乙生在根式運算的概念圖

以下，將呈現乙生在根式運算的概念圖，其中概念之間連結的線有三種，代 表的意思分別為： 依據、 不穩固的依據、 未依據，而每 個概念的具備情形就以該邊框的不同類型作區分，分別為： 具備、 不 穩固的具備、 不具備。

三張圖所呈現的主要概念分別為 1.化為最簡根式、化簡 k

a bc d ；2.同類方 根合併、不同類方根不能合併；3.根式乘法、根式除法。若該概念邊框底下出現……，

意思就是此概念所依據的概念可參閱其他頁概念圖。

130

a(a0)是一

132

第二節 根式運算的概念心像 壹、考慮有理數部分

表 77 乙生依據｢考慮有理數｣概念心像的情形

類型 根式乘法 根式除法 其他

運作 情形

a b c

當 a 與 c 同為正整數 或同為正分數則

( ) a b c  a c b ， 否則多是將位置相鄰 的 數 相 乘 起 來 ， 像 a b c a b c 與

( ) c a b  c a b

b d 處理b d

化簡根號內含完全平方數的數：

a.當根號內的數是拆解過的數，就是 把它乘起來

b.當根號內的數為整數，就是把它拆 解

b d

乙生的處理 情形有：

a.約分 b.將除數變 成倒數，除 法變成乘法

化簡分母是方根的分數 ：乙生會依 a

b 或 a

b 的 a 與 b 是否可約分做為判 斷最簡根式的依據

化簡根號內為分數的數：

a.若根號內的數為帶分數，則將其改 寫為假分數；若為假分數則改寫為帶 分數

b.將根號內的數約分

化簡根號內為小數的數：乙生原就不

數相乘起

數的情況下，乙生會

則多是將位置相鄰的 數相乘。

乙生一開始處理此題型時，當 a 與 c 同為正整數或同為正分數，則得

(a c ) b，否則多是將位置相鄰的數相乘起來，像a b c 就是把 b 跟 c 乘起來，

c a b 則是 c 乘以 a；後來會將根號內與根號外的數分開相乘，即 a 與 c 相乘得到 (a c ) b。

二、 b d

(一) 列出含有此題型之問卷或考卷，乙生所寫的答案 1.測驗卷(2)

(5) 10 20 6

  3 2.測驗卷(3)中

(13) 1 1 4 2  2 3. 10 月 30 日週考卷 (1)第一大題第 5 題

( )算式( ⁸ ) ⁶ ( ³)

15 5 2

    的值為何?

(A) 2 6

 5 (B) 6

 3 (C)2 6

5 (D) 6 3 乙生選擇(B)選項。

4.11 月 8 日週考卷 (1)第一大題第 2 題

下列何者的值與其他三者的值不相同?

(A)  12 (B) ( 3 2) (C) ( 24) 2 (D)( 2) 6 乙生選擇(B)選項。

下列有關方根的運算，有哪些是正確的?答： 。

(接著，研究者詢問 8 6

15 5，學生作答

8 5 40

15 6 9

   )

研：所以 8 15跟5

6先乘起來，最後再擺根號上去?

(學生點頭)

○⁴ 131119 訪談內容

（研究者詢問關於測驗卷(2)第（5）小題的想法) 生：把它變成乘法。(學生寫法如下圖所示)

研：除以 6你把它變成乘以1

6?有根號嗎?

生：有，有根號。

研：

1

6這有根號嗎?

