認知解題策略對國小三年級數學學習障礙學生乘除法應用問題解題成效之研究 摘要 本研究旨在探討認知解題策略教學對於增進國小數學學習障礙學生解答乘 除法應用問題的效果。本研究之認知解題策略係參考 Mayer（1992）的解題歷程， 策略包含六步驟：讀題目、畫重點、畫圖、說、寫算式和計算。採單一受試實驗 設計中的跨受試者多探試設計，針對三名國小三年級數學學習障礙學生，實施策 略教學以增進三位受試者解答乘除法應用問題的效果，所得資料以目視分析法探 討受試者在乘除法應用問題測驗之「整體」作答表現，並分析「各類題型」的作 答狀況。研究結果發現如下： 一、認知策略教學能提昇國小數學學習障礙學生解決乘除法應用問題的解題成 效。 二、認知策略教學未能對全部受試者持續維持作答乘除法應用問題的正確答題水 準。 三、認知策略教學能有效提高國小數學學習障礙者在乘除法「等組類型」「比較 類型」「直積型」的答題正確率。 四、認知策略教學能減少數學學習障礙學生使用關鍵字策略來解題的情形，增進 理解題意及圖示策略的使用。 根據研究結果，對教學與未來研究提出建議。
The Effects of Cognitive Problem-Solving Strategies on Multiplication and Division Word Problems for the Third Grade Students in Elementary School with Mathematical Learning Disabilities.
Abstract
The purpose of this study was to explore the effect of cognitive-solving strategies for elementary students with mathematical learning disabilities to solve multiplication and division word problems. The cognitive problem-solving strategies were referred to from the process of solving a problem of Mayer(1992). It included six steps: Reading the topic,
marking the main points, drawing, speaking, displaying equation and calculation. A
multiple-probe design across subjects was used to design the teaching experiment procedure and analysis the treatment effects. The method of visual analysis was used to explore students, performance in multiplication and division word problems. In addition, the tests of all
question types were scored to evaluate students’performance in solving problems. The results of this study were as following:
1. The cognitive-strategy instruction was successful in increasing the scores on the multiplication and division word problems for the students with learning disabilities. 2. After instruction, the percentages of correct answers from of three subjects didn’t all
increase and remain.
3. The cognitive strategy instruction was successful in increasing the percentages of correct answers to the questions of equal groups, comparison, and cartesian product for the students with learning disabilities.
4. After instruction, the mathematical learning disabled students would decrease the use of key-word strategy. In addition , the instruction would promote the use of comprehending and diagram strategies.
Based on the study results, some suggestions were brought up as teaching and correlated study in the future.
目 錄
中文摘要……….………… .I 英文摘要………..……….II 目 錄……….………….III 表 次……….…………..V 圖 次………..VI 第一章 緒論 第一節 研究動機與研究目的……….…….……1 第二節 待答問題……….….……4 第三節 名詞詮釋……….…….5 第四節 研究限制……….………….6 第二章 文獻探討 第一節 數學學習障礙學生之學習特徵與相關解題研究……….….…....7 第二節 乘除法文字題解題相關研究………....13 第三節 認知解題歷程及學習障礙者認知解題教學相關研究………....21 第三章 研究方法 第一節 研究架構………....29 第二節 實驗設計………....31 第三節 研究對象………32 第四節 研究工具………34 第五節 資料分析………....37第四章 研究結果 第一節 整體解題表現的資料分析………...39 第二節 各類題型解題表現資料分析………53 第五章 結論與建議 第一節 結論………....64 第二節 建議………66 參考文獻 中文書目………...70 英文書目………...73 附錄 附錄一 家長同意書………77 附錄二 數學基本能力測驗………...78 附錄三 識字測驗………...79 附錄四 應用問題解題測驗………...81
表 次
表 2-1 第三、四冊南一版本乘除法單元目標分析表……….…..17 表 2-2 第五、六冊牛頓版本乘除法單元目標分析表……….….…...17 表 2-3 Polya 解題四步驟……….……..…21 表 2-4 Mayer 的解題歷程模式……….…..…..24 表 3-1 認知解題策略與 Mayer 解題歷程……….30 表 3-2 三位受試者基本資料………...….….32 表 3-3 學生在應用問題解題測驗複本中各題正確解題百分比……….36 表 3-4 應用問題解題測驗複本中各類題型平均答對率……….36 表 4-1 S1 階段內的目視分析結果摘要表………...42 表 4-2 S1 相鄰兩階段之比較的目視分析結果摘要表………...43 表 4-3 S1 解題正確率 C 統計摘要表………..43 表 4-4 S2 階段內的目視分析結果摘要表………...45 表 4-5 S2 相鄰兩階段之比較的目視分析結果摘要表………...46 表 4-6 S2 解題正確率 C 統計摘要表………..46 表 4-7 S3 階段內的目視分析結果摘要表………...48 表 4-8 S3 相鄰兩階段之比較的目視分析結果摘要表………...49 表 4-9 S3 解題正確率 C 統計摘要表………..49 表 4-10 三位受試者在階段內的目視分析結果摘要表………..50 表 4-11 三位受試者在相鄰兩階段之比較的目視分析結果摘要表………...51圖 次
