004)基準化是採取一些單位的架構以概念化其他的情境(Lamon, 1994)。具體而言,基準化的歷程通常是先形成一個集聚單位,而後再以此單位 重新詮釋新的數量情境。 Lamon(1994)也指出,參照單位(reference unit)觀念的建立,與利用參 照單位來重新詮釋(reinterpret)新的數量關係,似乎是發展複雜數學概念的關鍵。 這裡所謂的「參照單位」就是我們所慣稱的「基準量」,而等待被重新詮釋的數 量就是我們所慣稱的「比較量」(何鳳珠,2004)。當我們將基準量視為「1 個 新單位」時,以此新單位來重新詮釋比較量之後所得到的單位數(即新單位被重 複計數的次數),可以運用「比較量÷ 基準量=比值(單位數)」的方式來求出, 此時兩者的比值就代表了重新詮釋後的新數量關係。 肆 肆肆 肆、、、、國內外相關研究國內外相關研究國內外相關研究 國內外相關研究 國小學童在理解文字題時會發生錯誤,可能是因為在利用語文知識時,無法 很快的對應到其所擁有之概念性知識的架構中。解題者必須將問題中所陳述的句 子,轉譯成為個人能理解的內在表徵,在轉譯的過程中需要了解語句,也就是要 了解問題情境中語句間的關係結構與意義,知道問題中的已知條件與解題目標。 過去的研究中指出數學問題理解一直是解題的關鍵,也是學生們較感困難的地 方。而解題的第一步驟就是要了解語句,Mayer(1987)認為問題轉譯階段對學生而 言可能是十分困難的,有些研究也指出大多數的學生在解題中發生的困難有很多

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是源自於對問題的不了解。而呂玉琴(1991)指出影響兒童分數概念表現的因素 有試題因素與學生因素。試題使用的語言對學童在分數概念的學習影響很大,因 語言的不瞭解容易產生錯誤。此外, Kerslake(1986)曾提出學生在數線上標出 錯誤的分數是受語言敘述順序的影響;再者, Hunting & Sharply(1988)對於 兒童在處理離散量與連續量的 2 1 、 3 1 、 4 1 的認知結構時所犯的錯誤原因可能是因 對語言不瞭解或尚未發展相等的觀念,而在解題時缺乏預期的計劃或檢驗的策 略。 而根據 Marshall 等(1987)研究發現,對學生而言,在數學文字題的語意結 構中「比較類問題」最為困難。因為比較類問題是指兩個量數進行大小或關係的 比較,又可依其語意關係分為「尋求二個量數之差異」或「從一已知量數推算另 一量數」。Nesher (1988)、Gree (1987)與 Riley 等(1983)認為,尋求二個量數之 差異不需要處理抽象的相對關係詞(即是甲比乙多或甲比乙少),所以較為簡單; 相較之下,從一已知量數推算另一量數的題型較為困難。Bribara 和 Larkin 研究 中發現「比較類」文字題對學生而言,是較為困難的題型,而問題中的「關係句」 的敘述可能就是學生對這類問題形成表徵困難的主因(引自陳玟樺,2007)。而在 Mayer (1992)及 Riley (1983)等人的研究中更指出比較題的應用問題較其他形式的 應用問題更為困難。此外,比較題中的一致性效果(Consistency Effect)更是正所關 注的現象。 除了根據文字題的語意結構之外,也會受到情境與數系的影響,如邱裕淵 (2000)探討國小六年級學生在部份/全體、倍數比較、倍數改變、比率各種情 境模式及小數、分數不同數系下的乘法文字題之解題表現,研究發現,就小數而 言,學生在部份/全體的解題表現顯著低於其它三種類型的題目,就分數而言, 學生在倍數改變題目的解題表現顯著低於比率和倍數比較類型的題目。林原宏 (1994)會受到題目中關鍵字之影響,其研究中發現國小高年級學生在處理乘除

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法數學文字題問題的列式上,會以預期結果量作為選擇運算符號的依據,同時發 現學生若預期結果會變大就使用乘法,若預期結果變小就用除法;學生最常使用 關鍵字策略來決定某一數值是被乘數或被除數,學生看到某些的單位關鍵字,不 考慮題目中語意結構因素,即把附此單位的數字當作被除數或被乘數,依照數學 文字題題目末尾是問「多少元?」、「多少公斤?」,學生即把單位「元」、「公 斤」的數字當作被除數或被乘數然後進行列式。 在乘法文字題解題的教學中,教師通常只是把問題讀一遍,而忽略了檢驗兒 童是否了解語句的意義。在相關的研究中著重於乘除法語意結構,然而將重點放 在分數的乘除法上之相關研究卻很少,因此本研究有其必要性與重要性。

第二節

第二節

第二節

第二節

乘法問題的結構分析及其相關研究

乘法問題的結構分析及其相關研究

乘法問題的結構分析及其相關研究

乘法問題的結構分析及其相關研究

四則運算包含加、減、乘、除四部分,在一般人的直觀看法,以及傳統的數 學教育課程中,皆認為加減法為乘除法的前身或基礎(林慧麗,1991),因而教學 中介紹乘除概念時,皆以加減法的操作導入。從學習心理及教學方面言,這是符 合學理的基礎。但從學習遷移的角度來看,若學生太過於執著固有的乘除概念, 無法將舊有的基模(schema)擴大,則產生若干乘除運算的迷思概念。例如「連加」 是乘的基礎,以致於形成乘法會使結果變大,除法會使結果變小等概念。當乘除 運算的數字皆為正整數,且被除數大於除數時,皆符合上述之學生原始的乘除概 念;但當數值有所不同時(如分數、小數範圍),則學生容易產生明顯的錯誤(Bell,