生：沒有。

○⁵ 測驗卷(3)第(13)小題，乙生寫出 1 1 4 2 2。

三、 b d

(一) 列出含有此題型之問卷或考卷，乙生所寫的答案 1. 測驗卷(2)

(7) 2 2

的數字，因此，乙生 在將除數變成倒 數，除法變成乘法 時，研究者判斷也是 處理根號內數字。

生：跟這題一樣（指 20 6），把它們 換成乘法。

研：你怎麼把它們換成乘法的？

生：不知道怎麼說耶。

研：除以這個東西啊，你會把它換成乘以，

變成乘法嘛，那會怎麼換？

生：這個要顛倒（指 2 12）。

研：顛倒，所以第 7 小題的意思是？

（學生念出1 12

1 2 ，研究者寫出並給學生 確認過）

(乙生對 20 6的作法展示於下圖)

○⁴ 在 140505 時，有以下的作答：

20 5 7 5 7  1  20、

8 6 8 5

15  5  15 6、 20 2 7 2 7  1 20

及 6 3 6 10 15  10  15 3 )

○⁵ 140404 訪談內容 (研究者要求學生作答 18

4 時，乙生說「可

以約分」)

研：你剛剛有說你是在約分嘛，那你在約 分的時候，就是只有看數字而已嗎?

生：恩。

研：那根號不管它，最後再放上去?

(學生點頭)

四、化簡根號內含完全平方數的數

(一) 列出含有此題型之問卷或考卷，乙生所寫的答案 1.測驗卷(2)

化簡下列各根式

2.10 月 30 日週考卷 第二大題第 2 題

計算下列各根式，並將結果化成最簡根式

(1) 486 = 。

乙生寫答案為2²143。

3.11 月 8 日週考卷 第一大題第 1 題

22 3 12 16 5  80 40  2³ 5

4 81 7   2268

18 、 5

3、 ²⁴ 2 、2

3 6、 15 、 25 ，上列根式中有幾個是最簡根式?

(A) 0 項 (B) 1 項 (C) 2 項 (D) 3 項

乙生選擇(D)選項，選擇了 18 、 15 及 25 。 (二)現象分析與報導

表 81 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導

概念心像 分析結果 所根據的資料 最簡根式

的概念

乙生依是否可處 理來判斷最簡根 式，例如：在 A 為 正整數時， A 中 的 A 是否可拆解 (非1 A )，因此得 知乙生不具備最 簡根式的概念。

○¹ 131112 訪談內容

(學生在 11 月 8 日週考卷第一大題第 1 題，認為 18 、 15 及 25 為最簡根式)

研：所以最簡根式，你心中的想法是什麼?

生：就是除得盡的。

研：除得盡?

生：對啊，就是 9218(即9 2 18  )、5315(即 5 3 15  )，然後 5525(即5 5 25)。

(接著，研究者詢問關於 5

3的想法)

研：第二個為什麼不能是最簡根式?為什麼沒有 選它?

生：因為沒有辦法繼續處理。

研：那 24 跟 2 呢?(指 ²⁴ 2 ) 生：會變成¹²

1 。(研究者有寫下並跟學生確認) 研：那它還可以繼續處理嗎?

生：變 12，可是就是不知道它有沒有那個平方根。

研：不知道它有沒有平方根，所以就沒有選它?

(學生點頭)

研：那第四個呢?(指2 3 6) 生：不會算。

研：所以你選擇第一個、第五個、第六個的原因 是，你覺得它們還可以繼續處理?

生：對。

○² 140523 訪談內容

(研究者寫下 21、 25 、 18、 ⁶ 5 、15

3、 1 7 、 0.3 、 7

5 及 486 ，要學生判斷哪些是最簡根 式，學生挑選 ⁶

5 、 0.3 及 7 5 ) 研：那你判斷的依據是什麼?

生：可以約分。

研： 6

5 可以約分?

生：不行，喔，那個判斷是這些都不能約。

研：所以前面三個怎麼約?

生：還有這個也不行。(指 1 7 ) 研：這四個是最簡根式?

生：對。

研：那前面三個你的約分是怎麼約?

生：7321(即7 3 21)它還可以變 3。

(學生寫下 3)

化簡 化簡中， 的作

用：

○¹ 測驗卷(2)的相關題目及 10 月 30 日週考卷第二 大題第 2 題。

a.當根號內的數是 拆解過的數，就是 把它乘起來。

b.當根號內的數為 整數，就是把它拆 解。

○² 131105，研究者詢問 25 、 49 及 6 ，學生² 寫答案為5 5 、7 7 及6 6 。

○³ 131105 訪談內容

研： 在 486 上面的作用呢?