圖 2-1 量數同構型基模圖………..………..14 圖 2-2「3 的規則」基模圖………..…14 圖 2-3 多重比例型基模圖……….……..…..15 圖 2-4 乘除法應用問題結構圖………..……..20 圖 2-5 Montague 數學解題的認知-後設認知模式………..………23 圖 3-1 研究架構圖………..……..29 圖 4-1 S1、S2 與 S3 解題表現的曲線圖……….40 圖 4-2 S1 解題表現曲線圖………...41 圖 4-3 S2 解題表現曲線圖………...44 圖 4-4 S3 解題表現曲線圖………...47 圖 4-5 S1、S2 與 S3 在「等組類型乘法題型」的解題表現……….52 圖 4-6 S1、S2 與 S3 在「等組類型包含除題型」的解題表現……….54 圖 4-7 S1、S2 與 S3 在「等組類型等分除題型」的解題表現……….55 圖 4-8 S1、S2 與 S3 在「比較類型乘法題型」的解題表現……….57 圖 4-9 S1、S2 與 S3 在「比較類型除法題型」的解題表現……….58 圖 4-10 S1、S2 與 S3 在「直積類型乘法題型」的解題表現……….59第一章 緒論
第一節 研究動機與研究目的
數學為科學之母，教育部於民國六十四年、八十二年至九十年實施推展九年 一貫課程數學科的教學目標皆強調需培養輔導學生從日常生活經驗中，獲取相關 的數學知識，養成學生喜歡數學，主動學習數學的態度，提高問題的解決能力， 並強調與其他各領域的連結。然根據研究指出，數學科是國民中、小學學生最感 學習有困難的學科之一（邱上真、詹世宜、王惠川、王建志，民 84）；且普通或 特殊班中，學習障礙學生並不像其他的特殊兒童那麼明確，所以不太容易引起別 人的注意（毛連塭，民 78），而數學學習障礙又不如語文障礙受人重視，由目前 國內資源班大都以語文科的教學為主就可得知；因此若在早期未能實施補救教 學，到了高年級才補救教學就會越困難，學生的挫折感就會越來越大， 所以為 數學學習障礙學生設計合適的教材或教導正確的解題是刻不容緩的事情。 根據 Schoenfeld（1985）認為今日學校數學科的教學著重在問題解決，應把 數學的問題解決列為首要的教育目標，使學生成為一個有能力的解題者且有意義 的學習數學，並對自己的數學能力有信心。Branca（1990）將解題定義為運用先 前經驗處理不熟悉或新問題的過程，重視學生的解題方法、步驟和策略。數學解 題教材大多以應用問題的方式呈現，應用問題的在數學學習領域理是屬於較難的 部分，因為它牽扯到陳述性和程序性的知識，學生不僅需具備運算的基本技能， 同樣的需要將文字問題轉譯成算數語言才能正確的解題；數學學習障礙者即使具 有計算或閱讀能力但由於對訊息處理有困難、語文認知方面的缺陷，導致在應用 問題解題上遭遇許多挫折，他們常常盲目的運算，將題目所給的數字作加減乘除 的組合，或使用關鍵字解題，但根據許多研究的顯示，關鍵字的解題並無法真正 的解題。因此教導數學學習障礙學生「如何解題」就顯得很重要。目前大多數問 題解決的研究係根據認知心理學訊息處理模式進行（Reed,1999），藉由對解題心理歷程的瞭解來促進解題能力。 自一九六0年代後期認知心理學的興起，不同以往的行為主義學派著重於刺 激與反應的連結，將數學知識透過工作分析，有組織有順序的傳授給學生，並用 增強來達到目標；認知心理學派則強調讓學生能透過認知的歷程建構自己的知 識，能了解解題的歷程，學童透過解題的過程能創造出自己的見解與理解。可見 現在教育的潮流著重於讓學生能理解題目的意思，不同以往使用關鍵字來解題， 希望學生能將題目內化轉換成算式求出解答。且認知心理學受特殊教育重視的原 因之一就是注重「認知策略」對個體思考的影響力（張淑芳，民90）。主張訊息 處理理論的學者認為，個體的記憶容量是有限的，因此若個體能被教導解題策 略，將有助於學習、記憶和解題效果的提昇（鄭昭明，民86）。在許多解題研究 中，雖然解題細目有所差異，但大致包含的內容有了解題意、針對題目設計解題 計劃然後就是執行計劃（Mayer,1992；Montague,1992；Polya,1945； Schoenfeld,1985），其中Mayer（1992）將解題步驟分為問題表徵和問題解決兩大 階段，且問題表徵中包含了問題轉譯和問題整合步驟，問題解決中則包含了解題 計劃與監控和解題執行兩大步驟，且步驟內都有各自所屬的知識類型，使教學者 能從學生的錯誤類型中分析其所欠缺的知識並對症下藥。 在數學課程標準中，國民小學學生學習數學時應該獲得的概念與技能有：1. 數與計算；2.量與實測；3.圖形與空間；4.統計圖表；5.數量關係；6.術語與符號 （教育部，民 82）。其中「數與計算」中包含了加、減、乘、除，又以乘除較為 困難，國小三、四年級正式進入乘除法文字題的解題，數學學習障礙學生對於乘 除法文字題常不知如何著手，國內學者簡茂發、劉湘川、許天維和林原宏（民 84） 針對國小學生乘除法問題解題策略及理解層次分析研究中，發現學生使用的策略 如下：1.以預期結果量作為選擇符號的依據；2.以較大的數除以較小的數；3.乘 法以整數為乘數；4.使用關鍵字。然國內針對數學學習障礙學生乘除法文字題解 題的教導少之又少，大多偏重在加減法，探究其原因有下列兩點：1.乘除法文字 題結構比較複雜，且問題可以由不同的情境產生；2.在數學八個基本能力（含有
形狀、分類、數數、序列、加、減、乘及除），乘除的能力是屬於較高層次（孟 瑛如、周育廉、袁媛、吳東光，民 90）。Dickson,Brown 與 Gibson 的研究也顯示 乘除法運算的意義比加減法更加困難（引自楊瑞智，民 86，132 頁）。且根據教 材的分析，若於中年級無法使用策略解決乘除法應用問題，以後高年級的分數或 小數的乘除法就顯得更加困難。 有鑒於數學學習障礙學生認知方面的缺陷，本研究希望透過認知解題策略幫 助學習障礙學生建構自己的解題模式，解決乘除法應用問題，重新建立其對數學 的信心與興趣，因此本研究的目的如下： 一、探討「認知解題策略教學」對數學學習障礙學生乘除法應用問題解題能力之 解題成效。 二、探討「認知解題策略教學」對數學學習障礙學生乘除法應用問題解題能力之 維持效果。
第二節 待答問題
根據研究目的，本研究的待答問題如下： 一、數學學習障礙學生在接受認知解題策略教學後，其乘除法應用問題解題能力 是否有增進？ 1-1 數學學習障礙學生在接受認知解題策略教學後，其在乘除法測驗中的整體作 答的得分是否比基線期提高？ 1-2 數學學習障礙學生在接受認知解題策略教學後，其在乘除法測驗中「等組類 型」的作答的得分是否比基線期提高？ 1-3 數學學習障礙學生在接受認知解題策略教學後，其在乘除法測驗中「比較類 型」的作答的得分是否比基線期提高？ 1-4 數學學習障礙學生在接受認知解題策略教學後，其在乘除法測驗中「直積型」 的作答的得分是否比基線期提高？ 二、數學學習障礙學生在撤除認知策略教學後，其作答正確率是否仍持續維持在 處理期之平均答題正確率的水準範圍內？ 2-1 數學學習障礙學生在撤除認知策略教學後，其「整體」作答正確率是否仍持 續維持在處理期之平均答題正確率的水準範圍內？ 2-2 數學學習障礙學生在撤除認知策略教學後，其「等組類型」作答正確率是否 仍持續維持在處理期之平均答題正確率的水準範圍內？ 2-3 數學學習障礙學生在撤除認知策略教學後，其「比較型」作答正確率是否仍 持續維持在處理期之平均答題正確率的水準範圍內？ 2-4 數學學習障礙學生在撤除認知策略教學後，其「直積型」作答正確率是否仍 持續維持在處理期之平均答題正確率的水準範圍內？第三節 名詞詮釋
壹、數學學習障礙學生 根據教育部民國八十八年公佈之「身心障礙及資賦優異學生鑑定原則與鑑 定基準」，學習障礙的界定為「學習障礙，指統稱因神經心理功能異常而顯現 出注意、記憶、理解、推理、表達、知覺或知覺動作協調等能力有顯著問題， 以致在聽、說、讀、寫、算等學習上有顯著困難者；其障礙並非因感官、智能、 情緒等障礙因素或文化刺激不足、教學不當所直接造成之結果。」 根據教育部的定義，本研究國小數學學習障礙學生操作型定義為： （一）魏氏智商正常或正常程度以上。 （二）數學低成就。 （三）學習問題非由其他障礙或環境因素所造成的。 （四）經過研究者自編的「數學基本計算能力測驗」作答正確率達 80﹪以上， 「識字能力測驗」作答正確率達 90﹪以上。 本研究的個案為目前就讀資源班三位通過彰化縣鑑輔會鑑定為數學學習 障礙學生。 貳、認知策略解題 本研究的解題策略是以 Mayer（1992）的解題策略為主軸，其策略分為兩大 階段：問題表徵（problem representation）和問題解決（problem solution）， 而兩階段又各包含了兩個步驟。即問題表徵包含了問題轉譯和問題整合；問題 解決包含了解題計劃與監控和解題執行。將策略的內涵轉換成下面六個步驟並 加入口訣以便記憶：一讀、二畫重點、三畫圖、四說、五寫算式、六計算。 參、乘除法應用問題 本研究的乘除法應用問題題型的分類參考 Greer（1992）對正整數乘除法 的分類以及比照國小三年級乘除法課程內容，將題目分為下列三種類型：等組 類型、比較類型、直積類型；採用單一步驟的解題模式。第四節 研究限制
