緒論

第一節 研究動機與背景

任教四年多，每個單元已至少教過一回，在整個教學過程中大致上從學生的 表情、書寫作業、師生間互動、學生間互動、課後回饋、考試成績……等，可猜 測哪些單元的學習對於學生來說是較為困難的。

其中八年級上學期平方根的單元，有一新的符號〝√〞，擴展出新的數系，

原就是學生生活中較不易感知的數，又牽涉無窮、比大小、加減乘除運算，對學 生而言是較為困難的單元。在國中生無理數之概念感及情意現象(蔡仲彬, 89)此篇 論文中，探討了學生對無理數的本質內涵或特質究竟能掌握多少？研究即發現了 學生有以下情況：

(一)不少學生對於平方根此一語彙仍有混淆。

(二)無法確實掌握〝√〞此符號的意義。

(三)雖然有近九成(88.5%)的學生可以感知到 2 3 6這樣的等式是有道理的，

但訪談中有部分學生雖然同意此等式，但仍表示無法接受怎麼會這麼剛好。

(四)有些學生無法認同不盡方根的加減運算。

(五)學生的學習態度較為負面。

另外，施測了一份成就測驗的試卷於本校九年級學生，從結果中發現，在根 式的運算上，學生的答錯率很高。表列於下：

表 1：成就測驗之根式運算答錯率

題號 題目 答錯率

是非 1 _{7 3 7 3} 0.2

4 0 沒有平方根 0.74 5

10÷ 5＝ 10 5 0.36

6 5 3 5 3 0.26

7

1 1

9 3

16  4 ( 其中 9 ¹ 9 ¹ 16 16

  ) 0.34

10 已 知 ( 1.152) ² 1.327104， 也 就 是 說 1.152是 1.327104 的平方根

0.28

選擇 3 若8是32x 的平方根，則 x＝？

(A)2 (B)6 (C) ¹

8 (D)4 0.41 填充 2(2) 216= (化為最簡根式) 0.48 3(1)

7 2

( )

 6 = 0.52 3(2) 81 ＝ 0.4 3(3) 17 的平方根＝ 0.73 3(4) 1

5 3×¹

3＝ 0.56 3(6) 24－ 6＝ 0.65 3(7) _0.03× 200 ＝ 0.49 3(8) _{2(1 3)}＝ 0.54 3(9) ( 12 5)²＝

【可利用(a b )² a²2ab b ²】

0.76

3(10) _{( 7 3)( 7 3)}＝

【可利用(a b a b )(  ) a²b²】

0.38

九年一貫課程綱要裡(教育部, 2009)，課程目標有能認識二次方根及能理解根 式的四則運算，再者根號的概念影響了後續勾股定理的學習、一元二次方程式；

高中部分的複數、指數與對數、三角函數、向量、空間中的直線與平面……等，

由此可知，無理數數系的擴展，實為一重要的概念。

在如此重要的概念裡，學生的學習卻不理想，我便想探討在這個單元上學生 的學習現象，期望能對日後我的教學提供建議，對學生的學習更有幫助。我就從 運算之概念發展的角度去探討，以期達成我的目標。

第二節 研究目的

本研究目的是針對在班上數學程度中等的學生，探討其在根式運算上概念無 法順利發展之處及其可能成因。

因此，本研究的待答問題如下：

(一)學生在學過「根式的運算」的單元後，其根式運算的概念圖為何？

(二)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能受到教師教學的影響？若 是，則為何？

(三)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能源於根式運算概念之特 質？若是，則為何？

(四)學生在根式運算上概念無法順利發展之處，是否可能源於舊經驗？若是，則為 何？

第三節 名詞解釋

一、概念心像(concept image)

在本研究中界定概念心像為｢學生心中關於某個概念的認知結構，包含符號性 的陳述、公式、概念的相關特性以及此概念名稱之印象或經驗的集合體。｣

二、根式運算概念之特質

人的特質可定義為行為、思想和情緒的習慣性模式 (Kassin, 2003)。而在本研 究中，根式運算之特質界定為在根式運算上的習慣性運作模式，包含符號、計算 程序、規則的使用。

三、舊經驗

本研究中指得是學生在學習根號概念前的學習經驗

。

四、數學程度中等

首先參考 103 國中教育會考數學科基礎等級的人數百分比為 50.13%；另外，

由於待答問題中要探討教師教學的影響，所以研究對象須在教師教學關注的群體 之中，因此本研究將數學程度中等定為數學學期成績排名落在該班中間 50%。