Fischbein, & Greer, 1984)。

本節首先說明乘法問題的結構分析,其次介紹國內外乘除法結構之相關研究 如下。

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壹 壹壹 壹、、、、乘法問題的結構分析乘法問題的結構分析乘法問題的結構分析 乘法問題的結構分析 從數學的觀點視之,正整數和有理數的乘除法被視為是簡單的,然而在這簡 單的背後透露出心理上的複雜性,尤其是不從計算觀點而是考慮情境模式時,複 雜性更為明顯。因此有必要探討乘法的結構問題,以瞭解兒童對乘法的認知觀 點。歷年來國外學者分析乘法的結構(Bell et al.,1988; Nesher, 1988; Schwartz, 1988;

Schmidt & Weiser, 1995; Usiskin & Bell, 1983; Vergnaud, 1988),在分類依據和方式

有所差異,而產生不同的乘法問題結構模式,Vergnaud (1988)從向量空間和向度

(dimension)分析的觀點,進行乘法結構分析;Usiskin 和 Bell (1983)以乘法應用的

觀點對乘除法問題進行分析與意義分類。Gree (1987)考慮數值型態的乘除法問題 進行分析,且其又依情境模式分類乘除法問題;Schwartz (1988)的乘法結構分析 是從內涵量(intensive measures)和外延量(extensive measures)考慮;Nesher (1988) 從語意的觀點對乘除法問題進行分析,解析情境種類的命題結構;Bell 和 Greer (1984)將乘法問題概括地分成對稱和不對稱兩種類型;Schmidt 和 Weiser (1995) 採用語意結構分類。在這些不同的分析結構中,有助於本研究對題目類型之區分。 貳 貳貳 貳、、、、乘除法結構之相關研究乘除法結構之相關研究乘除法結構之相關研究 乘除法結構之相關研究 以問題本質而言,乘除法較加減法為複雜,因為乘除並非很單純由「連加法」 或「連減法」的關係去解決即可。有關加減乘除的研究範圍可分為兩大方面(林 碧珍,1991;翁嘉英,1988):一、結構變項取向(structural variable approach ): 即探討影響問題難度的變項,例如,乘除法的類型、未知數的位置、數值型態和 大小等。二、轉換取向(translation approach ) 探討將文字問題轉換成相對數學式 子之過程及難易因素。

而乘除法問題較加減法較為難理解的原因受到量的轉變之影響,國外學者

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對 I╳E 型的乘法之概念,並利用畫圖的表現,了解其表徵,其研究發現學生最 主要困難在於 I 和 E 兩個量關係的了解。而 Gree (1987)亦指出,乘除法和加減法 相較之下,乘除法較為困難,其主要原因在於加減法是單一向度(unidimension) 的問題,而乘除法的相度則較為複雜。國內學者甯自強(1993)指出,乘除法本質 上是一種單位量的轉換,乘法是把「高階單位量表示的量」化為「低階單位量表 示的量」的單位量轉化活動,而包含除則相反;至於等分除則為「新高階單位量 未知」的單位量轉換活動。 此外在乘除法研究中也可以根據解題與擬題的角度視之,相關學者(Bell et al, 1984; Gree, 1987 ; Hart, 1981)指出,若以「解題」觀點來看,就是「給問題,立算 式」,即要求兒童針對文字問題,選擇適當算式。因為現代社會中,計算機、電 腦的使用頻繁,選擇正確運算符號、策略,遠比計算能力重要。但大部分亦要求 學童列出計算過程,或利用晤談來進行。若以「給算式,編故事題」的觀點視之, 此乃將算式的符號表徵轉換成文字情境的表徵,由表徵的轉換亦可探討學生對乘 除概念的理解。 除了量的轉變與解題、擬題的角度觀點,亦可以從「認知結構」的角度視之, 如國內學者林碧珍(1991)以四種乘除的架構來探討五、六年級學生的認知結構, 分析各種架構的難易度,發現學生對於乘除法應用問題的瞭解由易而難為量數同 構型、叉積型、比較型、多重比例型。比較型中由易而難為比例尺問題、倍數問 題、折扣問題;叉積型是面積問題、組合問題、陣列問題。由其研究中可以得知 學生對乘除法的解題策略和認知結構,但其研究中僅針對乘除類型來探討,並未 涉及數值型態的因素。由前述的研究取向中,數值型態亦為影響乘除表現之一因 素,因此,若以數值型態因素,如分數、小數來探討,定能提供乘除概念的諸多 訊息。

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第三節

第三節

第三節

第三節

數學文字題之解題歷程及其相關研究

數學文字題之解題歷程及其相關研究

數學文字題之解題歷程及其相關研究

數學文字題之解題歷程及其相關研究

解題的計畫與歷程涉及到題意的理解,要先能掌握題意方能了解問題的核心 所在,而在分數乘除法文字題中,會受到文字題的敘述方式有所不同及乘法特殊 的結構關係,而影響了解題者的理解。以下先說明文字題的解題歷程,其次介紹 其相關之研究。 壹 壹壹 壹、、、、數學文字題之解題歷程數學文字題之解題歷程數學文字題之解題歷程 數學文字題之解題歷程 自 Dewey 提出解題的六階段論後,數學解題歷程的研究受許多學者重視, Polya 於1945 年提出了數學解題的四個階段模式,而後不斷有人繼續修正,提出 新的解題歷程模式。Polya (1945) 在其所著<怎樣解題>中,歸納出解題過程之四 個步驟:1.瞭解問題、2.擬定計劃、3.實行計劃、4. 回顧解答;其次,Lester (1985) 修定Polya 的解題歷程模式,加入三個後設認知成分,提出「認知-後設認知」 的模式;而Scheonfeld (1985)認為研究數學解題要考慮四個變項,1.資源、2.啟 發、3.控制、4.信念系統。他的解題歷程模式有六個階段:1.讀題、2.分析、3. 探索、4.計畫、5.執行、6.驗證。 Gagne (1993)指出解題是以學習者的先備知識為組合基礎的創造性活動,也就 是將學習者先前習得的原理、原則加以組合歸納,培養出解題能力,完成問題解 決。根據 Mayer (林清山譯,1997),認為解題時要能熟悉數學的基本運算規則, 還須具備有「閱讀的流暢性」,亦即須要對文字脈絡進行解碼、字義觸接、語句 整合,理解題意後,方能形成問題模式或情境模式的問題脈絡,再藉由轉譯形成 數學運算,才有解題執行的可能。 Mayer (1992)指出理解的程序分成三個步驟,第一個步驟是建構一個文字基 礎,亦即解題者將每一個敘述轉為內在表徵並整合所有的訊息成為問題的內在表

