1 ，
T: 對啊，他說用去 3
1 ，那你是怎麼想的?
S2: 用去阿，所以就是要用減的 T: 喔，可是第二題中也有「用去」耶 S2: 可是他是說用去全部的
3
1 ，所以就是要把全部分成三份，而用去的只有一份而已 (卷 6，2009/12/2 訪)
根據文獻探討 Mayer (林清山譯，1997)，認為解題時要能熟悉數學的基本運
算規則，還須具備有「閱讀的流暢性」，亦即須要對文字脈絡進行解碼、字義觸 接、語句整合，理解題意後，方能形成問題模式或情境模式的問題脈絡。而經過 訪談後發現，學生必須具備有「內容基模」，要能根據上下文的意思，還原並找 出題目中需要參照的基準為何，再藉由轉譯形成數學運算，才有解題執行的可能。二、代詞
經過內容分析發現「參照量代詞」最常出現的有三種，「以指定分量為單位量」
為代詞的，如「甲的」、「
3
1
塊地的」等的形式，此種代詞在題目中已經明確的指 定，學生可以正確的理解題意並對運算子進行操作，因此，不在訪談的問題之中。將焦點集中於會造成學生混淆的「以整體量為單位量」為代詞的如，「全部的」、
「其中的」。以及「以剩餘量為單位量」為代詞的如，「剩下的」。
在這些類別中，「全部的」對學生來說，是最容易理解，因為其所欲參照的 量就是「部分－整體」中的「整體」，對學生不會認知上的混淆。如例 4-2-14 一 題中，S1 學生在理解上以「用去四條裡面的
3
2
」來說明，研究者追問其「題目哪裡有說四條」，S1 學生回答「全部的
3
2
，題目中有說桌上有四條緞帶，所以全部就是四條」，此一反應清楚的說明「全部的」這個「參照量代詞」就是指「四條」。
(卷 6，2009/12/2 訪)
例 4-2-17
……
S1: 有
在與 S2 學生的訪談中，S2 學生雖然都可以解釋「
S2: 用去
S2: 1 條
S2: 所以剛剛是 1×
3
2那現在是 4×
3 2
T: 那你有其他的解釋方法嗎?你在說明一下用乘法的理由是什麼?
S2:
T: 你說一下圖的意思是?
S2: 全部有 4 條緞帶，每一條都用去 3
2，4 條都用去了，所以就是要用 3
2乘以四，
(卷 2，2009/11/19 訪)
(6)桌上有 4 條緞帶，文芳做蝴蝶結用去全部的 3
2條。他剩下幾條緞帶?
T: 你說說看這題的意思是什麼?
S2: 恩~~~文芳做蝴蝶結用去全部的 3 2條
T: 什麼叫做 3 2條?
S2: 分成三分，其中的兩分，
T: 所以跟剛剛那題一樣嗎?
S2: 恩，一樣，都是用掉 3 2
(卷 2，2009/11/19 訪)
「全部的
3
2
」與「全部的3
2
條」在語文的表達上僅有一字之差－「條」，然而，就數學概念的理解上卻相距甚遠。因為前面的是「運算子」數學的概念，後者為
「分量描述」數學的概念，兩者之意義是不同的。「運算子」是必須要對參照量
T: 你這個圖是什麼意思?可以說明一下嗎?
S1: 假裝有一個餅，我把它切成兩等份，就是 2
2，爸爸吃掉了 2
1，然後媽媽有 2 2，就
是一整塊，所以是媽媽多。
(卷 1，2009/11/16 訪)
又如在例 4-2-23 一題中，S1 學生也是以圓餅圖去區分「參照量」與「被比 較量」之間的關係，研究者請 S1 學生說明所繪圖之意義，S1 學生回答「整個圈 圈是媽媽的，斜線的是爸爸的」，研究者再請結合題目對圖形去做說明，S1 學生 表示「爸爸的錢是媽媽的
3
2
，就是爸爸的錢是媽媽三分中的兩分，那爸爸有 150 元，把媽媽分成三份裡面的兩分是爸爸的」。例 4-2-23
(14)爸爸有 150 元，爸爸的錢是媽媽的 3
2，那媽媽有多少錢?
