八年級學生在根式運算上的概念發展個案研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 八年級學生在根式運算上的概念發展個案研究. 研究生：王文婉. 中華民國. 一0四. I. 年. 一. 月.

(2) 謝誌這一路來的學習與本論文的完成，最要感謝的就是恩師謝豐瑞老師。一開始，老師便開放讓我自己摸索我想要研究的主題，並提醒著我要能應用到教學上以及考慮執行的可行性，而且也總是願意給我建議，使我有往前的方向與動力。研究所這段期間，因為老師的教導，除了在學術上收穫良多之外，更讓我在做為老師的身份上多了許多的省思與改變，真的很謝謝老師！感謝口試委員邱守榕教授、羅昭強教授、施皓耀教授，感謝您們在百忙之中撥冗前來給予指導及建議，讓我思考的更多，使這本論文寫得更好。感謝我的同事―建亨，給予我許多的建議與協助，使我的研究得以執行，還有同學―長民，謝謝一路上的支持與督促。再來，要謝謝同門的學長姊與同學們―書志學長、佳叡學長、婷瑩學姊、啟台學長、佩蓁學姊、志瑋學長、世偉學長、嵐婷學姊、筱芸學姊、桂銘、旻怡、鈺傑、韋樺、怡寶、崇宇、圓晴、宏凱、軒豪、明霖這些日子以來的協助與幫忙。謝謝其他一路上鼓勵我、協助我的同事、朋友們，讓我得以在工作上、研究所與其他總總的事情上能夠持續努力，克服難關。最後，要謝謝我最愛的家人們，因為有你們的包容與體諒，還有我面臨低潮時的陪伴與鼓勵，我才可以全心全意地往前衝，謝謝你們，因為有你們的支持，我才能完成我的碩士學位。文婉致于 2015 年 2 月. II.

(3) 摘要認識二次方根及能理解根式的四則運算是一重要的概念，但學生的學習卻不理想，因此本研究以深度之質的研究探討八年級學生在根式運算上的概念發展。本研究主要目的是針對在班上數學程度中等的學生，探討其在根式運算上概念無法順利發展之處及其可能成因。研究採｢個案研究法｣，並採用條件抽樣法(criterion sampling)作為研究對象抽樣的方式，設定的標準為：(1)研究對象在研究者任教的學校，以方便研究者進行測驗卷施測與訪談；(2)可讓研究者觀課錄影且願意提供其學生參與研究的教師(3) 研究對象未補習；(4)研究對象是在班上數學程度中等的學生；(5)研究對象必須樂於溝通且願意配合研究，依此選出同班的甲、乙兩位學生作為研究對象。研究者利用自編的根式運算測驗卷、訪談轉錄的文字檔案、隨堂觀課錄影的上課內容記錄、個案基本資料與其他書面資料作質的綜合交叉分析。本研究的主要結果有： 1.教師的教學影響學生很大，例如：受教師在根式乘法教學所強調的"有根號的跟無根號的不能相乘"、"根號裡面跟根號外面是分開乘的"以及"同樣有根號，故將根號內數字相乘"的影響，兩位研究對象皆有"將根號內與根號外的數值分開運算"的概念心像；還有甲生是具備擴分概念的，但因教師的教學強調乘上跟分母一樣的數(或乘上跟分母相對的數)，因此反而造成甲生僅有分母乘上一數的狀況。 2.學生在含根號的無理數概念發展不足，會有在處理根式運算時將其視為有理數運算的情況。 3.學生會因根式運算中的符號，引動舊經驗而影響他的概念發展，例：受括號的影響，聯想 (a b )  (a b ) 至 (a  b )(a  b ) ；還有受加號的影響，而將 a  b 中的. a 與 b 相加。 4.學生會受運算要有結果的概念心像影響，還有會被符號(根號)影響。. 關鍵字：概念發展、根式運算. III.

(4) 目錄. 第一章緒論 .................................................................................................................... 1 第一節研究動機與背景 ........................................................................................ 1 第二節研究目的 .................................................................................................... 3 第三節名詞解釋 .................................................................................................... 4 第二章文獻探討 ............................................................................................................ 5 第一節概念 ............................................................................................................ 5 第二節概念心像(concept image) .......................................................................... 8 第三節概念圖(concept maps) ............................................................................. 11 第四節根式運算的相關研究 .............................................................................. 13 第三章研究方法 .......................................................................................................... 15 第一節研究設計 .................................................................................................. 15 第二節研究對象 .................................................................................................. 17 第三節研究工具 .................................................................................................. 18 第四節實施步驟 .................................................................................................. 21 IV.

(5) 第五節研究限制 .................................................................................................. 24 第四章甲生的研究結果與發現 .................................................................................. 25 第一節甲生在根式運算的概念圖 ...................................................................... 25 第二節根式運算的概念心像 .............................................................................. 29 壹、將根號內與根號外的數值分開運算 .................................................... 29. 貳、 a 的運算與已知數相近，而與未知數不同 ...................................... 59. 參、當未有數字或平方數可從根號內提至根號外時，即為最簡根式 .... 72 第三節教師教學的影響 ...................................................................................... 79 壹、根式運算的先備知識(非根號概念) ...................................................... 79 貳、根式運算的先備知識(根號概念) .......................................................... 99 參、根式運算 .............................................................................................. 114 第四節根式運算概念之特質的影響與學生舊經驗的影響 ............................ 116 壹、舊經驗的影響 ...................................................................................... 116 貳、運算概念的相互影響 .......................................................................... 120 參、運算要有結果，因此未能想到反著做 .............................................. 122 肆、符號(根號)影響 .................................................................................. 127. V.

(6) 第五章乙生的研究結果與發現 ................................................................................ 129 第一節乙生在根式運算的概念圖 .................................................................... 129 第二節根式運算的概念心像 ............................................................................ 133 壹、考慮有理數部分 .................................................................................. 133 貳、一定要有結果 ...................................................................................... 152 參、將根號內與根號外的數值分開運算 .................................................. 167 第三節教師教學的影響 .................................................................................... 175 壹、根式運算的先備知識(非根號概念) .................................................... 175 貳、根式運算的先備知識(根號概念) ........................................................ 194 參、根式運算 .............................................................................................. 210 第四節根式運算概念之特質的影響與學生舊經驗的影響 ............................ 211 壹、舊經驗的影響 ...................................................................................... 211 貳、運算概念的相互影響 .......................................................................... 217 參、運算要有結果，因此未能想到反著做 .............................................. 217 肆、符號(根號)影響 .................................................................................. 221 第六章結論與建議 .................................................................................................... 224. VI.

(7) 第一節結論 ........................................................................................................ 224 第二節建議 ........................................................................................................ 229 壹、對後續研究的建議 .............................................................................. 229 貳、對教學的建議 ...................................................................................... 229 參考文獻 ...................................................................................................................... 231 附錄…………………………………………………………………………………………………………………………233. VII.

(8) 表次圖表編碼說明：教學實錄(131028)意思為 2013 年 10 月 28 日的教學內容表 1：成就測驗之根式運算答錯率 .............................................................................. 1 表 2 概念心像的例子 ..................................................................................................... 9 表 3「根式運算」測驗卷(前測卷)的雙向細目表...................................................... 18 表 4 甲生依據｢將根號內與根號外的數值分開運算｣概念心像的情形 ................... 29 表 5 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............... 30 表 6 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............... 32 表 7 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............... 34 表 8 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............... 36 表 9 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............... 37 表 10 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 39 表 11 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 42 表 12 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 44 表 13 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 46 VIII.