一、本研究採單一受試實驗設計中跨受試者的多探試設計，對象僅為就讀本校資 源班國小三年級數學學習障礙學生，故研究結果不宜直接推論到不同年級和 不同障礙類別的學生。 二、本研究僅對三年級乘除法中單一步驟作探討，故研究結果是否能推論到其他 類型的乘除法運算，有待進一步的研究。 三、本研究採用一對一教學，研究結果未必能推論到小組教學或大班教學情境。 四、本研究受試者一智商較其他兩位受試者智商低，故研究結果未必能統一概述。第二章 文獻探討
本章第一節針對數學學習障礙學生的學習特徵及數學解題相關研究作探 討；第二節則針對學習障礙兒童乘除法解題相關研究作探討；第三節則探討認知 解題歷程及認知解題教學應用於學習障礙者之相關的研究作探討。第一節 數學學習障礙學生之學習特徵與相關解題研究
壹、數學學習障礙學生的學習特徵「數學學習障礙」（mathematics learning disabilities）一詞是源自「學習障礙」。 早期對學習障礙的定義，多從醫學腦神經功能病變與基本心理歷程的取向去界 定，但因為它隱含著嚴重病變無法矯正與鑑定效果不佳的因素，因此目前對學習 障礙的定義多以學科能力做界定（周台傑，民 81）。而數學學障礙學生是一群異 質性很高的群體，其學習問題並不是所有的數學學習障礙者皆包含著所有的學習 特徵，而是有個別不同的組型存在（何國華，民 78；邱上真，民 90；Kosc, 1974）。 所以，了解學習障礙學生的學習特徵不僅能幫助作診斷的依據更可幫助老師來設 計教材，因此以下就綜觀學者所提出的數學學習障礙者的學習特徵來加以探討。 一、訊息處理方面的缺陷 訊息處理主要是在研究人類如何接收、保存並運用訊息的歷程。數學學習障 礙兒童普遍存在造成數學成就低落的原因，而這些原因又與訊息處理能力密切相 關，因此以下就分別針對注意力缺陷、視覺-空間缺陷、聽覺訊息處理缺陷、記 憶缺陷和動作缺陷作探討： （一）注意力缺陷： 在多重步驟的解題時，注意力無法持續，且在解題時，難以排除不重要的 訊息並無法專注於老師講解的解題步驟。很多數學學習障礙學生在小學階段無 法獨自從長期記憶中擷取相關的數學知識，他們常擷取錯誤的訊息和需要很多 反應時間（Fayol,Barrouillet&Marinthe,1998）。數學學習障礙者有記憶提取的困
難，且反應在認知行為上的有顯示出算術困難、動作能力低落、低自尊、低智 商（Geary,2000）。且因工作記憶上的缺陷，在解題時常無法專心，根據 Russell 與 Ginsburg（1984）的研究顯示，數學學習障礙者無法監控與調整自己的解題 步驟。 （二）視覺–空間缺陷： 視覺空間系統在解題時扮演一個很重要的角色，如在幾何圖形、文字問 題上，且視覺－空間系統的缺陷常會造成學習障礙（Geary,1996）。Badian （1983；引自楊坤堂，民 84，362 頁）指出語言能力不足和空間能力缺陷的 佔數學學習障礙學生的比率最多。其特徵有作答時，無法找出正確的位置； 難以區辨數字如 6 與 9、17 和 71；不會分辨錢幣、運算符號和指針；對辨別 方位或方向有困難；無法依形狀或樣式來分類。 Lerner（1997）指出數學學習障礙者在視覺－空間的缺陷是他們不能分 辨數線上 3 比較靠近 4 還是 6；不能看出一組物品有幾個；不能正確知覺幾 何圖形；不能將數字對齊以致於計算錯誤。 （三）聽覺訊息處理缺陷： 難以用口語來練習算術；不會心算。 （四）記憶缺陷： 記憶力分為短期記憶、長期記憶和序列記憶。學習障礙者在短期記憶上 的缺陷有：無法記取新的訊息，記住算則步驟有困難；長期記憶上的缺陷有： 無法提取自己的先備知識；序列記憶上的缺陷有：對於多步驟的文字題解題 有困難。 學生在解應用問題時在問題轉譯上易犯三種回憶錯誤類型為：（1）遺漏 的錯誤：某一句話未能完全回憶出來；（2）細目的錯誤：在陳述句中，將一 個變數改為另一個變數，如「畫框有兩吋寬」變成「畫框有兩吋長」；（3） 轉變的錯誤：陳述句從關係句轉變成為指定句或正好相反，如「畫的長比寬 多四吋」轉變成「畫長是四吋」（林清山，民 84）
（五）動作障礙： 書寫動作慢；無法在指定的空間寫出適當大小的數字；書寫的數字難以 辨認。 二、語言方面缺陷 兒童在理解一個問題時，需要了解題目中的中文字意義，辨別並抽取題目 中的相關訊息，並透過已有的問題基模整合題意，以建立適當的問題表徵，以 形成解題計劃，故在理解題意中，學童需要具備相關的語言知識（鄧少林、蔣 治邦，民 82）。而在文字題中不相干的數字和語言訊息都會影響到數學學習障 礙兒童的思考，而且很多數學學習障礙兒童伴隨著有閱讀困難，這更加妨礙其 解題能力（梅文慧，民 92）。 三、認知/後設認知方面缺陷 根據 Geary 的調查大約有 5%至 8%的學齡孩童有某些記憶或認知方面的缺 陷，而影響到其學習數學（Geary,2004）。認知是指思考方面的能力，後設認知 是指思考如何思考的能力（Hallahan,Kauffman&Lloyd,1999）。數學學障學生 在認知和後設認知歷程的困難，通常表現在下面兩方面：1.執行一項任務，缺 乏對此項任務所需技能、策略和資源的覺知；2.無法使用自我調整機能來完成 任務。這些學障學生在解題時的特徵即無法選擇適當的解題策略，無法組織訊 息，不能有效的監控自己的解題歷程，不能評估答案的正確性，無法將策略類 化到其他的情境中（江美娟，民 91）。 Geary（1993）指出數學學習障礙者其在認知方面的缺陷有 1.使用不成熟 的策略；2.解題概念缺乏；3.解多步驟問題有困難；4.對檢索數學知識有困難； 5.常出現理解的錯誤。Zentall 和 Ferkis 的研究指出數學學習障礙者由於其認知 能力和閱讀能力的缺陷，影響到他們對題目中多餘訊息、多步驟運算和轉換語 文訊息的處理能力（Zentall&Ferkis,1993；引自陳立玲，民 91，25 頁）。 四、社會與情緒上的特質： 很多數學學習障礙學生在學科方面的挫敗而導致「數學習得無助」的歷
程（梅文慧，民 92）。學生被動的學習且有較多的學習無助感與較大的焦慮感。 由以上的特徵可知，數學學習障礙者因訊息處理過程的缺陷、認知/後設認 知缺陷和語言缺陷導致其學習動機與態度低落，因此老師若能針對其弱勢能力而 加以補救教學，俾能有所幫助。 貳、數學學習障礙學生解題的相關研究 許多研究顯示數學學習障礙學生的學習是被動的，且缺乏有效處理訊息的策 略，他們不良的學習策略、方法或學習態度已被認知教育學者與特殊教育專家所 重視（林美和，民 76；Chi,1977；Lerner,1988；Wong,1988；引自蔡翠華，民 85， 158 頁）。而數學解題能力對學習障礙學生而言是一個很難學習的領域，除了本身 的障礙的限制並包括了沒有一套完整的解題策略幫助他們思考解決問題，因此分 別探討學者針對數學學習障礙者本身的語文因素、題目呈現的方式、解題策略的 使用和分析學生的錯誤類型等四大部分作整理。 一、語文障礙 學習障礙者本身的語文能力會影響到解題的成效。Englert、Culatta 與 Horn （1987）探討無關語言和無關數字對學習障礙學生解題表現的影響，發現學習障 礙者無法排除題目中不相關的語句與數字，解題錯誤並非計算的錯誤，而是將題 目中的所有數字加以運算。Pamar、Cawley 與 Frazita（1996）比較普通生和障礙 學生在解題方面的表現，研究顯示，障礙學生在間接語言（indirect）也稱為不一 致語言如：題目敘述為「少」卻要用「加」，在不一致語言中，解題錯誤類型大 都是使用關鍵字來表徵問題。曹宗萍（民 77）針對高屏地區國小兒童四則問題影 響解題過程的相關因素作探討，其結果顯示，語文能力和閱讀理解能力深深影響 到學生在數學解題上的表現。 二、題目呈現的方式 文字題的內容型態也會影響到學習障礙者的解題，如 Mayer（1987）將句型 分三類：陳述句（assignment）、關係句（relation）、問句（question），而題目中
