屏東縣國小四年級學童在分數三種知識屬性表現之研究

全文

(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文. 指導教授：劉曼麗博士. 屏東縣國小四年級學童在分數三種知識屬性表現之研究. 研究生：蔡職鴻. 撰. 中華民國一百零二年六月.

(2)

(3) 謝. 詞. 回顧這三年，每次到所上上課或找老師 meeting 都必須搭火車，再匆忙的趕進教室，這點滴的回憶猶如在眼前，只能說時間過得真快。剛進來讀書時告訴自己要準時兩年畢業，可是卻事與願違，只是回頭想來卻一點也不後悔，因為自己能利用滿滿的一年來完成這篇論文，自覺收穫不小，也確實深深體會到做研究的態度與箇中辛苦。一直將曼麗老師提點我們的話當作自己的座右銘：「自己可以拖延，但時間不行。」也常因為這句話讓我不得不鞭策自己，最終才能順利畢業。這三年與老師相處的日子裡，看到老師一直默默的為數學教育付出，也不厭其煩的指導著我們，或許是她身揹著神聖的使命，希望能將多一點東西傳授給我們，更希望我們能學以致用在學生身上，因此看到她的累與她的執著，卻從未看到她鬆懈過，我想這也是我可以從她身上學到的態度，真的很感謝妳，曼麗老師。接著感謝班導偉民老師，在我們撰寫論文時給予最有力的方向與明燈，讓我們能繼續航行下去。也謝謝心輔所的佩真老師在統計上的鼎力相助，讓我們度過一次次的難關。還要謝謝辛苦為我們口考的順德老師，讓您費心了。然後是最為曼麗老師所稱讚的團隊，有文邦、妙如、國家、寶葵和我，這三年來一直都是最好的討論夥伴與彼此精神上的相互鼓舞，從線上的討論到妙如家的小組 meeting(感謝提供了舒適的討論空間與美食的招待)，在在都是我最難忘的回憶，感謝你們。此外，我也要感謝尚武國小的同仁們，謝謝你們經常性的鼓勵與加油，讓我又有動力往前。最後，我最想感謝我的家人，尤其是老婆敏娥，一直以來我都是在外地工作且這段時間又忙著寫論文，她卻總能挑起照顧兩位女兒安瑜和安昕的重任，讓我無後顧之憂的埋首在論文中，您辛苦了！. I.

(4) II.

(5) 屏東縣國小四年級學童在分數三種知識屬性表現之研究. 摘. 要. 本研究目的在探討屏東縣國小四年級學童分數學習的答題表現，以及進一步分析國小四年級學童在不同族群（漢族、新住民以及原住民）、不同地區（一般地區、偏遠地區以及特偏地區）、不同家庭社經地位（低家庭社經地位、非低家庭社經地位）以及不同性別（男、女）等四個因素下的表現是否有差異。本研究透過分層叢集抽樣的方法，選取 350 位屏東縣國小四年級學童為對象。研究工具為自編的分數學習測驗試題。而試題是依數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識以及連結性知識等三部分。資料蒐集的方式為筆試，資料分析的方式則採用描述性統計及單因子多變量變異數分析。本研究主要發現如下：一、屏東縣國小四年級學童在分數答題的表現：在「程序性知識」向度的答題表現最佳，在「概念性知識」向度的答題表現次之，而在「連結性知識」向度的答題表現最差。二、三個族群學童在分數答題的表現：在概念性知識的向度，「漢族」學童的表現顯著優於「新住民」學童與「原住民」學童；在程序性知識的向度，「漢族」學童的表現顯著優於「原住民」學童；但是在連結性知識的向度，三個族群的學童表現並無顯著差異。三、三個地區學童在分數答題的表現：在概念性知識、程序性知識以及連結性知識的三個向度，「一般地區」學童的表現均顯著優於「偏遠地區」學童與「特偏地區」學童，而「偏遠地區」學童與「特偏地區」學童的表現則無顯著差異。四、不同家庭社經地位學童在分數答題的表現：在概念性知識的向度上，「非低家庭社經地位」學童的表現顯著優於「低家庭社經地位」學童；而在程序性知識與連結性知識的向度上，則無顯著差異。五、不同性別學童在分數答題的表現：不同性別學童在三種知識屬性的向度上均無顯著差異。. 關鍵詞：關鍵詞：國小四年級、國小四年級、分數、分數、三種知識屬性 III.

(6) IV.

(7) The performance in three kind of knowledge attributes of fraction for the fourth grade students in Pingtung County. Abstract The purpose of this study was to understand the performance of the fourth grade students in Pingtung County, and to compare the fourth grade students’ performance difference between different ethnic groups, areas, socioeconomic status and gender. By hierarchy cluster sampling method, this study selected 350 fourth grade students in Pingtung County. The instruments of the study were self-written tests on the subject of fraction. Based on the knowledge attributes of mathematics, the tests were classified into three sections: stating concepts, using procedures, and making connections. The main data collecting method was written tests. The data analysis of the study was through descriptive statistics and one-way multivariate analysis of variance. The results of the study showed the followings: 1. Fourth grade students in Pingtung County have the best performance in "using procedures" dimension, and followed by "stating concepts" dimension, and have the worst performance in "making connections" dimension. 2. The performance of fraction for three ethnic groups: "Han" students' performance was significantly better than the "New residents" students and "Aboriginal" students in the stating concepts; "Han" students' performance was significantly better than "Aboriginal" students in the using procedures; but in the making connections, the performance for students of three ethnic groups were no significant differences. 3. The performance of fraction for three areas: in the stating concepts, using procedures, and making connections, "city area" students' performance were significantly better than the "remote area" students and "special remote area". V.

(8) students, and there was no significant difference between "remote area" students and "special remote area" students. 4. The performance of fraction for students of different socioeconomic status: the "non-low socioeconomic status" students' performance was significantly better than "low socioeconomic status" students in the stating concepts; but in the using procedures and making connections, the performance for students of different socioeconomic status were no significant difference. 5. The performance of fraction for students of different genders: the performance for students of different genders were no significant difference in three kinds of knowledge attributes.. Keywords: fourth grade students, fraction, three kinds of knowledge attribute. VI.

(9) 目. 次. 謝. 詞 .................................................................................................................. I. 摘. 要 ................................................................................................................ III. Abstract .................................................................................................................V 目. 次 ...............................................................................................................VII. 圖. 次 ................................................................................................................IX. 表. 次 ................................................................................................................XI. 第一章緒論 ....................................................................................................... 1 第一節研究動機 ............................................. 1 第二節研究目的 ............................................. 7 第三節研究問題 ............................................. 7 第四節研究範圍 ............................................. 7 第五節研究限制 ............................................. 8 第六節名詞解釋 ............................................. 8. 第二章文獻探討 ............................................................................................11 第一節九年一貫數學領域一、二階段能力指標與課程教材之分析 .. 11 第二節多元文化教育的意涵與目標 ............................ 17 第三節過去分數相關文獻之探討與啟發 ........................ 25. 第三章研究方法 ............................................................................................33 第一節研究設計與架構 ...................................... 33 第二節研究對象 ............................................ 34 第三節研究工具 ............................................ 38 第四節資料的處理與分析 .................................... 44 第五節研究步驟 ............................................ 45. VII.

(10) 第四章研究結果與討論 .............................................................................. 47 第一節屏東縣國小四年級學童在分數學習的答題表現 ............ 47 第二節不同族群學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識上答題表現之差異情形 ............................... 50 第三節不同地區學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識上答題表現之差異情形 ............................... 54 第四節不同家庭社經地位學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識上答題表現之差異情形 ....................... 58 第五節不同性別學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識上答題表現之差異情形 ............................... 61. 第五章結論與建議 .......................................................................................65 第一節結論 ................................................ 65 第二節建議 ................................................ 66. 參考文獻 ............................................................................................................68 一、中文部份 ............................................... 68 二、英文部份 ............................................... 73. 附錄 ...................................................................................................................... 76 附錄一專家效度問卷 ........................................ 76 附錄二第一次預試試卷 ...................................... 78 附錄三第二次預試試卷 ...................................... 80 附錄四正式施測試卷 ........................................ 82 附錄五專家效度建議修改說明 ................................ 84. VIII.