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徵而建構出一個語意的網絡表徵,第二步驟為建構一個特定的數學表徵,在這階 段中成功的解題者將原有以命題為基礎的表徵轉換為以物件為基礎的表徵,反 之,失敗的解題者僅僅只是去修改或刪除一些原有以命題為基礎的表徵。最後一 個階段為建構一個解題計畫,亦即解題者依據上一階段的訊息來發展解題計畫, 成更的解題者保有較多的訊息,因此其不僅可以確保解題計畫的正確性,更可以 監控整個解題過程。 若從認知心理學的觀點探討解題歷程,Mayer (1992)將解題歷程分為問題表 徵(problem representation)及問題解決(problem solving)兩個步驟,每個步驟又包含 二個子步驟,其中包括所對應的知識類型:

一、問題的表徵(problem representation):指解題者將圖案或文字轉變成心理表徵。 (一)問題轉譯(problem representation):

指解題時,轉譯問題中的個別敘述句成為內在的心智表徵,然後再組織有關 的訊息成為一個與問題情境一致的心智表徵。在此階段,解題者必須具備語言知 識(linguistic knowledge)及語意知識(semantic knowledge),方能將題目的語句內化 為個人能理解的內在符號或語句。 (二)問題整合(problem integration) : 指解題者須將轉譯出來的所有訊息整合起來,連貫成有組織的知識,在這個 階段解題者需具有基模知識(schematic knowledge),以及須具有分辨問題類型的能 力。而轉譯和整合階段在表徵的過程中都非常重要,因為只是了解問題中的個別 敘述,並不能保證可以整合訊息而能正確表徵問題(何縕琪、林清山,1994)。 二、問題解決:指從問題心理表徵進行到最後答案的過程。

(一)解題計畫與監控(solution planning and monitoring):

解題者運用策略知識(strategic knowledge)設計和監控解題的計畫,能夠將問 題的目標分成幾個次要的子目標,然後逐步達成,並在達成的過程中意識到自己

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的解題步驟過程。 (二)解題執行(solution execution): 解題者利用程序性的知識(procedural knowledge)運算出題目的答案,操作數 學規則以運算的程序求得解答。 由綜合上述可得知,學生在解數學文字題時可能需要四個解題歷程,而不同 的解題歷程則需要不同的解題知識及解題能力,若是欠缺任何一種所需的解題知 識或解題能力,學生就可能無法成功的解題(陳玟樺,2007)。而在分數數學乘除 文字比較題的解題歷程中,亦需要此四個解題歷程。 將Mayer (1992)的解題理論與其他理論相比較,在認知上的解題成分較完 整,依據Mayer 的解題理論,對乘法文字題的解題知識界定於下: (一) 語文及事實知識:認識及讀出題目中的字詞,並辨認問題的已知條件和解 題目標。在文字題比較類型中,Mayer和Lewis (1987)認為解題者對於問題有一個 特定順序的參照對象,而解題者又偏好「一致性語言」的問題順序,所以當面臨 「非一致語言」的問題時解題者需要重整其所閱讀之關係句子。 (二) 基模知識:依問題結構分類,本研究特指乘、除的分類,以具體物、圖畫、 符號表徵問題的能力,如以算式填充題記錄問題。 在文字題理解與解題上包含語文理解、情境描寫的理解,找出方程式能力及 計算能力等多種不同的技能(Stern,1993)。Hegarty、Mayer和Green (1992)曾以大學 生為對象,比較成功解題與不成功解題者在數學文字題解題歷程的表現。不成功 的解題者在面對文字題時常從問題中選擇數字和關鍵字著手,就問題中所涉入的 數字和關係詞加以建構,直接就問題陳述的關鍵字命題,以產生答案,並未對問 題的情境加以建構,稱之為「直接轉譯策略」。而成功的解題者,則嘗試將問題 的情境所描述的內容轉譯建構成問題情境所記述的心理模式(mental model),以作 為解題計畫之依據,此種程序稱為「問題模式策略」。不成功的解題者在解題時

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偏愛使用「直接轉譯策略」,其採用「運算符號的熟悉名詞」的策略,抓取數字, 計算在先,思考在後(Stigler, Lee, & Stevenson,1990),相對的成功的解題者,則是 偏愛「問題模式策略」。Hegarty等人(1995)提出數學文字題理解歷程模式如圖 2-3-1所示,解題者依據題目內容閱讀,引申出特定的數學表徵,發展出解題計 畫。 圖2-3-1數學文字題理解歷程模式 資料來源:引自古明峰(1998,頁70) 綜合上述,成功的解題者須具有理解題目內容、了解數學語詞概念之能力, 並 依據問題的基模辨識相同、相異或類似題,選擇合適的程序及可用的資料將問題 表徵化,以求得解決。 貳 貳貳 貳、、、、數學題意理解錯誤的原因數學題意理解錯誤的原因數學題意理解錯誤的原因 數學題意理解錯誤的原因 要成功的解一道數學題必須包含許多步驟,若以Mayer (1992)所提出的問題 表徵數學解題歷程來看,從語言轉譯、數學概念、策略的選用、計算的執行等均 是解題成功與否的關鍵。鄧少林和蔣治邦(1994)表示,雖然學生很早就擁有加減 閱讀句子 建構/根據新的信息修改語意網絡 發展解題計畫 執行解題計畫 選擇數字和 關鍵字 建構/根據新的信息 修改問題模式