含有關係句時，對學習障礙者而言是較難解題的，他們會把關係句直接轉譯成陳 述句如，「甲比乙多 5 塊錢」會轉譯成「甲有 5 塊錢」，而造成解題的困難。Hart （1981）指出，學生在選擇解單一步驟應用問題的方法時，會受題目中數字型態 的影響；Burns 與 Yonally（1964）研究也顯示，文字題中數字出現的順序若和解 題所需的順序不一樣，則會造成解題的困難。針對以上的問題，有研究顯示若改 寫題目則能提高解題的正確率，Davis-Dorsey、 Ross 與 Morrison（1991）探討 個人化（personalizing）及改寫（rewording）是否能增進學生理解文字題，所謂 的個人化就是將受試者熟悉的事物運用在題目中，而改寫就是在題目中加註一些 句子使題目更加清楚明瞭，研究顯示，兩者的確能幫助提高解文字題的正確率。 三、解題策略 解題策略的發展能幫助學障學生按步驟解決問題，因此有許多針對學障學生 解題策略的研究，Montague 與 Applegate（1993a）針對中學學障學生的研究指出， 解題能力有賴於能理解問題和預測計劃合適的運算過程，學障學生在解題時常無 法使用有效率的認知策略。Geary 與 Brown（1991）研究資優生、普通生和學障 學生所使用的解題策略，其結果發現，學障學生使用較不成熟的策略或計算過程 容易犯錯，而資優生則直接由長期記憶中去尋找答案。Hathaway（1989）探討學 習障礙學生和普通班學生在解題時的策略發現，普通學生的解題能力與策略均比 學障學生佳，對普通班而言，口語的暗示與圖畫暗示能幫助他們解題，而學習障 礙學生則以具體物和畫圖暗示為佳。邱佳寧（民 90）以晤談方式探討四年級學習 障礙學生在使用解題策略時的表現，其結果顯示學障學生最常使用關鍵字解題， 解題錯誤的原因包括陳述句、關係句、問句理解有困難，無法排除多餘訊息、目 標監控錯誤等。 四、錯誤分析 Babbitt（1990）對南加州五、六年級學生做單一步驟整數的數學解題之錯誤 分析，其結果顯示學生的錯誤類型如下：1.計算錯誤；2.運思計劃錯誤；3.缺乏動 機；4.其他原因。且他認為老師應具備分析學生錯誤類型的能力，才能設計補救
教學的教材。秦麗花（民 84）研究三年級數學學習障礙學生的解題錯誤類型，其 錯誤類型有：1.缺少檢驗工作；2.執行計劃失誤；3.基本概念不清；4.沒有解題能 力與作答動機。 此外，朱經明、蔡玉瑟（民 89）以動態評量診斷國小五年級學障學生數學能 力，其結果顯示有 2﹪的學生有閱讀的困難，10﹪的學生有數學語文理解的困難， 18﹪的學生經簡化題目或圖解題示後便可正確的解題，30﹪的學生具備基本的計 算能力，而有 33﹪的學生基本計算能力有很大的缺陷，因此建議老師在教學時可 以以具體實物來促進解題。 綜合以上的研究發現，語文能力、數字理解、問題的形式與解題的策略都會 影響到學障學生的解題表現，然若能有效的選擇策略，藉由策略來幫助學生理解 文字、重新組合文字類型更進一步的了解題意，相信能不僅能增進解題能力也能 重建學生的自信心。
第二節 乘除法文字題解題相關研究
我們常常發現即使學生已學會如何進行乘除運算，卻無法正確判斷該用什麼 運算方法（孟瑛如、周育廉、袁媛、吳東光，民 90）。因此本章節將就學者提出 的乘除法的運算結構與整理現行課程中乘除法類型，以釐清乘除法文字題的模 式；並針對學習障礙者在解乘除法文字題時，常出現的解題的迷思加以探討，以 作為補救教學的參考；最後整理學者對乘除法解題的相關研究。 壹、乘除法文字題的運算結構與現行課程的相關 要了解數學學習障礙者解乘除法文字題的困難所在，首先我們必須對乘除法 文字題的呈現結構有所了解，並加以分析目前課程中乘除法的安排模式與乘除法 運算結構相對應。能如此，我們才能確切的掌握學生的問題所在而實施補救教 學，因此以下分析幾位學者對乘除法文字題運算結構的分類，並針對九年一貫課 程中乘除法文字題加以分析。 一 、乘除法運算結構 以下分別就 Vergnaud（1983）與 Greer（1992）的分類加以探討： （一）Vergnaud（1983）乘除運算結構 許多學者以乘的結構為基礎再來探討乘除法的相關概念，以 Vergnaud（1983） 的模式為主要的依據，其以向量空間和向度將乘除的運算結構分為：量數同構型 （isomorphism of measures）、量數乘積型（product of measures）、多重比例型 （multiple proportions），茲將這三種類型介紹如下（引自林碧珍，民 80，225 頁； 孟瑛如等人，民 90，84 頁）： 1、量數同構型（isomorphism of measures）： 分為兩個向量空間的比較，當四個數值中的一個值為 1 時，則探討三個值 的關係，並依其位置分為乘法、等分除和包含除，若是探討四個數值得關係， 則將此問題稱為「3 的規則」（three-place），以下面的基模圖作介紹：M1 M2 1 X f（1） f（x） 圖 2-1 若求 f（x）則屬乘法問題，若求 f（1）則屬等分除問題，若求 X 則屬包含除問 題，例如： （1）乘法問題：如果每位小朋友有 3 粒橘子，則 4 位小朋友共有幾粒橘子？ M1＝人，M2＝橘子，所以 f（1）＝3，X＝4 求 f（4）。 （2）等分除問題：12 粒橘子平分給 4 位小朋友，每人可得幾粒橘子？ M1＝人，M2＝橘子，所以 X＝4，f（x）＝12 求 f（1）。 （3）包含除問題：12 粒橘子，每人得 3 粒橘子，則可分給幾位小朋友？ M1＝人，M2＝橘子，所以 f（x）＝12，f（1）＝3 求 X。 （4）「3 的規則」其基模圖如下： M1 M2 X1 X2 f（x1） f（x2） 圖 2-2 已知四個數值中的三個值，求其中的一個值，則屬「3 的規則」的問題。 如：三枝鉛筆賣 5 元，則小華買了 12 枝鉛筆，共要付多少錢？ 問題中 M1＝鉛筆 M2＝價錢，X1＝3 ，f（x1）＝5，X2＝12 求 f（x2）是多 少。 2.量數乘積型（product of measures）： 是由兩個量結合成第三種的量，例如：長方形的長 5 公分，寬 7 公分求長 方形的面積。 3.多重比例型（multiple proportions）： 這類題型包含三個量，第三個量與其他兩個量成比例關係，並依位置的不同
同樣分為乘法、包含除與等分除。 M2 1 X2 1 X1 f（1,1）＝k f（x1,x2） M1 M3 圖 2-3 （1） 乘法問題：小美家有 5 個電錶，每個電錶每天用電 4 度，則小美家 30 天用 電量多少？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量，f（1,1）＝4，X1＝30， X2＝5 求 f（x1,x2）。 （2） 等分除問題：小美家有 5 個電錶，用了 30 天共用了 600 度，則每個電錶每 天用多少電量？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量，f（x1,x2）＝600， X2＝5，X1＝30，求 f（1,1）。 （3） 包含除問題：小美家有幾個電錶，30 天共用了 600 度，而每個電錶每天用 電 4 度，問小美家共裝了幾個電錶？則 M1＝天 ，M2＝電錶，M3＝電量， f（x1,x2）＝600，X1＝30，f（1,1）＝4 求 X2。 （二）Greer（1992）乘除運算結構 Greer（1992）將正整數乘除的問題依情境分為以下四個類型： 1.等組類型（equal groups）： 是由一些相同個數的物體之集合所構成的情境，包含乘法與衍生出來的 兩種除法即包含除與等分除。有些是自然重複的情形如：1 個人有 2 隻手，4 個人有幾隻手？；有些是重複做一些動作如：跑一圈 100 公尺，要跑五圈； 有些是人們的習慣如：老師發給 3 個小朋友，每人 2 片餅乾。等組類型與 Vergnaud 的量數同構型最為相似，且此種類型於國小階段最為常見。 2.乘法性比較類型（multiplicative comparison）：