(11) 圖. 次. 圖 3-1-1 研究設計架構圖 .................................................................................... 34 圖 3-1-2 研究流程圖 ............................................................................................ 46 圖 4-1-1 屏東縣四年級學童在分數學習的三個向度之平均答對率分析 ........ 48 圖 4-2-1 屏東縣不同族群學童在分數學習的三個向度之平均數統計圖 ........ 51 圖 4-2-2 屏東縣不同族群學童在分數學習的三個向度之標準差統計圖 ........ 51 圖 4-3-1 屏東縣不同地區學童在分數學習的三個向度之平均數統計圖 ........ 55 圖 4-3-2 屏東縣不同地區學童在分數學習的三個向度之標準差統計圖 ........ 56 圖 4-4-1 屏東縣不同家庭社經地位學童在分數學習的三個向度之平均數統計圖 .............................................................................................................. 59 圖 4-4-2 屏東縣不同家庭社經地位學童在分數學習的三個向度之標準差統計圖 .............................................................................................................. 60 圖 4-5-1 屏東縣不同性別學童在分數學習的三個向度之平均數統計圖 ........ 62 圖 4-5-2 屏東縣不同性別學童在分數學習的三個向度之標準差統計圖 ........ 63. IX.

(12) X.

(13) 表表 2-1-1. 次. 92 課綱數學領域一、二階段分數課程之分年細目表 ..................... 16. 表 2-3-1 真分數之相關文獻整理 ........................................................................ 27 表 2-3-2 分數比大小之相關文獻整理 ................................................................29 表 2-3-3 同分母分數的加減之相關文獻整理 ....................................................31 表 3-2-1 第二次預試人數統計表 ........................................................................ 35 表 3-2-2 屏東縣三個族群、地區四年級學童正式施測抽樣人數一覽表 ........ 36 表 3-2-3 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-族群人數一覽表 ................... 37 表 3-2-4 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-地區人數一覽表 ................... 37 表 3-2-5 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-家庭社經地位人數一覽表 ... 37 表 3-2-6 屏東縣四年級學童正式施測試卷回收-性別人數一覽表 ................... 38 表 3-3-1 四年級分數學習筆試試題雙向細目表 ................................................ 39 表 4-1-1 屏東縣四年級學童在分數學習三向度之平均數、標準差和答對率 48 表 4-2-1 不同族群學童在分數學習之三個向度的平均數、標準差 ................ 50 表 4-2-2 不同族群在分數學習之多變量變異數分析摘要表 ............................ 52 表 4-2-3 不同族群在分數學習之單變量變異數分析及事後比較摘要表 ........ 53 表 4-3-1 不同地區學童在分數學習之三個向度的平均數、標準差 ................ 55 表 4-3-2 不同地區在分數學習學習之多變量變異數分析摘要表 .................... 56 表 4-3-3 不同地區在分數學習學習之單變量變異數分析及事後比較摘要表 57 表 4-4-1 不同家庭社經地位學童在分數學習之三個向度的平均數、標準差 59 表 4-4-2 不同家庭社經地位在分數學習學習之多變量變異數分析摘要表 .... 60 表 4-5-1 不同性別學童在分數學習之三個向度的平均數、標準差 ................ 62 表 4-5-2 不同性別在分數學習學習之多變量變異數分析摘要表 .................... 63. XI.

(14) 第一章緒論本研究旨在透過屏東縣國小四年級學童的分數答題表現，來探討學童在概念、計算與解題能力的學習狀況，並且進一步分析國小四年級學童在不同族群、地區、家庭社經地位及性別等四個因素下的表現是否有差異，並期能藉此了解學童受教育是否有達到公平性。本章緒論部份分為六節：第一節為研究動機，第二節為研究目的，第三節為研究問題，第四節為研究範圍，第五節為研究限制，第六節為名詞解釋。兹分節說明如下：. 第一節研究動機一、分數的重要性學童的數學學習成就在學校未來的學習、生涯選擇和專業成就方面，均扮演著一個重要的角色（Fan ＆ Matsumoto, 1997）。如果學童數學程度低落的現象持續惡化，對國家未來的經濟發展將會帶來不良的後果，若從國民小學學童的數學學習方面著手，可以及早發現他們學習現況，並尋求補救之道，以提昇其數學學習成就（邵國志，2007）。Ernest 指出數學本身扮演著一個「關鍵過濾器」（critical filter）的角色，用來決定未來是否成功的重要指標（徐偉民、林潔慧，2010）。所以，可以透過數學教育來改變學童過去的再製，提供學童學習成功的機會（李詩雲，2012）。目前 92 課綱小學數學的教學目標分為三階段，而三年級是屬於第一學習階段、四年級是屬於第二學習階段，此兩個學習階段的學童處於小學階段承先啟後的位置，是初步學習分數與小數的概念的階段，而在課綱也指出小學畢業前能熟練小數與分數的四則運算。而且，蔡翠華（1996）也指出許多學童到了小學三、四年級時，開始對數學的學習感到壓力，覺得數學艱深難懂，此時若不及早補救，將使這些學童面臨持續的挫敗。在數學教育研究中，「分數」向來是備受數學教育學者所重視的研究主題. 1.

(15) 之一，且在日常生活、數學與自然科學的教材中，都可以發現分數是很常用。然而無論國內外的研究報告都指出學的重要概念（陳明宏、呂玉琴，2005）童學習分數是困難的（林右姍，2007；林福來、黃敏晃、呂玉琴，1996；Cramer, Post, & delMas, 2002）。尤以剛接觸分數的三年級學童來說，「分數符號」是非常抽象的符號，對學童學習是全新的觀念。這時如果學童沒有建立清楚的分數概念，將會影響到之後分數的學習，所以三年級分數課程會是奠定分數概念基礎的重要時期。吳麗玲和楊德清（2007）指出分數概念之學習極為重要，它不僅是國小數學的基石，更是未來發展高深數學的基礎之一。而且許多學者也認為如果學童的分數概念無法正確建立，將無法進行其他相關概念的學習（劉秋木， 2002；Cramer, Post, & delMas, 2002）。吳麗玲和楊德清（2007）亦提及概念理解與程序性知識其實是同等重要的，因為概念性理解是計算流暢性的先決要素（NCTM, 2000），所以，概念理解與程序性知識是緊密相連的。而且徐偉民和陳美鈴（2009）也指出要成功解決應用問題需要有理解能力與運算能力，才能成功解題。既然概念理解與計算流暢是同等重要，而且要解決應用問題更是需要連結這二種能力，所以數學的學習可說是需要概念理解、計算流暢以及解決問題這三個面向。Hiebert 等人（2003）對七個國家的數學課程進行研究，將數學問題描述方式概分為三種類型：使用程序（Usingprocedures）之知識、描述概念（Stating concepts）之知識和進行連結（Makingconnections）之知識。再參考吳麗玲（2006）和黃皇元（2011）亦將數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識與連結性知識等三個向度，因此，研究者希望將分數主題依數學問題的知識屬性，也分成概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向度的試題，進行施測以探討四年級學童在這三個向度上分數的答題表現與差異情形。. 二、教育公平性聯合國《2010 千禧年發展目標報告書》（The millennium development goals. 2.