生：我把它變成這樣(學生寫出 486 )，然後就 繼續算下去。

研：短除法?

生：對。

研：所以根號在整數上面的作用法是拆掉它?

生：對。

五、化簡分母是方根的分數

(一) 列出含有此題型之考卷，乙生所寫的答案 1. 11 月 8 日週考卷

第一大題第 1 題 18 、 5

3、 24 2 、2

3 6、 15 、 25 ，上列根式中有幾個是最簡根式?

(A) 0 項 (B) 1 項 (C) 2 項 (D) 3 項 乙生認為 5

3不是最簡根式。

2. 11 月 8 日週考卷 第一大題第 3 題 將 4

3 5 化作最簡根式的結果為何?

(A) ^{4 5}

3 (B) ⁴

15 (C) ^{4 15}

3 (D) 4 15 5 乙生選擇(B)選項。

(二)現象分析與報導

表 82 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導

研：所以它是會變成 2

3 這樣子嗎?(研究者詢問 外並寫下跟學生確認)

研：那第五個這個東西呢(指 10

15)，你覺得它還 可以再?

生：約分。

研： 21 6?

生：還可以再約分。

研：那4 5 6 呢?

生：可以變成這樣。(學生寫下 4 30 ) 研：4 是原來的 4?

生：對。

研：那 30 呢?

生： 5 6。

研：那第一排的最後一個?(指5 12 18 ) 生：跟旁邊一樣。

研：所以它是變成 5 然後根號一個12 18 的數字 這樣?

生：對。

六、化簡根號內為分數的數

(一) 列出含有此題型之考卷，乙生所寫的答案 1.10 月 30 日週考卷

第二大題第 2 題

計算下列各式，並將結果化成最簡根式

為假分數；而在假分 數的作用是將假分 數改寫為帶分數。

b.根據第○² 點及第○³ 點資料，可知乙生會 將根號內的數約分。

研：答案還會是2² 5嗎?

生：會。

研：怎麼來的?

生：這裡有個 5，然後就想說多少可以變 成 12，然後就 5210(即5 2 10  )，然後 10 再去加 2，就會變成這樣。

研：你就是把它換成帶分數?

生：對啊。

研：所以你覺得根號在假分數上的作用是 換成帶分數?

(學生點頭)

(接著，研究者詢問根號在帶分數上的作 用，並寫出 2

25 要學生作答，乙生寫答案

為 12 5 )

研：又回來假分數?

生：對啊。

研：是因為最簡根式的關係嗎?

生：對，就是變到它以前。

○² 140613 訪談內容 (研究者詢問 12

10為何未被選為最簡根式) 生：還可以約分。

研：所以這兩個(指 7 4 、 4

5 )不能約分?

生：對。

○³ 根據前面的研究結果，已知乙生依據是

否還可以處理，也就是根號內的分數是否 可約分做為最簡根式的判斷。

七、化簡根號內為小數的數

(一)現象分析與報導

表 84 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導

概念心像 分析結果 所根據的資料 最簡根式 乙生在根號內為

小數的數的情 況，不具備最簡 根式的概念。

○¹140523，當研究者寫下 21、 25 、 18 、 6 5 、 15

3、 1

7、 0.3 、 7

5 及 486 ，要學生判斷哪些 是最簡根式後，學生挑選 ⁶

5 、 1

7、 0.3 及 7 5 。

○² 140613 訪談內容 (研究者寫下 12

10、 7 4 、 4

5 、 0.3 、 3.5 要學 生挑出最簡根式，乙生選出 7

4 、 4 5 )

研：最後這兩個沒有選它，所以你覺得它們都不是 最簡根式?

(學生點頭)

研：所以它們還能做什麼嗎?

(學生搖頭)

研：不行，那你怎麼判斷它不是的?

生：因為我不知道小數點可不可以約分。

研：所以就乾脆先不要選嗎?