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計算能力,加減文字題卻是數學教育的一大難題。部分學生往往會放棄對問題情 境的了解,只是機械性針對問題表面訊息進行運算。推究其原因可能是題目語意 的問題、使用運算符號的熟悉名詞、就有的錯誤概念等,說明如下: 一、題目語意的影響 學生有時因對題目中的日常用語似懂非懂,不夠了解,而導致無法正確解 題,這一點常常會被教師所忽略。事實上,問題所使用的語句,往往會影響學生 對題意理解及解題策略的選擇(翁嘉英,1988;謝毅興,1991)。如果能將題目的 語句加以改寫使題意更為清楚,便可提高解題的正確率(Carpenter & Moser,1984)。此外,Cummins (1991)也強調語意陳述方式的重要性,他以小學生 為研究對象,用結合問題為題材,將問題陳述分為兩個版本,一個是題目簡單扼 要的標準版(例:小華和小明共有9顆糖果,小華有3顆,問小明有多少顆糖果?), 另一個是將題目改寫為更清楚的改寫版(例:小華和小明共有9顆糖果,其中小華 有3顆,剩下為小明所有,問小明有多少顆糖果?),要求學生以圖式表徵呈現答 案,研究結果顯示,改寫版的題目陳述比較清楚,學生表徵結果的正確率比較高。 換言之,即使學生有足夠的知識尋求解答,但是若對於題目缺乏真正了解,仍會 導致演算過程失敗。 二、部分-整體之語意基模影響 當解題者將問題加以轉譯後,便需要使用相關的數學知識基模來將問題加以 整合。Schoenfeld (1985)指出,與生手相較下,專家更具有較有效、複雜的知識 基模,所以叫生手能正確表徵問題。國內相關研究(張景媛,1994;蘇慧娟,1998) 指出,學生會因學習中產生不當的基模或是缺乏某些數學知識基模,而使解題產 生錯誤。依據Rilry等人(1983)的看法,一個有能力的解題者,應具備表徵問題關

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係的語意基模,特別是「部分-整體」的關係知識。如果解題者缺乏此知識,會 間接影響解題技巧與問題的表徵。「部分-整體」語意基模表徵的意義在於了解 數字間的相互關係,包括交換、結合和互補關係的理解,是理解數學概念的核心。 若能習得此基模便能增加學生問題表徵的能力,對於改善解題的技巧有所助益 (古明峰,1997)。 三、運算符號的熟悉名詞之探討 為了幫助學生解決數學文字題,至今發展出許多策略,包括畫圖、用數學語 句改寫問題、將問題分成多個小部分以減低複雜程度、問題的結構化與運算符號 的熟悉名詞策略等。在使用策略方面,張勝和(1995)、張景媛(1994)、Matz (1982) 的研究均發現,學生會使用不正當的外推法,將學過適用於某些情況的解題規則 推廣應用於不同的情況,而導致錯誤的形成。在眾多的策略中以運算符號的熟悉 名詞最受爭議,因為它並不是一個適用於任何類似題目的通則(周台傑、陳麗玲, 1995)。根據楊美伶和蔣治邦(1992)對國小數學教材的分析,數學課本與習作分 別有百分之七十三和百分之八十三的題目適用於運算符號的熟悉名詞之策略,當 學生遇到文字題且不知該採用哪種運算時,就使用運算符號的熟悉名詞策略解 題,例如:題目中有「共」就用加法,有「剩下」就用減法。因此學生若只是依 賴運算符號的熟悉名詞來解題,而未能掌握整個情境,學生可能會選擇錯誤的運 算方式;或運算方是正確但是卻是因為選擇錯誤的數字進行運算。再者,在解決 多步驟的文字題時,因為學生需要更多的問題整合,導致產生理解題意的困難, 所以學生可能會依賴運算符號的熟悉名詞做出一種算則,而將整個問題是為單一 步驟的問題解決(Sherrill,1983)。

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四、錯誤概念的使用 張景媛(1994)認為數學文字題不單只是計算的能力,還涉及學生的概念理解 能力。學生的學習以活動為主,由活動產生經驗進而累積經驗形成概念,並提升 概念層次的發展。呂溪木(1983)指出,學生之所以使用錯誤的概念來解決問題, 有可能是學生從日常生活經驗中所習的,或源自於學生對教師機械式教學的一知 半解。Mayer (1992)曾就四個階段來分析國中學生做數學文字題的錯誤概念,發 現有四種知識的錯誤運用:第一種是語言知識的錯誤運用,例如對運算符號的熟 悉名詞的不了解、代名詞的用法不清楚、面對較長的題目時常不知重點所在、對 於題意無法同時記住許多條件而無餘力思考彼此間的關係等;第二種就是基模知 識的錯誤概念,例如,憑直覺對運算符號的熟悉名詞做反應,而使用了錯誤的基 模知識;第三種是策略知識的錯誤概念,例如不了解已知條件和未知條件的關 係、思考無法前後連貫等;第四種為程序性知識的錯誤概念,例如解方程式時產 生一向的錯誤。學生學習的結果除了顯示教學事件的成功與否外,也提供學習失 敗時應如何處理訊息(張景媛,1994)。 參 參參 參、、、、閱讀理解與數學解題之相關研究閱讀理解與數學解題之相關研究閱讀理解與數學解題之相關研究 閱讀理解與數學解題之相關研究 從文獻閱讀可以發現,現有的研究多是從問題的閱讀理解與數學解題能力的 相關性,發現數學問題多以文字形式呈現,學生在解題時必須從題目中題目相關 的訊息形成問題表徵,若解題者對文字題中的句子無法理解或有錯誤的理解時, 就會造成解題的困難。Mayer 綜合多個研究的結果,指出問題轉譯是數學解題的 主要困難來源(林清山,1997),因為缺乏語言與事實的知識,無法順利轉譯問題, 就無法擬定適當的解題計畫與策略,也就更無法獲得正確的結果。 近來文字題的研究,開始從數學表面結構研究轉變到問題的語意結構研究之 趨勢,這些研究如:語意經驗、語意結構、語意陳述等語文知識對問題難度的影

