根式運算概念之特質的影響與學生舊經驗的影響

一、甲生會受括號的影響，聯想(a b) ( a b)至(a b a)(  b)，且畫出弧線 (a b) ( a b)考慮運用分配律或者是乘法公式(a b )² a²2ab b ²。

表 68 甲生受舊經驗影響的分析報導

概念心像 分析結果 所根據的資料

a b a b





化簡 k

a bc d 此類 型時，在寫出

(a b)2 a b a b 之後，甲生無法穩固 的依據 a b a b 概念進行改寫。

○²131114 訪談內容

(研究者詢問關於測驗卷(2)第(16)題，學生的想 法)

研：(16)小題當初是空白，現在呢?

(學生寫出(¹ 2)(¹ 2)

5 5 )

研：你知道括號根括號之間是什麼運算嗎?

生：有幾個數在括號裡面，那是不是要先把那 個數先乘好。

研：先乘好?

(學生接著寫出(5 3) 2  再寫出 8 2 )

生：因為老師那時候說過先乘除才能後加減，

所以有括號就要把這兩個先乘，所以變成 8 2 。 生：是不是要這個乘再乘以這個，這個乘再乘 以這個，我不知道是不是這樣，我是卡在這裡。

(學生畫出弧線(¹ 2) (¹ 2)

5 5 )

生 ： 因 為 老 師 那 時 候 教 (a b )² 就 等 於

2 2

2

a  ab b ，我不知道是不是要把這個帶進這 個公式。

○³140605 訪談內容

(研究者要求甲生化簡 6

2 3 3 ，甲生在處理分 母 的 (2 3 3) (2 3 3)   時 ， 只 寫 出

2 2

2 3 6 3 6 3 2 3  ) 研：然後咧?

生：不知道，就這樣啊。

研： 2 3 的平方咧?

(學生未回答)

研：我如果加個括號 (研究者寫出(2 3)²)。

生：不懂，不是 2 3 乘以 2 3 嗎?

研：然後呢?

生：不知道啊。

研：這個東西乘怎麼乘?

(學生畫出弧線示意：2 3  2 3) 研：你現在是四條線嗎?

生：對啊。

研： 2 3 的意思是什麼?

生：2 3。

(學生寫出2 3 2  3，並作答為 12)

二、甲生具有"將根號內與根號外分開運算"的概念心像，再加上加號的影響，因而 引動舊經驗中的有理數運算，於是將 a b中的 a 與 b 相加得到 a b 。

表 69 學生受舊經驗影響的分析報導

概念心像 分析結果 所根據的資料

有根號的

c. 第 ○³ 點 的 資 料，甲生說「我 那時候就暫時把 根號去掉」，可知 甲生會以從前的 分數運算方法處 理，包含(1)將數 變成倒數而將除 法改為乘法。

(2)約分。

(3)假分數換成帶 分數。

個比這個(指 1)大，等於變成有兩個這個(指 1)，

兩個一分之一加起來。

研：是只有分母是 1 的時候你會這樣想嗎?

生：分母?

研：就是底下的數字是 1 的時候你才會這樣想嗎?

生：就是假分數，假分數把它變成帶分數。

研：喔，你要把它變成帶分數?

生：不然就真分數。

研：那如果今天是這樣 3

2 你會怎麼做? (研究者 詢問外並寫下)

(學生寫下1 1 )

研：也是先變帶分數嗎?

生：恩。

研：所以這個 2 這個 3 的帶分數是?

生：1 1 啊。

研：有根號嗎?

生：去掉根號嗎?

研：恩。

(學生改答案為1 ¹ 2 ) 研：那個根號有把整個¹

2都放進去嗎?

(學生搖頭)

研：它只有上面有根號而已，2 在外面?

(學生點頭)

研：你怎麼決定誰在外面誰在裡面?

(學生良久皆未回答) 研：好，沒關係， 8

5=?

(學生寫下1 3) 研：底下有 5 嗎?

生：我不知道要不要加 5。

研：跟剛剛就是你不知道要不要加 2 一樣，是不 是因為你沒有看過這樣的東西，所以你猶豫了?

生：恩。

貳、運算概念的相互影響

一、將根號內與根號外的數值分開運算

甲生在處理根式加減法的部分，皆有將根號內與根號外的數值分開運算的概 念心像，即a bc d 的運算，則為(ac) bd ，與甲生在處理根式乘法的概念 心像是一致的。

表 71 甲生受運算概念的相互影響之分析報導

概念心像 分析結果 所根據的資料

同 種 類 ( 根 號 內 及 根 號 外 ) 分 開 相加(減)

甲 生 處 理 根 式 加 減 法 的 部分，皆有根 號 內 與 根 號 外 的 數 值 分 開 運 算 的 想

○² 甲生處理根式加減法的部分，不管是在同類方根還是 不同類方根的a b 或是 a b  a b ，皆有同種 類(根號內及根號外)分開相加(減)的想法。

○³ 131122 訪談內容

(研究者詢問關於測驗卷(4)的運算想法)

研：我很好奇你加法為什麼會做這樣的搭配?

法。 生：就是根號跟根號乘啊，根號跟根號加，反正就一樣 的就加起來。

研：好，為什麼會這樣?