(9) 表 14 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 48 表 15 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 49 表 16 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 54 表 17 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 56 表 18 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ............. 58. 表 19 甲生概念心像｢ a 的運算與已知數相近，而與未知數不同｣之分析與報導60. 表 20 甲生概念心像｢ a 的運算與已知數相近，而與未知數不同｣之分析與報導63. 表 21 甲生概念心像｢ a 的運算與已知數相近，而與未知數不同｣之分析與報導65. 表 22 甲生概念心像｢ a 的運算與已知數相近，而與未知數不同｣之分析與報導69. 表 23 甲生在最簡根式的概念心像之分析與報導 ..................................................... 73 表 24 甲生在最簡根式的概念心像之分析與報導 ..................................................... 75 表 25 甲生在最簡根式的概念心像之分析與報導 ..................................................... 77 表 26 甲生在最簡根式的概念心像之分析與報導 ..................................................... 78 表 27 教學實錄(131028) ............................................................................................... 80 表 28 教學實錄(131031) ............................................................................................... 82 表 29 教學實錄(131028) ............................................................................................... 82 IX.

(10) 表 30 教學實錄(131028) ............................................................................................... 82 表 31 教學實錄(131107) ............................................................................................... 83 表 32 教學實錄(131030) ............................................................................................... 84 表 33 教學實錄(131107) ............................................................................................... 84 表 34 教學實錄(131021) ............................................................................................... 85 表 35 教學實錄(131021) ............................................................................................... 85 表 36 教學實錄(131028) ............................................................................................... 86 表 37 教學實錄(131107) ............................................................................................... 86 表 38 教學實錄(131021) ............................................................................................... 87 表 39 教學實錄(131107) ............................................................................................... 87 表 40 教學實錄(131021) ............................................................................................... 88 表 41 教學實錄(131025) ............................................................................................... 88 表 42 教學實錄(131030) ............................................................................................... 88 表 43 教學實錄(131018) ............................................................................................... 89 表 44 教學實錄(131018) ............................................................................................... 90 表 45 教學實錄(131021) ............................................................................................... 91. X.

(11) 表 46 教學實錄(131021) ............................................................................................... 93 表 47 教學實錄(131025) ............................................................................................... 94 表 48 教學實錄(131028) ............................................................................................... 95 表 49 教學實錄(131025) ............................................................................................... 96 表 50 教學實錄(131021) ............................................................................................... 96 表 51 教學實錄(131002) ............................................................................................... 99 表 52 教學實錄(131011) ............................................................................................. 101 表 53 教學實錄(131021) ............................................................................................. 101 表 54 教學實錄(131008) ............................................................................................. 102 表 55 教學實錄(131003) ............................................................................................. 103 表 56 教學實錄(131003) ............................................................................................. 104 表 57 教學實錄(131011) ............................................................................................. 105 表 58 教學實錄(131002) ............................................................................................. 106 表 59 教學實錄(131018) ............................................................................................. 108 表 60 教學實錄(131024) ............................................................................................. 109 表 61 教學實錄(131022) ............................................................................................. 110. XI.

(12) 表 62 教學實錄(131024) ............................................................................................. 110 表 63 教學實錄(131028) ............................................................................................. 111 表 64 教學實錄(131002) ............................................................................................. 111 表 65 教學實錄(131004) ............................................................................................. 112 表 66 教學實錄(131025) ............................................................................................. 114 表 67 教學實錄(131025) ............................................................................................. 115 表 68 甲生受舊經驗影響的分析報導 ....................................................................... 116 表 69 學生受舊經驗影響的分析報導 ....................................................................... 117 表 70 學生受舊經驗影響的分析報導 ....................................................................... 118 表 71 甲生受運算概念的相互影響之分析報導 ....................................................... 120 表 72 甲生受運算概念的相互影響之分析報導 ....................................................... 121 表 73 甲生受｢運算要有結果｣的影響之分析報導 ................................................... 122 表 74 甲生受｢運算要有結果｣的影響之分析報導 ................................................... 124 表 75 甲生受｢運算要有結果｣的影響之分析報導 .................................................. 126 表 76 甲生受｢符號(根號)｣的影響之分析報導......................................................... 127 表 77 乙生依據｢考慮有理數｣概念心像的情形 ....................................................... 133. XII.

(13) 表 78 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 134 表 79 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 138 表 80 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 140 表 81 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 143 表 82 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 146 表 83 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 ........................................... 148 表 84 乙生概念心像｢考慮有理數部分｣之分析與報導 .......................................... 150 表 85 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 152 表 86 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 153 表 87 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 156 表 88 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 .............................................. 157 表 89 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 159 表 90 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 .............................................. 160 表 91 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 163 表 92 乙生概念心像｢一定要有結果｣之分析與報導 ............................................... 165 表 93 乙生依據｢將根號內與根號外的數值分開運算｣概念心像的情形 ............... 167. XIII.

(14) 表 94 乙生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 .......... 168 表 95 乙生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ........... 169 表 96 乙生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ........... 171 表 97 乙生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ........... 173 表 98 乙生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導 ........... 174 表 99 教學實錄(131028) ............................................................................................. 176 表 100 教學實錄(131031) ........................................................................................... 178 表 101 教學實錄(131028) ........................................................................................... 178 表 102 教學實錄(131028) ........................................................................................... 178 表 103 教學實錄(131107) ........................................................................................... 179 表 104 教學實錄(131030) ........................................................................................... 180 表 105 教學實錄(131107) ........................................................................................... 180 表 106 教學實錄(131021) ........................................................................................... 181 表 107 教學實錄(131021) ........................................................................................... 181 表 108 教學實錄(131028) ........................................................................................... 182 表 109 教學實錄(131107) ........................................................................................... 182. XIV.

(15) 表 110 教學實錄(131021) ........................................................................................... 183 表 111 教學實錄(131107) ........................................................................................... 183 表 112 教學實錄(131021) ........................................................................................... 183 表 113 教學實錄(131025) ........................................................................................... 184 表 114 教學實錄(131030) ........................................................................................... 184 表 115 教學實錄(131018) ........................................................................................... 185 表 116 教學實錄(131018) ........................................................................................... 186 表 117 教學實錄(131021) ........................................................................................... 187 表 118 教學實錄(131021) ........................................................................................... 189 表 119 教學實錄(131025) ........................................................................................... 189 表 120 教學實錄(131028) ........................................................................................... 191 表 121 教學實錄(131025) ........................................................................................... 192 表 122 教學實錄(131021) ........................................................................................... 192 表 123 教學實錄(131002) ........................................................................................... 195 表 124 教學實錄(131011) ........................................................................................... 197 表 125 教學實錄(131021) ........................................................................................... 197. XV.

(16) 表 126 教學實錄(131008) ........................................................................................... 198 表 127 教學實錄(131003) ........................................................................................... 199 表 128 教學實錄(131003) ........................................................................................... 200 表 129 教學實錄(131011) ........................................................................................... 200 表 130 教學實錄(131002) ........................................................................................... 201 表 131 教學實錄(131018) ........................................................................................... 204 表 132 教學實錄(131024) ........................................................................................... 205 表 133 教學實錄(131022) ........................................................................................... 206 表 134 教學實錄(131024) ........................................................................................... 206 表 135 教學實錄(131028) ........................................................................................... 207 表 136 教學實錄(131002) ........................................................................................... 208 表 137 教學實錄(131004) ........................................................................................... 208 表 138 教學實錄(131025) ........................................................................................... 210 表 139 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 211 表 140 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 212 表 141 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 213. XVI.