比較型乘法是一種用”多少倍”來敘述的題目，這類的問題常以倍數、折 扣、加成投票率、百分比值、利率、比例尺等方式來呈現，在中低年級階段 則只有有關倍數的問題出現，如：小華有 7 顆彈珠，小英的彈珠是他的 2 倍， 問小英有幾顆彈珠？ 3.直積（cartesian product） 直積是由一個集合的每一個元素與另一個集合的所有元素有順序的結合 而成的，主要在敘述一種有序對的關係，如：3 男和 6 女一起跳舞，共有多少 種組合方式？；也包括陣列的問題，如：牆上磁磚有 4 列，直的有 8 排，請 問牆上共有多少塊磁磚？因其兩個因素為相同的角色，所以只有一種除法問 題，這種類型於國小中低年級也較少出現。 4.矩形面積（rectangular area） 矩形面積可以用正方形的個數來計數，可將邊長分割成邊長為 1 公分的 正方形，這類型的問題也只有一種除法。 Nesher 模式（1988）將乘的類型分為函數規則問題、比較型問題、笛卡兒 乘積。 本研究將以 Greer 的理論模式為基礎，分析國小三年級乘除法的結構，並針 對結構來設計補救教學方案。 二、乘除法課程結構分析 國小學生所必須獲得的概念與知識可分為六大類，包括 1.數與計算；2.量與 實測；3.圖形與空間；4.統計圖表；5.數量關係；6.術語與符號（教育部，民 82）。 乘除法即包含在數與計算當中，小學課程中自二年級上學期起即開始介紹乘除 法，因此以下根據受試者使用的版本中乘除法教材，依 Greer（1992）的分類作 分析如下表：
表 2-1 第三、四、冊南一版本乘除法單元目標分析 單元名稱 單元目標 Greer 模式 第三冊單元 三（乘法） 解決單位量 2.4.5，單位數為 9 以內的乘法 問題，並用幾有幾個來描述。 等組類型 第三冊單元 四（乘法） 解決單位量事 3、6、8，單位數為 9 以內 的乘法問題，並用幾倍來描述。 等組類型 比較類型 第四冊單元 三（乘法） 理解乘法的意義，解決單位量為 2、4、8、 9，單位數為 9 以內的乘法問題 等組類型 比較類型 第四冊單元 六（乘法） 理解乘法的意義，解決單位量為 3、6、9、 7，單位數為 9 以內的乘法問題 等組類型 比較類型 （資料來源：研究者整理自南一版本三、四冊數學指引） 表 2-2 第五、六冊牛頓版本乘除法單元目標分析 單元名稱 單元目標 Greer 模式 第五冊單元 六（乘法） 會利用矩陣方式計算物體的個數並查乘 法表 等組類型 第五冊單元 七（除法） 能正確解決包含除與等分除的問題 等組類型 第六冊單元 二（乘與除） 1. 透過方陣排列的物件總數，察覺乘法 交換律 2. 透過配對，認識乘法 3. 解決先合成或分解後再解決等分除與 包含除的問題。 等組類型 直積問題 （資料來源：研究者整理自牛頓版本五、六冊數學指引） 貳、乘除法解題之迷思 數學領域知識包含陳述性與程序性知識，陳述性知識指的是對一些事實、
理論、物件與事件加以描述的知識，而程序性知識是知道如何完成事情，強調 步驟流程的知識（許清陽，民 90）。數學學習障礙者在解文字題時，常常不了 解題意的內涵，且已往國小教育較強調程序性的知識，而近年來建構主義的盛 行，陳述性知識的重要性也慢慢被人所重視，因此要幫助學習障礙者有效的學 習，則需對乘除法在解題的迷思加以探討，因此以下整理幾位學者的研究，歸 納重點如下（孟瑛如等人，民 90；許清楊，民 90；甯自強，民 86）： 一、乘法就是累加的錯覺：許多學生都認為乘法的結果其積會越來越大，然而 在啟蒙教材中介紹乘法就是累加的結果是正確的，但乘法並不是累加，如整 數乘以小數，其結果並不會變大，這個迷思會造成學生學習乘數為小數或分 數時的障礙。 二、認為乘法、除法為較高級的解題方法：學習障礙學生常常會依數字來判斷 應用問題該用乘法或除法，而沒有對應用問題的陳述性知識加以了解，通常 是大數除以小數或看見兩數值相當時，則以乘法表示，且不了解被乘數、乘 數之間的關係，只認為答案一樣就可以。 三、關鍵字的使用：傳統的教學方式，老師會教導小朋友使用關鍵字解題，學 生從文字呈現的方式來解決應用問題，如「分」就用除或減，「總共」就用 加或乘，然在處理二步驟應用問題時，其關鍵字解題就無法發揮其功能，反 而會阻礙學生的思考。 參、乘除法解題相關研究 林碧珍（民 80）針對國小兒童對於乘除法應用問題之認知結構加以分析， 其結果顯示，學生對於乘除法應用問題的了解由易而難是量數同構型、叉積 型、比較型、多重比例型。在量數同構型的規則問題以「最初量未知」最容易， 依次是「變換量未知」和「最終量未知」，學童以乘法問題比除法問題容易， 除法問題以包含除比等分除容易。且在乘除法問題中學童較喜歡用不同度量空 間的變換即單價法，而且是連續性的使用，而較不喜歡用同度量空間的變換如
倍數法。 楊瑞智（民 86）在國小數學實驗課程整數乘除算則的教材處理中提出，從 二年級引入乘法情境問題，教導小朋友使用畫圖來表徵問題，進而解決問題。 在三年級時，擴展乘數的範圍，但不鼓勵學生使用直式紀錄解決問題，到四年 級才引入直式到五年級才正式使用直式紀錄的格式。而除法方面則在二年級 時，使用累進性合成運思來解決包含除問題，而等分除則還屬於嘗試錯誤階 段；三年級時預期學生可以發展出使用累加或累減的算式紀錄解題過程；四年 級時，引入除號來解題；五年級時則重新探討除法的直式紀錄格式。此研究的 重點在，一.重視基本乘法事實是學童建構的活動；二.重視從學童解決乘除法 問題的非形式方法中，引導建構乘除法算則；三.使用「單位量轉換」的觀點， 解釋乘除法的意義；四.乘除法算則是一種多單位系統的處理。 孟瑛如等人（民 90）針對數學學習障礙學生多媒體學習系統的開發與建構 解決一步驟乘除法文字題的研究中顯示，電腦課程會依據解決文字題的五個步 驟給予學生不同的策略、指導和基模知識，以解決乘除法文字題，例如，基模 知識的教學就是教導學習使用基模圖來區分乘除四個基本類型問題（如，等分 組、乘法比較、組合問題、單位度量積），並提供學習者解題策略來執行解題 的過程，電腦會記錄學生執行的過程，以追蹤分析學生對每一題的反應歷程， 並提供適當和立即的回饋，依據學生的能力建議學生應接受的後續適性電腦課 程。 陳瓊瑜（民 91）針對國小三年級數學學習困難學生乘法應用問題解題歷程 做研究，其研究結果顯示，低數學能力受試者在解乘法應用問題時，其認知運 作歷程可能遭遇的障礙在於，對特定概念的理解有困難（如題目中的關係語 句），加上乘法概念的知識不足，以至於難以運用這些概念知識來促進其對問 題的轉譯與題意的整合。另一方面，也因為計算技能不夠熟練解題監控的狀況 不夠積極，導致解題的效率不佳，解題錯誤的情形容易出現。 根據以上的資料，本研究即採用 Greer（1992）對於乘除法的分類來分析
國小三年的數學課程，顯示出國小三年級的數學課程是大多屬於等組型並包含 了少數的比較型與直積型，因此本實驗的題目類型如下圖：
等組類型（乘
法、包含除、
等分除）
比較型
（乘法、除
法）
直積型
（乘法）
乘除法應用問題
圖 2-4 乘除法應用問題結構圖 國小中低年級等組類型的題目最多，例如：乘法－每位小朋友有 3 枝鉛筆， 請問 4 位小朋友共有幾隻鉛筆；包含除－12 枝鉛筆分給小朋友，每人得 3 枝， 請問可以分給幾位小朋友；等分除－12 枝鉛筆平分給 4 位小朋友，每人可得幾 枝鉛筆。比較類型的題目有：乘法－5 顆櫻桃的 7 倍是幾顆；除法－35 顆櫻桃 是 5 顆櫻桃的幾倍。直積型的問題有：乘法－早餐店有紅藍套餐，紅套餐有 4 種，藍套餐有 2 種，請問共有幾組組合方式。因此，本研究及根據 Greer（1992） 對乘除法的分類來探討數學學習障礙者在等組類型、比較類型和直積型上的表 現。第三節 認知解題歷程及學習障礙者認知解題教學相關研究
壹、認知解題歷程 數學解題需用到數學概念、原則和方法，且必須運用個人先前舊有經驗來處 理未能解決的問題。心理學家 Skemp（1971）曾指出數學解題的學習與教學都涉 及心理學的問題，應先掌握學習者是如何解題的，以及解題所包含的認知歷程或 成分到底如何（引自邱上真、詹世宜、王惠川、吳建志，民 84，77 頁）。大部分 的學習障礙學生都是被動學習，缺乏一套有效處理訊息的策略，所以符合心理學 的解題策略能幫助學生有順序且正確的解題並提高解題的成效，以下就針對幾位 學者的解題歷程模式作介紹。 一、Polya 的解題歷程模式：波蘭數學家 Polya（1945）在「怎樣解題（How to solve it）」一書中，將 解題歷程分為四個步驟，此步驟也成為以後學者發展解題的重要參考範本，這四 個步驟並包含了許多有助解題活動的自我提示問句。Polya 指出解題的專家未必 比生手有更多可用的資訊，但是專家卻常在解題過程中，自然的採用他所列出的 問句來自我提問，以協助自己能順利地完成解題（張憶壽譯，民 79）。這四步驟 如下表 2-3 所示： 表 2-3 Polya 解題四步驟 解題步驟 提示問句 了解問題 未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？ 擬定計劃 找出已知數與未知數之間的聯繫。你是否知道與此有關的問題？你 是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數，試著想出一個具有 相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。 實現計劃 實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。 你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確 的？