S1: 爸爸有 150 元，爸爸的錢是媽媽的 3
2，那媽媽有多少錢?所以，爸爸的錢是……
T: 你畫這個圈圈是?是代表誰的?
S1: 是爸爸的 T: 畫斜線是誰的?
S1: 媽媽的，恩……整個圈圈是媽媽的，斜線的是爸爸的
T: 你說這題要用?
S1: 除的，
T: 你怎麼想的?為什麼?
S1: 因為他要算媽媽的錢，而爸爸的錢是媽媽的 3
2，就是爸爸的錢是媽媽三分中的兩
分，那爸爸有 150 元，把媽媽分成三份裡面的兩分是爸爸的，所以要用除的。
(卷 1，2009/11/16 訪)
上述的兩個例子中，S1 學生在看到題目時，很自然的就將題目以圖形表徵的 方式加以轉化，以進行題意的理解。
再如，例 4-2-24 一題中，是一種並列的比較題型，題目相似又很繞口，在理 解上 S1 學生無法明確的去區分不同的意義所在，只能說出題目表面上的差異是
『第一句是「媽媽的錢是爸爸的」，下面變成了「爸爸的錢是媽媽的」，位置不一 樣』，但，S1 學生結合其所畫的圖形之後，他正確的理解「用剛剛的圖來看，上 面的那題，畫斜線的是媽媽，爸爸是全部，媽媽是爸爸的一半，爸爸是全部，有 100。那下面的這題，爸爸是媽媽的一半，但是爸爸的 100 只有一半就是斜線的 地方，媽媽是爸爸的兩個」。在這個例子中，S1 學生藉由畫圖去區分語文敘述位 置所造成的差異。在圖形表徵中釐清「部分－整體」的區別，就可以明瞭參照量 所代表的地方。
例 4-2-24
爸爸有 100 元，媽媽的錢是爸爸的 2
1倍，那媽媽有多少錢?
有什麼不同??
爸爸有 100 元，爸爸的錢是媽媽的 2
1倍，那媽媽有多少錢?
T: 你看看這兩題，這兩句話哪裡不一樣?
S1: 第一句是「媽媽的錢是爸爸的」，下面變成了「爸爸的錢是媽媽的」，位置不一樣 T: 這兩句話，你說他的位置不一樣，你覺得意思有什麼不一樣嗎??不然為什麼爸爸都 有 100 元，但是算出來，媽媽的錢卻不一樣，你說說看意思哪裡不一樣?怎麼媽媽 的錢變了不一樣了?
S1: 因為……「爸爸的錢是媽媽的 2 1倍」，
T: 是什麼意思
S1: 因為……，「爸爸的錢是媽媽的 2 1倍」，
T: 你可以再說清楚一點嗎?
S1: 恩，用剛剛的圖來看，上面的那題，畫斜線的是媽媽，爸爸是全部，媽媽是爸爸 的一半，爸爸是全部，有 100。那下面的這題，爸爸是媽媽的一半，但是爸爸的 100 只有一半就是斜線的地方，媽媽是爸爸的兩個，所以是兩個爸爸的錢
T: 你發現哪裡不一樣了嗎?
S1: 恩，一百是一塊還是半塊，就不一樣了，如果一百是全部的話就會變多了。
(卷 1，2009/11/16 訪)
在例 4-2-25 一題中發現了，研究者問 S2 學生對該題意的理解，S2 學生複誦 著題目「圓形水池的容量是方形水池的
3
2
」，猶豫不決「方形水池……圓形水 池……」，無法判斷哪一個形狀的水池容量大，S2 學生本來對於題目的意思是不 清楚的，但是藉由研究者的提醒，「還是你要畫圖試試看」，S2 學生因為圖形的表 徵轉譯，使其了解題意。研究者請其解釋圖示，S2 學生表示「全部是方形，斜線 的地方是圓形，所以方形多」。例 4-2-25
(1)圓形水池的容量是方形水池的 3
2倍，圓形水池的容量是 5
22公秉，方形水池的容量
是多少公秉？
T: 你看看這一題，要怎麼解釋???