(16) report 2010）目標二所宣示之「確保在 2015 年之前，世界各地的學童，不分，均強調保障「每性別，均能夠完成足夠的基礎教育（United Nations, 2010）」一位」孩童接受基礎教育的公平機會（張國保、張熒書，2012）。美國省思其國內的基礎學力日益低落，為重振學童的學業成就，2002 年重新修訂「中小學教育法」（The Elementary and Secondary Education Act, ESEA），並由國會通過「No Child Left Behind 教育改革法案」，意即不讓任何一個孩子落後（李孟峰、連廷嘉，2010；陳明印，2002；Hess & Petrilli, 2006； McDermott & Jensen, 2005）。我國九年一貫課程綱要的基本理念，是要把每一位學童都帶上來，也是九年一貫及國家政策既有的理念（教育部，2008），而且政府多年來積極辦理「教育優先區-學習輔導」和「攜手計畫-課後扶助」等學童課業輔導工作，挹注於少數族群（如原住民）、弱勢家庭以及偏遠地區教育資源，直至 2013 年為因應 12 年國教的實施，將上述課業輔導工作整合為「補救教學」一名詞，以確保每一位國民中小學童之基本學力。上述意謂著，我國與世界各國早已強調追求教育公平性以及教育機會均等的原則，以縮短不同背景學童間的學習落差，並提升學童學習成效的表現。. 三、多元文化教育 1980 年代，國際上掀起了一波「多元文化教育」（Multicultural education）主張透過教育，讓學童了解自己的文化，並能尊重與欣賞不同的文化，來消弭性別、族群、宗教、階級差異所產生的偏見與歧視（周惠民，2010）。台灣是一個多元族群、多元文化的島嶼，每個族群教育下一代的方式都略顯不同。隨著時代的進步，教育已成了人們通往上流階層最直接的踏板，各個族群的教育方式就成了備受矚目的話題，而在主流社會中的少數民族，常因文化差異、經濟條件弱勢，加上教育資源相對匱乏等因素，使得其在教育成就與機會上處於不利地位（陳枝烈、歐秀梅，2010）。在多元化教育的趨勢下，我們應思考如何透過教育，讓文化不利、家庭社經地位不佳的少數族群學童可以擺脫社會再製，提供學童向上流通的管道與機會（李詩雲，2012）。. 3.

(17) 影響學童學習公平的因素很多，例如不被重視的族群、種族、社會階級、家庭收入、語言、地理區位等（Gillborn & Youdell, 2000; Grant & Sleeter, 2011）。而研究者根據相關文獻，整理出四項因素：一為族群，二地區，三為為家庭社經地位，四為性別，以下就此四項因素來做進一步說明：（一）就族群而言，屏東縣是個多元族群共居的縣市，有漢族、新住民、原住民（排灣族、魯凱族）、客家族群……等，而許多文獻也提及新住民與原住民的學童在學習上與漢族和客家族群的學童是會有些許落差，因其一開始便處於學習不利的環境。例如陳振新（2007）提及來到台灣的外籍新娘大都「不會說、不會寫中文」，而其在原生國所受的文化或教育並不完全，再加上來到不同文化和語言的地方，先生又處於經濟、社階、身心較弱勢的狀態。賴金河（2012）也提到在臺灣早期缺乏多元文化教育的意識，新移民子女身上背負了「低家庭社經地位」與「族群歧視」的雙重影響，使他們難以獲得均等的教育機會，更別說藉由教育達到階級向上流動的機會。又例如蔡文山（2004）提及一般原住民社區大都地處交通不便的山地、偏遠地區，學生缺少外來文化的刺激，並在經濟、交通、社會與文化等客觀條件中處於較不利的地位，基本知能不足而造成學業適應困擾，加上部分學校教師對原住民文化缺乏基本認識且流動率頻繁，影響教學成效。另一方面受工商社會的影響，造成原住民人口嚴重外流，而留下所謂「單親家庭」及「隔代教養家庭」，由於家庭結構不健全常造成許多學生的教育問題。而研究者也發現許多關於不同族群的學童數學學習相關研究，但僅侷限於漢、原比較與漢、新住民比較，或單獨對其一族群研究分析，較缺乏比較漢、原與新住民族群間學童的學習表現。陳振新（2007）也提及目前國內關於多元族群學童背景對學業成就影響的研究，侷限於原、漢比較，或單對不同背景外籍配偶子女學習適應加以分析，缺乏比較外籍配偶子女與原、漢學童學業成就差異及其影響因素的探討。因此研究者選定漢（包含客家族群）、新住民以及原住民三個不同族群為本次研究的對象，並試著探討不同族群學童間分數學習的表現與差異情形。. 4.

(18) （二）就地區而言，臺灣地區城鄉國小在教育資源的分配上有不均等的現象，除了都市學校資源比較充足之外，地處偏遠或是鄉間的學校仍是呈現資源不足的狀態。吳裕益（2004）的研究指出城鄉地區學童的學業成就有明顯差異，而且都市化程度愈高的地區，其學業成就也愈高，這也間接的顯示學業成就與教學資源存有關聯。然而陳淑麗（2008）卻指出，研究結果發現國內課輔資源的分配，愈偏遠地區的學校，課輔資源愈豐富。但研究也顯示大量的課輔資源並未能有效解決學業落後的問題，以台東縣為對象的調查研究指出，台東縣雖然致力於推動課後輔導，但教育現場忽略低成就補救教學的專業性，以致成效不彰。（三）就家庭社經地位而言，陳永昌（2011）以 TIMSS 2003 的資料進一步分析，家中藏書量、家中相關設施以及父母最高學歷等三個家庭社經因素與學童的數學學業成就有顯著的正相關。林碧珍和蔡文煥（2005）針對 TIMSS 2003 以及林碧珍（2012）針對 TIMSS 2007 的測驗結果皆指出，家中學習環境較豐富的學童，學習成就較佳。另外，陳淑麗（2008）也指出弱勢家庭常出現貧窮伴隨孩子成就低落的問題，許多弱勢孩子屬於低成就學童，但家裡仍沒有錢提供孩子額外的補習，以原住民學童為例，其補習機會大概只有漢族學童的一半。補習的效果雖然尚有爭議，但已有許多大型的調查研究支持補習對學業成就有正向的影響，大致而言，補習越多學業成就越高，升學的機會越佳（林慧敏，2008；黃毅志、陳俊偉，2008）。顯見低社經地位的家庭在尚求溫飽之餘，較無法兼顧到學童更多的學習機會，此情形或許仍舊得依靠政府給予較弱勢學童在學校學習上的額外照顧。（四）就性別而言，教育部（2012）在性別統計分析中提及，提倡兩性平權已蔚為國際潮流，亦是近年政府重要推動工作之一，國內教育環境在性別差異方面，則呈現男女差距逐年降低情況。100 學年女性學童所占比重，國中小 47.8%、高中 49.8%及大學 48.9%；高職則因 88 學年後國內護校陸續改制升格為專科學校，致女性學童比重僅占 44.5%，專科則反向提高至 72.3%；而研究所部分，100 學年碩、博士女性學童比重分別為 43.4%及. 5.

(19) 29.7%，雖已較 90 學年明顯提升，惟差距在各級教育中仍屬相對較高，顯示女性學童是否有繼續接受教育較不備受重視。另外，學習成就是否受到性別的影響，在許多文獻中說法兩極，例如林碧珍和蔡文煥（2005）提到在 TIMSS 2003 以及林碧珍（2012）提到在 TIMSS 2007 的測驗結果，同樣發現不論我國或是國際在四年級男女童的數學成就表現，皆無性別上的顯著性差異。以及在盧雪梅和毛國楠（2008）及陳和貴（2002）的研究中也認為學童的學習並不會受到性別的影響。而在邵國志（2007）研究中卻發現：1.性別的不同在國小五年級原住民學童的數學學習成就之「總分」、「數方面」、「量方面」及「形方面」的表現都有顯著的差異。2.國小五年級原住民女童在數學學習成就表現上優於原住民男童。由上述文獻雖可說並沒有一個定論，但研究者仍想一探究竟，試著去了解四年級學童在分數的答題表現是否會因性別而有所差異。. 四、小結台灣是個多元文化、多元族群的地方，而屏東縣更可說是其中非常具代表性的縣市，也由於研究者做過小樣本的屏東縣學童分數學習的探討，發現這些學童對於分數的學習有著許多迷思概念與錯誤產生，深感整個屏東縣學童是否也有類似的情事發生，此外更參考徐偉民和陳美鈴（2009）的建議指出測驗主題應細分，使老師可以更快並更精確的了解學童數學學習的問題，因而研究者並不針對數學學習領域的五大主題出題施測，希望能深入單一主題－「分數」來出題施測，除藉此了解屏東縣四年級學童數學學習的情形，更可在數學問題知識屬性的三個向度下，探討屏東縣四年級學童的分數學習表現，並能作為老師進行診斷與補救教學的參考。最後，更希望透過在學童的族群、居住的地區、家長的社經地位以及學童的性別等不同因素下，進一步探討屏東縣四年級學童在分數學習的表現，是否會受到不同文化背景而有所差異，並期能藉此了解學童受教育是否有達到公平性。. 6.

