教師教學的影響

接著探討教師教學對甲生根式運算上概念發展的影響，此節將相關概念分作 三類報導，分別是先備知識(非根號概念)、先備知識(根號概念)以及根式運算。另 外說明分析結果的報導， 此框內容為教師書寫板書內容，而 的內容 則是學生作答的板書內容。

壹、根式運算的先備知識(非根號概念)

一、應具備的先備知識

(一)國小

(1)小數化為分數。

(2)擴分。

(3)約分。

(4)分數的加減法，即^{b c b c} a a a

   。

(5) x ¹

  x。 (6)x

x y y   。 (7)拆解 。 (8)1

xx。

(9)分數的乘法，即^{a c a c} b d b d

  

 。 (10)a ^{1 a}

b b

  。 (二)國一

(2)加法交換律、加法結合律。

(3)分配律。

(4)若a0、b0則a b 0。 (5)2x3x5x。

(6)符號簡記，例如：x 1 x、1.2x1.2x、2x   2 x x x、 ( ¹ ) 3 ¹

3 3 3

x 或 x    x x。

(7)若a0、b0則a b 0。 (8)( )² ( ) ( )。

(9) 的計算。

(三)國二

(1)乘法公式。

(2)完全平方數。

(3)a²b²則ab。

(4)a² b a b²( , 皆0)則ab。

(5)給任何^{a }

 

⁰ ，存在一非負數 x ，使得 x x a  。

二、教師提到的先備知識 (一)國小

(1)小數化為分數

教師的教學都是口頭說換成分數後，接著便將根號內小數改寫為分數。

表 27 教學實錄(131028)

7.2 ^{72 5 6 5}

10 5 5

  



師： 7.2 不算最簡方根，換成分數是 72 10 。 (2)擴分

第一部分(分母為型如 a的數)，教師在 131022 教學時，先利用舊經驗的 5 5 3

7 7 3

 

 複習擴分概念，並說：「因為這叫擴分，分子分母同乘以一個數字就是擴 分」，再延伸至可同乘以含有根號的數，並強調只要分子分母乘以一相同的數字，

不會改變分數的值。

131024 教學時，教師讓學生討論學習單第 5 題³。接著教師給出結論：｢如果你 想把哪裡變整數的話，你就要乘上跟它一樣數字的根號｣，並說明：｢我們常用的 是把分母變成整數｣。在之後的 11 次教學中，教師皆強調分母有理化以及乘上跟 分母一樣的數。

第二部分(分母有兩個根號的數)，教師先於 131025 與 131028 教學時讓學生討 論學習單第 8、9 題⁴，說明｢第三個公式算完永遠都是整數｣，接著複習 1

3 的分母 有理化後，先對

a b 的分子分母同乘以與分母一樣的數，再說明因分母須未有

3學習單第 5 題，題目為：請自己寫一個分數的根式(根號裡面是分數)，並且試著把它擴分(或約分) 為①分子是整數(沒有根號)，但分母是根號數。②分母是整數(沒有根號)，但分子是根號數。

4學習單第 8 題，題目為：請自己寫出兩個根號數，並把它們帶入公式(a b )²、(a b )²、

(a b  ) (a b)計算出答案(a、b 就代表你寫個兩個根號數)；學習單第 9 題，題目為：請自己寫 出一個整數與一個根號數，並把它們帶入公式(a b )²、(a b )²、(a b  ) (a b)計算出答案 (a、b 就代表你寫的兩個數)。

5 36

根號，故將乘以 a b改為乘以 a b。後來的 17 次教學，教師皆強調乘上 跟分母相對的數。

表 28 教學實錄(131031)

12 5 60

5 5 5

 



師：這題要做分母有理化，分母不要帶根號，要整數，乘 5，就是乘跟分母一模 一樣的數字，分母 5乘 5就是 5，分子就會變 60。

表 29 教學實錄(131028)

2 2 6 2 7 2 6 2 7

2 6 ( 2 7)

6 7 1

6 7

 

     

 



師： 67要乘上 67，這種情況下， 6乘 6是 6， 6平方是 6 嘛，可是 7 的平方會變成 49，然後分子的話還好，是2 6 14 ，2 乘 6是2 6，2 乘 7 是 14，

