第三節 第三節
第三節 數學文字題之解題歷程及其相關研究 數學文字題之解題歷程及其相關研究 數學文字題之解題歷程及其相關研究 數學文字題之解題歷程及其相關研究
解題的計畫與歷程涉及到題意的理解，要先能掌握題意方能了解問題的核心 所在，而在分數乘除法文字題中，會受到文字題的敘述方式有所不同及乘法特殊 的結構關係，而影響了解題者的理解。以下先說明文字題的解題歷程，其次介紹 其相關之研究。
壹壹壹
壹、、、、數學文字題之解題歷程數學文字題之解題歷程數學文字題之解題歷程 數學文字題之解題歷程
自 Dewey 提出解題的六階段論後，數學解題歷程的研究受許多學者重視，
Polya 於1945 年提出了數學解題的四個階段模式，而後不斷有人繼續修正，提出
新的解題歷程模式。Polya (1945) 在其所著<怎樣解題>中，歸納出解題過程之四 個步驟：1.瞭解問題、2.擬定計劃、3.實行計劃、4. 回顧解答；其次，Lester (1985) 修定Polya 的解題歷程模式，加入三個後設認知成分，提出「認知－後設認知」的模式；而Scheonfeld (1985)認為研究數學解題要考慮四個變項，1.資源、2.啟 發、3.控制、4.信念系統。他的解題歷程模式有六個階段：1.讀題、2.分析、3.
探索、4.計畫、5.執行、6.驗證。
Gagne (1993)指出解題是以學習者的先備知識為組合基礎的創造性活動，也就 是將學習者先前習得的原理、原則加以組合歸納，培養出解題能力，完成問題解 決。根據 Mayer (林清山譯，1997)，認為解題時要能熟悉數學的基本運算規則，
還須具備有「閱讀的流暢性」，亦即須要對文字脈絡進行解碼、字義觸接、語句 整合，理解題意後，方能形成問題模式或情境模式的問題脈絡，再藉由轉譯形成 數學運算，才有解題執行的可能。
Mayer (1992)指出理解的程序分成三個步驟，第一個步驟是建構一個文字基 礎，亦即解題者將每一個敘述轉為內在表徵並整合所有的訊息成為問題的內在表
徵而建構出一個語意的網絡表徵，第二步驟為建構一個特定的數學表徵，在這階 段中成功的解題者將原有以命題為基礎的表徵轉換為以物件為基礎的表徵，反 之，失敗的解題者僅僅只是去修改或刪除一些原有以命題為基礎的表徵。最後一 個階段為建構一個解題計畫，亦即解題者依據上一階段的訊息來發展解題計畫，
成更的解題者保有較多的訊息，因此其不僅可以確保解題計畫的正確性，更可以 監控整個解題過程。
若從認知心理學的觀點探討解題歷程，Mayer (1992)將解題歷程分為問題表 徵(problem representation)及問題解決(problem solving)兩個步驟，每個步驟又包含 二個子步驟，其中包括所對應的知識類型：
一、問題的表徵(problem representation)：指解題者將圖案或文字轉變成心理表徵。
(一)問題轉譯(problem representation)：
指解題時，轉譯問題中的個別敘述句成為內在的心智表徵，然後再組織有關 的訊息成為一個與問題情境一致的心智表徵。在此階段，解題者必須具備語言知 識(linguistic knowledge)及語意知識(semantic knowledge)，方能將題目的語句內化 為個人能理解的內在符號或語句。
(二)問題整合(problem integration) ：
指解題者須將轉譯出來的所有訊息整合起來，連貫成有組織的知識，在這個 階段解題者需具有基模知識(schematic knowledge)，以及須具有分辨問題類型的能 力。而轉譯和整合階段在表徵的過程中都非常重要，因為只是了解問題中的個別 敘述，並不能保證可以整合訊息而能正確表徵問題（何縕琪、林清山，1994）。
二、問題解決：指從問題心理表徵進行到最後答案的過程。
(一)解題計畫與監控(solution planning and monitoring)：
解題者運用策略知識(strategic knowledge)設計和監控解題的計畫，能夠將問 題的目標分成幾個次要的子目標，然後逐步達成，並在達成的過程中意識到自己
的解題步驟過程。
(二)解題執行(solution execution)：
解題者利用程序性的知識(procedural knowledge)運算出題目的答案，操作數 學規則以運算的程序求得解答。
由綜合上述可得知，學生在解數學文字題時可能需要四個解題歷程，而不同 的解題歷程則需要不同的解題知識及解題能力，若是欠缺任何一種所需的解題知 識或解題能力，學生就可能無法成功的解題(陳玟樺，2007)。而在分數數學乘除 文字比較題的解題歷程中，亦需要此四個解題歷程。
將Mayer (1992)的解題理論與其他理論相比較，在認知上的解題成分較完 整，依據Mayer 的解題理論，對乘法文字題的解題知識界定於下：
(一) 語文及事實知識：認識及讀出題目中的字詞，並辨認問題的已知條件和解 題目標。在文字題比較類型中，Mayer和Lewis (1987)認為解題者對於問題有一個 特定順序的參照對象，而解題者又偏好「一致性語言」的問題順序，所以當面臨
「非一致語言」的問題時解題者需要重整其所閱讀之關係句子。
(二) 基模知識：依問題結構分類，本研究特指乘、除的分類，以具體物、圖畫、
符號表徵問題的能力，如以算式填充題記錄問題。
