認知解題歷程及學習障礙者認知解題教學相關研究

數學解題需用到數學概念、原則和方法，且必須運用個人先前舊有經驗來處 理未能解決的問題。心理學家 Skemp（1971）曾指出數學解題的學習與教學都涉 及心理學的問題，應先掌握學習者是如何解題的，以及解題所包含的認知歷程或 成分到底如何（引自邱上真、詹世宜、王惠川、吳建志，民 84，77 頁）。大部分 的學習障礙學生都是被動學習，缺乏一套有效處理訊息的策略，所以符合心理學 的解題策略能幫助學生有順序且正確的解題並提高解題的成效，以下就針對幾位 學者的解題歷程模式作介紹。

一、Polya 的解題歷程模式：

波蘭數學家 Polya（1945）在「怎樣解題（How to solve it）」一書中，將 解題歷程分為四個步驟，此步驟也成為以後學者發展解題的重要參考範本，這四 個步驟並包含了許多有助解題活動的自我提示問句。Polya 指出解題的專家未必 比生手有更多可用的資訊，但是專家卻常在解題過程中，自然的採用他所列出的 問句來自我提問，以協助自己能順利地完成解題（張憶壽譯，民 79）。這四步驟 如下表 2-3 所示：

表 2-3 Polya 解題四步驟

解題步驟 提示問句 了解問題 未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？

擬定計劃 找出已知數與未知數之間的聯繫。你是否知道與此有關的問題？你 是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數，試著想出一個具有 相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。

實現計劃 實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。

你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確 的？

回顧 你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能 把這結果或方法用於其他的問題？

（取自閻育蘇譯，民 85，pxii-xiii）

Polay 的四個步驟並不是直線進行的，有時需折返至前面的階段，是期望學 生能熟悉這些解題步驟和問題後，當解題當中遇到問題時，能自我檢驗整個解題 過程，並找出錯誤所在，以達到解題的最終目標。

二、Schoenfeld 的解題歷程模式：

Schoenfeld（1985）以 Polya 的理論為基礎，加入了後設認知理論及信念系 統在解題步驟中，他先對解題的行為加以分析，包括：

（一） 資源（resources）：指個體在解題時所擁有的數學知識。

（二） 捷思（heuristics）：指解題的技巧與策略，如：畫圖、逆向思考等。

（三） 控制（control）：指解題者監控與調整整個解題歷程的活動，也就是後 設認知的部分。

（四） 信念系統（belief system）：指解題者對數學的觀點。

根據此行為的分析 Schoenfeld 將解題的步驟分為六個部分：

（一） 閱讀（reading）：閱讀問題。

（二） 分析（analysis）：將問題簡化或重述，以便了解問題。

（三） 探索（exploration）：尋找已知條件、未知條件及與問題之間的相關性。

（四） 計劃（planning）：擬定解題的計劃，並評估其適當性。

（五） 執行（implementation）：執行計劃，並了解是否按照計劃執行。

（六） 驗證（verification）：檢驗結果是否合理且正確。

此外 Schoenfeld 非常重視啟發術，如畫一個圖或考慮簡單的問題等策略都 能幫助學生了解問題（引自邱佳寧，民 90，17 頁）。

三、Montague 的解題歷程模式：

Montague（1992）提出「認知-後設認知」策略，他認為懂得解題策略是很 重要的，它能幫助學生有效率的解決問題，學生必須建構及歸納這些解題策略，

使其能靈活運用這些解題策略，學生若缺乏問題解決策略，常常需要教導明確的 認知解題策略（想像、口頭默述、翻譯、摘要、估計）來幫助他們閱讀問題及解 決問題（Montague&Applegate,1993b）。此解題策略如圖：

認知策略及歷程 後設認知策略及 1.閱讀（read） 歷程

2.釋義（paraphrase） 1.自我調整

3.視覺化（visualize） （self-instruct）

4.假設（hypothesize） 2.自我提問

5.估計（estimate） （self-question）

6.計算（compute） 3.自我監控

7.檢查（check） （self monitor）

圖 2-5

Montague 數學解題的認知-後設認知模式（資料來源：Montague,1992,p168）

四、Mayer 的解題歷程模式

Mayer（1992）從認知心理學的觀點探討解題歷程，他將解題歷程分為二大 階段即問題表徵（problem representation）和問題解決（problem solution），

而兩階段又各包含了兩個步驟，茲分述如下：

（一）問題表徵：

1.問題轉譯：指將問題的陳述句轉換成內在心理表徵，如重述句子、畫圖。這 時需要的知識是語言知識及語意知識。

2.問題整合：將問題中的訊息整合在一起成為一連串的表徵，這時需要用到數 學的基模知識。

（二）問題解決：

1.解題計劃與監控：想出適合解題的策略，此時需要用到策略性的知識。

2.解題執行：能正確運算來解題，此時需要用到程序性的知識。

茲將 Mayer 的解題步驟與相關的知識及教學上可以採用的策略整理如後：

如例：地磚以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 0.72 元，那麼一個長

整理自 Mayer（1992）；及林清山譯（民 82）教育心理學－認知取向，p.391-415

好的解題者比差的解題者擁有較完整的解題策略，能在解題過程中不斷的分 析了解題意並提取自己的先備知識來計劃解決問題。在 Mayer 的第一步驟問題轉 譯部分，學生常犯的錯誤是 1.遺漏的錯誤：某一句話未能完全回憶出來；2.細目 的錯誤：在陳述句中，一變數改變成另一變數；3.轉變的錯誤：陳述句從關係句 轉變成指定句（林清山譯，民 82）。第二步驟問題整合部分，牽涉到學習者基模 知識，而基模知識又與解題者先前的學習經驗有關，許多學童無法正確的解題並 不是因為他們計算過程錯誤，而是使用到錯誤的基模。在第三步驟解題計劃與監 控中，解題困難者在解題時，常使用關鍵字解題且常由數字所呈現的方式來決定 運算符號，然能力較好的解題者，則能思考整個解題的流程，並能計劃解題的過 程與步驟。在最後步驟解題執行階段，需要使用到程序性的知識，分析學生錯誤 的類型，然後再進行補救教學。