(20) 第二節研究目的研究目的有下列二點：一、了解屏東縣國小四年級學童在分數學習的答題表現。二、探討不同族群、地區、家庭社經地位及性別之國小四年級學童在分數學習的答題表現及差異情形。. 第三節研究問題根據上述的研究目的，本研究問題將分數主題依數學問題的知識屬性，分成概念性知識、程序性知識與連結性知識等三個向度敘述如下：一、屏東縣國小四年級學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現為何？二、屏東縣不同族群之國小四年級學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？三、屏東縣不同地區之國小四年級學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？四、屏東縣不同家庭社經地位之國小四年級學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？五、屏東縣不同性別之國小四年級學童在分數學習之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？. 第四節研究範圍一、課程綱要方面：本研究依92正綱為試卷施測設計與分析的依據，以其訂定之能力指標做為學童學習所需具備的知識並作為編製試卷之依據。二、教材版本方面：本研究以通過教育部審核之部編版本（國家教育研究院編訂）為試卷施測設計與分析的參考。三、試卷內容方面：本研究所編製的施測內容，係指依九年一貫分段能力指標三、四年級的分年細目，以國小三年級全學年之分數相關課程教材為. 7.

(21) 標準。四、研究對象方面：本研究以屏東縣四年級學童為研究母群體，並選取漢族、新住民與原住民等三個族群為研究對象。屏東縣學校依學校地理位置分為一般地區、偏遠地區與特殊偏遠地區（以下簡稱為特偏地區）等三個地區，採分層叢集抽樣的方法來選取研究對象。. 第五節研究限制本研究有以下三點的限制：一、研究對象方面：考慮人力、財力、時間等因素，研究對象僅限於部份 101 學年度屏東縣國小四年級學童。二、試卷內容方面：以三年級全學年學習之分數單元為主軸，探討四年級數學學童分數的學習，而非四年級上學期數學分數學習內容。三、施測時間方面：101學年度下學期，在四年級受測學童學習到四年級上學期分數相關課程後完成施測。. 第六節名詞解釋一、分數概念本研究的焦點主要是在三年級的分數課程，將分別以連續量與離散量情境來設計試題，而分數概念相關用詞僅包含真分數、單位分數、連續量情境、離散量情境以及同分母分數。（一）真分數：本研究所探討的分數為分母數值不超過12。真分數是指分子大於1，分母比分子大的分數，例如：2/3、4/5、6/8等。（二）單位分數：單位分數是指分子為 1 且分母大於 1 的分數，例如:l/2、l/4、 l/8 等。（三）連續量情境：所謂的連續量是指東西須經人為的切割才能得到指定的分數量或小數量（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。例如：. 8.

(22) 「將一顆蘋果平分成兩等份，小明吃了其中的一份，就是吃了幾顆蘋果？」（四）離散量情境：所謂的離散量是指東西不須經人為的切割，透過一個一個的分配，即可以得到指定的分數量或小數量（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。例如：「一包糖果有12顆，請問1/3包有幾顆？」（五）同分母分數：本研究所探討的同分母分數是指分母數值相同的真分數。. 二、三個族群本研究是指屏東縣的漢族（包含客家族群與外省族群）、新住民與原住民等三個文化背景差異較大的族群。. 三、家庭社經地位本研究所指家庭社經地位乃是依班上學童的午餐費是否有減免(低收、中低收以及經由導師認定)為分類依據，並協請班導師認定勾選，有減免者分類為「低家庭社經地位」學童；無減免者則分類為「非低家庭社經地位」學童。. 四、三個地區依據屏東縣政府所屬各級學校類型區分原則，將所屬各級學校及其分校、分班，依交通狀況、所處地理環境等情形，區分為一般地區學校、特殊偏遠地區學校及偏遠地區學校等三種類型；其區分原則如下：（一）一般地區類型學校：校址位於屏東市、潮州鎮、東港鎮、麟洛鄉、九如鄉、長治鄉、鹽埔鄉及萬丹鄉之各級學校及其分校、分班。（二）符合下列條件之一者，為特殊偏遠地區類型學校：１、本縣琉球鄉各級學校。２、校址距離本府六十公里以上。３、校址位處海拔五百公尺以上。４、連續山路十公里以上。（三）偏遠地區類型學校：前二款以外之學校。因此本研究將屏東縣的學童依上述學校類型，區分為一般地區學童、偏. 9.

(23) 遠地區學童及特偏地區學童等三個地區的學童。. 10.

(24) 第二章文獻探討本研究主要目的是探討屏東縣不同族群、地區、家庭社經地位與性別之多元文化族群的國小四年級學童，在接受現行九年一貫課程綱要實施的數學課程，其在分數學習的表現及差異情形，必須先釐清多元文化下的數學教育，以了解不同因素所可能造成的差異情形，並透過分數的相關文獻探討，以作為本研究設計的架構與分析時所參考的依據。因此本章之文獻探討分為三節，第一節為九年一貫數學領域一、二階段能力指標與課程教材之分析，第二節為多元文化教育的意涵與目標，第三節為過去相關文獻之探討與啟發。. 第一節九年一貫數學領域一、二階段能力指標與課程教材之分析一、九年一貫數學基本理念與課程目標我國九年一貫課程綱要數學學習領域在基本理念中提及，數學的能力主軸：除數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學童數學能力的三個具體面向。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學童的數學經驗（或數學感覺）的培養卻是同等重要。要確保學童能學好新數學題材的要素之一，旨在如何引導並利用學童的前置經驗（或感覺），這種數學的經驗（或感覺）就是數學的直覺或直觀。學童數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上，直觀是思維流暢的具體展現；在能力培養上，直觀讓學童能從根本上，擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是兒童數學智能發展中的重要指標（教育部，2003）。因此，研究者初步將學童學習數學所須具備的能力歸納為三類：一為「概念性知識」，二為「演算能力」，三為. 11.

(25) 「抽象與推論能力」。再者，九年一貫數學學習領域的教學總體目標為：（一）培養學童的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。（二）學習應用問題的解題方法。（三）奠定下一階段的數學基礎。（四）培養欣賞數學的態度及能力。其中，國民小學階段的目標為：（五）在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。（六）在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。（七）在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。因此，根據上述我國九年一貫課程綱要之基本理念與課程目標，指出學童學習數學所應具備的數學能力，並且參考吳麗玲（2006）和黃皇元（2011）將數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向度。以及Hiebert 等人（2003）對七個國家的數學課程進行研究，將數學問題描述方式概分為三種類型：使用程序（Using procedures）之知識、描述概念（Stating concepts）之知識和進行連結（Making connections）之知識。所以研究者亦數學問題的知識屬性分為概念性知識問題、程序性知識問題以及連結性知識問題等三個向度，並進一步將分數學習主題及施測題型分類至此三個向度，以下作更詳盡的說明：（一）概念性知識問題學童能辨識以及利用模型、圖形或符號等不同方式來表達出某一數學概念，或是舉出此概念的相關例子或是反例做為說明；此外，學童應能知道一些數學原理（如：加法原理、乘法原理），並將原理間做相互連結、比較以及整合應用（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。為測驗學童是否. 12.

(26) 具備此能力，在本研究所設計的施測試題是以選擇題、填填看和畫畫看等題型呈現。在真分數的概念性知識方面，研究者認為應該讓學童了解真分數是運用分數的基本意義-部份/整體來進行溝通。此時才能夠培養學童類化分數加減法概念為其它概念的學習，培養學童了解如何利用既有概念進行學習新概念的數學推理，連結既有概念與新概念，以及利用既有概念溝通新概念的數學威力；同時，培養學童概念性了解的數學能力。從學者們（教育部，2003；謝堅、蔣治邦和吳淑娟，2002；Behr, Harel, Post 和 Lesh, 1984）的分析，分數概念的教學的情境結構可以分成一維連續量、二維續量、離散量等情境。所謂一維連續量指像一條繩子、緞帶、彩帶等在還沒分割前是一個整體的一維物件；二維續量指像蛋糕、披薩等在還沒分割前是一個整體的二維物件（一般我們在畫圖時，都把蛋糕等用平面的圓形或方形替代）；離散量指像一盒雞蛋有十顆等一開始即以離散的個物存在的物件。依據學者的詮釋，連續量情境是學童學習分數概念的合理情境（一般分數概念都會先從二維連續量入手，一維連續量又可以連結到數線概念），離散量則是讓學童連結整數除法與分數概念（即分數表示整數相除的意涵）的合理情境。因此，這些情境結構，在真分數概念的佈題上，我們認為有其重要性，應延續採用。綜合上述，研究者會將真分數問題（選擇題、填充題）和分數比大小問題（選擇題、填充題）等都歸之於「概念性知識」問題。（二）程序性知識問題學童能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時，能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩， 2009）。為測驗學童是否具備此能力，在本研究所設計的施測試題主要是以計算題題型呈現。我國九年一貫數學領域在基本理念的闡述中提及「演算能力」：在傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分。但是數學運算或計算並不只是機械式計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概念或. 13.