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響,或在解題時所使用的策略知識及錯誤類型之研究(Lewis, 1987)等。這些研究 取向建立在兩個假設前提上:第一,在文字題解題時,雖然使用相同的數學運算 式子,但隱藏在問題結構的敘述可能是不同的概念網絡語詞。第二,在解題時, 解題者須將問題的概念網絡建構成為正確內在表徵,才能有效成功的解題(徐建 煌,2003)。 國內外學者針對「理解題意」認為學生是否「具有理解文字題的能力」與學 生本身先前具備的知識及應用此之事的處理技巧之內在因素有關,也認為語言與 基模知識也是影響學生理解文字題的因素。如 Elawar 研究低數學成就學生的數 學學習,發現要使低數學成就學生的解題能力有所進步,必須先改善學生的語文 能力(引自徐建煌,2003)。古明峰(1999)也認為兒童未能成功解題是因為解題者 缺乏有關數學符號或程序性方面的知識,其次是解題者對有關情境中訊息知識不 能有效的從經驗中觸接,此原因在於解題者無法把握問題的語意,就無法從問題 的語意陳述中映射到基模知識。

第四節

第四節

第四節

第四節

分數表徵及其在乘除法學習之意涵

分數表徵及其在乘除法學習之意涵

分數表徵及其在乘除法學習之意涵

分數表徵及其在乘除法學習之意涵

國小數學領域中,分數向來是較難處理的教材,原因在於分數的學習需要將 具體操作轉變為抽象的思維,因為學童難以在現實世界中透過具體化切割方式加 以呈現分數的概念。本節首先介紹數學表徵之意義,其次說明表徵在乘除法學習 之意涵,最後在藉由教科書中的圖形表徵與學生題意理解的關係加以探究。 壹 壹壹 壹、、、、數學表徵的意義數學表徵的意義數學表徵的意義 數學表徵的意義 「表徵」(representation),是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽 象或符號化的形式來代表的歷程,將一種事物或想法,重新表現出來,以達成溝

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通的目的(蔣治邦,1994),亦即是個體對周遭事物透過感覺系統形成概念的歷 程,而不同的表徵形式可以呈現及建構同一個概念得以理解外在世界、進行思 考、並得以與他人溝通(游自達,1995)。而美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM, 2000)主張數學表徵是一種數學概念的呈 現方式,代表人們對於數學概念的理解與運用。由此可知,表徵在數學學習上具 有運思與溝通之價值,並且可以透過解題過程中表徵的呈現,來觀察其數學概念 的理解情形。所以,「表徵」除了是人類進行學習的重要媒介外,更是個體進行 運思時的重要工具。Kaput(1987)認為數學中的表徵主要為個體腦海中的心智 運作歷程及其將心智活動的產物外在化,透過「表徵」作用,將內蘊於個人之數 學理解的內在表徵,藉由約定俗成的數學符號系統亦即為外在表徵之轉換。由於 表徵系統是個人在社會文化影響下逐步發展而得的思考工具,其一方面是個人建 構的成果,屬於內在的;另一方面也是社會文化的產物,是外在於個人的實體, 並具有社會約定俗成的意義。因而學生在學習數學時必須獲得表徵約定俗成的意 義,並使該表徵成為溝通的工具,進而使用該表徵進行問題的解決。以此觀點而 言,學校進行數學教育的目標之一便在於引導學生去建構或內化社會共通的數學 符號系統,以便能進行數學思考,進行數學溝通。 「表徵」與數學學習關係密切的主要原因在於表徵的「多義性」,亦即是指 相同的數學概念或知識,可以使用多種不同的形式來加以表徵。易言之,原有的 數學概念並不會隨著外在表徵形式的改變而有所改變或差異(蔣治邦,1994; Kaput, 1987)。因此,同一個數學概念可有不同形式的外在表徵,數學概念的存 在並不受外在符號表徵的影響。例如,「參」、「三」、「3」、「‧‧‧」雖是不同的 表徵形式,卻是同一個概念(游自達,1995)。

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貳 貳貳

貳、、、、分數的表徵在乘除法分數的表徵在乘除法分數的表徵在乘除法學習之意涵分數的表徵在乘除法學習之意涵學習之意涵學習之意涵

在數學學習中,表徵可用來具體呈現數學概念與思維,Lesh, Post 和 Behr

(1987)提出「內在概念化的外在具體化」作為表徵的意義。Vergnaud (1988)更說 明了表徵系統在數學學習論中占有的重要地位,它們不只是將數學概念結構具體 呈現的工具,亦是將數學基本結果分類的方法。針對分數如此抽象精緻的概念, 老師應該藉由多種外部表徵向學生做具體呈現,例如:配合圖形表徵或符號表徵 刺激學生的視覺觀感,如此連結多樣化的表徵並且融合學生記憶中舊有的知識經 驗,前呼後應,以發展其數學概念。 在整數學習進入到分數時,學生由「具體的感官活動」轉變為「抽象的認知」、 由顯而易見的「差量」轉變為隱藏的「倍」、由數字的「量」轉為數字間的「關 係」、由「絕對」轉向「相對」、在意義上從「量化」轉變成為「兩量之間的一種 關係」,因此,表徵的運用在分數乘法的教學上扮演著重要的角色。 分數的乘法主要有三種不同的分數乘法類型,依據 Kennedy 和 Tipps (2000) 的研究指出:分數×整數、整數×分數、分數×分數。在「整數的乘法」時,結果 一定比原來的數大,然而這樣的經驗會讓學生在學習「分數的乘法」時產生疑惑, 因此教學時,教師也要打破「乘一定變大」的迷思,此時,輔以圖形表徵加以說 明,將抽象的概念轉為具體的表徵。以下先說明三種不同的乘法類型,在以圖示 的方式,去凸顯「乘並不一定會變大」的觀念。 類型 1:分數×整數 先從累加的概念著手,喚起整數乘法的意義,可透過算式、積木模型、數線 圖解等方式,強調單位量(基準量)為基礎,多幾次連加與乘法算式的連結與練 習:如: 4 3 + 4 3 +…= 4 3 ×5= 4 15 ,提供幾何模型板搭配說明,探索並討論此類型乘 法運算的規則,同時顯示出單位分數的重要。