生：對。

化簡 由第○³ 點及第○⁴ 點資料，可知乙 生原就不擅長處 理小數，因此在 根號內的數為小 數的化簡，乙生 沒有任何的動 作。

○¹131105 訪談內容

(研究者詢問在化簡部分根號的作用，並寫下 0.2 要學生作答)

研：根號在小數上的作用呢?

生：我就不會了。

○² 140613 訪談內容 (研究者寫下 12

10、 7 4 、 4

5 、 0.3 、 3.5 要學 生挑出最簡根式，乙生選出 7

4 、 4 5 )

研：最後這兩個沒有選它，所以你覺得它們都不是 最簡根式?

(學生點頭)

研：所以它們還能做什麼嗎?

(學生搖頭)

研：不行，那你怎麼判斷它不是的?

生：因為我不知道小數點可不可以約分。

研：所以就乾脆先不要選嗎?

生：對。

○³ 前測的問卷中關於小數乙生的作答列於下：

0.5 3x0.15x、0.2 3x 0.6x、0.2 0.300.6x、 10 0.2x沒作答、2 0.3x 0.6x及

0.2 0.6x x1.2x。

○⁴ 131029 訪談內容

(研究者詢問關於1.3 2 2 此題，為什麼不是 1.3 跟後面的 2 乘起來)

生：小數點我不太會處理。

貳、一定要有結果

(1) 5 6 5 30 5

是 c 乘以 a 第(9)小題外，從第○² 點

仍然選擇將無根號的 a

156

(二)現象分析與報導

b b，但若遇有 a b 的特殊型式、小數或分 數的情況，乙生會無法 得到 a c 與 b b， 甚至影響有根號及無根 號分開相加的想法。

研：這一題你看得懂題目嗎，就是我們要計 算分數的加減法，那你會算分數的加減法嗎?

生：我不會把它們換成同分母。

研：那我今天把它換成^{3 7}

44，會做嗎?

生：¹⁰ 4 。

○6 140620 時，研究者要求乙生做^{1 1} 33及 1 5

4 ，乙生分別作答²

6 及^{1 5 6} 4 1 5。

四、 a b  a b

(一) 列出含有此題型之考卷或問卷，乙生所寫的答案 1. 測驗卷(4)

(1) 3 5 3 5  8 (4) 6 2 6 2  4

2. 11 月 8 日週考卷

(1)

第二大題第 1 題

下列有關方根的運算，有哪些是正確的?答： 。

(甲) 3 5 3 5  8 (乙) 3 5 3 5  15 (丙) 5 3 5 3  2 (丁) 3

3 5 3 5

    5 (戊) 3 3 6 3 2 3  (3 6 2) 3  3 (己) 6 34 2 3 3 乙生有選擇(甲)、(丙)選項。

(二)現象分析與報導

表 89 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導

生：恩。

4 5

生：對。

研：那 30 呢?

生： 5 6。

研：那第一排的最後一個?(指5 12 18 ) 生：跟旁邊一樣。

研：所以它是變成 5 然後根號一個12 18 的數字這樣?

生：對。

六、化簡根號內含完全平方數的數

(一) 列出含有此題型之問卷或考卷，乙生所寫的答案 1.測驗卷(2)

化簡下列各根式

2.10 月 30 日週考卷 第二大題第 2 題

計算下列各根式，並將結果化成最簡根式

(1) 486 = 。

乙生寫答案為2²143。

3.11 月 8 日週考卷 第一大題第 1 題

22 3 12 16 5  80 40 23 5

4 81 7   2268

18 、 5

3、 ²⁴ 2 、2

3 6、 15 、 25 ，上列根式中有幾個是最簡根式?

(A) 0 項 (B) 1 項 (C) 2 項 (D) 3 項

乙生選擇(D)選項，選擇了 18 、 15 及 25 。

(二)現象分析與報導

表 91 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導

概念心像 分析結果 所根據的資料

概念心像 分析結果 所根據的資料

在文檔中 八年級學生在根式運算上的概念發展個案研究 (頁 146-0)