(27) 演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算結合的能力，才是演算能力。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊數學觀念的連結與落實。演算亦是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會再形成學童下一階段新主題學習所需的具體經驗。以傳統的直式乘、除法為例，透過這種演算法，學童能充分運用加減法以及個位數乘法的能力；更重要的是能養成簡單心算的能力，進而累積計算多位數的經驗。這種能力能讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，而這種流暢感覺的回饋，則更能增強學童的自信心，相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習（教育部，2003）。綜合上述，研究者會將同分母分數的加減問題（計算題）歸之於「程序性知識」問題。（三）連結性知識問題學童能從資料中逐漸辨識並形成問題；學童能了解這些資料的充分性與一致性，並能運用相關知識、推理能力，以及採用適合的策略來找出答案（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。徐偉民和陳美鈴（2009）也指出要成功解決應用問題需要有理解能力與運算能力，才能成功解題。因此，為測驗學童是否具備此能力，在本研究所設計連結性知識的施測試題是以應用題題型呈現。九年一貫數學學習領域在教學目標中提及，我們希望課程目標的達成可以一、「培養學童的…推論能力及溝通能力」；二、「學習應用問題的解題方法」…。所以學童要能將所學應用在生活上，在解應用題能先了解題意、清楚問題，並能運用相關知識、推理能力，以及採用適合的策略來找出答案。綜合上述，研究者會將分數比大小問題（應用題）和同分母分數的加減問題（應用題）歸之於「連結性知識」問題。. 二、九年一貫數學領域之能力指標教育部於民國九十二年公布的九年一貫數學課程綱要中，將分數的教材. 14.

(28) 單元歸入數與量的範疇中，而在數與量的主題說明中提到有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數；它的應用課題很廣─平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學童較缺乏有理數的前置經驗，日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學童首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤。而有理數中學童最先碰到的課題是分數形式，也因此分數的學習又顯得特別重要。九年一貫數學領域課程綱要中有關「分數」概念的學習順序，是先以「整數」學習為基礎，接著再引入「分數」的相關學習。分數的數概念學習順序則為「單位分數」、「真分數」，進入「假分數」及「帶分數」；至於「計算」部分的學習則是先進行「合成與分解（加減）」活動再進入「乘除」活動。在九年一貫數學領域課程綱要（教育部，2003）中，四年級的學童應已學會分數的能力指標是 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。研究者將關於二年級至四年級分數教材單元相關之分年細目與對照的能力指標加以整理，如下表 2-1-1。. 15.

(29) 表 2-1-1. 92 課綱數學領域一、二階段分數課程之分年細目表. 年級. 對應. 年級. 分年細目（階段）. 對應分年細目. 指標. （階段）. 指標. 二. 2-n-10 能在平分的 N-1-09. 四. 4-n-06 能在平分 N-2-06. 年. 情境中，認識分母. 年. 情境中，理解分. 級（第一. 在 12 以內的單位分. 級. 數，並比較不同單. 的意涵。. （第二. 位分數的大小。. 階段）. 三. 數之「整數相除」. 階段） 3-n-09 能在具體情. 4-n-07 能認識真 N-2-07. 境中，初步認識分. 分數、假分數與. 數，並解決同分母. 帶分數，熟練假. 分數的比較與加減. 分數與帶分數的. 問題。. 互換，並進行同分母分數的比. 年. 較、加、減與非. 級. 帶分數的整數倍. （第一. 的計算。. 階段）. 4-n-08 能理解等 N-2-08 值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. 資料來源：教育部（2003）。國民中小學九年一貫數學領域課程綱要。台北：教育部。由表 2-1-1 可以看出 92 課綱中以分年細目訂出各年級學童所應達到的數學能力。在綱要中從二年級開始逐步的引入分數的概念，並透過平分的情境，安排學童認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小；在三年級的分數課程安排學童在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題；四年級除了真分數、假分數與帶分數的介紹，亦要求學 16.

(30) 童能熟練假分數與帶分數的互換，同時作進一步之同分母分數的加減與比較，並引入等值分數的概念，以及操作簡單異分母分數的比較。四年級的學童在二、三年級（第一階段）時就已開始接觸分數課程，學習真分數（初步認識分數）、單位分數比大小、同分母分數比較與加減等教材內容，是故本研究編製紙筆施測試題時，將參酌現行之九年一貫數學課程綱要，編入包括真分數、分數比大小與同分母分數加減等三個主題的問題。. 第二節多元文化教育的意涵與目標一、多元文化教育的意義 Banks（2001）指出，多元文化教育源於美國 1960 年代的民權運動與民族運動，當時非裔美國人開始要求社會尊重他們的權益，消除居住、雇用和教育等方面的歧視，進而導致美國境內各民族要求他們學校與其他教育機構改革課程，以反映其族群經驗、歷史、文化觀點，要求雇用更多各族群的教師和行政人員，作為孩子的角色模範，要求修訂教科書來反應國內不同的民族文化。多元文化教育辭典（Dictionary of Multicultural Education）（Grant & Ladson-Billings, 1997）提到，多元文化教育是一種哲學概念和教育的過程，它的概念是植基於美國憲法和獨立宣言中的自由、正義、平等、公平和人性尊嚴的哲學理念。多元文化教育是一個過程，必須在學校和其他的教育機構中運作，並且要讓所有的課程領域皆涵蓋此一概念，如同所有好的教育措施一樣，它幫助學童發展積極的自我概念和發現自我存在的價值，並能欣賞及尊重他人的文化。多元文化教育對於文化不利的學童亦提供適性及補救教學的機會，而它所面對的社會議題包括了種族、族群、社經階級、性別、宗教、語言和特殊教育等。多元文化教育根據學童的不同思考模式來提供教育內容，鼓勵學童去探索世界和國際事件，以及這些事件是如何影響到他們的生活。它教導批判思考的能力、民主的決定、採取社會行動以及賦權的能力，. 17.

(31) 多元文化教育是一個全面性的過程。賴金河（2012）認為多元文化教育可分為廣義和狹義兩種。廣義的多元文化教育希望透過學校的改革，促進社會正義與公平的一種教育方式；狹義的多元文化教育是尊重差異的一種泛文化學習的教育。. 二、多元文化教育的內涵 Wilhelm（1998）檢視 1993-1997 年【多元文化雜誌】所強調的較有特色之文章中的主要探討取向，歸納為下列幾個主要意涵及相關概念：（引用自陳美如，2000）（一）多元文化促進教育公平來自不同文化背景的學童，在學校所接受的各種教導，常與其背景文化大異其趣，造成學童在生活適應及學習成就上的極大困難。如何彌補這些教育上的不公平？Grant 和 Sleeter（1989）以多元文化的觀點提出下列五個途徑： 1.教導相互親近及文化差異途徑在課程上，安排各種異文化的認識與理解，透過對於文學、文化的討論，建立彼此的認識與關懷。 2.人際關係途徑即教導對人正向的感受，學校的目標在建立對有色及白色人種、男女、殘障者及非殘障者等差異間和諧的關係。 3.單一團體研究途徑此取向的學校課程乃以一個團體的歷史文化為課程，並教導此一團體了解他們是如何被壓迫，及如何獲得尊敬的過程。 4.多元文化教育途徑本取向的教育目的在降低偏見，對所有的團體提供均等的機會及社會意義之賦予，亦即改變所有兒童的受教歷程，課程與教學的主軸在於培養學童對於各種異文化的意識、接受和認同。 5.多元文化和社會重建途徑. 18.