回顧 你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能 把這結果或方法用於其他的問題？ （取自閻育蘇譯，民 85，pxii-xiii） Polay 的四個步驟並不是直線進行的，有時需折返至前面的階段，是期望學 生能熟悉這些解題步驟和問題後，當解題當中遇到問題時，能自我檢驗整個解題 過程，並找出錯誤所在，以達到解題的最終目標。 二、Schoenfeld 的解題歷程模式： Schoenfeld（1985）以 Polya 的理論為基礎，加入了後設認知理論及信念系 統在解題步驟中，他先對解題的行為加以分析，包括： （一） 資源（resources）：指個體在解題時所擁有的數學知識。 （二） 捷思（heuristics）：指解題的技巧與策略，如：畫圖、逆向思考等。 （三） 控制（control）：指解題者監控與調整整個解題歷程的活動，也就是後 設認知的部分。 （四） 信念系統（belief system）：指解題者對數學的觀點。 根據此行為的分析 Schoenfeld 將解題的步驟分為六個部分： （一） 閱讀（reading）：閱讀問題。 （二） 分析（analysis）：將問題簡化或重述，以便了解問題。 （三） 探索（exploration）：尋找已知條件、未知條件及與問題之間的相關性。 （四） 計劃（planning）：擬定解題的計劃，並評估其適當性。 （五） 執行（implementation）：執行計劃，並了解是否按照計劃執行。 （六） 驗證（verification）：檢驗結果是否合理且正確。 此外 Schoenfeld 非常重視啟發術，如畫一個圖或考慮簡單的問題等策略都 能幫助學生了解問題（引自邱佳寧，民 90，17 頁）。 三、Montague 的解題歷程模式： Montague（1992）提出「認知-後設認知」策略，他認為懂得解題策略是很 重要的，它能幫助學生有效率的解決問題，學生必須建構及歸納這些解題策略，
使其能靈活運用這些解題策略，學生若缺乏問題解決策略，常常需要教導明確的 認知解題策略（想像、口頭默述、翻譯、摘要、估計）來幫助他們閱讀問題及解 決問題（Montague&Applegate,1993b）。此解題策略如圖： 認知策略及歷程 後設認知策略及 1.閱讀（read） 歷程 2.釋義（paraphrase） 1.自我調整 3.視覺化（visualize） （self-instruct） 4.假設（hypothesize） 2.自我提問 5.估計（estimate） （self-question） 6.計算（compute） 3.自我監控
7.檢查（check） （self monitor）
圖 2-5
Montague 數學解題的認知-後設認知模式（資料來源：Montague,1992,p168） 四、Mayer 的解題歷程模式
Mayer（1992）從認知心理學的觀點探討解題歷程，他將解題歷程分為二大 階段即問題表徵（problem representation）和問題解決（problem solution）， 而兩階段又各包含了兩個步驟，茲分述如下： （一）問題表徵： 1.問題轉譯：指將問題的陳述句轉換成內在心理表徵，如重述句子、畫圖。這 時需要的知識是語言知識及語意知識。 2.問題整合：將問題中的訊息整合在一起成為一連串的表徵，這時需要用到數 學的基模知識。 （二）問題解決： 1.解題計劃與監控：想出適合解題的策略，此時需要用到策略性的知識。 2.解題執行：能正確運算來解題，此時需要用到程序性的知識。 茲將 Mayer 的解題步驟與相關的知識及教學上可以採用的策略整理如後：
如例：地磚以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 0.72 元，那麼一個長 7.2 公尺，寬 5.4 公尺的矩形房間鋪滿地磚一共要花多少錢？則可看出 Mayer 的解題歷 程，如表 2-4。 表 2-4 Mayer 的解題歷程模式 階段 步驟 知識 類型 例子：地磚問題 教學上可採用的策略 語言 知識 長 7.2 公尺寬，5.4 公尺的矩形 房間 問題 轉譯 語意 知識 1 公尺等於 100 公分 1.將問題中句子加以解義 2.學會某些基本的事實 3.以繪畫的方式表示問題中 的語句 問題 表徵 問題 整合 基模 知識 這是面積問題。面積＝長×寬 1.畫出表示問題的整合圖。 2.將問題加以分類。 3.找出不相關的資料。 4.用自己的話來表徵問題。 解題 計劃 與監 控 策略 知識 1.以 7.2×5.4 算出房間面積 2.以 0.3×0.3 找出地磚面積 3.把房間面積除以地磚面積， 求需要幾塊地磚 4.將地磚數乘以 0.72 就是總 共需要花的錢。 1.寫出解題必要的運算過程 表。 2.要求學生列出多步驟問題 中所需要的次目標。 3.要求學生根據解題計劃已 完成的部分來下結論。 問題 解決 解題 執行 程序 性 知識 7.2×5.4＝38.88 0.3×0.3＝0.09 38.88÷0.09＝432 432×0.72＝311.04 1.注意回饋的重要性。 2.分析錯誤題組進行補救教 學。 整理自 Mayer（1992）；及林清山譯（民 82）教育心理學－認知取向，p.391-415
好的解題者比差的解題者擁有較完整的解題策略，能在解題過程中不斷的分 析了解題意並提取自己的先備知識來計劃解決問題。在 Mayer 的第一步驟問題轉 譯部分，學生常犯的錯誤是 1.遺漏的錯誤：某一句話未能完全回憶出來；2.細目 的錯誤：在陳述句中，一變數改變成另一變數；3.轉變的錯誤：陳述句從關係句 轉變成指定句（林清山譯，民 82）。第二步驟問題整合部分，牽涉到學習者基模 知識，而基模知識又與解題者先前的學習經驗有關，許多學童無法正確的解題並 不是因為他們計算過程錯誤，而是使用到錯誤的基模。在第三步驟解題計劃與監 控中，解題困難者在解題時，常使用關鍵字解題且常由數字所呈現的方式來決定 運算符號，然能力較好的解題者，則能思考整個解題的流程，並能計劃解題的過 程與步驟。在最後步驟解題執行階段，需要使用到程序性的知識，分析學生錯誤 的類型，然後再進行補救教學。 Mayer 結合認知心理學的理論與數學解題的技巧，在每一步驟中皆有相對應的 知識類型，提供給教學者在進行補救教學前，能針對學生的錯誤類型進行分析， 以了解學生的障礙在哪一步驟上，且教學者可以針對其解題步驟設計相關的提問 句或檢核表來幫助學習障礙者瞭解本身的解題模式，幫助他們建立正確的解題步 驟，因此本研究的架構即以 Mayer 的解題步驟為主軸。 貳、認知解題教學應用於學習障礙者的相關研究 Kilpatrick（1985）曾說數學解題在認知心理學的層面是一種情境，在此情境 中，某人想達到一個目標，但路徑被阻塞了，故產生了問題，需要解題者運用數 學概念、原理與方法來達到目標。在國內外，有許多以認知層面來設計解題活動， 其研究的結果可以提供教學的參考，因此以下就幾位學者的研究加以探討。 McCoy（1994）以 Polya 的解題過程為步驟，針對九十二位三年級學生進行 解題能力分析，其結果顯示學生常常忘了第四步驟即「回顧解答」，有 80﹪的學 生會了解問題、70﹪會擬定計劃並執行、只有 34﹪會回顧解答。Garofalo 與 Lester （1985）融合了 Polya 和 Flavell（1987）的後設認知成分，提出認知－後設認知