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類型 2:整數×分數 此處強調基準量(誰代表 1)與單位分數的意義,提供學生可操作的具體物 或圖形表徵,以離散量為佳,引導學生探索與討論此類型分數乘法的規則,並和 前一類型進行比較,得出基準量、分割、單位分數的重要。 類型 3:分數×分數 以連續量的情境為佳,從圖解的操作來強調再分割以及與原基準量的比較, 分數×分數已經涉及基準量、再分割、單位分數、與原基準量四種不同的概念。 分數乘法中最重要的概念:基準量、子分割、單位分數、合成等概念。要提 供離散量或連續量的圖形表徵,能增加學生對分數概念的認識,分數的乘法除了 引出分數乘法共同法則外,還要強化涉及的基本概念。

Dickson, Brown, 和 Gibson(1984)將分數乘法的解題模式分成兩種類型:

(一)「面積的乘積」模式: 所謂的「面積的乘積」模式(product as area)是指將分數的乘法 用具體圖像表徵成矩形的面積,如下圖 2-4-1 所示。 例: 圖 2-4-1 面積的乘積模式 (二)「部分-整體區域面積」模式:

「部分-整體區域面積」模式(sub-area as part of a whole area)是指利用圖 形來表達參照量之不同的部分。

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圖 2-4-2 部分-整體區域面積模式 圖 2-4-3 部分-整體區域面積模式 透過多元的表徵轉換來處理分數乘法,將分數的概念以具體的表徵呈現,漸 次引導學生進行抽象思維,最後能成功的掌握分數的概念。此外,教師透過各種 多元表徵的彈性運用,如:摺紙(教具模型表徵)、學生繪圖(圖像表徵)、披薩 (真實情境表徵)、學習單(書寫符號)、問題討論與概念澄清(語言表徵)的呈 現,讓學生理解分數乘法的意義以及與算則之間的連結。 參 參參 參、、、、數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯 數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯 插圖是教科書中的重要表徵形式,數學教科書中常運用插圖來提供問題相關 資訊、表徵情境、或組織相關之訊息。對於圖片在教科書的功能,Steiner (1999) 提出圖片的四類功能分別說明如下:(一)圖片具有重複功能:讓文字敘述之內

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容以視覺空間方式表徵出來,以圖形替代文章;(二)圖片具有組織功能:利用 圖形將文字敘述加以組織,讓彼此的關係更具體呈現;(三)圖片具有淺化功能: 圖形可讓文字難以表達的課文內容變的更淺顯;(四)圖片有轉化功能:凸顯課 文內容的重要訊息,藉此轉化過程來加強學習者的記憶。因此,圖形表徵具有協 助兒童從具體過渡到形式化的功用。且常為教學領域所引用的「插圖五類論」是 由 Levin(1981)提出,其認為不同種類的插圖具有不同的功能,而這些插圖在學習 上具有裝飾、表徵、組織、解釋、和轉化等五項功能。 在相關學者 Hart 與 Sinkinson 的研究證實,許多兒童在具體的活動經驗與數 學的形式化之間的連結會產生困難,他們建議提供「搭橋」的過程,也就是「以 圖形表徵作中介」以解決問題(引自江秉叡,2005),因此,教科書中的圖示將有 助於學生解題上的幫助。 就分數概念而言,由於分數具有多重意義(如部份/整體關係、商、比、指示 除法、運算子、測量等),而表徵的形式亦相當多元(常運用面積、長度、數線等 連續量模式,或以獨立分離個物的集合為整體量的離散模式來表徵部分量與整體 量的關係),學生需要在分歧多樣的表徵形式中發展分數概念、釐清差異,乃是 十分複雜而不易之事,也因此常常形成學習歷程中的困難(呂玉琴,1993;李端 明,2001;林福來、黃敏晃、呂玉琴,1996;林碧珍,1990 等)。數學教科書之 內容設計若能將此納入考量,較有系統地引導學生去經驗與整合,當有助於其發 展分數概念。

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第三章

第三章

第三章

第三章

研究設計與實施

研究設計與實施

研究設計與實施

研究設計與實施

依據國外學者Bogdan & Biklen的說法,質性研究有:自然式的、描述性資料、 歷程的關注、以歸納式分析資料及意義等五個特性(引自吳芝儀、李奉儒譯, 1995)。易言之,質性研究是在自然的情境下瞭解事件的「過程」及「意義」, 本研究之目的是欲探討國小六年級之學童,其在分數乘除法教材文字題之題意理 解,主要是想深入瞭解學童在不同題型下題意理解之思維,故採用質性研究法。 本章內容共分為七小節:第一節研究者的背景及訓練、第二節為研究設計與 研究對象、第三節研究工具與研究方法、第四節實施流程、第五節資料分析及第 六節研究之信效度等主題加以探討與說明。

第一節

第一節

第一節

第一節

研究者的背景及訓練

研究者的背景及訓練

研究者的背景及訓練

研究者的背景及訓練

質性研究過程中,研究者本身即是資料蒐集的工具,由研究者進行觀察、選 擇、協調、分析、解釋等工作(吳芝儀、李奉儒譯,1995)。因此研究者本身的素 養、背景及所受之訓練影響研究的信度。 研究者在大學就讀「中文系」,對於語言結構、語法等之應用有相關的背景 知識。此外,大學期間曾經在安親班擔任課輔老師,主要的工作內容為輔導學生 完成作業,工作期間研究者發現許多學生並不瞭解題意、也不知解題過程的意 義,只是按照老師的解題方法及公式,倘若題目一經變化,則解題失敗。在輔導 學生的過程中,研究者發現要讓學生正確的解出答案除了要有一定的計算能力之 外,首先要先讓學生清楚的理解題意,唯有使學生清楚題目之意義才能將老師的 解題技巧內化。