(32) 此途徑旨在透過教育，培養學童分析和批判思考的能力。在此途徑中，所有方案的設計者皆會考慮或關懷各種多樣性的問題，並且有四項實施策略：（1）民主必須具體地實踐於學校教育之中。（2）學童需學習如何分析他們自己的生活環境。（3）學童需學習社會行動的技能以增加其成功的機會。（4）促使貧困、有色人種、白人……等在良好的社會中一起工作。（二）多元文化即治療當種族主義、性別主義及階級主義被概念化為疾病時，多元文化教育被視為一種治療。其中隱含的偏見、刻板印象、及低自尊則是多元文化教育治療的核心。當多元文化教育被視為是一種偏見及刻板印象的治療時，教師及輔導人員應扮演治療師的角色。應幫助學童檢視其偏見及態度，檢驗關於他們自己及其他人的負面感受，也檢定學童判斷他人的慣性迷失，重新賦予其多元的正面態度，藉由此過程移除負面的感受，並建立正面的知覺（Sleeter, 1996）。（三）多元文化教育是學術的論辯 Gay（1995）和 Platt（1993）以為多元文化教育是一種學術論辯，他們認為多元文化教育應同時注意到個人與社會、內容與過程、微觀文化與巨觀文化、事實與經驗、認知和情感、理性和直覺、自己和別人，現在、過去和將來。這種折衷導向，將形成多元文化教育的理論和學術。多元文化教育是一種特殊的方案，是一種對於具備多樣文化之學童的能力、想法等點點滴滴的改造，教育人員必須參與存在於機構及種族關係的論辯，並加以批判。（四）多元文化教育是社會運動，並藉以修改社會結構的歷程社會運動的目的在於調整權力和資源，透過權力間的對抗，建構意識型態，使其發生意義，並達至新的霸權，使更多人能接受該意識型態。多元文化的社會運動，植基於對於掌控的意識型態的反動，更重要的是，要從社會組成中凝聚每個人想法的重要性。Brameld（1956）指出，在社會運動的背後是導向社會重建的，多元文化教育領域中也發展出社會重建主義取向，提供. 19.

(33) 一個現代文化的批判，該取向的教育方案設計及思考的焦點，集中於對多樣文化團體的關懷。而 Grant 和 Sleeter（1989）則認為多元文化教育著重在個人發展與社會改革，基本上，這是一種重建和改造力量所造成的結果，而以兒童為中心、社會良知、公民責任、教育均等及社會重建等，也都是多元文化教育的標準原則。. 三、多元文化教育的目標經由上述相關文獻，研究者發現要使多元文化教育的目標能達成，大致可從四個因素來探討，分別有族群、地區、家庭社經地位及性別，並敘述如下：（一）族群教育部（2010）的統計資料中指出，外籍配偶子女有集中於較大城市之趨勢，約 4 成 8 之外籍配偶就讀國中子女分布於臺北、桃園、屏東、臺中等縣及臺北市，近 5 成外籍配偶就讀國小子女集中於臺北、桃園、臺中、彰化等縣及臺北市。對該縣市來說，外籍配偶子女係屬少數群體，但外籍配偶子女之母親其社經地位多數偏低，加上語言、文化、風俗習慣等的差異產生適應問題，以及可能產生的子女教養問題，未來政府推動相關政策時，應考量外籍配偶子女之個殊性。此外，連江、金門、澎湖等外島地區，以及新竹、雲林、屏東、嘉義、苗栗、南投等縣之國中或國小外籍配偶子女所占比率較高，尤應多加關注。外籍配偶子女就讀國、中小學童數自 93 學年 4.6 萬人成長至 98 學年 15.5 萬人，增加 2.3 倍，由外籍配偶子女學童占該教育階段學童數比率觀察，6 年來國小由 2.17%升至 8.35%，成長幅度快速，顯示未來國中在環境、師資及輔導各方面應即刻做好準備，以因應大量的外籍配偶子女學童可能產生的學業、人際及適應等教育問題。 8 成 5 之國中、小外籍配偶子女其父或母的國籍以中國大陸、印尼籍、越南籍較多，中國大陸外籍配偶大多分布於都會區縣市，尤以臺北縣、桃園. 20.

(34) 縣、臺北市最多，印尼及越南籍則多分布於彰化、南投、雲林、嘉義縣、臺南縣等中南部農業縣市，菲律賓籍則多集中於屏東縣。中國大陸配偶由於同文同種，於語言及文化適應上可能較無困難，而根據教育部於 94 年發布之「外籍配偶就讀國小子女學習及生活意向調查報告」，發現東南亞籍母親因語言能力較差或忙於生活打拼，較無法積極參與孩子的課業學習，安親課輔班替代了東南亞外籍配偶家庭課業指導功能。因此，原生父母為東南亞籍所集中之縣市，應更加重視外籍配偶子女之學習與適應問題。陳曉芳（2012）指出自己所任教的二年級學童族群背景非常多元，有兩位阿美族學童、一位噶瑪蘭族學童、兩位新移民子女。學童偶而在言談之中會說提及自己的族群文化經驗，如語言、飲食等，但因為對彼此文化不熟悉，有時卻會產生誤解，因為對方談論次數過多而產生厭惡感。（二）地區蔡文山（2004）指出有關原住民教育的問題，一直是政府施政的重點之一。然而，在這一連串的教育補助政策中，是否合乎所謂「教育機會均等」的原則？政府為了改善山地鄉國民小學師資嚴重不足的問題，對在山地鄉任教的校長及教職員工提供優厚的鼓勵措施，然而這些津貼補助和獎勵措施，是否真如預期的提升原住民學校的師資？此外亦針對原住民地區的學童教育均等提出一些建議： 1.原住民的生活環境地處偏遠、交通不便，因而造成原住民學童文化刺激較為缺乏，加上許多年輕人不肯到原住民地區服務與發展，導致原住民的生活環境一直沒有很大的改善，原住民的學童長久以來處在文化刺激貧乏的地區，自然影響其學習能力。具體改善方式如加強山地交通建設，普及原住民學校電腦網路，提供更多且方便的衛生、娛樂、休閒設施，充實圖書館設備等，就成了改善原住民教育的重要方法。 2.學前教育機構也較為缺乏，受限於家庭經濟條件及交通等問題，一般原住民家長無力將子女送至都會區的私立或一般學校附設幼稚園就讀，因此增加原住民地區學前教育的經費，偏遠山區增設幼稚園與托兒所，充實各項. 21.

(35) 教學設備、資源與器材，增加原住民學前教育的機會，可以幫助原住民學童及早適應學校生活，有助於原住民學童幼小銜接，改善其學習態度。 3.學校師資方面，就教師流動率偏高部分，可以建請政府相關單位邀請學者專家、教師代表、社會人士代表等，協商延長山地、離島、偏遠地區教師及主管之服務年限的可能性，並增加服務津貼及改善其生活條件，以降低其流動率。簡良平（2010）指出，現階段無論是硬體設施與人力資源建構，都需要秉持教育機會均等的理念，持續建構制度之政策與補助性政策，以維護弱勢者教育發展。偏遠學校之教育不只達成國民義務教育之目的，還擔任實現教育機會均等及促成社會均等之教育任務。受限於學校課程實踐條件居於弱勢，如何跳脫偏遠地區學習環境條件不足的問題，成為偏遠小學完成教育使命的重要課題。阿力夫（2012）指出從過去花蓮偏鄉球隊似乎都面臨經費欠缺的窘境，不僅是玉里地區，花蓮其他地區需要幫忙的學校其實還包括光復鄉的太巴塱國小也是知名棒球選手搖籃地，以及今年關懷盃拿下冠軍的富源國小，都面臨經費上的困難，突顯了偏遠地區教學城鄉差距資源上的問題。兒童福利聯盟所做的「2013 台灣偏鄉弱勢學童學習貧窮分析報告」發現，偏鄉弱勢學童家中的教育資源不足比例 71.5%，與優勢學童相比相差 16 倍以上，偏鄉弱勢學童和優勢學童也存在明顯的數位和閱讀資源的落差，也缺乏文化刺激的機會；教育資源的落差也實際反映在孩子的學習能力上，僅半數偏鄉弱勢學童能答對基本學力題目，與優勢學童相差近三成，也有近二成的偏鄉弱勢學童反應平常上課大多聽不懂。劉盈慧（2013）指出，教育部近 10 年花費 2 百億元改善偏鄉教育環境，台師大教育系教授許添明表示，偏鄉生分配到的硬體資源比城市生還優渥很多，若要縮小城鄉差距，改善家庭學習品質環境、請優秀教師或校長到偏鄉任教，才是關鍵。. 22.