的數學解題步驟，包括：1.導向：評估與了解問題的策略行為；2.組織：計劃行 為與選擇行動；3.執行：調整行為以配合目標；4.驗證：確認對決策與計劃執行 結果的評估。Kilpatrick（1967）以 Polya 的四階段為依據，探討八年級學生解題 的歷程策略後，發現學生並無使用很多策略，在四階段中各有不同的策略，如 1. 找出解題需要的條件或畫圖以理解題意；2.重述題意以擬定解題計劃；3.逐步執 行計劃和檢驗答案；4.藉由確認答案的合理性或以其他方式檢討答案的正確性。 （引自邱佳寧，民 90，17 頁） Montague 與 Bos（1986）融合數學解題模式與認知理論提出了八步驟的解題 策略即 1.閱讀問題；2.闡述問題；3.視覺化；4.陳述問題；5.假設；6.評估；7.計 算；8.自我檢查。針對六名 15 至 19 歲的數學學習障礙學生進行教學，其結果顯 示，認知策略並非對所有的學障青少年都有效，其智商與動機應更深入的了解。 除了智商和動機因素外， Montague（1991）以晤談的方式探討三名資賦優異學 生和三名學習障礙資優生在解題時所使用的策略，其結果發現學障學生在解題較 欠缺認知和後設認知方面的知識，而影響到其解題成功的機會。因此，Montague （1992）針對認知－後設認知策略加入自我教導（self-instruct）、自我提問 （self-question）與自我監控（self-monitor）的成分，對六名中學學習障礙學生進 行教學，採用單一受試法的跨受試者多基線設計，其研究結果顯示，認知－後設 認知策略能改善受試者的解題能力，並能將此能力類化到其他的情境中，然而在 保留效果方面，只有兩名學生達到保留效果。Lerner（2000）也指出學習障礙兒 童因不清楚解題策略和程序而導致解題失敗，需要教師引導和足夠的練習才能將 思想和語言結合。 國內以 Polya、Montague、Mayer 的解題步驟為主體的研究很多，以下就幾位 學者的研究加以介紹： 林碧珍（民 78）和張淑芳（民 90）分別以 Polya 的解題策略來檢測學生在解 題上的表現，其林碧珍的研究結果顯示高、低成就學生在解題上的表現，低成就 學生通常能朗讀題目，但不懂題意也沒有設立解題計劃，且經常利用關鍵字來解
題。張淑芳則除了以 Polya 的解題歷程並加入了 Marshall 的基模圖策略發展一套 認知解題策略，包括五個步驟：唸題目、找重要字、畫圖表示、列算式和計算與 檢查，探討國小輕度智能障礙學生解答改變類加減法應用問題的效果；其結果發 現，整體答題正確率均較教學前進步，且撤除教學後一週，仍可持續維持。 蔡宗玫（民 84）、施青豐（民 88）、陳立倫（民 89）和王瑋樺（民 90）則分 別以 Mayer 四步驟為架構設計題目來探討學生的解題表現，其蔡宗玫研究結果顯 示，國語文程度不同的學障學生在各階段的表現皆有差異。施青豐則探討認知解 題策略教學對於增進解題困難聽覺障礙學生解簡單加減應用題的效果，以及教學 對解題態度與解題歷程錯誤的影響，結合 Mayer 和 Montague 的解題步驟發展出 一套解題模式，包括：閱讀與探究問題、圖示表徵問題、解題執行、回顧解答與 檢查。其結果顯示，教學後的總題數作答正確率均較教學前明顯進步，解題歷程 錯誤經教學後亦有改進，惟問題表徵的錯誤仍多於問題解決的錯誤。陳立倫則以 Mayer 的四個步驟為基準探討國小二年級學生解文字題的認知歷程，發現學生在 問題整合階段並沒有明顯的接觸使用問題基模情形，反而直接利用策略來解決問 題，如使用關鍵字解題。王瑋樺利用 Mayer 四步驟自編數學測驗來蒐集國小三年 級數學學習障礙學生解題行為的原案，其研究結果顯示：在問題轉譯階段，學生 的語言知識不足且語意知識組織需再加強；在問題整合階段，缺乏正確且基本的 概念；在解題計劃及監控方面，解題時無法前後連貫；在解題執行階段，大多以 畫圈數全部的方式解題。 孫扶志（民 85）和江美娟（民 91）分別以 Montague 的認知－後設認知的解 題策略來探究國小四年級數學低成就學生與國小四、五年級的數學學習障礙學生 的解題表現，其孫扶志的研究結果顯示學生在數學文字題解題上，包括遷移試題 的學習、保留階段的學習皆有明顯的幫助，然而其「後設認知」與「動機信念」 並沒有明顯的提昇。江美娟的研究結果顯示學生接受教學後其應用問題整體的得 分和各分測驗的得分有增加，且學障學生減少了使用關鍵字解題。 由以上的研究發現，認知解題模式的確能提昇學習障礙者的解題能力，且各
個學者的理論大多以 Polya 的解題模式為基準，唯有 Mayer 有詳細的說明各個階 段所需要的知識類型，因此本研究架構即以 Mayer 的理論模式為基準，參考以上 學者的教學模式，且考量到數學學習障礙者常伴隨了語文障礙，因此要他們能正 確的表達未知數、已知數或演算的過程有實際上的困難，因此以選擇的方式來幫 助他們釐清題目，並依循著「具體－半具體－抽象」的教學模式，則各步驟的解 題模式如下：1.問題轉譯階段：能閱讀題目，並畫出已知條件和未知條件。2.問 題整合階段：能用畫圖來表達題意，並用自己的話來說明題意。3.解題計劃與監 控階段：能根據圖畫來寫出算式，並說明該算式的意義。4.解題執行階段：能正 確的將題目算出。為了方便記憶，將解題的步驟簡化成口訣「一讀、二畫重點、 三畫圖、四說、五寫算式、六計算」。
第三章 研究方法
本研究採單一受試實驗（single-subject experimental design）中的跨受試者多 探試設計（multiple-probe design across subjects），探討認知解題策略對國小數學 學習障礙兒童乘除法文字題解題成效。本章的內容包括研究架構、實驗設計、研 究對象、研究工具、資料分析等五部分，將分節敘述如後。
第一節 研究架構
本研究之研究架構如圖 3-1 所示。 自變項 依變項 控制變項 國小 數學 學習 障礙 學生 認知解題策 略 一讀 二畫重點 三畫圖 四說 五寫算式 六計算 1. 智商 2. 數學基本能力 3. 國語文能力 乘除法應用問 題測驗得分 1.整體表現 2.等組題型 3.比較題型 4.直積題型 圖 3-1 研究架構圖 一、自變項 本研究自變項為整理自 Mayer 的認知解題理論模式及林清山（民 82）針對 Mayer 的理論而提出的教學上可採用的策略，設計出適合數學學習障礙者解題之 策略，分為六大步驟：（一）讀；（二）畫重點；（三）畫圖；（四）說；（五）寫算式；（六）計算。表 3-1 為認知解題步驟與 Mayer 的解題歷程對照表。 表 3-1 認知解題策略與 Mayer 解題歷程 步驟 行為目標 Mayer 解題歷程 一讀 能閱讀題目。 二畫重點 能畫出已知和未知的字句。 問題轉譯 三畫圖 能利用圖片、花片或畫圈來呈現問題。 四說 能看圖用口語表達問題。 問題整合 五寫算式 能看圖列算式。 解題計劃與監 控 六計算 能正確計算答案或者利用圖片、花片或畫圈 正確數數。 解題執行 整理自 Mayer（1992）；及林清山譯（民 82）教育心理學－認知取向，p.391-415 二、控制變項 為了排除因智商因素、數學基本計算能力有困難和識字能力而影響到解題， 因此本研究的控制變項即為學生的智商、數學基本計算能力與識字能力。 三、依變項 本研究的依變項為評量乘除法應用問題在解題策略介入前後測驗的得分。
第二節 實驗設計
本研究採用「跨受試者多探試設計」，目的在觀察認知解題策略分別在三位 不同受試者身上所產生的學習效果。且考量到冗長的基線階段可能會對受試者造 成嫌惡的經驗以致於損害到資料的效度（杜正治 譯，民 83）。因此對未開始介入 之基線資料採用間斷蒐集方式，直到教學前才連續收集學生的資料。茲就處理方 式說明如下： 壹、基線期（A） 此階段不進行任何教學的處理，主要蒐集受試者在乘除法應用問題解題測 驗上的表現。蒐集的方式為先對受試者一進行連續性的資料蒐集，當資料呈現 穩定水準或趨向時，則實施教學介入；在此時，受試者二與受試者三則實施每 週一次的間斷式資料蒐集，則當受試者一資料達到預定水準且呈穩定狀態後， 受試者二則進行至少三次連續性的測驗，而受試者三仍持續每週一次測驗；同 樣，當受試者二進入教學處理資料達到預定水準且呈穩定狀態後，受試者三則 進行至少三次連續性的資料蒐集工作。 貳、處理期（B） 當受試者一基線呈現穩定水準時則實施教學介入，每一節次為四十分鐘， 每週安排四至五個節次，並於每個教學結束後進行乘除法解題測驗評量，且最 後學生的精熟學習標準需呈現穩定水準時使可進入追蹤期；同樣地，當受試者 一的教學結束後且受試者二的基準線呈現穩定的狀態，則再對受試者二進行教 學實驗，其標準如同受試者一；待受試者二教學告一個段落且受試者三基準線 呈現穩定後，則進行受試者三的教學處理。 參、維持期（M） 在實驗課程結束後一週，對受試者實施四次的乘除法應用問題測驗，以觀 察受試者是否能維持教學處理的效第三節 研究對象
