乘除法文字題解題相關研究

我們常常發現即使學生已學會如何進行乘除運算，卻無法正確判斷該用什麼 運算方法（孟瑛如、周育廉、袁媛、吳東光，民 90）。因此本章節將就學者提出 的乘除法的運算結構與整理現行課程中乘除法類型，以釐清乘除法文字題的模 式；並針對學習障礙者在解乘除法文字題時，常出現的解題的迷思加以探討，以 作為補救教學的參考；最後整理學者對乘除法解題的相關研究。

壹、乘除法文字題的運算結構與現行課程的相關

要了解數學學習障礙者解乘除法文字題的困難所在，首先我們必須對乘除法 文字題的呈現結構有所了解，並加以分析目前課程中乘除法的安排模式與乘除法 運算結構相對應。能如此，我們才能確切的掌握學生的問題所在而實施補救教 學，因此以下分析幾位學者對乘除法文字題運算結構的分類，並針對九年一貫課 程中乘除法文字題加以分析。

一 、乘除法運算結構

以下分別就 Vergnaud（1983）與 Greer（1992）的分類加以探討：

（一）Vergnaud（1983）乘除運算結構

許多學者以乘的結構為基礎再來探討乘除法的相關概念，以 Vergnaud（1983）

的模式為主要的依據，其以向量空間和向度將乘除的運算結構分為：量數同構型

（isomorphism of measures）、量數乘積型（product of measures）、多重比例型

（multiple proportions），茲將這三種類型介紹如下（引自林碧珍，民 80，225 頁；

孟瑛如等人，民 90，84 頁）：

1、量數同構型（isomorphism of measures）：

分為兩個向量空間的比較，當四個數值中的一個值為 1 時，則探討三個值 的關係，並依其位置分為乘法、等分除和包含除，若是探討四個數值得關係，

則將此問題稱為「3 的規則」（three-place），以下面的基模圖作介紹：

M1 M2

2.量數乘積型（product of measures）：

是由兩個量結合成第三種的量，例如：長方形的長 5 公分，寬 7 公分求長 方形的面積。

3.多重比例型（multiple proportions）：

這類題型包含三個量，第三個量與其他兩個量成比例關係，並依位置的不同

同樣分為乘法、包含除與等分除。 電量多少？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量，f（1,1）＝4，X1＝30，

X2＝5 求 f（x1,x2）。

（2） 等分除問題：小美家有 5 個電錶，用了 30 天共用了 600 度，則每個電錶每 天用多少電量？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量，f（x1,x2）＝600，

X2＝5，X1＝30，求 f（1,1）。

（3） 包含除問題：小美家有幾個電錶，30 天共用了 600 度，而每個電錶每天用 電 4 度，問小美家共裝了幾個電錶？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量，

f（x1,x2）＝600，X1＝30，f（1,1）＝4 求 X2。

（二）Greer（1992）乘除運算結構

Greer（1992）將正整數乘除的問題依情境分為以下四個類型：

1.等組類型（equal groups）：

是由一些相同個數的物體之集合所構成的情境，包含乘法與衍生出來的 兩種除法即包含除與等分除。有些是自然重複的情形如：1 個人有 2 隻手，4 個人有幾隻手？；有些是重複做一些動作如：跑一圈 100 公尺，要跑五圈；

有些是人們的習慣如：老師發給 3 個小朋友，每人 2 片餅乾。等組類型與 Vergnaud 的量數同構型最為相似，且此種類型於國小階段最為常見。

2.乘法性比較類型（multiplicative comparison）：

比較型乘法是一種用”多少倍”來敘述的題目，這類的問題常以倍數、折 扣、加成投票率、百分比值、利率、比例尺等方式來呈現，在中低年級階段 則只有有關倍數的問題出現，如：小華有 7 顆彈珠，小英的彈珠是他的 2 倍，

問小英有幾顆彈珠？

3.直積（cartesian product）

直積是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合 而成的，主要在敘述一種有序對的關係，如：3 男和 6 女一起跳舞，共有多少 種組合方式？；也包括陣列的問題，如：牆上磁磚有 4 列，直的有 8 排，請 問牆上共有多少塊磁磚？因其兩個因素為相同的角色，所以只有一種除法問 題，這種類型於國小中低年級也較少出現。

4.矩形面積（rectangular area）

矩形面積可以用正方形的個數來計數，可將邊長分割成邊長為 1 公分的 正方形，這類型的問題也只有一種除法。

Nesher 模式（1988）將乘的類型分為函數規則問題、比較型問題、笛卡兒 乘積。

本研究將以 Greer 的理論模式為基礎，分析國小三年級乘除法的結構，並針 對結構來設計補救教學方案。

二、乘除法課程結構分析

國小學生所必須獲得的概念與知識可分為六大類，包括 1.數與計算；2.量與 實測；3.圖形與空間；4.統計圖表；5.數量關係；6.術語與符號（教育部，民 82）。

乘除法即包含在數與計算當中，小學課程中自二年級上學期起即開始介紹乘除 法，因此以下根據受試者使用的版本中乘除法教材，依 Greer（1992）的分類作 分析如下表：

表 2-1 第三、四、冊南一版本乘除法單元目標分析

理論、物件與事件加以描述的知識，而程序性知識是知道如何完成事情，強調 步驟流程的知識（許清陽，民 90）。數學學習障礙者在解文字題時，常常不了 解題意的內涵，且已往國小教育較強調程序性的知識，而近年來建構主義的盛 行，陳述性知識的重要性也慢慢被人所重視，因此要幫助學習障礙者有效的學 習，則需對乘除法在解題的迷思加以探討，因此以下整理幾位學者的研究，歸 納重點如下（孟瑛如等人，民 90；許清楊，民 90；甯自強，民 86）：