S2: 圓形水池的容量是方形水池的 3 2……
T: 那，你說說哪個形狀的容量大??
S2: 方形水池……圓形水池……
T: 你怎麼想的
S2: 因為，圓型是方形的 3 2倍
T: 那到底是哪個大?
S2: 恩，圓形
T: 你怎麼想的?還是你要畫圖試試看 S2: 恩，
T: 請你解釋一下圖形的意思是什麼?
S2: 恩，全部是方形，斜線的地方是圓形，所以方形多 (卷 5，2009/11/24 訪)
在訪談的過程中，研究者發現 S1 學生在圖型表徵上，擅長以圓餅圖來解釋 題意，就算題目布的題型是離散量的「雞蛋」，S1 學生仍是以圓餅圖加以轉化，
如例 4-2-26 一題，研究者請 S1 學生去解釋「破掉的蛋是全部雞蛋的
25
1
倍」之意義，S1 學生用畫圖的形式加以表徵，其後研究者請他說明圖的意思為何，S1 學生回答「一個派不要分成 25 份，假裝是分成四份，吃掉的是
4
1
，所以就是這裡，那題目是說
25
1
，就是把斜線的地方當成是25
1
」。例 4-2-26
(1)破掉的蛋是全部雞蛋的 25
1 倍
T: 妳告訴我這題在說什麼
S1: 這題就是說，破掉的蛋是沒有破掉和有破掉的裡面 25
1
T: 妳再說一次，我聽不太清楚 S1: 破掉的蛋是那裡面全部的
25 1
T: 那有沒有別種說法?
S1: 就是那個…一個派不要分成 25 份，假裝是分成四份，吃掉的是 4
1 ，所以就是這裡，
那題目是說 25
1 ，就是把斜線的地方當成是 25
1
T: 喔，妳把他換一個題目解釋就是了 (卷 3，2009/11/23 訪)
根據六次的訪談經驗，顯示了 S1 學生在表徵上偏愛使用圓餅圖。而 S2 學生 在圖形的表徵上，是根據題意加以繪製圖形以解釋題意，並沒有特別的發現。研 究結果顯示，學生倚賴視覺圖像以協助解題，換句話說學生常藉助圖像來釐清題 意與解題。
且就相關的文獻指出，圖片在教科書的具有四類功能，分別是圖片具有重複 效應、組織功能、淺化作用、轉化功能。此外，圖形表徵具有協助兒童從具體過 渡到形式化的功用。Hart 與 Sinkinson 的研究證實，許多兒童在具體的活動經驗 與數學的形式化之間的連結會產生困難，他們建議提供「搭橋」的過程，也就是
「以圖形表徵作中介」以解決問題(引自江秉叡，2005)。結合本研究的訪談結果，
可知圖示有助於學生解題上的幫助。然而，有學生偏好使用某一類型的圖示，落 入了單一表徵之限定，究竟是因為教師的教學上普遍使用的結果，還是教科書中 的表徵形式多以圓餅圖呈現，這是有待探討的另一個問題。
第三節 第三節 第三節
第三節 題意理解錯誤之相關分析 題意理解錯誤之相關分析 題意理解錯誤之相關分析 題意理解錯誤之相關分析
本節依據訪談之節果，分析兩位受試者在解答乘除法文字題過程中，導致題 意理解錯誤的相關因素。
一、題目類似但意義不同的題型下產生的錯誤理解
在訪談的架構的設計中，研究者欲探討學生對於問題的理解層次，因此，在 題目的設計與排序中，將題目類似但是意義不同的題型並列在同一次訪談問題 中，進行訪談。在訪談的過程中發現，當兩題題目的語言敘述位置有所不同時，
會使 S1、S2 在說明題意的反應上有所遲疑，除了反應時間較長以外，S2 因為無 法掌握語言敘述與意義間的關係，而產生了題意理解的混淆。如在例 4-3-1，這 一個題組題裡，雖然在關係句中，表面上語言敘述位置相反其數學的值也不一 樣，一個是「
3
2
」，另一個是「2
3
」，但是題目背後所欲傳達的數學關係是一樣的，也就是說方形水池與圓形水池的關係是固定的，只是因為表達的方式不同，而導 致一個是「