壹、研究對象的篩選與擇定 本研究樣本取樣的方式為立意取樣，對象為研究者所服務的國小資源班三位 數學學習困難學生，本校資源班學生皆是按照彰化縣資源班篩選標準入班，經相 關的診斷與觀察篩選，並取得家長的同意書（附錄一），其篩選標準如下： 一、智商：智商需正常，魏氏兒童智力量表全量表的智商得分需在負二個標準差 以上，即智商必須在 70 以上。 二、數學基本能力：因其研究在探討乘除法文字題解題的成效，首先需排除加減 乘除基本運算有困難的學生，其篩選標準訂為學生加減乘除計算能力測驗的 作答正確率需在 80﹪以上。 三、識字能力：為了確定學生解題困難並非因其本身識字能力所影響，因此個案 在識字測驗正確率需達 90﹪以上。 貳、個案基本資料： 根據上述智商、數學基本能力與識字能力測驗，將本研究三位受試者的基本 資料整理如下表 3-2。 表 3-2 三位受試者基本資料 研究對象 生理 年齡 性 別 魏氏智力測驗 全量表智商 加減乘除法 基本能力測 驗（﹪） 識字基本 能力測驗 （﹪） 接受特殊 教育的時 間 S1 （小維） 8-10 男 77 90 95 兩年 S2 （小民） 8-0 男 87 85 100 一年 S3 （小娟） 8-7 女 85 95 100 兩年 受試者一（S1 小維）為三年級學生，在資源班上課時，喜歡發表來獲得大家 的肯定 ，在魏氏智力測驗上其全量智商為 77，作業量表智商為 86，語文量表智商為 75 且語文理解智商為 77，其在資源班已接受兩年的特教服務。導師與研究 者的觀察為受試者閱讀能力與識字能力佳，且在造詞造句上也有不錯的表現，但 在書寫文字方面有其困難；在數學方面，基本運算能力尚可，但對於應用文字題， 能獨自朗讀題目，但不知從何著手。整體而言，受試者的優勢能力為好學、好問， 且積極進取。 受試者二（S2 小民）為三年級學生，在魏氏智力測驗上其全量智商為 87， 作業量表智商為 92，語文量表智商為 87 且語文理解智商為 86，其在資源班已接 受一年的特教服務。經由導師與研究者的觀察發現，受試者較缺乏學習動機且注 意力不集中，較無法長時間從事相同的工作，在語文課程方面表現較佳，而在數 學課程上應用問題解題方面較有困難，常常出現使用錯誤的解題模式，而整體而 言，其優勢能力為基本運算能力佳、口語表達能力佳且學習能力強。 受試者三（S3 小娟）就讀三年級， 是一位安靜內向的學生，平時較少與人 互動，在魏氏智力測驗上其全量智商為 85，作業量表智商為 100，語文量表智商 為 76 且語文理解智商為 77，其在資源班已接受兩年的特教服務。導師與研究者 的觀察受試者國語文識字能力、書寫能力皆無問題，但在造詞造句則有明顯的困 難；在數學方面受試者具備了基本加減乘除運算能力，但在處理應用文字題時， 常不懂題意而胡亂的套用運算符號；整體而言個案的優勢能力則為學習動機強、 識字能力與基本運算能力佳。 本實驗的內在效度即為控制受試者的智商因素、識字能力和基本計算能力， 排除因其以上原因而造成的解題困難，探討認知解題策略的介入是否能提昇受試 者的解題能力。
第四節 研究工具
本研究所使用的研究工具計有「魏氏兒童智力量表」、「數學基本計算能力 測驗」、「識字測驗」與「應用問題解題測驗」，茲分別說明如下：
壹、魏氏兒童智力量表
本量表由陳榮華（民 86）根據美國魏氏兒童智力量表第三版（Wechsler Intelligence Scale for Children-III，簡稱 WISC-III）修訂而成，其適用範圍為 6 至 16 歲 11 個月兒童與青少年智力。共包含了十三個分測驗包括圖形補充、常識、 符號替代、類同、連環圖系、算術、圖形設計、詞彙、物型配置、理解、符號尋 找、記憶廣度、迷津等測驗，並可計算全量表、語文量表、作業量表、語文理解、 知覺組織、專心注意、處理速度等智商指數。 在信度方面，全量表的折半信度為.96，重測信度為.94-.95；在效度方面，採 用內容效度，其中語文量表與全量表的相關為.93，作業量表與全量表相關為.89。 貳、數學基本計算能力測驗 本測驗由研究者自編，其目的在排除加減乘除基本運算能力有困難的學生， 內容包含國小三年級學生所應具備的基本運算能力，將測驗內容介紹如下： 一.加法：其相加位值最大為二位數加二位數，並包含進位問題。 二.減法：其相減位值有二位數減二位數、二位數減一位數，並包含借位問題。 三.乘法：被乘數與乘數為九以內的數。 四.除法：被除數為 100 以內，除數為 9 以內的數而其商為 10 以內的數值，且沒 有餘數。 測驗加、減、乘、除各 10 題共 40 題，題目印在 B4 的測驗紙上，且難度請 教過三位三年級任課老師，而老師表示本測驗內容之難易適合國小三年級學生程 度。
參、識字能力測驗 本測驗由研究者自編，其目的在排除識字能力有困難的學生，其教材的編 選為抽取三年級上學期三次月考數學科考卷，從應用問題中選取 100 個字彙， 題本呈現的方式為字彙由左自右排列，學生依序朗讀，答對一個字便得一分， 總分為 100 分。 肆、應用問題解題測驗 本測驗係研究者自編，目的在為了了解受試者在實驗教學階段應用問題解題 能力的變化情形。測驗的內容參考 Greer（1992）對正整數乘除法的分類以及比 照國小三年級乘除法課程內容，將題目分為下列三種類型：等組類型、比較類型、 直積類型；且直積問題於課程中未介紹除法部分，因此實驗的內容只採取乘法問 題，所以等組類型中即包含了乘法、等分除與包含除；比較類型中包含了乘法與 除法；直積問題則採用乘法問題。且本實驗目的在評量學生是否能使用策略來解 決乘除應用問題，因此題型都採用一步驟的解題模式，不加入多步驟或多餘訊息 的題型。 為了避免學生因其語文程度而影響解題，測驗中所出現的字詞與詞彙係由國 小課本中常用語為主，並加上注音，且為了各評量複本的結構與難度一致，只在 文字和數字上稍有變化。 每份測驗題本皆 12 題，共有 25 份複本，其題型採用隨機排列的方式，為做 複本信度考驗，抽取兩份複本請彰化縣二林國小三年級兩班級學生做複本信度考 驗。表 3-3 為學生在不同複本測驗中的每一題正確解題百分比，表 3-4 為學生在 各類題型的平均答對率，本測驗的複本信度為.82。 在內容效度方面請四位三年級國小老師審查測驗的內容是否符合題型的類 別及用語是否適當，四位老師皆表示測驗的內容效度適當。
表 3-3 學生在應用問題解題測驗複本中各題正確解題百分比 題號 題型 複本一 複本二 1 等組類型（乘法） 95.3﹪ 90.2﹪ 2 等組類型（除法－等分除） 85.4﹪ 87.6﹪ 3 等組類型（除法－包含除） 88.2﹪ 90.4﹪ 4 比較型（乘法） 85.2﹪ 83.5﹪ 5 比較型（除法） 78.3﹪ 80.5﹪ 6 直積型（乘法） 60.2﹪ 57.8﹪ 整體通過率 82.1﹪ 81.6﹪ 表 3-4 應用問題解題測驗複本中各類題型平均答對率 題型 複本一 複本二 等組題型 89.6﹪ 89.4﹪ 比較題型 81.7﹪ 82.0﹪ 直積題型 60.2﹪ 57.8﹪
第五節 資料分析
本研究針對受試者在不同時期之應用問題測驗的表現作分析，將基線期、處 理期與維持期評量中的整體解題正確率計算百分比，並以曲線圖方式呈現各階段 變化；另加以探討各類題型的正確答題比率。以下就分別說明整體解題表現與各 類題型的資料分析原則。 壹、整體正確答題比率資料分析 以目視分析法（visual analysis）整理出各階段內及相鄰兩階段間的分析摘要 表，其解題正確率計算公式如下： 解題正確率＝（答對題數÷全部題數）×100﹪ 以下將分別說明階段內與相鄰兩階段間的資料分析原則： 一、階段內的變化分析： （一）評量點數：指的是階段內資料點的數目。 （二）估計趨向：指資料路徑的斜度，本研究採用中分法來得到階段內資料的估 計趨向。以「 」 代表升高，「 」代表下降，「－」代表沒有改變。 （三）水準範圍：即將該階段內資料點最大值與最小值列出，有助於了解該階段 內資料點變化情形。 （四）水準平均值：階段內所有資料點的平均數，用以表示該階段的平均狀況。 （五）水準變化：該階段內資料的最後一點與第一點相減。若水準變化為正值則 代表有進步且介入的效果明顯。 二、階段間變化分析： （一）趨向方向比較：指相鄰兩階段間趨向的走勢變化，可看出介入與維持的成 效如何。 （二）水準變化：指前一階段最後一個資料點和後一階段資料中第一個資料點的 差距，若為正值則代表策略介入的立即效果佳。（三）水準重疊比率：指以前一階段的最大值和最小值的範圍，計算後一階段各 點落在該範圍內的百分比。如果非重疊比率越大，表示介入的效果越好。 此外採用 C 統計來考驗基線期和處理期應用問題解題測驗的趨向的顯著 性，以驗證處理的效果，其公式如下：