(17) 表 142 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 214 表 143 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 215 表 144 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 215 表 145 乙生受舊經驗影響的分析報導 ..................................................................... 216 表 146 乙生受運算概念的相互影響之分析報導 ..................................................... 217 表 147 乙生受｢運算要有結果｣的影響之分析報導 ................................................. 218 表 148 乙生受運算概念的相互影響之分析報導 ..................................................... 219 表 149 乙生受｢符號(根號)｣的影響之分析報導....................................................... 222 表 150 乙生受｢符號(根號)｣的影響之分析報導....................................................... 223 圖次圖 1 概念的形成 ............................................................................................................. 6 圖 2 二階抽象 ................................................................................................................. 6 圖 3 研究過程流程圖 ................................................................................................... 23 圖 4 甲生的概念圖 ...................................................................................................... 26 圖 5 乙生的概念圖 .................................................................................................... 130. XVII.

(18) 第一章緒論第一節研究動機與背景任教四年多，每個單元已至少教過一回，在整個教學過程中大致上從學生的表情、書寫作業、師生間互動、學生間互動、課後回饋、考試成績……等，可猜測哪些單元的學習對於學生來說是較為困難的。其中八年級上學期平方根的單元，有一新的符號〝√〞，擴展出新的數系，原就是學生生活中較不易感知的數，又牽涉無窮、比大小、加減乘除運算，對學生而言是較為困難的單元。在國中生無理數之概念感及情意現象(蔡仲彬, 89)此篇論文中，探討了學生對無理數的本質內涵或特質究竟能掌握多少？研究即發現了學生有以下情況： (一)不少學生對於平方根此一語彙仍有混淆。 (二)無法確實掌握〝√〞此符號的意義。 (三)雖然有近九成(88.5%)的學生可以感知到 2  3  6 這樣的等式是有道理的，但訪談中有部分學生雖然同意此等式，但仍表示無法接受怎麼會這麼剛好。 (四)有些學生無法認同不盡方根的加減運算。 (五)學生的學習態度較為負面。另外，施測了一份成就測驗的試卷於本校九年級學生，從結果中發現，在根式的運算上，學生的答錯率很高。表列於下：. 表 1：成就測驗之根式運算答錯率. 題號是非. 題目. 答錯率. 1. 7 3  7 3. 0.2. 4. 0 沒有平方根. 0.74. 5. 10÷ 5＝ 10  5. 0.36. 6. 5  3  53. 0.26 1.

(19) 7 9. 10. 1 1 3 16 4. ( 其中 9 . 1 1 ) 9 16 16. 已知 (1.152)2  1.327104 ，也就是說 1.152 是. 0.34. 0.28. 1.327104 的平方根選擇. 3. 若 8 是 32 x 的平方根，則 x＝？ (A)2. 填充. 2(2) 3(1). 3(2). (B)6. (C). 216 = (. 1 8. (D) 4. (化為最簡根式). 7 2 ) = 6. 0.41. 0.48 0.52 0.4. 81 ＝. 3(3). 17 的平方根＝. 0.73. 3(4). 1 1 3× ＝ 5 3. 0.56. 3(6). 24－ 6＝. 0.65. 3(7). 0.03 × 200 ＝. 0.49. 3(8). 2(1  3) ＝. 0.54. 3(9). ( 12  5 )2＝【可利用 (a  b)  a  2ab  b 】 2. 3(10). 2. 0.76. 2. ( 7  3)( 7  3) ＝. 【可利用 (a  b)(a  b)  a 2  b2 】. 0.38. 九年一貫課程綱要裡(教育部, 2009)，課程目標有能認識二次方根及能理解根式的四則運算，再者根號的概念影響了後續勾股定理的學習、一元二次方程式；高中部分的複數、指數與對數、三角函數、向量、空間中的直線與平面……等，由此可知，無理數數系的擴展，實為一重要的概念。在如此重要的概念裡，學生的學習卻不理想，我便想探討在這個單元上學生的學習現象，期望能對日後我的教學提供建議，對學生的學習更有幫助。我就從運算之概念發展的角度去探討，以期達成我的目標。 2.

(20) 第二節研究目的本研究目的是針對在班上數學程度中等的學生，探討其在根式運算上概念無法順利發展之處及其可能成因。. 因此，本研究的待答問題如下： (一)學生在學過「根式的運算」的單元後，其根式運算的概念圖為何？ (二)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能受到教師教學的影響？若是，則為何？ (三)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能源於根式運算概念之特質？若是，則為何？ (四)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能源於舊經驗？若是，則為何？. 3.

(21) 第三節名詞解釋一、概念心像(concept image) 在本研究中界定概念心像為｢學生心中關於某個概念的認知結構，包含符號性的陳述、公式、概念的相關特性以及此概念名稱之印象或經驗的集合體。｣. 二、根式運算概念之特質人的特質可定義為行為、思想和情緒的習慣性模式 (Kassin, 2003)。而在本研究中，根式運算之特質界定為在根式運算上的習慣性運作模式，包含符號、計算程序、規則的使用。. 三、舊經驗本研究中指得是學生在學習根號概念前的學習經驗。. 四、數學程度中等首先參考 103 國中教育會考數學科基礎等級的人數百分比為 50.13%；另外，由於待答問題中要探討教師教學的影響，所以研究對象須在教師教學關注的群體之中，因此本研究將數學程度中等定為數學學期成績排名落在該班中間 50%。. 4.

(22) 第二章文獻探討第一節概念人類如何認識這個世界，如何獲取知識，一直都是哲學討論的重要問題。理性主義（Rationalism）是建立在人的推理可以作為知識來源的基礎上，高於並獨立於感官感知。各人本就存在著先天觀念（Innate Ideas），運用教育的方式，把先天觀念予以「引出」（Elicit），就是理性主義的教育見解。所以蘇格拉底說他的教學方法是「產婆法」（Maieutics），教師如助產士，學生如產婦，知識如嬰孩。因為知識就是先天觀念的獲得，而學生本就有潛存的先天觀念，就如同產婦肚子裏本就有嬰兒，教師的工作，就是設法順利的幫助學生回憶已有的先天觀念而已；就如同助產士如何運用技術使產婦安全的生下嬰兒。. 經驗主義（Empiricism）的知識論不認為人有所謂的先天觀念。洛克比喻人的心靈如同一張白板（tabula rasa）或空屋（empty cabinet），本來一無所有，全部心底會萌生的觀念都來自於經驗，而經驗，有兩個層面，其一為「感覺」（sensation）；其一為「反省」（reflection）。感覺的觀念就是感官與外界事物直接接觸後，在心底產生的外官觀念，譬如硬幣觀念或黑馬觀念。而反省觀念，則是心靈的各種運作而產生的內官觀念，譬如願望觀念或記憶觀念。洛克因此闡發其「經驗論原則」（principle of empiricism），而說出這段話：「全部的人類觀念不外來自來自感覺或反省。」. 「概念」這個字是大家都熟悉的，但究竟概念是什麼呢？張春興在張氏心理學辭典(2006)說：概念係指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗，例如：幼兒吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成一種概括此類水果屬性的認識（蘋果）。狹義而言，以單一概括性的名稱或符號，代表 5.

(23) 具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念。如「書」字代表所有不同種類、不同性質的書籍，所以它是一個概念。. 在數學概念部分，Skemp (2002)表示，每次我們認知一件事物時就把它拿來和以前經驗過的事物比較、分類，抽象出該事物的不變因，抽象化的結果就形成概念。例如，在下面的圖 2-1 裡， C1 、 C1 、 C3 、……代表以前多次對椅子的經驗，從這裡我們抽象而得椅子不變的一些通性記為 C ，一旦這個抽象步驟完成，任何新的椅子經驗 Cn 就喚起我們對 C 的記憶。抽象而得的不變因可能不只一個，由各式各樣椅子中我們得到一系列通性 C 、 C  、 C  ……，我們可能很快就可以發展出更進一步、更高一層的抽象通性 Ch ，如圖 2-2 ，這就是二階抽象 (Second-order abstraction)。經過這許多複雜步驟，你就得到了"椅子"的概念。 C. C1. C3. C1. Cn. 圖 1 概念的形成. Ch. C. C. 圖 2 二階抽象. 6. C .