6-49=-43，負號可以寫分母可以寫前面也可以寫分子，最後上面是2 6 14 ，沒 得約就這樣。（教師將學生所寫改成

^{( 6 7) 2 2 6 14 2 6 14}

6 49 43

( 6 7) ( 6 7)

      

 

  ）

(3)約分

在化簡 ^k

a bc d 此題型時，教師教學時會藉由錯誤例子來強調約分就是分 子分母全部同時約，接著便是直接對全部根號外的數值約分，後續此題型中有 8 次須約分時，有 6 次教師提到全部或通通都要約。至於其他題型，像是在 131107 則是將根號內及根號外的數值分開約分。

表 30 教學實錄(131028)

師：(教師將答案改寫成^{2 10 2 2} 8

 )答案到這邊不算完，還可以約分，怎麼約?2

跟 8 約?然後這個 2 再跟 8 約一次?約完是 2(指分母)對不對?

^{2 10 2 2} 8



師：要約就是分子分母同時約，所以當我這邊(指分母)約 2 的時候，前面約 2 後面 也同時約 2，只能約一次 2 而已，所以約完之後是 ^{10 2}

4

 。

表 31 教學實錄(131107)

師：除是不是要換倒數，然後等著約分?

^{2 5} 6 6 12

3  

2 5 6 6 1 3  1  12

師： 12 倒數就倒過來嘛，下一步約分，想像一下，這是(指 6 6 )^{6 6}

1 ，怎麼約?

另生：3 跟 6 約， 6跟 12 約。

師：這邊給同學一個良心的建議，這裡(指 12 )不要約到 2，這裡約 3 就好，這邊 剩一個 2，這邊剩一個 4，好處就是 4 恰恰好就是 2，如果你剛剛全部約光光，你 還是要再做一次分母有理化，分子全部乘起來，根號跟根號乘。

2 5 6 6 1 3  1  12

(5) 1 x x

   1

1 2

2

1

2 2

4 2

教師教學 a，多是改寫為 1

(6) x

x y y  

僅在 131021 時提到相關概念，說明被除數 x 放分子，除數放分母。

表 34 教學實錄(131021)

師： 12 6的平方會不會呢，就是 12 ² ( )

6 ，被除數(指 12 )放分子，除數放分 母，如果是平方的話，就是 12 12

6  6 ，那分子乘分子是多少?

(7) 拆解

學習單第 3 題題要求學生分解為兩個根號數相乘，且其中一個根號內的數為 完全平方數，這其中便須使用到拆解 ，另外教師也有使用短除法拆解 ，而後 教師都會邊說明拆解為哪兩數邊在黑板上寫下過程。

表 35 教學實錄(131021)

(教師要學生分組討論學習單第 3 題⁵，再上台發表) 240

60 4

  4 20 80



 16 3 48



 40

4 10

  12 3 4

  72 9 8

 

師：現在所有人都把它分成一個是完全平方數(指 4 、 16 )，一個不是，這個(指 16 )是，4416，然後這邊(指 72 )9 是 8 不是。

師：如果今天開完之後，就是你把它分解完之後，在根號裡面的數字已經沒有其他

5 學習單第 2 題：請自己找兩個根號數相乘，兩個根號內的數字必須是偶數，兩個偶數都不要是完 全平方數，乘起來也不可以是完全平方數；學習單第 3 題：將上一題的答案再次分解為兩個根號數 相乘，但其中一個根號內必須是完全平方數，再把完全平方數的方根開根號。

的完全平方數可以再分解了，這個就叫最簡方根，可是如果像這個 3 8 ，你可以想 像 8 是不是還有4 2 ，那個根號 4 是不是還可以再開一次，所以這個就不叫最簡方 根。

(8) 1 x x

主要是在 ^k

a bc d 題型，教師會運用此概念。教師在 131028 時，以舊經驗 的⁷ 7

1 說明此概念，接著多是說明：「分母是 1 可以直接省略寫分子」並改寫算 式。

表 36 教學實錄(131028)