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在專業課程訓練上,研究者為教育學系碩士班課程組的學生,在學期間修讀 了「教學研究」、「教育心理學研究」、也曾旁聽「數學學習領域教學研究」,這 些課程的修習使研究者對學生的知識學習方式及學習心理方面有所涉獵,讓研究 者對教育有更深一層的了解並具備教學原理與教學方法的知能。此外,由於研究 者本身非數學相關科系畢業,對於數學方面的知識背景較為缺乏,因此研究者在 研究期間,閱讀數學教育及學科知識的相關書籍,以期增加研究的敏感度。也在 大學部修讀了「普通數學」、「國民小學數學教材教法」、「數學學習心理發展」等 課程,透過課程期間相關資料的閱讀及授課教授的教導,另外,透過專業課程的 介紹,研究者對數學課程中各單元如整數、分數、小數等之理論、兒童數學發展 之順序及教師該如何教學等有更進一步的瞭解,對研究者從事分數概念之研究, 除了能協助理論的理解,在研究情境的掌握上也能有所助益。 在研究方法的訓練上,研究者修習「教育研究法」,對各研究方法有了綜觀 之瞭解,此外也旁聽「質性研究」的課程,接受質性研究方法的訓練。在課程期 間,也曾經多次到研究所同儕之教室進行觀察與訪談的練習與質性研究的寫作, 讓研究者可以從提早進入質性研究的領域中學習。 在實務訓練部份,研究者於研究所修業期間擔任國科會研究計劃案之研究助 理。專案協助過程中,除需要對教科書進行內容分析之外,也需實際進行訪談, 訪談結束後進行編碼並與指導教授討論以做進一步的檢討及改進,讓研究者再一 次熟悉質性訪談過程、訪談輔助工具的操作及後續問題追問技巧。

第二節

第二節

第二節

第二節

研究

研究

研究

研究設計與研究

設計與研究

設計與研究

設計與研究對象

對象

對象

對象

壹 壹壹 壹、、、、研究研究研究設計研究設計設計 設計 本研究之主要目的在於針對九年一貫課程之國小數學教科書進行文本分

數據

圖 2-4-2 部分-整體區域面積模式  圖 2-4-3 部分-整體區域面積模式       透過多元的表徵轉換來處理分數乘法,將分數的概念以具體的表徵呈現,漸 次引導學生進行抽象思維,最後能成功的掌握分數的概念。此外,教師透過各種 多元表徵的彈性運用,如:摺紙(教具模型表徵) 、學生繪圖(圖像表徵) 、披薩 (真實情境表徵) 、學習單(書寫符號) 、問題討論與概念澄清(語言表徵)的呈 現,讓學生理解分數乘法的意義以及與算則之間的連結。  參 參 參 參、、、 、數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯數學教

圖 2-4-2

部分-整體區域面積模式 圖 2-4-3 部分-整體區域面積模式 透過多元的表徵轉換來處理分數乘法,將分數的概念以具體的表徵呈現,漸 次引導學生進行抽象思維,最後能成功的掌握分數的概念。此外,教師透過各種 多元表徵的彈性運用,如:摺紙(教具模型表徵) 、學生繪圖(圖像表徵) 、披薩 (真實情境表徵) 、學習單(書寫符號) 、問題討論與概念澄清(語言表徵)的呈 現,讓學生理解分數乘法的意義以及與算則之間的連結。 參 參 參 參、、、 、數學教科書圖形表徵與數學題意理解之關聯數學教 p.39
表 3-3-2歷次訪談題目分布情形  訪談問 訪談問 訪談問 訪談問    題類型 題類型 題類型 題類型    概念概念概念 概念    訪談訪談 訪談 1訪談 1 11   訪談訪談訪談 訪談 222 2    訪談 訪談 3訪談訪談33 3    訪談 訪談 4訪談訪談44 4    訪談 5訪談訪談訪談55 5    訪談訪談訪談 訪談 666 6    隱隱隱 隱    9、10、11、 14、15、16、 17  1、3、5、8~11 A.A.A.A.參照量參照量參照量參照量 的隱顯的隱顯的隱顯

表 3-3-2歷次訪談題目分布情形

訪談問 訪談問 訪談問 訪談問 題類型 題類型 題類型 題類型 概念概念概念 概念 訪談訪談 訪談 1訪談 1 11 訪談訪談訪談 訪談 222 2 訪談 訪談 3訪談訪談33 3 訪談 訪談 4訪談訪談44 4 訪談 5訪談訪談訪談55 5 訪談訪談訪談 訪談 666 6 隱隱隱 隱 9、10、11、 14、15、16、 17 1、3、5、8~11 A.A.A.A.參照量參照量參照量參照量 的隱顯的隱顯的隱顯 p.48
表 4-1-1  各版本分數乘除法教材在參照量表現形式呈現之次數統計表  康軒版(總題數 77)  南一版(總題數 52)  翰林版(總題數 34)  主類目  次類目  次數  百分比  次數  百分比  次數  百分比  顯現  40  51.94%  31  59.61%  19  55.88%  隱藏  29  37.66%  18  34.61%  12  35.29% 參照量  同時出現  9  11.68%  4  7.69%  3  8.82%  (一)參照量顯現的布題題型       分析

表 4-1-1

各版本分數乘除法教材在參照量表現形式呈現之次數統計表 康軒版(總題數 77) 南一版(總題數 52) 翰林版(總題數 34) 主類目 次類目 次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比 顯現 40 51.94% 31 59.61% 19 55.88% 隱藏 29 37.66% 18 34.61% 12 35.29% 參照量 同時出現 9 11.68% 4 7.69% 3 8.82% (一)參照量顯現的布題題型 分析 p.58
表 4-1-2  國小數學教科書分數乘除法教材題型-參照量的隱顯  詞彙內容分析  實例  說明  參照量顯現  (97 翰林,第十一冊課本,P56)  題目中以運算子的形式「全部的 32 」 ,說明 的參照量是全部。  參照量顯現  (97 南一,第十一冊習作 B,P11)  題目中以運算子的形式「全部的72」 ,說明的參照量是全部。  參照量顯現  (97 康軒,第十二冊課本,P9)  題目中運用「比」的概念說明了參照量是全校男生/女生總人數。  參照量隱藏  (97 康軒,第十一冊課本,P32)  還

