概念心像(concept image)

人類的大腦並不都是數學邏輯，也有其他的元素，所以當數學的概念要進到 腦中，要經過一些內化的過程，要了解這些過程，因此要區分正式定義的數學概 念與人們想像的認知過程。

Tall 跟 Vinner(1981)視概念定義為說明概念的一種文字形式，可能是死背的 或更有意義地連結概念，也可能是定義的重建，然後被用來解釋學生自己心中的 概念心像，在學生心中會不時改變，所以概念定義與「正式概念定義」¹不同。

Vinner(1983)強調：｢概念定義是以一種不會循環的方式精確解釋概念的文字定 義。｣

除了所有數學概念有正式定義外，許多數學概念定義是一而再的被介紹，但 學生面對數學科目時不見得會使用概念定義，而是運用概念心像做判斷。Vinner (1991)認為：「當我們看到或聽到某個概念的名稱時，它會對我們的記憶區產生刺 激，並且在我們的記憶中引出某些東西，儘管這個引出的東西有它的定義，但通 常不會引出定義，而是概念心像。」

概念心像，是指在心智中與此概念名稱聯結的非言辭實體(Vinner,1983,1982)，

若概念具有視覺表徵，它可以是視覺表徵，也可以是有關此概念名稱之印象或經 驗的集合體。Tall 跟 Vinner(1981)認為概念心像就是描述跟概念有關的總體認知 結構，包含所有心靈圖像(mental picture)和相關屬性和過程。根據 Vinner 與 Dreyfus(1989)的說法，概念心像乃指學生心中關於某個特定概念所產生的圖像所 成的集合，以及表現它們特性的所有特質 (心靈圖像是指任何形式的表徵，如圖像

｢picture｣、符號形式｢symbolic form｣、圖表｢diagram｣、圖形｢graph｣等等)，有些數學 概念具有較強的圖解觀點，但有些卻沒有，此時心像包含主要是符號性的陳述及 公式，及概念的所有關連特性。

1正式概念定義即為數學上對該概念的定義。

以下為概念心像的兩個例子：

1. 剛開始學兩個正數的減法時，孩子們可能觀察到減去一個數字總是減少了答 案，這個觀察成為他概念心像的一部分，但導致在減去負數時遇到困難。

2. 在以下題目詢問學生函數是否連續：

表 2 概念心像的例子

題目 學生的作答

雖回答是對的，但可能給了錯 誤的原因。

得知學生的概念心像是不允許 斷點出現在圖形中的。

大部分學生都認為它連續，由 於“它全部都在一個整體”；認 為它不連續則是因為"它不是 由單獨的方程式組成的"、"在圖 中它的傾斜度忽然改變"。

大 部 分 人 都 認 為 它 不 是 連 續 的，這裡有一些不同的理由:“它 不是一個整體”、“在原點的時 候它有一個躍起”、“它不是單 獨的方程式”。

造成較多的問題，有些人覺得 它不連續因為“它無法被畫出 來”，有一位覺得他連續因為

“在定義中它是一個連續的圖 形”。

發現學生可能的概念心像為：它的圖形沒有斷點、它全部都是一個整體、一個單 獨的方程式、而少數人會有其他的想法(例如平滑的改變它的傾斜程度)。

綜合以上，在本研究中界定概念心像為｢學生心中關於某個概念的認知結構，

包含符號性的陳述、公式、概念的相關特性以及此概念名稱之印象或經驗的集合 體。｣

我們假設獲得一個概念就是對此概念形成一個概念心像(Vinner, S, 1991)。概念 心像是由經年累月的各種經驗所建立，不同的刺激會活化不同的概念心像，因此 概念心像的發展不具有一致性(coherently)，且當個人為了符合新的刺激及成長時會 有所改變(Tall,D & Vinner,S, 1981)。

在特定的時間內，只有部分的概念心像被活化，例如對 1/2+1/ 4 可正確執行，

但面對 1/2+1/3 卻使用錯誤方法，他只是利用每次他認為適當的方法。概念心像可 能彼此衝突，只有衝突的概念心像同時被喚起時才能感受到 (Tall,D & Vinner,S, 1981)。例如學生認為 0.9 0.99999... 永遠比 1 小，此時要求他們利用循環小數化成 分數的作法寫出 0.9 1 時，這兩個互相衝突的概念心像同時被喚起，他們才會感覺 到這兩個心像之間的衝突，才造成認知衝突(cognitive conflict)。

概念心像可能會包含許多跟正式定義衝突的因素，這些因素可能不會被注 意，但會造成處理正式理論時的混亂。建立一個適當的概念心像是困難的，不適 當部分會產生有概念衝突且嚴重的防礙學生個人想法及對正式定義的心理發展有 所阻礙，例如：s_n s極限的口頭定義，如果學生有一個概念心像不允許 sⁿ 等於 s(因為當 n 越來越大時他只是很接近 s)，我們可以推論他也許當教師提供混和的例 子給他的時候他便無法吸收，像s_n 0，n 為奇數時； 1

n 2

s  n，n 為偶數時，學生 的想法會有：堅稱這不是一個數列，而是兩個、偶數項會逼近 0，奇數項巧好等於 0、學生認為其中有一些項恰好等於極限值，在數列中並不是一個名符其實(genuine) 的例子。(Tall,D & Vinner,S, 1981)

概念定義是口頭的、明確的，可以由直接的問題來了解別人的概念定義；概 念心像是非口頭的、隱含的通常要靠間接的問題來了解別人的概念心像。(Vinner, S, 1991)