生：這兩個(指 5 跟 3)應該不能加，不一樣，所以我 就變成是跟相同的加。

二、 b d  b d 的運算概念會受根式加法想法的影響

b d 的部分，甲生原先會以將根號內與根號外的數值分開運算的想法得到 b d ，但會受到根式加減法想法的影響。

表 72 甲生受運算概念的相互影響之分析報導

概念心像 分析結果 所根據的資料

b d b d



 

1. 推測在處理 b d 此種 類型時，若 b 與 d 皆為整 數，原先甲生須經提示，後 來則可以 b d  b d 算出正確的答案；還有從第

○⁷ 點得知甲生有兩種想法：

其一為都有根號，所以就直 接18 9 ，那答案是 2 ，另 外則認為 9 9  18，也 就是因為 18 是兩個 9，所 以答案是 2，可發現甲生會 受根式加法概念的影響，在

b d  b d 的運算概 念並不穩固。

○⁷ 140227 訪談內容

(學生回答出 18 9等於 2 後) 研：好，那答案的根號還在嗎?

生：應該在吧。

研：不確定?

生：不確定。

研：什麼時候你覺得會有根號，什麼時 候覺得沒有?

生 ： 剛 剛 想 兩 個 9 ， 9 加 9 等 於 18 ，那我想應該是這樣吧。(指答案為 2)

研：所以變成是兩個做法就對了?

生：對啊，所以我就不確定是哪一個。

參、運算要有結果，因此未能想到反著做

a b的乘號省略 寫出 a b 。

研：那你會再做下去了嗎?

(學生寫出 3 2 )

○³140306 訪談內容

(學生寫出( 10 6) 6 2  的分數型式 10 6 6 2

 後)

研：好，那下一步你能做嗎?把該還原的還原。

(學生未動作)

研：你知道10 6的意思嗎?

生： 10 乘以 6。 研：先把那步寫出來。

生：喔喔。(學生寫出 10 6 6 2

 

 )

○⁴140227 訪談內容

(研究者要求甲生將(9 10) (3  5)往下做，甲 生寫出答案為 3 2 )

研：然後你是把乘號省略嗎?

生：就先不要管乘號啊。

研：先不要管乘號，那它有乘號嗎?

生：還是有啊，先不要管，因為這個跟這個一樣是 要乘以根號嘛，然後我就這個除這個剛好。

(學生畫出弧線(9 10) (3  5)示意) 研：你剛剛這個再說一次。

生：就一樣啊，我只是省略這個(指乘號)，先不要 看，反正這個跟這個都會乘以根號(指 9 10及

3 5)，那我這個就先除以這個(指 9 跟 3 除)，

這個再除以這個( 10 跟 5除)，反正一樣啊。

研：一樣?

生：就是之後還是會乘啊。

○⁵140306 訪談時，在甲生寫出 5 3

拆為a b

c d 。 (學生寫出6 18 4 10 )

○² 131121 訪談內容 (學生寫出6 18

4 10 後) 研：你會再往下做嗎?

(學生寫出3 9 2 5 )

研：你可以再繼續往下，如果你可以的話。

生：就這樣。

研：就這樣?兩個要不要合起來? (指³ 2跟 9

5) 生：這兩個還要合起來嗎?

研：你覺得可以就合，你覺得不行就不要合。

(學生寫出3 9 2 5)

○³ 140227 訪談內容 (學生寫出9 10

3 5



 後)

研：好，再繼續拆成兩個分數相乘。

生：可以這樣嗎？ (學生寫出9 10 3 5 ) 研：你覺得可不可以啊？

生：應該可以吧。

研：從這裡過來你覺得可不可以？ (指⁹

3的部分) 生：可以啊。

研：你現在是在檢查 10

5 跟 10

5 是不是，所以⁹ 3你是 確定的，你是後面這個不確定？

生：恩。

研：可不可以把它變成一個根號?

(學生寫出 7 2 )

○2 140522 訪談內容 (研究者寫下 8

 3，讓學生填寫等於的左邊) 生：什麼意思啊?

研：它是怎麼算來的?

(學生寫下 8 3)

肆、符號(根號)影響

一、將根號內與根號外的數值分開運算 (一)根式加減法

對於含根號的數的加減法，甲生會將根號內及根號外數值分開運算，因此有 以 下 情 形 ： a b 無 法 合 併 或 、 a b a b 以 及

( )

a bc d  a c b d 。 (二)分配律

使用分配律a (b c)會有將含根號的數與未含有根號的數分開處理的情況，

像 是 2 ( 1 3 )  2 1、 (23 5)2 33 2 5 32 15 、 (2 4 5) 3    2 3 4 5與(4 3) 3 4 3 3  4 3 1。

二、 1

c d

c d

  

甲生在a b(c d)此類題型時，無法將 c d 變成 1

c d ，應是受根號此符號 的影響，故可能只考慮將根號內的 d 改寫成倒數。

表 76 甲生受｢符號(根號)｣的影響之分析報導

a b a b

概念心像 分析結果 所根據的資料 x 1

  x 甲 生 在 ( ) a b c d 此 類題型時，無法 將 c d 變 成

1

c d 以 將 除 法 改為乘法。

○¹ 140403 訪談內容 (研究者詢問6 64 3)

研：這個如果換成乘，後面要寫什麼?

(研究者寫下 6 6﹍﹍，要學生填空) 生：倒數啊，不知道怎麼倒。

研：如果加括號，你會倒嗎?

(學生搖頭)

○² 131115 訪談內容

研：這個東西(指 20

20 6

  6 )你是怎麼想?怎麼 算的?

生：因為它不是要倒數嘛，我就把它寫成分數，這個 除然後要倒數。

(學生寫出 )

在文檔中 八年級學生在根式運算上的概念發展個案研究 (頁 133-146)