(24) 另外，超過一個人已有的概念階級的高階概念不能用定義方式來溝通，只能蒐集有關的例子供他經驗，再靠他自己抽象已形成概念。像是紅色的概念，若以定義：紅色是顏色的一種，由光波刺激是身經產生的反應，該種光波波長約 0.6 微米，則關於"顏色"這個字眼，就必須先有紅、黃、藍、綠、…的概念，因此不妥。一個較低階而未接觸過的新觀念則可以用定義的方式來傳達，像是一位已經問過各種顏色概念的盲人，他問"什麼是紫紅色?"而我們手邊沒有紫紅色的東西給他看，我們可以說"這也是一種顏色，介於紅色和藍色之間，或者說比紅色更藍、更深一點"。(Skemp, 2002) 綜合以上，可知要形成一個數學概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共同性，抽象出該不變因後，抽象化的結果就是概念，具有概念後，我們就可依照這個概念的共通相似性去將資料分類。若要判斷一個人是否具有某種概念，光會說出名稱是不夠的，必須要有依照這個這個概念的共通相似性去將資料分類的行為能力 (Skemp, 2002) 。運算規則 ( 例如：乘法交換律、. a  b  a  b 、 a  b  a  b 、根式加減就是同類方根合併……等)是經由運算經驗，其獲得的相似性、共同性即為規則，因此運算規則也是概念。而若要判斷一個人是否具有運算規則，就可以出類似題，看其是否可依照規則進行運算。. Skemp(2002)認為概念的力量在於它可以統合並聯繫各種不同經驗或不同的經驗分類，顯然概念越抽象，就必須記越多的有關的符號與經驗，他也指出在所有理論系統中，數學是最抽象最有力的，而符號是這個力量的主要來源。符號有下面這些功用：(1)溝通；(2)紀錄知識；(3)溝通新概念；(4)使多重分類直接化；(5)解釋；(6)促成反映活動；(7)有助於顯示結構；(8)使常規計算自動化；(9)回憶資料或理解；(10)一種創造性的心智活動。這些功用大多彼此之間互有關聯，尤其和第一個關聯更密切。因概念是純粹的內心事物―聽不見、看不到，所謂符號就是心智概念的代言人，可以聽得到、看得見，而心智概念是符號的實質意義。. 7.

(25) 第二節概念心像(concept image) 人類的大腦並不都是數學邏輯，也有其他的元素，所以當數學的概念要進到腦中，要經過一些內化的過程，要了解這些過程，因此要區分正式定義的數學概念與人們想像的認知過程。. Tall 跟 Vinner(1981)視概念定義為說明概念的一種文字形式，可能是死背的或更有意義地連結概念，也可能是定義的重建，然後被用來解釋學生自己心中的概念心像，在學生心中會不時改變，所以概念定義與「正式概念定義」 1 不同。 Vinner(1983)強調：｢概念定義是以一種不會循環的方式精確解釋概念的文字定義。｣. 除了所有數學概念有正式定義外，許多數學概念定義是一而再的被介紹，但學生面對數學科目時不見得會使用概念定義，而是運用概念心像做判斷。Vinner (1991)認為：「當我們看到或聽到某個概念的名稱時，它會對我們的記憶區產生刺激，並且在我們的記憶中引出某些東西，儘管這個引出的東西有它的定義，但通常不會引出定義，而是概念心像。」概念心像，是指在心智中與此概念名稱聯結的非言辭實體(Vinner,1983,1982)，若概念具有視覺表徵，它可以是視覺表徵，也可以是有關此概念名稱之印象或經驗的集合體。Tall 跟 Vinner(1981)認為概念心像就是描述跟概念有關的總體認知結構，包含所有心靈圖像(mental picture)和相關屬性和過程。根據 Vinner 與 Dreyfus(1989)的說法，概念心像乃指學生心中關於某個特定概念所產生的圖像所成的集合，以及表現它們特性的所有特質 (心靈圖像是指任何形式的表徵，如圖像｢picture｣、符號形式｢symbolic form｣、圖表｢diagram｣、圖形｢graph｣等等)，有些數學概念具有較強的圖解觀點，但有些卻沒有，此時心像包含主要是符號性的陳述及公式，及概念的所有關連特性。. 1. 正式概念定義即為數學上對該概念的定義。 8.

(26) 以下為概念心像的兩個例子： 1. 剛開始學兩個正數的減法時，孩子們可能觀察到減去一個數字總是減少了答案，這個觀察成為他概念心像的一部分，但導致在減去負數時遇到困難。 2. 在以下題目詢問學生函數是否連續：. 表 2 概念心像的例子. 題目. 學生的作答雖回答是對的，但可能給了錯誤的原因。得知學生的概念心像是不允許斷點出現在圖形中的。. 大部分學生都認為它連續，由於“它全部都在一個整體”；認為它不連續則是因為"它不是由單獨的方程式組成的"、"在圖中它的傾斜度忽然改變"。大部分人都認為它不是連續的，這裡有一些不同的理由:“它不是一個整體”、“在原點的時候它有一個躍起”、“它不是單獨的方程式”。造成較多的問題，有些人覺得它不連續因為“它無法被畫出來”，有一位覺得他連續因為 “在定義中它是一個連續的圖形”。. 9.

(27) 發現學生可能的概念心像為：它的圖形沒有斷點、它全部都是一個整體、一個單獨的方程式、而少數人會有其他的想法(例如平滑的改變它的傾斜程度)。綜合以上，在本研究中界定概念心像為｢學生心中關於某個概念的認知結構，包含符號性的陳述、公式、概念的相關特性以及此概念名稱之印象或經驗的集合體。｣我們假設獲得一個概念就是對此概念形成一個概念心像(Vinner, S, 1991)。概念心像是由經年累月的各種經驗所建立，不同的刺激會活化不同的概念心像，因此概念心像的發展不具有一致性(coherently)，且當個人為了符合新的刺激及成長時會有所改變(Tall,D & Vinner,S, 1981)。在特定的時間內，只有部分的概念心像被活化，例如對 1/2+1/ 4 可正確執行，但面對 1/2+1/3 卻使用錯誤方法，他只是利用每次他認為適當的方法。概念心像可能彼此衝突，只有衝突的概念心像同時被喚起時才能感受到 (Tall,D & Vinner,S, 1981)。例如學生認為 0.9  0.99999... 永遠比 1 小，此時要求他們利用循環小數化成分數的作法寫出 0.9  1 時，這兩個互相衝突的概念心像同時被喚起，他們才會感覺到這兩個心像之間的衝突，才造成認知衝突(cognitive conflict)。概念心像可能會包含許多跟正式定義衝突的因素，這些因素可能不會被注意，但會造成處理正式理論時的混亂。建立一個適當的概念心像是困難的，不適當部分會產生有概念衝突且嚴重的防礙學生個人想法及對正式定義的心理發展有所阻礙，例如： sn  s 極限的口頭定義，如果學生有一個概念心像不允許 sn 等於 s(因為當 n 越來越大時他只是很接近 s)，我們可以推論他也許當教師提供混和的例子給他的時候他便無法吸收，像 sn  0 ，n 為奇數時； sn . 1 ，n 為偶數時，學生 2n. 的想法會有：堅稱這不是一個數列，而是兩個、偶數項會逼近 0，奇數項巧好等於 0、學生認為其中有一些項恰好等於極限值，在數列中並不是一個名符其實(genuine) 的例子。(Tall,D & Vinner,S, 1981) 概念定義是口頭的、明確的，可以由直接的問題來了解別人的概念定義；概念心像是非口頭的、隱含的通常要靠間接的問題來了解別人的概念心像。(Vinner, S, 1991) 10.