師：不過好家在剛才在我們的觀察當中，雖然這兩個(指第一個跟第二個公式)都會 出現根號，可是這一個不會出現根號(指第三個公式)，所以我們就要利用這個式 子，換句換說你只要把 3 2改成 3 2 就可以解決所有的問題， 3 2乘 3 2就是第三個公式，a²就是( 3)²，b²就是( 2)²，然後分母就乾乾脆脆的 變成 3-2，乾乾淨淨沒根號了，所以如果是兩個根號在分母的話，3-2 是 1，分母 是 1 直接寫分子就好了。

2 2

( 3 2)

1 3 2

( 3 2) ( 3 2) ( 3) ( 2) 3 2

3 2 1

  

    

   

^{1 ( 5 2) 5 2 5 2}

5 4 1

( 5 2) ( 5 2)

     

   

師：這邊是 5 2 就乘 5 2 ，這邊直接寫 5 2 就好了，因為分母是 1 的話直接 寫分子，⁷

1是不是寫 7。

表 37 教學實錄(131107)

師： 12 倒數就倒過來嘛，下一步約分，想像一下，這是(指 6 6 )^{6 6}

1 ，怎麼約?

2 5 6 6 1 3  1  12

(9)分數的乘法，即^{a c a c} b d b d

  

 。

教師在證明 12 6 2時，有依據分數乘法的概念，說明分子乘以分子、

分母乘以分母。後續遇到相關分數乘法題型時，像 131107 時，教師有時會口頭提 醒此概念。

表 38 教學實錄(131021)

師： 12 6的平方會不會呢，就是 12 ² ( )

6 ，被除數(指 12 )放分子，除數放分 母，如果是平方的話，就是 12 12

6  6 ，那分子乘分子是多少?

另生： 144 ，12。

師：那分母乘分母就是 6，約分就是 2，那請問( 2)²呢，也是 2，所以平方完一樣，

表示原本就是一樣的。

表 39 教學實錄(131107)

師：這邊給同學一個良心的建議，這裡(指 12 )不要約到 2，這裡約 3 就好，這邊 剩一個 2，這邊剩一個 4，好處就是 4 恰恰好就是 2，如果你剛剛全部約光光，你 還是要再做一次分母有理化，分子全部乘起來，根號跟根號乘。

2 5 6 6 1 3  1  12 1

2 2

4

1

2 2

4

(二)國一

(1)乘法交換律、乘法結合律。

教師在根式乘法提到此概念時，皆是如 131021 的教學，會說明：「那乘法是 不是有交換律，是不是有結合律」接著便是改寫算式，將乘法順序改變。

表 40 教學實錄(131021)

師：什麼叫 5 3括號的平方，就是括號 5 3再乘以括號 5 3，平方的意 思就是自己乘自己，這些都是乘法，那乘法是不是有交換律，是不是有結合律，所 以我可不可以把 5拿到前面來(指第二個 5)， 3放到後面去(指第一個 3)。

2 2

( 5 3) ( 15)

( 5 3) ( 5 3) 15 15

5 5 3 3 15

5 3 15



    

    

  

(2)加法交換律、加法結合律

教師使用此概念時，皆未特別說明。

表 41 教學實錄(131025)

2

2

( ) ( 8 11)

8 2 88 11 19 2 88 19 4 22 a b



      

師：你算到19 2 88 不是同類方根，不能再加減了。

(3)分配律

教師以口頭說明使用分配律，接著畫出弧線示意規則便寫出答案，後來則會 省略弧線示意，說明使用分配律後就寫出答案。

表 42 教學實錄(131030)

師：這個還記得是什麼意思嗎?