Mayer 結合認知心理學的理論與數學解題的技巧，在每一步驟中皆有相對應的 知識類型，提供給教學者在進行補救教學前，能針對學生的錯誤類型進行分析，

以了解學生的障礙在哪一步驟上，且教學者可以針對其解題步驟設計相關的提問 句或檢核表來幫助學習障礙者瞭解本身的解題模式，幫助他們建立正確的解題步 驟，因此本研究的架構即以 Mayer 的解題步驟為主軸。

貳、認知解題教學應用於學習障礙者的相關研究

Kilpatrick（1985）曾說數學解題在認知心理學的層面是一種情境，在此情境 中，某人想達到一個目標，但路徑被阻塞了，故產生了問題，需要解題者運用數 學概念、原理與方法來達到目標。在國內外，有許多以認知層面來設計解題活動，

其研究的結果可以提供教學的參考，因此以下就幾位學者的研究加以探討。

McCoy（1994）以 Polya 的解題過程為步驟，針對九十二位三年級學生進行 解題能力分析，其結果顯示學生常常忘了第四步驟即「回顧解答」，有 80﹪的學 生會了解問題、70﹪會擬定計劃並執行、只有 34﹪會回顧解答。Garofalo 與 Lester

（1985）融合了 Polya 和 Flavell（1987）的後設認知成分，提出認知－後設認知

的數學解題步驟，包括：1.導向：評估與了解問題的策略行為；2.組織：計劃行 為與選擇行動；3.執行：調整行為以配合目標；4.驗證：確認對決策與計劃執行 結果的評估。Kilpatrick（1967）以 Polya 的四階段為依據，探討八年級學生解題 的歷程策略後，發現學生並無使用很多策略，在四階段中各有不同的策略，如 1.

找出解題需要的條件或畫圖以理解題意；2.重述題意以擬定解題計劃；3.逐步執 行計劃和檢驗答案；4.藉由確認答案的合理性或以其他方式檢討答案的正確性。

（引自邱佳寧，民 90，17 頁）

Montague 與 Bos（1986）融合數學解題模式與認知理論提出了八步驟的解題 策略即 1.閱讀問題；2.闡述問題；3.視覺化；4.陳述問題；5.假設；6.評估；7.計 算；8.自我檢查。針對六名 15 至 19 歲的數學學習障礙學生進行教學，其結果顯 示，認知策略並非對所有的學障青少年都有效，其智商與動機應更深入的了解。

除了智商和動機因素外， Montague（1991）以晤談的方式探討三名資賦優異學 生和三名學習障礙資優生在解題時所使用的策略，其結果發現學障學生在解題較 欠缺認知和後設認知方面的知識，而影響到其解題成功的機會。因此，Montague

（1992）針對認知－後設認知策略加入自我教導（self-instruct）、自我提問

（self-question）與自我監控（self-monitor）的成分，對六名中學學習障礙學生進 行教學，採用單一受試法的跨受試者多基線設計，其研究結果顯示，認知－後設 認知策略能改善受試者的解題能力，並能將此能力類化到其他的情境中，然而在 保留效果方面，只有兩名學生達到保留效果。Lerner（2000）也指出學習障礙兒 童因不清楚解題策略和程序而導致解題失敗，需要教師引導和足夠的練習才能將 思想和語言結合。

國內以 Polya、Montague、Mayer 的解題步驟為主體的研究很多，以下就幾位 學者的研究加以介紹：

林碧珍（民 78）和張淑芳（民 90）分別以 Polya 的解題策略來檢測學生在解 題上的表現，其林碧珍的研究結果顯示高、低成就學生在解題上的表現，低成就 學生通常能朗讀題目，但不懂題意也沒有設立解題計劃，且經常利用關鍵字來解

題。張淑芳則除了以 Polya 的解題歷程並加入了 Marshall 的基模圖策略發展一套 認知解題策略，包括五個步驟：唸題目、找重要字、畫圖表示、列算式和計算與 檢查，探討國小輕度智能障礙學生解答改變類加減法應用問題的效果；其結果發 現，整體答題正確率均較教學前進步，且撤除教學後一週，仍可持續維持。

蔡宗玫（民 84）、施青豐（民 88）、陳立倫（民 89）和王瑋樺（民 90）則分 別以 Mayer 四步驟為架構設計題目來探討學生的解題表現，其蔡宗玫研究結果顯

蔡宗玫（民 84）、施青豐（民 88）、陳立倫（民 89）和王瑋樺（民 90）則分 別以 Mayer 四步驟為架構設計題目來探討學生的解題表現，其蔡宗玫研究結果顯