(28) 第三節概念圖(concept maps) 概念構圖(concept mapping)由美國康乃爾大學 Novak 與 Gowin 發展，原先應用在科學教育上，目的在了解兒童在學習自然科學時認知結構改變情形，後來發展成為可行的學習方法。概念構圖的理論基礎建立在 David Ausubel 所主張的意義學習論。Ausubel 將概念視為一個層次性的架構，位於上層者，其概念最具概括性或一般性，稱為要領概念(superordinate concept)；越往下層，則代表越特殊，為附屬概念(subordinate concept)。Ausubel 認為的先備知識就是指要領概念。學習者在學習新概念時，首先用要領概念核對新概念並納入認知結構中，吸收同化新概念，此種結合新舊概念有利於學習的教學步驟稱為前導組織(advance organizer)。另外，在根據教材講解的過程中，教師宜遵守兩個原則：(1)漸進分化(progressive differentiation)，從概括性概念的說明，逐漸進入特殊概念的講解。(2)統整調合(integrative reconciliation)，將分化後的知識再前後連接起來，成為一個有組織的，具有統整性與調合性的知識整體。 (張春興, 教育心理學, 2006). 關於前導組織、漸進分化、統整調合等特性，概念構圖對於意義學習論在教育上的應用是一個非常優良的工具。. 根據 Novak 多年的研究，他認為幾乎所有概念意義的學習，都是經由命題形式而習得的，這會使學生知覺到除這個概念意義的學習之外，還包括許多與這個概念相關聯的外衍意義及用法。這種學習方式，除了注重｢點｣(即單一概念)的學習外，還擴及｢面｣(即概念在語意脈絡中的意義)的學習，可以說是一種類似網路脈絡 (network context)的學習法，亦是一種有意義的結構化學習法。 (余民寧, 2009). 11.

(29) 簡單來說，概念構圖是一種在兩個向度上，使用命題形式的概念圖，來表徵所欲教學和學習的概念與概念間的階層連接關係(hierarchical interrelationship)，並以此概念圖作為評量與研究學生的概念結構的圖示技術。 (Beyerbach, 1988) 概念構圖要求學生針對所要學習內容的概念先做階層性的分類(hierarchical classification)和分群(grouping)，並將兩兩概念間的關係以連接線作連結(linking)，並於連結線上標記名稱(labels)(稱為連結語)，以輔助說明概念與概念間的連結關係 (relationships)，最後形成一幅網狀結構圖，即稱為｢概念圖｣。 (Novak & Gowin, 1984) 在本研究中，研究者將分析所得根式運算的概念先做階層性的分類和分群，並將兩兩概念以連結線作連結，由於大部分的連結語為｢依據｣，故將其省略，其餘部分的連結語則保留，另外將｢包含｣的的連結線改為｛，並將化為最簡根式的四種題型同放於□內，最後形成根式運算的概念圖。. 12.

(30) 第四節根式運算的相關研究在國內曾有研究者針對國中生進行根式運算相關之研究，在本節將對國內與根式運算相關之研究進行探討。. 蔡仲彬(民 89)曾對國二、國三學生共計 2077 名，探討他們在學習過方根與 π 後，對方根和 π 所具有的本質屬性及特質之概念認知與情意現象、對於方根和 π 與相關概念聯結時所呈現的思維彈性；以及將方根與 π 的認知擴充至無理數本質屬性與特質的學習遷移情形。他有以下幾點發現：（1）國中學生對方根和 π 所具有的無理數心像仍有高比例的迷思，例如方根和 π 是不是大小固定的數？有沒有在數線上？是否等於某有限小數等等。在表達有關方根和 π 的概念時，只有少數學生能以較完整的敘述表達看法，多數都以片段、不完整的概念來敘述並以簡短的敘述來表達。無理數感知部分，超過半數學生認為無理數存在於身高及時間量中。（2）許多學生對於在圖形幾何、坐標幾何、代數符號等領域的概念中出現無理數並不能接受；至於無理數概念的垂直遷移只有少數學生能夠達到。（3）當學生的思維物件中有無理數時，由於對其本質及特質的不熟悉，多數學生需要將此新數類的思維切換成一具體可掌握的數，而只有少數學生思維彈性的張力可以到達無理數的高階概念；對於 π 則常以國小經驗的數值憶取作為思維的內容。（4）多數學生對方根和 π 的存在覺得神秘與驚奇，同時可感受到古人的智慧；也有不少學生面對方根的學習內容覺得無趣，對於生活中出現方根則傾向存疑或盡量避開的態度；但多數學生認同學習方根是為其它數學單元做準備，也覺得應該要學習簡單的根式化簡。雖然只有半數學生滿意自己的學習表現但對自己若用功會有更好的表現有很高的自我信念。學習經驗上，多數學生曾以計算機按出過根號的值；然而雖然約半數教師曾經以計算機檢驗過根式乘法，但仍有不少學生懷疑其等號關係。. 13.

(31) 其他相關的研究還有林鴻成(民 97) 診斷國二學生在二次方根的意義與四則運算的主要錯誤類型與成因。他發現主要錯誤類型有四大類，共 11 種： (ㄧ)對於單一概念或定義的不了解 (1)不了解無理數是一個明確且固定的數值。 (2)不了解同類方根的定義。 (二)無法將不同的概念、定義或表徵方式作正確的連結或區分 (3)認為 0 沒有平方根。 (4)對於平方根的意義和所代表的意義之間產生混淆。 (5)認為每一個數都有平方根。 (6)不了解數線上有無理數點的存在。 (7)將分母有理化和同類方根的合併搞混。 (三)計算程序上的錯誤 (8)方根減法運算時，直接將同類方根的部分消掉。 (9)忽略分母的整體性。 (四)將先前的經驗作過度的類推 (10)將根號和平方直接消掉。 (11)只用一個例子成立就來推斷性質的成立。而造成這些錯誤類型的原因有：對於二次方根的定義不清楚；將以前解題的經驗作過度的類推；無法將無理數和數線作正確的連結；不清楚同類方根的定義。. 以上兩份研究，可發現皆是探討學生在學過｢平方根與近似值」、「根式的運算」後學生的學習結果。研究結果得知學生在含根號的數的本質屬性及特質之概念認知上不熟悉，而後續根式運算之部分，學生有"感知到 2  3  6 這樣的等式是有道理的，但訪談中有部分學生雖然同意此等式，但仍表示無法接受怎麼會這麼剛好" (蔡仲彬, 民 89)的情況，還有計算程序上的錯誤" 7 3  5 3  7  5  2 " (林鴻成, 民 97)。學生在根式運算上的概念發展情況究竟如何？概念無法順利發展的成因為何？這些便是研究者想要了解的部分。 14.