蠻討厭的，所以才會大家說好，這個乘號不要寫，直接寫這個(指 3x )，一樣的道 理，寫乘很麻煩，所以大家也是講好，今天是 2 2、3 7，如果是一個數字乘 以一個根號的話，這個乘可以不要寫出來，所以就直接寫 2 2 、3 7 ，你要記得這 個東西跟這個(指 3x 3 x)是一樣的，中間是有個乘被省略掉。

師：那3 75 7? 另生： 8 7 。

師： 5x3x就是 2x ，所以 3 7 就是這三個(指 7 7 7)， 5 7 就會有五個，

所以合併起來就是 8 7 ，事實上就剛好是這個跟這個(指 3 跟 5)加起來。

3 75 7 8 7

(6)符號簡記

教師介紹a b  a b時有依據符號簡記的概念，接著遇到此概念時，都以口 頭說明乘號省略或直接改寫。

表 44 教學實錄(131018)

3 3 3 5 3 2

x x

x x x x x x x

 

  

 

師： 3x 的話指得是什麼?

另生： 3x 3 x。

師：只是乘號省略， x x x  也是寫成 3x ，跟上面這個(指 3x 3 x)一樣，因為就 是 3 倍的 3x 。

師： 5x3x呢?

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 7 7 7 3 7 3 7

   

    

2 2

另生： 2x 。

師：如果 x 是這樣寫的話，那³ 11

教師於 131021 有詳細說明此概念：「什麼叫 5 3括號的平方，就是括號 5 3 再 乘 以 括 號 5 3， 平 方 的 意 思 就 是 自 己 乘 自 己 」， 而 後 教 師 證 明 a b a b 時，則寫出算式 12 ² 12 12

( )

6  6  6 說明平方概念。

表 46 教學實錄(131021)

師：什麼叫 5 3括號的平方，就是括號 5 3再乘以括號 5 3，平方的意 思就是自己乘自己，這些都是乘法，那乘法是不是有交換律，是不是有結合律，所 以我可不可以把 5拿到前面來(指第二個 5)， 3放到後面去(指第一個 3)。

2 2

( 5 3) ( 15)

( 5 3) ( 5 3) 15 15

5 5 3 3 15

5 3 15



    

    

  

(三)國二 (1)乘法公式

教師在教學化簡 k

a bc d 前，先讓學生討論學習單第 8 題與第 9 題⁷，並說 明：「第一個公式算完一定會帶有一個根號，是不是第二個公式算完也會帶有根號?

你再看你的第 8 題跟第 9 題，是不是第三個公式算完永遠都是整數?」，接著在化

簡 k

a bc d 時，教師多是口頭說明乘以a bc d ，並直接運用公式，而後在

7學習單第 8 題，題目為：請自己寫出兩個根號數，並把它們帶入公式(a b )²、(a b )²、

(a b  ) (a b)計算出答案(a、b 就代表你寫個兩個根號數)；學習單第 9 題，題目為：請自己寫 出一個整數與一個根號數，並把它們帶入公式(a b )²、(a b )²、(a b  ) (a b)計算出答案 (a、b 就代表你寫的兩個數)。

131031 與 131107 教學時，則有強調：「加的就要乘減的，減的就要乘加的，因為我

個沒有問題，所以 2 倍乘 15 是2 15，那請問這兩個(指 8 跟2 15)還能不能再加?

子，換句換說你只要把 3 2改成 3 2 就可以解決所有的問題， 3 2乘 3 2就是第三個公式，a²就是( 3)²，b²就是( 2)²，然後分母就乾乾脆脆的 變成 3-2，乾乾淨淨沒根號了，所以如果是兩個根號在分母的話，3-2 是 1，分母 是 1 直接寫分子就好了。

2 2

( 3 2)

1 3 2 3 2

3 2 ( 3 2) ( 3 2) ( 3) ( 2) 1

       

   

(2)完全平方數

除了在學習單第 3 題要求學生分解為兩個根號數相乘，且其中一個根號內的 數為完全平方數之外，教師又於 131025 教學時，因有學生提出疑問，故重新說明 完全平方數的意思。

表 49 教學實錄(131025)

師：第 8 題不要用同類方根去算，你們會看不到一些東西，也不要用完全平方數。

另生：什麼是完全平方數?

師：什麼是完全平方數，你們又不知道了，16、9、64、36、121、144。

(4)a² b a b²( , 皆0)則ab。

教師欲證明 a b  a b 、 b d  b d 與 b b

教師欲證明 a b  a b 、 b d  b d 與 b b

在文檔中 八年級學生在根式運算上的概念發展個案研究 (頁 96-133)