在文字題理解與解題上包含語文理解、情境描寫的理解，找出方程式能力及 計算能力等多種不同的技能(Stern,1993)。Hegarty、Mayer和Green (1992)曾以大學 生為對象，比較成功解題與不成功解題者在數學文字題解題歷程的表現。不成功 的解題者在面對文字題時常從問題中選擇數字和關鍵字著手，就問題中所涉入的 數字和關係詞加以建構，直接就問題陳述的關鍵字命題，以產生答案，並未對問 題的情境加以建構，稱之為「直接轉譯策略」。而成功的解題者，則嘗試將問題 的情境所描述的內容轉譯建構成問題情境所記述的心理模式(mental model)，以作 為解題計畫之依據，此種程序稱為「問題模式策略」。不成功的解題者在解題時
偏愛使用「直接轉譯策略」，其採用「運算符號的熟悉名詞」的策略，抓取數字，
計算在先，思考在後(Stigler, Lee, & Stevenson,1990)，相對的成功的解題者，則是 偏愛「問題模式策略」。Hegarty等人(1995)提出數學文字題理解歷程模式如圖 2-3-1所示，解題者依據題目內容閱讀，引申出特定的數學表徵，發展出解題計 畫。
圖2-3-1數學文字題理解歷程模式 資料來源:引自古明峰(1998，頁70)
綜合上述，成功的解題者須具有理解題目內容、了解數學語詞概念之能力， 並 依據問題的基模辨識相同、相異或類似題，選擇合適的程序及可用的資料將問題 表徵化，以求得解決。
貳貳貳
貳、、、、數學題意理解錯誤的原因數學題意理解錯誤的原因數學題意理解錯誤的原因 數學題意理解錯誤的原因
要成功的解一道數學題必須包含許多步驟，若以Mayer (1992)所提出的問題 表徵數學解題歷程來看，從語言轉譯、數學概念、策略的選用、計算的執行等均 是解題成功與否的關鍵。鄧少林和蔣治邦(1994)表示，雖然學生很早就擁有加減
閱讀句子
建構/根據新的信息修改語意網絡
發展解題計畫
執行解題計畫 選擇數字和
關鍵字
建構/根據新的信息 修改問題模式
計算能力，加減文字題卻是數學教育的一大難題。部分學生往往會放棄對問題情 境的了解，只是機械性針對問題表面訊息進行運算。推究其原因可能是題目語意 的問題、使用運算符號的熟悉名詞、就有的錯誤概念等，說明如下:
一、題目語意的影響
學生有時因對題目中的日常用語似懂非懂，不夠了解，而導致無法正確解 題，這一點常常會被教師所忽略。事實上，問題所使用的語句，往往會影響學生 對題意理解及解題策略的選擇(翁嘉英，1988；謝毅興，1991)。如果能將題目的 語句加以改寫使題意更為清楚，便可提高解題的正確率(Carpenter &
Moser,1984)。此外，Cummins (1991)也強調語意陳述方式的重要性，他以小學生
為研究對象，用結合問題為題材，將問題陳述分為兩個版本，一個是題目簡單扼 要的標準版(例:小華和小明共有9顆糖果，小華有3顆，問小明有多少顆糖果?)，另一個是將題目改寫為更清楚的改寫版(例:小華和小明共有9顆糖果，其中小華 有3顆，剩下為小明所有，問小明有多少顆糖果?)，要求學生以圖式表徵呈現答 案，研究結果顯示，改寫版的題目陳述比較清楚，學生表徵結果的正確率比較高。
換言之，即使學生有足夠的知識尋求解答，但是若對於題目缺乏真正了解，仍會 導致演算過程失敗。
二、部分-整體之語意基模影響
當解題者將問題加以轉譯後，便需要使用相關的數學知識基模來將問題加以 整合。Schoenfeld (1985)指出，與生手相較下，專家更具有較有效、複雜的知識 基模，所以叫生手能正確表徵問題。國內相關研究(張景媛，1994；蘇慧娟，1998) 指出，學生會因學習中產生不當的基模或是缺乏某些數學知識基模，而使解題產 生錯誤。依據Rilry等人(1983)的看法，一個有能力的解題者，應具備表徵問題關
係的語意基模，特別是「部分-整體」的關係知識。如果解題者缺乏此知識，會 間接影響解題技巧與問題的表徵。「部分-整體」語意基模表徵的意義在於了解 數字間的相互關係，包括交換、結合和互補關係的理解，是理解數學概念的核心。
若能習得此基模便能增加學生問題表徵的能力，對於改善解題的技巧有所助益 (古明峰，1997)。
三、運算符號的熟悉名詞之探討
為了幫助學生解決數學文字題，至今發展出許多策略，包括畫圖、用數學語 句改寫問題、將問題分成多個小部分以減低複雜程度、問題的結構化與運算符號 的熟悉名詞策略等。在使用策略方面，張勝和(1995)、張景媛(1994)、Matz (1982) 的研究均發現，學生會使用不正當的外推法，將學過適用於某些情況的解題規則 推廣應用於不同的情況，而導致錯誤的形成。在眾多的策略中以運算符號的熟悉 名詞最受爭議，因為它並不是一個適用於任何類似題目的通則(周台傑、陳麗玲，
1995)。根據楊美伶和蔣治邦(1992)對國小數學教材的分析，數學課本與習作分 別有百分之七十三和百分之八十三的題目適用於運算符號的熟悉名詞之策略，當 學生遇到文字題且不知該採用哪種運算時，就使用運算符號的熟悉名詞策略解 題，例如:題目中有「共」就用加法，有「剩下」就用減法。因此學生若只是依
1995)。根據楊美伶和蔣治邦(1992)對國小數學教材的分析，數學課本與習作分 別有百分之七十三和百分之八十三的題目適用於運算符號的熟悉名詞之策略，當 學生遇到文字題且不知該採用哪種運算時，就使用運算符號的熟悉名詞策略解 題，例如:題目中有「共」就用加法，有「剩下」就用減法。因此學生若只是依