(32) 第三章研究方法第一節研究設計本研究目的是針對在班上數學程度中等的學生，探討其在根式運算上概念無法順利發展之處及其可能成因，定位為基礎性研究(basic research)，也希望藉此研究，能夠提供數學教師們作為教學「根式的運算」的參考，故具有應用性。. 研究者想觀察學生在不同學習歷程中的概念發展，期望能深入了解學生在根式運算上的概念發展情形，因此無法大量樣本且基於時間因素，本研究採「個案研究法(case study research)」，如此才能深入進行分析探究學生的概念發展情形。本研究的待答問題中有一項是｢學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能受到教師教學的影響？若是，則為何？｣研究者想了解學生經教師的教學後，學生的概念發展出什麼，所以研究對象必須未補習，如此方能排除掉補習班教師教學的影響，而針對一名教師進行探究學生受其教學的影響；另外，還要選擇班上數學程度中等的學生，因為此類學生是教師教學關心的一群。. 本研究的研究設計，分成三個部分進行：一、要了解學生在根式運算上概念無法順利發展之處，所受教師教學、根式運算概念之特質或舊經驗影響的情形，就須先調查學生在先備知識上的具備情形，因此研究者分析國中教科書關於根式運算概念所需的先備知識，再藉由自編的紙筆測驗(見附錄四)於教師教學前施測，其中，也搭配紙筆測驗中的問答題及施測後的訪談，來了解學生的想法。. 二、為方便日後分析教師的教學，以了解學生在根式運算上概念無法順利發展之處所受教師教學的影響，因此研究者對教師做隨堂錄影。研究者根據隨堂觀課的錄影分析教學所依據的概念，也就是教師希望學生建立的概念，若無法判斷則詢. 15.

(33) 問該名教師欲傳達的概念為何，接著研究者再將分析結果經焦點團體討論後，依此建立學生概念圖的架構。. 三、為了解學生在學習歷程中的概念發展情形，還有其中所受教師教學、根式運算概念之特質或舊經驗的影響，研究者便藉由學生平日所接觸的數學材料：學生的習作、平時考卷，加上研究者不斷的進行測驗卷施測與訪談來蒐集資料。自編的測驗卷內容包括： a b  c 、 a  b 、 a b  c d 、化簡根號內含完全平方數的數、 b  d 、. b 、 a b  (c d ) 、根式加減法、分配律與乘法公式(見附錄六~ d. 八)。施測的時間皆是教師教完該概念後，盡可能的立即施測，接著進行訪談，後續尚會進行追蹤，不斷的訪談與施測類似題型，以確認學生的運算想法與概念具備情形。. 四、針對所蒐集到的資料，進行歸納分析(inductive analysis)。在歸納分析時，不做任何預設的限制、假設，所有的發現均來自於學生的反應。. 16.

(34) 第二節研究對象本研究採用條件抽樣法(criterion sampling)。以下為設定的標準：(1)研究對象在研究者任教的學校，以方便研究者進行測驗卷施測與訪談；(2)可讓研究者觀課錄影且願意提供其學生參與研究的教師(3)研究對象未補習；(4)研究對象是在班上數學程度中等的學生；(5)研究對象必須樂於溝通且願意配合研究。根據標準(2)找到與研究者同校的教師後，在其導師班中，滿足標準(3)與(5)的學生僅有兩位，分別是一名甲生與一名乙生。該班在七下時共 31 人，甲生的數學學期成績是該班的第 13 名，乙生則為第 22 名，兩位學生在班上數學程度中等，皆滿足標準(4)，因此便挑選這兩位學生做為本研究的研究對象。兩人均就讀於台北市萬華區某公立國中八年級，甲生的個性活潑，乙生較為木訥。從甲生自行勾選的「個案基本資料」與研究者的詢問下，可知他的父母都在工作，父親從事製作 LED 燈的工作，母親則是製作壓克力板，家中經濟為小康，家裡有字典、學科的課外讀物、電腦，父母很期望孩子能把數學學好，由此可知甲生的家庭可支持其學習。而他每天寫作業、讀書的時間約為 1~2 小時，至於數學課堂上的學習狀況，除了甲生的自行勾選外還加上研究者於隨堂觀課的觀察，可知其上數學課時約有一半時間參與課堂活動，包括：聽老師講課、在小組裡與同學討論及發表自己的看法、聽從老師指示操作工具、自己做數學題目。在乙生的部分，從該班導師處得知他的父母離異，由父親撫養，父親失業，家裡為低收入戶，但乙生的班費、畢旅費用、講義費用皆有繳交。而乙生自行勾選的「個案基本資料」顯示家裡有電腦、字典、百科學書、學科的課外讀物，雖有勾選父親很期望孩子能把數學學好，但經詢問他同校的弟弟後，得知父親不會要求孩子成績，也不會陪同孩子念書，但若需要數學參考書，父親會為其購買，其家庭勉強還算可支持其學習。乙生自行勾選他每天寫作業、讀書的時間約為 1~2 小時，上數學課幾乎都有參與課堂活動，但就研究者的隨堂觀察以及向該班任課老師的了解，乙生在上數學課時，經常未參與課堂活動，不管是在聽老師講課、在小組裡與同學討論及發表自己的看法還是聽從老師指示操作工具，且上課所用的學習單是抄寫同學的，作業部分經訪談與向該班導師詢問，乙生下課會請教同學，但未有一題是乙生獨立完成的，且多是抄寫同學的。 17.

(35) 第三節研究工具為能確實探討兩位學生在根式運算上的概念發展，本研究利用下面幾項研究工具來蒐集相關資料，茲將內容說明於下：一、「根式運算」測驗卷(前測卷 1) 前測卷的目的主要是了解兩位研究對象在根式運算上的先備知識。試卷的來源為研究者的教學經驗、分析康軒版數學第三冊並與其他國中現職老師討論，擬定雙向細目表後，再依雙向細目表編寫題目而產生測驗卷(見附錄四)，故具有內容關聯效度(content-related validity)。. 表 3「根式運算」測驗卷(前測卷)的雙向細目表. 教材內容. 教學目標(題號) 記憶. 了解. 應用. 分析. 完全平方數、平方與平方的逆運算 14、18. 8、21. 1、8、21. 數的運算性質：. 7. 2、. 1. 分配律. 10(3) 、. 2. 乘法交換律、乘法結合律. 10(4) 、. 3. 乘除互逆. 10(5) 、19. 4. 加法交換律、加法結合律 5. 乘法公式 6. 指數律整體性. 3. 有理數的運算與逆運算(含擴分、約 4、23. 10(1). 、. 分)、規則(正正得正、負負得正、. 10(2). 、. 正負得負、負正得負). 13、20. 正方形的邊長為一正數、邊長與面 9. 5、6. 8. 8. 積關係符號簡記，例如： x  1 x 、. 2 18. 11、16.

(36) 1.2 x  1.2  x 、 2 x  2  x  x  x 、. x 1 1 (或 x )  x  3   x 3 3 3. 8. x  x  a ， x 之非負值是 a ，其. 中a. .  0. 解一元一次方程式 ( a )2  a 、 a 2  a. 11、16 15(3). 、. 15(1). 15(4). 、. 15(2). 15(5). 、. 、. 15(6) 當 a. .  0，存在一非負數 x ， 18. 17、21. 21. 21. 21. 使得 x  x  a 。平方根最簡根式. 22. a b  a b. 23. 2 x  3x  5 x. 12. 二、「根式運算」測驗卷(前測卷 2) 目的是做為了解兩位研究對象在 a  bx  (a  b) x ( a 與 b 為常數)此運算概念的具備情形，試卷的來源為研究者在國中的教學經驗與康軒版數學第三冊，經整理後產生測驗卷(見附錄五)。. 三、「根式運算」測驗卷此測驗卷的目的為了解兩位研究對象在學過「根式的運算」的課程後，其概念具備情形及運算想法，試卷的來源為研究者在國中的教學經驗、專家教師的意見與康軒版數學第三冊，經彙整後產生測驗卷(見附錄六~八)，內容包含 a b  c  (a  c) b 、 a  b  a  b 、 a b  c d  (a  c) b  d 、化簡根號內含 19.

