九年一貫數學領域一、二階段能力指標與課程教材之分析

一、九年一貫數學基本理念與課程目標

我國九年一貫課程綱要數學學習領域在基本理念中提及，數學的能力主 軸：除數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育 的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學童數學能力的三個具體 面向。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體 性的感覺。在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學童的數學經驗（或 數學感覺）的培養卻是同等重要。要確保學童能學好新數學題材的要素之一，

旨在如何引導並利用學童的前置經驗（或感覺），這種數學的經驗（或感覺）

就是數學的直覺或直觀。學童數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新 的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上，直觀是思維流暢 的具體展現；在能力培養上，直觀讓學童能從根本上，擺脫數學形式規則的 束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童數學智能 發展中的重要指標（教育部，2003）。因此，研究者初步將學童學習數學所 須具備的能力歸納為三類：一為「概念性知識」，二為「演算能力」，三為

「抽象與推論能力」。

再者，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為：

（一） 培養學童的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。

（二） 學習應用問題的解題方法。

（三） 奠定下一階段的數學基礎。

（四） 培養欣賞數學的態度及能力。

其中，國民小學階段的目標為：

（五）在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。

（六）在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養 流暢的數字感。

（七）在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，

解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面 積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。

因此，根據上述我國九年一貫課程綱要之基本理念與課程目標，指出學 童學習數學所應具備的數學能力，並且參考吳麗玲（2006）和黃皇元（2011）

將數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向 度。以及Hiebert 等人（2003）對七個國家的數學課程進行研究，將數學問題 描述方式概分為三種類型：使用程序（Using procedures）之知識、描述概念

（Stating concepts）之知識和進行連結（Making connections）之知識。所以 研究者亦數學問題的知識屬性分為概念性知識問題、程序性知識問題以及連 結性知識問題等三個向度，並進一步將分數學習主題及施測題型分類至此三 個向度，以下作更詳盡的說明：

（一）概念性知識問題

學童能辨識以及利用模型、圖形或符號等不同方式來表達出某一數學概 念，或是舉出此概念的相關例子或是反例做為說明；此外，學童應能知道一 些數學原理（如：加法原理、乘法原理），並將原理間做相互連結、比較以 及整合應用（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。為測驗學童是否

具備此能力，在本研究所設計的施測試題是以選擇題、填填看和畫畫看等題 型呈現。在真分數的概念性知識方面，研究者認為應該讓學童了解真分數是 運用分數的基本意義-部份/整體來進行溝通。此時才能夠培養學童類化分數 加減法概念為其它概念的學習，培養學童了解如何利用既有概念進行學習新 概念的數學推理，連結既有概念與新概念，以及利用既有概念溝通新概念的 數學威力；同時，培養學童概念性了解的數學能力。

從學者們（教育部，2003；謝堅、蔣治邦和吳淑娟，2002；Behr, Harel, Post 和 Lesh, 1984）的分析，分數概念的教學的情境結構可以分成一維連續量、

二維續量、離散量等情境。所謂一維連續量指像一條繩子、緞帶、彩帶等在 還沒分割前是一個整體的一維物件；二維續量指像蛋糕、披薩等在還沒分割 前是一個整體的二維物件（一般我們在畫圖時，都把蛋糕等用平面的圓形或 方形替代）；離散量指像一盒雞蛋有十顆等一開始即以離散的個物存在的物 件。依據學者的詮釋，連續量情境是學童學習分數概念的合理情境（一般分 數概念都會先從二維連續量入手，一維連續量又可以連結到數線概念），離散 量則是讓學童連結整數除法與分數概念（即分數表示整數相除的意涵）的合 理情境。因此，這些情境結構，在真分數概念的佈題上，我們認為有其重要 性，應延續採用。

綜合上述，研究者會將真分數問題（選擇題、填充題）和分數比大小問 題（選擇題、填充題）等都歸之於「概念性知識」問題。

（二）程序性知識問題

學童能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時，能用模式 或符號來檢驗所使用的程序是否正確（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，

2009）。為測驗學童是否具備此能力，在本研究所設計的施測試題主要是以 計算題題型呈現。

我國九年一貫數學領域在基本理念的闡述中提及「演算能力」：在傳統數 學教學上，常把觀念與演算截然二分。但是數學運算或計算並不只是機械式 計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概念或

演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結 合的能力，才是演算能力。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊 數學觀念的連結與落實。演算亦是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗將 會再形成學童下一階段新主題學習所需的具體經驗。以傳統的直式乘、除法 為例，透過這種演算法，學童能充分運用加減法以及個位數乘法的能力；更 重要的是能養成簡單心算的能力，進而累積計算多位數的經驗。這種能力能 讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，而這種流暢感覺的回饋，則更能 增強學童的自信心，相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深 學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習（教育部，2003）。

綜合上述，研究者會將同分母分數的加減問題（計算題）歸之於「程序 性知識」問題。

（三）連結性知識問題

學童能從資料中逐漸辨識並形成問題；學童能了解這些資料的充分性與 一致性，並能運用相關知識、推理能力，以及採用適合的策略來找出答案（呂 玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。徐偉民和陳美鈴（2009）也指出 要成功解決應用問題需要有理解能力與運算能力，才能成功解題。因此，為 測驗學童是否具備此能力，在本研究所設計連結性知識的施測試題是以應用 題題型呈現。

九年一貫數學學習領域在教學目標中提及，我們希望課程目標的達成可 以一、「培養學童的…推論能力及溝通能力」；二、「學習應用問題的解題 方法」…。所以學童要能將所學應用在生活上，在解應用題能先了解題意、

清楚問題，並能運用相關知識、推理能力，以及採用適合的策略來找出答案。

綜合上述，研究者會將分數比大小問題（應用題）和同分母分數的加減 問題（應用題）歸之於「連結性知識」問題。

二、九年一貫數學領域之能力指標

教育部於民國九十二年公布的九年一貫數學課程綱要中，將分數的教材

單元歸入數與量的範疇中，而在數與量的主題說明中提到有理數是小學的核 心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。有理數教學的 困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數；它的應用課 題很廣─平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學童較缺乏有理數的 前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學童首次碰 到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面 整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤。而有理數中學童最先 碰到的課題是分數形式，也因此分數的學習又顯得特別重要。

九年一貫數學領域課程綱要中有關「分數」概念的學習順序，是先以「整 數」學習為基礎，接著再引入「分數」的相關學習。分數的數概念學習順序 則為「單位分數」、「真分數」，進入「假分數」及「帶分數」；至於「計算」

部分的學習則是先進行「合成與分解（加減）」活動再進入「乘除」活動。

在九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2003）中，四年級的學童應已 學會分數的能力指標是 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分 母分數的比較與加減問題。研究者將關於二年級至四年級分數教材單元相關 之分年細目與對照的能力指標加以整理，如下表 2-1-1。

表 2-1-1 92 課綱數學領域一、二階段分數課程之分年細目表

童能熟練假分數與帶分數的互換，同時作進一步之同分母分數的加減與比 較，並引入等值分數的概念，以及操作簡單異分母分數的比較。

四年級的學童在二、三年級（第一階段）時就已開始接觸分數課程，學 習真分數（初步認識分數）、單位分數比大小、同分母分數比較與加減等教材 內容，是故本研究編製紙筆施測試題時，將參酌現行之九年一貫數學課程綱 要，編入包括真分數、分數比大小與同分母分數加減等三個主題的問題。