取向建立在兩個假設前提上：第一，在文字題解題時，雖然使用相同的數學運算 式子，但隱藏在問題結構的敘述可能是不同的概念網絡語詞。第二，在解題時，
解題者須將問題的概念網絡建構成為正確內在表徵，才能有效成功的解題(徐建 煌，2003)。
國內外學者針對「理解題意」認為學生是否「具有理解文字題的能力」與學 生本身先前具備的知識及應用此之事的處理技巧之內在因素有關，也認為語言與 基模知識也是影響學生理解文字題的因素。如 Elawar 研究低數學成就學生的數 學學習，發現要使低數學成就學生的解題能力有所進步，必須先改善學生的語文 能力(引自徐建煌，2003)。古明峰(1999)也認為兒童未能成功解題是因為解題者 缺乏有關數學符號或程序性方面的知識，其次是解題者對有關情境中訊息知識不 能有效的從經驗中觸接，此原因在於解題者無法把握問題的語意，就無法從問題 的語意陳述中映射到基模知識。
第四節 第四節 第四節
第四節 分數表徵及其在乘除法學習之意涵 分數表徵及其在乘除法學習之意涵 分數表徵及其在乘除法學習之意涵 分數表徵及其在乘除法學習之意涵
國小數學領域中，分數向來是較難處理的教材，原因在於分數的學習需要將 具體操作轉變為抽象的思維，因為學童難以在現實世界中透過具體化切割方式加 以呈現分數的概念。本節首先介紹數學表徵之意義，其次說明表徵在乘除法學習 之意涵，最後在藉由教科書中的圖形表徵與學生題意理解的關係加以探究。
壹壹壹
壹、、、、數學表徵的意義數學表徵的意義數學表徵的意義 數學表徵的意義
「表徵」（representation），是指將外在現實世界的事物以另外一種較為抽 象或符號化的形式來代表的歷程，將一種事物或想法，重新表現出來，以達成溝
通的目的(蔣治邦，1994)，亦即是個體對周遭事物透過感覺系統形成概念的歷 程，而不同的表徵形式可以呈現及建構同一個概念得以理解外在世界、進行思 考、並得以與他人溝通(游自達，1995)。而美國數學教師協會（National Council of
Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM, 2000）主張數學表徵是一種數學概念的呈
現方式，代表人們對於數學概念的理解與運用。由此可知，表徵在數學學習上具 有運思與溝通之價值，並且可以透過解題過程中表徵的呈現，來觀察其數學概念 的理解情形。所以，「表徵」除了是人類進行學習的重要媒介外，更是個體進行 運思時的重要工具。Kaput（1987）認為數學中的表徵主要為個體腦海中的心智 運作歷程及其將心智活動的產物外在化，透過「表徵」作用，將內蘊於個人之數 學理解的內在表徵，藉由約定俗成的數學符號系統亦即為外在表徵之轉換。由於 表徵系統是個人在社會文化影響下逐步發展而得的思考工具，其一方面是個人建 構的成果，屬於內在的；另一方面也是社會文化的產物，是外在於個人的實體，並具有社會約定俗成的意義。因而學生在學習數學時必須獲得表徵約定俗成的意 義，並使該表徵成為溝通的工具，進而使用該表徵進行問題的解決。以此觀點而 言，學校進行數學教育的目標之一便在於引導學生去建構或內化社會共通的數學 符號系統，以便能進行數學思考，進行數學溝通。
「表徵」與數學學習關係密切的主要原因在於表徵的「多義性」，亦即是指 相同的數學概念或知識，可以使用多種不同的形式來加以表徵。易言之，原有的 數學概念並不會隨著外在表徵形式的改變而有所改變或差異(蔣治邦，1994；
Kaput, 1987)。因此，同一個數學概念可有不同形式的外在表徵，數學概念的存
在並不受外在符號表徵的影響。例如，「參」、「三」、「3」、「‧‧‧」雖是不同的 表徵形式，卻是同一個概念(游自達，1995)。貳貳貳
貳、、、、分數的表徵在乘除法分數的表徵在乘除法分數的表徵在乘除法學習之意涵分數的表徵在乘除法學習之意涵學習之意涵學習之意涵
在數學學習中，表徵可用來具體呈現數學概念與思維，Lesh, Post 和 Behr
(1987)提出「內在概念化的外在具體化」作為表徵的意義。Vergnaud (1988)更說
明了表徵系統在數學學習論中占有的重要地位，它們不只是將數學概念結構具體 呈現的工具，亦是將數學基本結果分類的方法。針對分數如此抽象精緻的概念，老師應該藉由多種外部表徵向學生做具體呈現，例如：配合圖形表徵或符號表徵 刺激學生的視覺觀感，如此連結多樣化的表徵並且融合學生記憶中舊有的知識經 驗，前呼後應，以發展其數學概念。
在整數學習進入到分數時，學生由「具體的感官活動」轉變為「抽象的認知」、 由顯而易見的「差量」轉變為隱藏的「倍」、由數字的「量」轉為數字間的「關 係」、由「絕對」轉向「相對」、在意義上從「量化」轉變成為「兩量之間的一種 關係」，因此，表徵的運用在分數乘法的教學上扮演著重要的角色。
分數的乘法主要有三種不同的分數乘法類型，依據 Kennedy 和 Tipps (2000) 的研究指出：分數×整數、整數×分數、分數×分數。在「整數的乘法」時，結果 一定比原來的數大，然而這樣的經驗會讓學生在學習「分數的乘法」時產生疑惑，
因此教學時，教師也要打破「乘一定變大」的迷思，此時，輔以圖形表徵加以說 明，將抽象的概念轉為具體的表徵。以下先說明三種不同的乘法類型，在以圖示 的方式，去凸顯「乘並不一定會變大」的觀念。
類型 1：分數×整數
先從累加的概念著手，喚起整數乘法的意義，可透過算式、積木模型、數線 圖解等方式，強調單位量（基準量）為基礎，多幾次連加與乘法算式的連結與練 習：如：
4
3
+4
3
+…＝4 3
×5=4
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，提供幾何模型板搭配說明，探索並討論此類型乘 法運算的規則，同時顯示出單位分數的重要。類型 2：整數×分數
此處強調基準量（誰代表 1）與單位分數的意義，提供學生可操作的具體物 或圖形表徵，以離散量為佳，引導學生探索與討論此類型分數乘法的規則，並和 前一類型進行比較，得出基準量、分割、單位分數的重要。
類型 3：分數×分數
以連續量的情境為佳，從圖解的操作來強調再分割以及與原基準量的比較，
分數×分數已經涉及基準量、再分割、單位分數、與原基準量四種不同的概念。
分數乘法中最重要的概念：基準量、子分割、單位分數、合成等概念。要提 供離散量或連續量的圖形表徵，能增加學生對分數概念的認識，分數的乘法除了 引出分數乘法共同法則外，還要強化涉及的基本概念。