(37) 完全平方數的數、 b  d  b  d 、. b b 、 a b  (c d )  (a  c) b  d 、根  d d. 式加減法、含有根號的分配律與乘法公式。. 四、「個案基本資料」為能更深入了解研究對象的相關背景，於是在參考了 TIMSS 問卷後，編製了「個案基本資料」調查表(見附錄九)。本表包括了性別、父母親的教育程度、父母與本身對數學的態度、數學課堂參與度、在家做作業與溫習數學的時間、家中的讀書環境等項目。. 五、訪談欲了解兩位研究對象在學過「根式的運算」的課程後，其概念具備情形及運算想法，因此研究者對研究對象進行訪談。訪談的問題是根據研究對象在「根式運算」測驗卷(前測卷)的作答、「根式運算」測驗卷(前測卷 2)的作答、「根式運算」測驗卷的作答、任課教師的教學以及研究者對研究對象所判斷的概念發展情形來決定。. 六、其他相關的書面資料本研究所蒐集的相關書面資料有：習作、學習單、平時考卷。. 20.

(38) 第四節實施步驟 1 前置研究、○ 2 正式研究、○ 3 本研究所進行的程序主要可分為五個階段，包括○ 4 再次訪談、○ 5 資料處理與分析階段。茲詳述如下：資料的初步整理、○. 一、前置研究成就測驗的試卷：時間約在民國 102 年的 8 月，選擇兩位研究對象之同校九年級的三個班(一個班約為 30 人)為施測對象，施測了一份成就測驗的試卷，目的是了解學生在根號相關概念上有哪些概念具備情形不理想，接著，將施測結果經焦點團體討論後作為本研究的設計參考，確定研究問題。. 二、正式研究 (一)「根式運算」測驗卷(前測卷 1)與「根式運算」測驗卷(前測卷 2)：時間約在民國 102 年的 9 月，其中非根號的概念在研究對象學習根號的概念前施測，至於根號的概念則於學習根號概念後與學習根式運算的概念前，目的為了解兩位研究對象在根式運算的先備知識上的具備情形。. (二)隨班觀課與錄影：研究者從兩位研究對象學習根號的概念直到根式運算的概念，皆隨班觀課與錄影，時間從民國 102 年的 10 月到 102 年的 11 月，目的是為了分析兩位研究對象在根式運算上概念無法順利發展之處，受教師教學影響的情形。. (三)「根式運算」測驗卷：時間從民國 102 年的 10 月到 102 年的 11 月，皆是在教師教完相關概念後盡可能的立即施測，以了解兩位研究對象概念具備情形及運算想法，目的是了解他們在學習歷程中的概念發展情形，還有其中所受教師教學、根式運算概念之特質或舊經驗的影響。. (四)訪談：時間從民國 102 年的 9 月到民國 103 年的 1 月，研究者根據兩位研究對象在「根式運算」測驗卷或其他書面資料的作答，一直進行訪談，以得知他們的運算想法，或確認研究者對他們概念發展情形的判斷，目的也是了解他們在學習 21.

(39) 歷程中的概念發展情形，還有其中所受教師教學、根式運算概念之特質或舊經驗的影響。. 三、資料的初步整理研究者將正式研究所蒐集到的資料做初步的整理分析，若尚有不足的資料，則擬定下次的訪談。. 四、再次訪談2 時間從民國 103 年 3 月開始，研究者對兩位研究對象進行再次訪談以獲得更多的資料，目的為確認或更進一步的了解他們在學習歷程中的概念發展情形，還有其中所受教師教學、根式運算概念之特質或舊經驗的影響。. 五、資料處理與分析階段將訪談時的錄音檔轉為文字檔案，隨堂觀課的錄影也做上課內容記錄。之後依據各個測驗卷的結果、訪談轉錄的文字檔案、隨堂觀課錄影的上課內容記錄、個案基本資料與其他書面資料作質的綜合交叉分析。. 大體而言，本研究的步驟及過程如下圖所示：. 2. 兩位研究對象經過一學期的學習且研究者已蒐集他們的資料後，研究者想要回饋給他們同時也想. 更深入的了解他們的概念發展情形，因此進行補救教學，再次訪談也利用補救教學的時間點進行，而從此處獲得關於研究者教學影響的一些小發現，請參閱附錄三。 22.

(40) 前置研究： 1. 施測成就測驗的試卷 2. 結果分析(焦點團體討論) 3. 確定研究問題，發展研究工具. 正式研究： 1. 隨班觀課 2. 施以測驗卷 3. 訪談. 資料的初步整理與再次訪談擬定. 再次訪談. 資料處理與分析階段： 1. 錄音檔轉為文字檔 2. 上課錄影轉為上課內容記錄 3. 資料綜合分析. 圖 3 研究過程流程圖 23. 蒐集並閱讀國內外相關之文獻探討與研究資料.

(41) 第五節研究限制一、研究對象僅為兩位成績中等的學生，所以研究結果不適用全體八年級的學生。. 二、因資料分析的時序較長，尤其是再次訪談時已過了一個寒假，研究者有跟兩位研究對象確認寒假期間皆未補習，但學生可能會因為成熟度或記憶等因素而影響其運算概念與想法。. 三、因要深入了解學生在根式運算上的概念發展情形，所以資料分析較為耗時，另外，也遇有研究對象請假的突發狀況，因此研究者只能在教師教完該概念後，盡可能的立即施測測驗卷與進行訪談。. 24.

(42) 第四章甲生的研究結果與發現本章將探討甲生在根式運算上的概念發展。本章共分四節來討論，第一節呈現甲生在學過「根式的運算」後的概念圖；第二節則根據資料進行分析並報導甲生的概念心像；第三節是報導教師教學對甲生概念發展的影響；第四節則是報導根式運算概念之特質的影響與學生舊經驗的影響。. 第一節甲生在根式運算的概念圖以下，將呈現甲生在根式運算的概念圖，其中概念之間連結的線有三種，代表的意思分別為：. 依據、. 不穩固的依據、. 個概念的具備情形就以該邊框的不同類型作區分，分別為：穩固的具備、. 未依據，而每具備、. 不. 不具備。. 三張圖所呈現的主要概念分別為 1.化為最簡根式、化簡. k ；2.同類方 a b c d. 根合併、不同類方根不能合併；3.根式乘法、根式除法。若該概念邊框底下出現……，意思就是此概念所依據的概念可參閱其他頁概念圖。. 25.

(43) 化簡圖 4 甲生的概念圖. 根式加減法. 同類方根合併 ( a b  c b  (a  c ) b ). k (k a b c d. ，a b 與c d. 不是同類方根). 同類方根. 不同類方根不能合併. … …. … … 化為最簡根式化簡分母是方根的分數. 化簡根號內含完全平方數的. 化簡根號內為分數的數. 化簡根號內為小數的數. 數. 根式乘法 … …. b b  d d … …. 拆解. 乘法公式. 最簡根式. a. a0 是數 0.   a. a … …. ). 加法交換律、結合律. 擴分. (. 換律、結合律. … …. ). 乘法交. a b. (. 完全平方數. a b. 2. x  y x y. a2 a. 分配律. 小數化為分數. 約分. 1 x. ( )  ( )( ) 2. x  x  a ， x 之非負值是 26. . a a a … …. … …. x. b c  a a bc  a. a ，其中 a . .  0.

(44) 不同類方根不能合併( a b  c d ). 同類方根合併 ( a b  c b  (a  c ) b ). a  b  ab. 化為最簡根式. … …. 2 a 0 (a  0). 根式乘法 … …. a ( a  0 )是一. a b (a ). a b a b. 物件. … … 擴分. x 1 x. a. a0 ). b c  a a bc  a. (. 是數 0 ( ). 2x 3 x  5x (兩個x 加三個x). … …. 加法交換律及加法. a( a 0) 是一. 結合律. 無限不循環小數. 27.   a. a … …. 2. 若 a0. 、b  0 則 ab  0. a0 則 a 0. … …. 乘法公式. a 2  b2 則 ab.

