概念

人類如何認識這個世界，如何獲取知識，一直都是哲學討論的重要問題。理 性主義（Rationalism）是建立在人的推理可以作為知識來源的基礎上，高於並獨立 於感官感知。各人本就存在著先天觀念（Innate Ideas），運用教育的方式，把先天 觀念予以「引出」（Elicit），就是理性主義的教育見解。所以蘇格拉底說他的教學 方法是「產婆法」（Maieutics），教師如助產士，學生如產婦，知識如嬰孩。因為 知識就是先天觀念的獲得，而學生本就有潛存的先天觀念，就如同產婦肚子裏本 就有嬰兒，教師的工作，就是設法順利的幫助學生回憶已有的先天觀念而已；就 如同助產士如何運用技術使產婦安全的生下嬰兒。

經驗主義（Empiricism）的知識論不認為人有所謂的先天觀念。洛克比喻人的 心靈如同一張白板（tabula rasa）或空屋（empty cabinet），本來一無所有，全部心 底會萌生的觀念都來自於經驗，而經驗，有兩個層面，其一為「感覺」（sensation）；

其一為「反省」（reflection）。感覺的觀念就是感官與外界事物直接接觸後，在心底 產生的外官觀念，譬如硬幣觀念或黑馬觀念。而反省觀念，則是心靈的各種運作 而產生的內官觀念，譬如願望觀念或記憶觀念。洛克因此闡發其「經驗論原則」

（principle of empiricism），而說出這段話：「全部的人類觀念不外來自來自感覺或 反省。」

「概念」這個字是大家都熟悉的，但究竟概念是什麼呢？張春興在張氏心理 學辭典(2006)說：概念係指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗，例如：幼兒 吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成一種 概括此類水果屬性的認識（蘋果）。狹義而言，以單一概括性的名稱或符號，代表

具有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念。如「書」

字代表所有不同種類、不同性質的書籍，所以它是一個概念。

在數學概念部分，Skemp (2002)表示，每次我們認知一件事物時就把它拿來和 以前經驗過的事物比較、分類，抽象出該事物的不變因，抽象化的結果就形成概 念。例如，在下面的圖 2-1 裡，C 、₁ C 、₁ C₃、……代表以前多次對椅子的經驗，從 這裡我們抽象而得椅子不變的一些通性記為C，一旦這個抽象步驟完成，任何新 的椅子經驗C_n就喚起我們對C的記憶。抽象而得的不變因可能不只一個，由各式 各樣椅子中我們得到一系列通性C、C、C……，我們可能很快就可以發展出更 進 一 步 、 更 高 一層 的抽 象 通 性Ch ， 如 圖 2-2 ， 這 就 是 二 階 抽象 (Second-order abstraction)。經過這許多複雜步驟，你就得到了"椅子"的概念。

C

圖 1 概念的形成

圖 2 二階抽象

C C C

C 1 C ₁ C₃ C_n

Ch

另外，超過一個人已有的概念階級的高階概念不能用定義方式來溝通，只能 蒐集有關的例子供他經驗，再靠他自己抽象已形成概念。像是紅色的概念，若以 定義：紅色是顏色的一種，由光波刺激是身經產生的反應，該種光波波長約 0.6 微 米，則關於"顏色"這個字眼，就必須先有紅、黃、藍、綠、…的概念，因此不妥。

一個較低階而未接觸過的新觀念則可以用定義的方式來傳達，像是一位已經問過 各種顏色概念的盲人，他問"什麼是紫紅色?"而我們手邊沒有紫紅色的東西給他 看，我們可以說"這也是一種顏色，介於紅色和藍色之間，或者說比紅色更藍、更 深一點"。(Skemp, 2002)

綜合以上，可知要形成一個數學概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有 某些相似性、共同性，抽象出該不變因後，抽象化的結果就是概念，具有概念後，

我們就可依照這個概念的共通相似性去將資料分類。若要判斷一個人是否具有某 種概念，光會說出名稱是不夠的，必須要有依照這個這個概念的共通相似性去將 資 料 分 類 的 行 為 能 力 (Skemp, 2002) 。 運 算 規 則 ( 例 如 ： 乘 法 交 換 律 、 a b  a b 、 a b  a b 、根式加減就是同類方根合併……等)是經由運 算經驗，其獲得的相似性、共同性即為規則，因此運算規則也是概念。而若要判 斷一個人是否具有運算規則，就可以出類似題，看其是否可依照規則進行運算。

Skemp(2002)認為概念的力量在於它可以統合並聯繫各種不同經驗或不同的經 驗分類，顯然概念越抽象，就必須記越多的有關的符號與經驗，他也指出在所有 理論系統中，數學是最抽象最有力的，而符號是這個力量的主要來源。符號有下 面這些功用：(1)溝通；(2)紀錄知識；(3)溝通新概念；(4)使多重分類直接化；(5)解 釋；(6)促成反映活動；(7)有助於顯示結構；(8)使常規計算自動化；(9)回憶資料或 理解；(10)一種創造性的心智活動。這些功用大多彼此之間互有關聯，尤其和第一 個關聯更密切。因概念是純粹的內心事物―聽不見、看不到，所謂符號就是心智 概念的代言人，可以聽得到、看得見，而心智概念是符號的實質意義。