(36) （三）家庭社經地位教育上所謂的「社會弱勢」依據社會、家庭二方面區分，但不包括身心障礙、原住民。1.社會方面：因為社會環境因素導致的學習不利，如偏遠地區、離島及災區。2.家庭方面：因為家庭經濟、結構、語言文化等因素導致的學習不利包括經濟能力（例如：中低收入戶、失業家庭）、家庭型態（例如：祖孫二代家庭、暴力家庭、父母雙亡者、單親、流動家庭、遊民）及社會適應（例如：移民家庭、外籍父母）。英國著名的「曼徹斯特調查」（Manchester Survey）報告書中指出：關於教育成就的主要因素在於家庭環境內，家庭因素的重要性幾乎兩倍於社區和學校兩項因素總和（陳奎熹，1990）。林璣萍（2003）以新住民家庭為研究對象進行研究，發現父母的社經地位、家庭經濟等因素會影響他們在校表現。賴金河(2012)也提及家庭經濟會影響學生的學業表現，而且家庭社經地位與學童學業成就有正相關，不管是因為家庭經濟上的弱勢，無法為子女安排額外學習活動，而影響學生整體學業表現；或是因為父母礙於家庭經濟不良，無法全力支持學童學習；或者因為父母忙於生計，疏於親師溝通等因素影響下，家庭經濟問題的確會影響到這群學童的在校表現。此外，林碧珍和蔡文煥（2005）針對 TIMSS 2003 的測驗結果指出，有關學習環境因素，國小四年級學童的家庭中 89％的家裡有電腦設備，有電腦可以使用的學童其數學成就平均表現優於沒有電腦可以使用的學童。另外，林碧珍（2012）針對 TIMSS 2007 的測驗結果亦指出，家中學習環境資源較豐富者，學習成就較佳。亦即父母為子女所提供的學習環境（如電腦、書籍、書桌）愈豐富，子女的學業成就愈高。（四）性別教育部（2010）指出近年有關外籍配偶子女之研究，多數認為新移民子女為相對弱勢者，在學業表現上相對較本國籍學童差，有研究發現其學業表現與生活適應隨性別不同有所差異，女生較男童為佳，亦有研究指出外籍配偶受語言文字的限制，不易參與子女課業學習活動等結果，可見外籍配偶子. 23.

(37) 女存在的教育問題可能隨父母之國籍及性別而有不同。由於新移民與原住民一樣都是屬於較為弱勢的少數族群，就性別平等議題而言，政府部門在制訂外籍配偶子女的教育政策及建構扶弱的教育環境時，更需納入性別觀點加以檢視。教育部並蒐集外籍配偶及就讀國中、小外籍配偶子女的性別結構資料進行分析，分析之結果冀望提供相關單位進行性別影響評估時，除了性別差異之外，還能考量性別內部存在的階級、族群等多元屬性的差異，並提供各界制訂教育計畫之決策參據。教育是人類發展的重要方向，消除各級教育性別不平等有助於提高女性地位和能力，《聯合國千禧年宣言》裡有關教育的目標包括：目標 2-普及小學教育（確保到 2015 年，世界各地兒童不論男女都能完成小學全部課程）及目標 3-促進男女平等並賦予婦女權力（爭取到 2005 年消除小學教育和中等教育中兩性差距，最遲於 2015 年在各級教育中消除此種差距），以識字率、初等及中等教育粗在學率觀察幾年來全球致力消除教育的性別差距方面確有進展，如中亞、中東歐、拉丁美洲和加勒比等區域，但對南亞和西亞以及撒哈拉沙漠以南非洲等少數區域國家尚有漫長的一段路程。若以主要國家的成果檢視上述兩大目標之達成情形，可以顯見仍有努力空間。（教育部，2010）林碧珍和蔡文煥（2005）針對 TIMSS 2003 的測驗結果作進一步分析，發現我國和國際的四年級男女童在數學成就表現，皆無性別上的顯著性差異，但是我國四年級男童在測量主題的表現上均優於四年級女童，不過在幾何、資料分析與解釋、數型和關係的表現上略遜於女童，只是未達到顯著性的差異。此外林碧珍（2012）再次針對 TIMSS 2007 的測驗結果作分析，同樣發現我國和國際的四年級男女童在數學成就表現，皆無性別上的顯著性差異。若從各主題來看，女童在幾何圖形與測量和資料呈現的平均得分比男童高，而且女童在資料呈現的表現顯著優於男童，但在數主題上，男童卻反而顯著優於女童。若從各認知領域來看，我國四年級學童，男童在知識、應用及推理三個認知領域的表現，男童皆略優於女童。宋曜廷、陳慧娟和黃瓅瑩（2009）亦指出男童是不是天生數學就比女童. 24.

(38) 好，這是一個爭論不休的話題。美國西北大學一項專門探討男女數學能力差異的研究計畫，他們以十五歲的學童為對象，採用世界經濟論壇性別平等指數，作為這項研究的評比標準。每隔三年進行一次全球調查，被調查的四十個國家當中，只有冰島是女童數學比男童強。另外十二個國家，男女數學能力幾乎是不分軒輊，這些國家相對來說，兩性平等也較為彰顯。換言之，性別愈平等的社會，這種差異愈小。. 四、小結從上述文獻中發現，在族群的因素方面，大多提及漢族學童在學業成就上的表現比新住民子女學童好，或是漢族學童的表現比原住民學童好，但較少文獻是同時比較此三族群學童在學業成就的表現。在地區的因素方面，都市化愈高的地區之學童表現會比都市化不高的地區之學童好。在家庭社經地位的因素方面，發現高家庭社經地位其學習成就高於中、低社經的學生。在性別的因素方面，性別愈平等的社會，這種差異愈小，但在國際的學業成就測驗中，性別這個因素卻是經常被拿來檢視的項目，只是並無性別上的顯著差異。研究者深感須先釐清多元文化下的數學教育，並透過相關文獻的探討，以了解不同因素所可能造成的差異情形，進而探討屏東縣不同族群、地區、家庭社經地位以及性別之多元文化族群的國小四年級學童，在分數學習的表現及差異情形，最後將相關文獻作為研究結果分析時所參考的依據。. 第三節過去分數相關文獻之探討與啟發我國九年一貫數學領域在基本理念的闡述中提及（教育部，2003）：一、能力發展：學童能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理解，然後懂得利用推論去解決數學問題，包括理解和解決日常問題，以及在不熟悉解答方式時，懂得自尋解決問題的途徑。抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係。發展邏輯思考，用來分析證據、提出支持或否定假設的論點。啟發學童自行在不同數學概念. 25.

(39) 之間做連結，並連結數學與其他學習領域。學童要能將數學運用在日常生活中，學習欣賞數學，從而發展探究數學以及與數學相關學科的興趣。二、數學溝通能力：溝通包括理解與表達兩種能力，所以，數學溝通一方面要能了解別人以書寫、圖形，或口語中所傳遞的數學資訊；另一方面，也要能以書寫、圖形，或口語的形式，運用精確的數學語言表達自己的意思。研究者覺得學童要學好分數，必須先能清楚了解分數的意義，此抽象能力能透過口語、文字、圖像以及符號等的交互運用來幫助學習。因此研究者在試題編製上，希望透過文字（口語）、圖像以及符號三者的交互轉換，來檢驗學童對分數意義的了解。「分數與小數」的學習，是學童最感到困難的主題之一（教育部，2003），同時也是錯誤類型出現最多的主題。徐文明（2007）也指出學童學習數學不是以一種簡單的死記運算規則，而是一種複雜的知識建構歷程，因此在知識的建構歷程中，會因某種因素的影響而導致迷思概念的產生。許多研究（林碧珍，1990；甯自強，1993；楊德清、洪素敏，2003；Behr et al., 1988）都主張分數的多重意義，而多重意義經常是造成學童學習分數困難的重要原因之一。學童的數學學習過程中，分數的學習往往是學童最感到困難，也最容易產生各種錯誤情形的數學單元之一。茲將二、三年級分數課程分為真分數、分數比大小及同分母分數的加減等三個主題，並依此三個主題將學童常犯的錯誤類型之相關文獻做整理，將之用來作為施測試題的誘答選項，分別整理如下：. 一、在真分數部分歸納相關文獻，研究者發現在真分數犯錯的原因。下表 2-3-1 為整理相關文獻之研究發現。. 26.