表 4-1-2

國小數學教科書分數乘除法教材題型-參照量的隱顯 詞彙內容分析 實例 說明 參照量顯現 (97 翰林,第十一冊課本,P56) 題目中以運算子的形式「全部的 32 」 ,說明 的參照量是全部。 參照量顯現 (97 南一,第十一冊習作 B,P11) 題目中以運算子的形式「全部的72」 ,說明的參照量是全部。 參照量顯現 (97 康軒,第十二冊課本,P9) 題目中運用「比」的概念說明了參照量是全校男生/女生總人數。 參照量隱藏 (97 康軒,第十一冊課本,P32) 還 p.62
表 4-1-4 國小數學教科書分數乘除法教材題型-單位的出現形式  單位形式  實例  說明  離散量-約定俗成單 位  (97年南一版,第11冊課本,P27)  題目敘述中出現了「打」的單位,一打是12枝,並非單一的整數概念。且「打」為「約定俗成單位」。  離散量-非約定俗成 單位  (97 康軒,第十一冊課本,P25)  題目敘述中出現了「包」的單 位,一包是由 60 個所組成的,並非單一。且該題的「包」為 「非約定俗成單位」。  連續量-面積形式  (97 康軒,第十一冊課本,P54)  題目敘述中以

表 4-1-4

國小數學教科書分數乘除法教材題型-單位的出現形式 單位形式 實例 說明 離散量-約定俗成單 位 (97年南一版,第11冊課本,P27) 題目敘述中出現了「打」的單位,一打是12枝,並非單一的整數概念。且「打」為「約定俗成單位」。 離散量-非約定俗成 單位 (97 康軒,第十一冊課本,P25) 題目敘述中出現了「包」的單 位,一包是由 60 個所組成的,並非單一。且該題的「包」為 「非約定俗成單位」。 連續量-面積形式 (97 康軒,第十一冊課本,P54) 題目敘述中以 p.68
表 4-1-5  各版本分數乘除法教材在運算符號熟悉名詞表現形式之次數統計表  康軒版(總題數 35)  南一版(總題數 48)  翰林版(總題數 23)  主類目  次類目  次數  百分比  次數  百分比  次數  百分比  比值  5  14.28%  4  8.33 %  0  0%  無運算符號 的熟悉名詞 運算子  10  28.57%  8  16.66%  10  43.47%  符合運算符號  13  37.14%  23  47.79%  7  30.43%  有運算符號 的熟悉名詞

表 4-1-5

各版本分數乘除法教材在運算符號熟悉名詞表現形式之次數統計表 康軒版(總題數 35) 南一版(總題數 48) 翰林版(總題數 23) 主類目 次類目 次數 百分比 次數 百分比 次數 百分比 比值 5 14.28% 4 8.33 % 0 0% 無運算符號 的熟悉名詞 運算子 10 28.57% 8 16.66% 10 43.47% 符合運算符號 13 37.14% 23 47.79% 7 30.43% 有運算符號 的熟悉名詞 p.71
表 4-1-8  國小數學教科書分數乘除法教材題型-代詞的不同  詞彙  實例  說明  「 以 整 體 量  為單位量」-全部的  (97 康軒,第六冊習作,P78)  題目中以比值的概念 去布題,用「全部的」就 是 代 表 「 部 分 - 整體」中的整體。  「 以 整 體 量  為單位量」-全部的  (97 康軒,第九冊課本,P108  題 目 中 以 「 部 分 - 整體」的概念去布題,用「全部的」就是代表「部分-整體」中的整體。  「 以 整 體 量  為單位量」-其中的  (97 康軒,第十一冊

表 4-1-8

國小數學教科書分數乘除法教材題型-代詞的不同 詞彙 實例 說明 「 以 整 體 量 為單位量」-全部的 (97 康軒,第六冊習作,P78) 題目中以比值的概念 去布題,用「全部的」就 是 代 表 「 部 分 - 整體」中的整體。 「 以 整 體 量 為單位量」-全部的 (97 康軒,第九冊課本,P108 題 目 中 以 「 部 分 - 整體」的概念去布題,用「全部的」就是代表「部分-整體」中的整體。 「 以 整 體 量 為單位量」-其中的 (97 康軒,第十一冊 p.79
表 4-1-10 國小數學教科書分數乘除法教材題型-敘述順序上的差異  句子  實例  說明  (一)參照量未知 或被比較量未知  (二)「正敘」與 「非正敘」  (97 康軒,第十一冊課本,P27)  1 被比較量未知  2.「正敘」之題型。  (一)參照量未知 或被比較量未知  (二)「正敘」與 「非正敘」  (97 康軒,第十二冊課本,P8)  1 被比較量未知  2.「正敘」之題型。  (一)參照量未知 或被比較量未知  (二)「正敘」與 「非正敘」   (97 康軒,第 12 冊課本,P72)

表 4-1-10

國小數學教科書分數乘除法教材題型-敘述順序上的差異 句子 實例 說明 (一)參照量未知 或被比較量未知 (二)「正敘」與 「非正敘」 (97 康軒,第十一冊課本,P27) 1 被比較量未知 2.「正敘」之題型。 (一)參照量未知 或被比較量未知 (二)「正敘」與 「非正敘」 (97 康軒,第十二冊課本,P8) 1 被比較量未知 2.「正敘」之題型。 (一)參照量未知 或被比較量未知 (二)「正敘」與 「非正敘」 (97 康軒,第 12 冊課本,P72) p.83

參考文獻

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