一、乘法就是累加的錯覺：許多學生都認為乘法的結果其積會越來越大，然而 在啟蒙教材中介紹乘法就是累加的結果是正確的，但乘法並不是累加，如整 數乘以小數，其結果並不會變大，這個迷思會造成學生學習乘數為小數或分 數時的障礙。

二、認為乘法、除法為較高級的解題方法：學習障礙學生常常會依數字來判斷 應用問題該用乘法或除法，而沒有對應用問題的陳述性知識加以了解，通常 是大數除以小數或看見兩數值相當時，則以乘法表示，且不了解被乘數、乘 數之間的關係，只認為答案一樣就可以。

三、關鍵字的使用：傳統的教學方式，老師會教導小朋友使用關鍵字解題，學 生從文字呈現的方式來解決應用問題，如「分」就用除或減，「總共」就用 加或乘，然在處理二步驟應用問題時，其關鍵字解題就無法發揮其功能，反 而會阻礙學生的思考。

參、乘除法解題相關研究

林碧珍（民 80）針對國小兒童對於乘除法應用問題之認知結構加以分析，

其結果顯示，學生對於乘除法應用問題的了解由易而難是量數同構型、叉積 型、比較型、多重比例型。在量數同構型的規則問題以「最初量未知」最容易，

依次是「變換量未知」和「最終量未知」，學童以乘法問題比除法問題容易，

除法問題以包含除比等分除容易。且在乘除法問題中學童較喜歡用不同度量空 間的變換即單價法，而且是連續性的使用，而較不喜歡用同度量空間的變換如

倍數法。

楊瑞智（民 86）在國小數學實驗課程整數乘除算則的教材處理中提出，從 二年級引入乘法情境問題，教導小朋友使用畫圖來表徵問題，進而解決問題。

在三年級時，擴展乘數的範圍，但不鼓勵學生使用直式紀錄解決問題，到四年 級才引入直式到五年級才正式使用直式紀錄的格式。而除法方面則在二年級 時，使用累進性合成運思來解決包含除問題，而等分除則還屬於嘗試錯誤階 段；三年級時預期學生可以發展出使用累加或累減的算式紀錄解題過程；四年 級時，引入除號來解題；五年級時則重新探討除法的直式紀錄格式。此研究的 重點在，一.重視基本乘法事實是學童建構的活動；二.重視從學童解決乘除法 問題的非形式方法中，引導建構乘除法算則；三.使用「單位量轉換」的觀點，

解釋乘除法的意義；四.乘除法算則是一種多單位系統的處理。

孟瑛如等人（民 90）針對數學學習障礙學生多媒體學習系統的開發與建構 解決一步驟乘除法文字題的研究中顯示，電腦課程會依據解決文字題的五個步 驟給予學生不同的策略、指導和基模知識，以解決乘除法文字題，例如，基模 知識的教學就是教導學習使用基模圖來區分乘除四個基本類型問題（如，等分 組、乘法比較、組合問題、單位度量積），並提供學習者解題策略來執行解題 的過程，電腦會記錄學生執行的過程，以追蹤分析學生對每一題的反應歷程，

並提供適當和立即的回饋，依據學生的能力建議學生應接受的後續適性電腦課 程。

陳瓊瑜（民 91）針對國小三年級數學學習困難學生乘法應用問題解題歷程 做研究，其研究結果顯示，低數學能力受試者在解乘法應用問題時，其認知運 作歷程可能遭遇的障礙在於，對特定概念的理解有困難（如題目中的關係語 句），加上乘法概念的知識不足，以至於難以運用這些概念知識來促進其對問 題的轉譯與題意的整合。另一方面，也因為計算技能不夠熟練解題監控的狀況 不夠積極，導致解題的效率不佳，解題錯誤的情形容易出現。

根據以上的資料，本研究即採用 Greer（1992）對於乘除法的分類來分析

國小三年的數學課程，顯示出國小三年級的數學課程是大多屬於等組型並包含 了少數的比較型與直積型，因此本實驗的題目類型如下圖：

等組類型（乘 法、包含除、

等分除）

比較型

（乘法、除 法）

直積型

（乘法）

乘除法應用問題

圖 2-4 乘除法應用問題結構圖

國小中低年級等組類型的題目最多，例如：乘法－每位小朋友有 3 枝鉛筆，

請問 4 位小朋友共有幾隻鉛筆；包含除－12 枝鉛筆分給小朋友，每人得 3 枝，

請問可以分給幾位小朋友；等分除－12 枝鉛筆平分給 4 位小朋友，每人可得幾 枝鉛筆。比較類型的題目有：乘法－5 顆櫻桃的 7 倍是幾顆；除法－35 顆櫻桃 是 5 顆櫻桃的幾倍。直積型的問題有：乘法－早餐店有紅藍套餐，紅套餐有 4 種，藍套餐有 2 種，請問共有幾組組合方式。因此，本研究及根據 Greer（1992）

請問可以分給幾位小朋友；等分除－12 枝鉛筆平分給 4 位小朋友，每人可得幾 枝鉛筆。比較類型的題目有：乘法－5 顆櫻桃的 7 倍是幾顆；除法－35 顆櫻桃 是 5 顆櫻桃的幾倍。直積型的問題有：乘法－早餐店有紅藍套餐，紅套餐有 4 種，藍套餐有 2 種，請問共有幾組組合方式。因此，本研究及根據 Greer（1992）