(45) 根式乘法：. 根式除法：. a b  c d  (a  c ) b  d. a b  (c d )  (a  c) b  d. 包含. a  b  a b. a b  c  (a  c) b. b d  bd. 型如 3 1   3 4 4. 型如. 包. a b. 含. a b. b b  d d. 5 3 5   3 4 4. a 0. 1.2 x  1.2  x 2x  2  x  x  x. a0 是數 0. a a. x  x  a ， x 之非負值是. 的計算. 正方形的邊長. 以 a 表示面積. . 則a  b. a c  b d ac  bd. . a. a ，其中 a . a 2  b2 (a, b皆  0). a. 若 a  0、b  0 則 ab  0. 1  x 3. 2. a. ). x 1 (或 x ) 3 3  x 3. a. a. x  y x y. x . 1 x. (. 是一無限不循環.  . ). a0. 乘法交換律、乘法結合律. (. a0 則. a ). x  1 x. 小數. (. 符號簡記，例如：.  0. a. .  0 ，. 存在一非負數 x ，使得 x  x  a. a. 之 28. ( )  ( )( ) 2. a b. 1 b. 若a  0、 b0. 則 a b  0.

(46) 第二節根式運算的概念心像壹、將根號內與根號外的數值分開運算表 4 甲生依據｢將根號內與根號外的數值分開運算｣概念心像的情形. 類. 根式乘法. 根式除法. 根式加減法. 其他. 型 a b c  (a  c) b. a  b 無法合. b d  bd. 併或. (其中 b 與 d 均為. a b a b. 對. b 中的 b 與 d 約分 d. 對. b 將數變成倒數而 d. 整數). a b  a b. a b. ( a  b )  (c  d )  (a  c) b  d.  ab. 將除法改為乘法. a b 運.  ab. b d . b d. a b c d. 分配律：含根號的數與.  (a  c) b  d. 未含有根號的數分開處理. 作情. a b c d. 形.  (a  c) b  d. b b  d d. 化簡. k ：對 a b c d. ( k  a) b  (k  c) d (其 . 中  為 (a b )2  (c d )2 的結果)的約分是對  、 (k  a) 及 (k  c) 全部同. 除以一數。. b d  b. 1 d. 29.

(47) 一、 a b  c  (a  c) b 與 a  b  a b (一) 以下列出問卷中，相關題型甲生所寫的答案 1. 測驗卷(1) 1 10 10  10 3 3. (7). 10 . 3 3 3  5 5. (8). 4 6  (6)  24 6. 1.3 2  2  2.6 2. (9). 1 1 1  3 3 3 7 21. (1). 5  6 5  30 5. (2). 3. (3). (4) 7  (5 7)  35 7 (5). 5  0.3 5  1.5 5. (6). 1 1 1 7  7 5 7 35. (10) 4 3  3  12 3 (11). 1 6 6 6  6 5 5. 2. 測驗卷(2) (10) 6 2  5  30 2. (2) 2  3 5  6 5 (3). 6 3  3 6. (11) 7  3  7 3. 3. 另外，習作的題目中，甲生有較詳細的計算過程，寫法列於下： 5  (3 2).  5  3  2  15 2 (二)現象分析與報導. 表 5 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導. 概念心像. 分析結果. 所根據的資料. 1 測驗卷(1)及測驗卷(2)的所有題目。將根號內甲生認為含有根號 ○ 2 131031 訪談內容與根號外的數值跟未含有根 ○. 的數值分號的數值不一樣，所研：第(1)小題，你是把 5 跟 6 乘起來? 開運算. 以不能相乘，對於驗卷(1)中的第(1)小題) 生：恩。 30. (指測.

(48) a b  c 此題型皆是研：為什麼是 5 跟 6 乘起來?. 將根號外的數值(即生：好像之前在課本，老師說翻課本，就翻到. a 與 c)相乘。. 是這個(指 5)不能跟這個(指 5 )相乘。研：不能跟根號相乘? 生：對。所以就把它變成是 5 乘 6，再把它跟根號相乘。研：所以根號的要另外，不是根號的要乘，所以像第(2)小題的話呢? 3 生：把 3 看成三分之一(學生寫出 )，它(指 3) 1. 一樣不能跟它(指 3 )相乘，所以寫成 3 3 。研：就是把它們兩個放一起，不能再做其他動作了(學生點頭) 研：第 3 小題是 1.3 跟 2，也是一樣? 生：根號分開，這全部幾乎都是分開。研：你有想過為什麼根號的跟不是根號不能乘在一起? 生：只知道它不一樣，不一樣就是不能乘。. 二、. a  b  a b. (一) 列出含有此題型之問卷或考卷，甲生所寫的答案 1. 測驗卷(2) (4). 2 3  6. 2. 測驗卷(3) (1). 1  36  6 6. (2). 100  0.2  20. (14). 3. 11 月 8 日週考卷 31. 25 . 1  7  35 5.

(49) 第一大題第 2 題下列何者的值與其他三者的值不相同? (A)  12. (B) ( 3  2) (C) ( 24)  2 (D) ( 2)  6. 在(B)選項，甲生可將 2 改寫為 4 ，寫出答案為  12 ；在(D)選項，甲生可寫出答案為  12 。第二大題第 1 題下列有關方根的運算，有哪些是正確的?答：. 。. (甲). 3  5  35  8. (乙). 3  5  3  5  15. (丙). 5  3  53  2. (丁). 3  5  35 . (戊) 3 3  6 3  2 3  (3  6  2) 3   3. 3 5. (己) 6 3  4 2  3  3. 在(乙)選項甲生認為 3  5  3  5  15 這個算式是正確的。. (二)現象分析與報導. 表 6 甲生概念心像｢將根號內與根號外的數值分開運算｣之分析與報導. 概念心像. 分析結果. 所根據的資料. 同是根號內的數因為同樣為含有 ○ 1 關於 a b  c 此類型的運算概念，已得知值，故將根號內根號的數，所以先甲生具備將根號內與根號外的數值分開運數字相乘，獲得不管根號，而將根算的想法。. a  b  a b. 號內數字相乘，最 ○ 2 131121 訪談內容後再擺上根號。推研：第(2)小題答案你寫 20 嘛，怎麼想的? 知甲生具有同種 (指測驗卷(3)中的第(2)小題) 類的數字(在此是生：先把括號去掉，0.2 看成是五分之一，同是根號內的數. 1 100 乘以，再把根號帶進去。 5 值)相乘且仍在同. 一種類的想法。. (學生寫下 32. 100 1  20 ) 1 5.

(50) 研：為什麼是這樣子? 為什麼是. 100 跟 0.2 1. 乘起來，最後再把根號放上去? 生：因為都有根號啊，所以就先把根號放旁邊，根號一樣就直接數字乘數字。 3 140220 訪談內容 ○. 研： 2  7 等於 14 ，你是怎麼想出來的，你的想法是什麼? 生：就跟乘法差不多啊，只是因為它是在根號，兩個都在根號，所以就 2714( 即. 2  7  14 )。研：因為都有根號? 生：對。. 三、 a b  c d  (a  c) b  d (一) 列出含有此題型之問卷或考卷，甲生所寫的答案 1. 測驗卷(2) (1). 3  4 5  4 15. (9) 3 7  2  3 14. (6). (2 3)2  (甲生沒有作答). (12) 2 5  3 7  6 35. (8). 2 5  1 10 4. 11  3 99 9. (15). 3. (16) (. 1 2) 2  (甲生沒有作答) 5. 2. 測驗卷(3) (4) 2. 1 5 3 5  6 3 3. (5) 5 3  2. (15) 6 7  5 6  30 42. 1 3  10 5 5. (16) 5 6 . 33. 1 5 7 42 6 6.