(40) 表 2-3-1 真分數之相關文獻整理. 研究者. 年代. 研究. 研究發現. 對象 Bergeron. 1987. 三年級. 在處理分數板的問題時，只注意到分數板. 和. 被分割成幾塊，而沒有注意到每一塊是否. Herscovics. 相等。. 呂玉琴. 199l. 一年級. 針對一位剛上國小一年級的學童進行面談，發現他處理「一半」和「二分之一」的問題有差異：「一半」是生活語言，「二分之一」是數學語言。學童處理一半的問題時，具有較高的容忍範圍，而處理二分之一的問題則要求較高的精確度。. 林福來、黃 1996. 二年級. 學童一開始接觸正式的分數課程時，也許. 敏晃和呂玉. 是老師的主觀認定，也許是教科書的編排. 琴. 方式，教學時大多從分東西的經驗出發，然復以圓餅圖或方形圖介紹分數，因此許多學童會以字面上的意義來了解分數，認為幾分之幾就是要做「分」的動作，但忽略了分數是要對整體進行等分割的活動。. 游政雄和呂 2002 玉琴. 中年級. 在問題情境比較方面，在蜂蜜蛋糕問題和可樂問題的難度並沒有很大的差異。另外，出現的錯誤類型也相當一致，均受到整數知識的影響，而普遍出現整數的錯誤類型。中年級學童直接將三份蛋糕視為三條蛋糕、將四杯可樂視為四瓶，而不管單位詞是否符合。. 27.

(41) 楊德清和洪 2003. 四年級. 素敏. 1.如下圖的方式表徵 3/5 的抽象符號，學童雖然把整個圖形分成五份，但卻不是相等的五份，表示學童缺乏等分的概念。. 2.若只考慮到分子的因素，解題過程中深受分子的影響。例如學童在以二十四個組成一堆的花片中取出其中的六分之一時，他們的反應是只取其中的一個；取出六分之六時，他們會給你六個，雖然花片還有剩下，但他們也沒有警覺到奇怪。 3.若只考慮到分母的因素，這些學童在解題過程中深受分母的影響。 4.學童在處理連續量「部份/整體」情境的問題時，會把部份當成分子，而以整體扣掉部份為分母的情形發生，如下圖，認為塗黑部份占整體的 1/4。. 徐文明. 2007. 五年級. 在處理黑色部分占全部幾分之幾時如下圖，認為答案是 2/6。可見即使是五年級的學童仍然會忽略了－分數是要對整體進行. 等分割的活動這個重要因素。黃志敘和楊 2007 德清. 六年級. 1.不了解分數的意義。2.缺乏部份/整體之概念。3.缺乏單位量概念。4.缺乏等分概念。. 28.

(42) 在真分數的學習部分，從上述文獻以及研究者現場的教學經驗中可以發現，學童具有常見的相同分數錯誤概念：未注意到平分、只考慮到分母或分子、忽略單位量、不了解分數的意義、缺乏部份/整體之概念等，另外研究者覺得分數的符號、圖像以及文字的敘述等三者有著密不可分的關聯，所以研究者除了將上述學童易犯的錯誤概念用來作為施測試題的誘答選項，並能結合符號、圖像以及文字的敘述等三者的轉換來呈現問題。. 二、在分數比大小部分歸納相關文獻，研究者發現在分數比大小犯錯的原因。下表 2-3-2 為整理相關文獻之研究發現。表 2-3-2 分數比大小之相關文獻整理. 研究者. 年代. 研究. 研究發現. 對象楊德清. 2000. 六年級. 處理分數問題時會將 a/b 視為是由兩個整數所組成，而未將分數視為一個數。. 游政雄和. 2002. 中年級. 呂玉琴. 根據 Behr、Wachsmuth、Post 和 Lesh（1984）的研究顯示，學童在處理同分子分數、同分母分數比較問題時，會採取各種不同的策略。例如學童處理同分子分數問題時，運用整數支配法，認為 1/3 小於 1/4 是因為 3＜4。處理同分母分數問題時，學童運用不正確的分子分母法，認為 9/13 小於 4/13 是因為「四塊是這麼大，九塊會比較小以便合於全部」。許多學童由於不了解分數的意義，因而受整數基模的影響，將分數 a/b 視為兩個獨立的數。. 游政雄和呂玉琴. 2002. 中年級. 1.同分母分數的大小比較問題，答對率接近百分之百（離散量問題答對率99.4﹪～100﹪）. 29.

(43) 因為學童只要運用整數大小比較的知識，即可正確回答同分母分數的比較問題。 2.同分子異分母分數大小比較問題，學童根據分母的大小來進行比較，卻造成其解題錯誤。楊德清和. 2003. 四年級. 洪素敏. 以分母為準則之迷思概念：當比較分數大小時，忽略分子的存在，以分母的大小來決定分數的大小，例如比較 3/8 與 3/5 時，因為 8>5，所以 3/8 >3/5，並未考慮分子與分母的相互關係。. 洪素敏. 2004. 五年級. 學童在分數比大小的表現易忽略單位量，僅以分子或分母的大小來判斷分數值的大小。. 在分數比大小的學習部分，從上述文獻以及研究者現場的教學經驗中可以發現，學童具有常見的相同分數錯誤概念：由分母或分子來決定分數的大小、忽略單位量、不了解分數的意義、缺乏部份/整體之概念等。再加上分數比大小中的同分母比分數大小是學童表現比較好的，而學童在單位分數比大小則是表現較差的，乃因學童易受分母或分子的影響而直接判斷其分數值的大小，所以研究者會設計單位分數比大小與同分母分數比大小兩種題型，並將上述學童易犯的錯誤概念用來作為設計施測試題的參考。. 三、在同分母分數的加減部分歸納相關文獻，研究者發現在同分母分數的加減犯錯的原因。下表 2-3-3 為整理相關文獻之研究發現。. 30.

(44) 表 2-3-3 同分母分數的加減之相關文獻整理. 研究者. 年代. 研究. 研究發現. 對象洪素敏. 2004. 五年級. 只以部份/整體關係來看待分數意義，未將分數看做一個數值，而將分子與分母當成個別的數字進行加減乘除的運算。. 李源順. 2005. 三年級. 在概念性知識的表徵圖上，改變量未知的減法. 和孫德. 問題表徵題及數字較大的表徵題上成就較. 蘭. 差，且大多使用圖形表徵進行答題，較少使用文字表徵進行答題。在連結性知識上，比較量未知的比較型問題，是所有問題中答對率最低的問題。概念性知識的表現較差、程序性與連結性知識的表現以接近暫綱要希望 80%的學童能夠學會的標準。. 李源順. 2005. 三年級. 應該出一些檢驗學童是否了解概念性知識的問題，之後再讓學童察覺同分母真分數加減的口訣，並進行抽象的數字計算問題，讓學童了解把自己知道的想法利用先前所學的圖形表徵，或者口語寫成文字。學童很不喜歡在評量上寫太多的文字，因此，老師應該認同學童使用圖形表徵來表達它對同分母真分數加減法的了解。. 李源順. 2005. 三年級. 學童在同分母分數加減時，會出現概念性迷思和程序性迷思兩種。其中大部份因為沒有考慮分數的意義而將整數加減的概念過度一般化，而產生「分母加（減）分母、分子加（減）分子」的概念性迷思，而不小心算錯的程序性迷思只佔少部份。. 31.